Strongart数学笔记：代数数论入门指南

代数数论入门指南

一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。

先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).

代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：

Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]

假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.

假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n

其中σ_i是L的K-共轭。

若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中

a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：

Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)

这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.

通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).

代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。基本假设是这样的：A是分式域为K的Dedekind整环，L/K是n次可分扩张，B是A在L内的整闭包。

在此前提下，对A内任何非零素理想P，它在B内生成的理想PB就有分解：

PB=Q_1^e_1…Q_g^e_g

其中各Q_i是B的彼此不同的素理想，并且它们一起组成了卧上于P （即Q∩A=P）的素理想Q的全体。这里e_i称为Q_i对P的分歧指数，f^i=|B/Q_i:A/P|称为Q_i对P的剩余类次数，g称为Q在B或L 内的分裂指数，有基本关系n=Σe _if_i.

下面看几种值得注意的特殊情形：

0）若有某e_i＞1，则称P在B或L内是分歧的；否则就称为非分歧的。

1）若各e_i=f_i=1，即PB=Q_1…Q_n，则称P在B或L内完全分裂的。

2）若有e_i=n、即PB=Q^n,则称P在B或L内是完全分歧的。

3）假若L/K是Galois扩张，那么所有的e_i与f_i均相等，分别记作e与f，此时有n=efg

对于扩张问题，我们还可以在局部域上进行再认识。局部域是赋值论中的一个概念，要求有诱导局部紧拓扑的绝对赋值，一般数域的

完备化都是局部域。对于局部域上的赋值，我们可以定义决定相同拓扑的赋值是等价的，其等价类一般称为素除子（prime divisor）或位（place）.

设域F关于离散素除子P是完备的，对F的任意n次代数扩张E，P到E上可扩张为素除子Q，记

e=e（Q|P）=e（E|F）

f=f（Q|P）=f（E|F）

分别对应上面的分歧指数与剩余类次数，自然有ef=[E:F]=n.同时我们记~为到其赋值整环上的商，有f={E~:F~}

对此我们也有下列特殊情况：

1）若e=1，f=n，则扩张E/F称为非分歧的，这个条件等价于有E=F（a），其中a是首一多项式f（x）∈O[x]的根，且a~是f~[x]的单根。

2）若e=n，f=1，则扩张E/F称为完全分歧的，这个条件/等价于有E=F（π），其中π在F上的极小多项式为Eisenstein多项式。

3）设F~的特征是p，E~/F~可分，若p不整除e，则称E/F为顺分歧（tamely ramified）；否则就称为是野分歧（wildly ramified）。E/F

是e次完全顺分歧扩张iff E=F（π^(1/e))，其中π是F的素元且p不整除e.

对于分歧性，实际上还是更加精细的刻画，比如可以定义一般n 阶分歧群，具体请参考Serre的名著[4].

下面我们把上面关于元素的微分与判别式定义在理想上，先定义理想的范映射，由于在Dedekind整环内的理想有素理想分解，因此一般就只要在素理想上讨论。假若B的素理想Q卧上于A的素理想P，可定义其范数理想为

N（Q）=P^f （f就是上面定义的剩余类次数）

先看判别式的定义，一般L的理想I的判别式D（I)可定义为所有D(a_1,…,a_n)生成的理想，其中各a_i∈I. 若I是B的分式理想，则D（I）=N（I）^2 D（L/K)

其中N是L到K的范。

微分的定义要稍微复杂一下，一般是先要考虑补集的概念。对L 的子集M，先定义M的补集或上微分（codifferent）为

M*={x∈L；Tr（xM）∈A}}

这样（B*）^(-1)就称为L/K（或B/A)的微分，可以记作d. 这样的定义的微分与元素的微分有什么关系呢？假若M=A[a]，f是a在K内的教小多项式，那么其微分d=（M*）^(-1)=（f'(a)），其中f’(a)恰恰就是元素a的微分。

对于理想的微分，我们有下列特征等价条件：设I与J分别为A 与B的分式理想，则

Tr（J）包含于I iff J包含于Id^(-1)

同时关于元素的微分与判别式的关系，在这里也同样得到保留，即有D=N（d），它可以推出判别式D∈A.

利用微分或者判别式，我们可以判定素理想的分歧性问题。设Q 是B的素理想。P=Q∩A，则

L/K在Q上非分歧iff Q不整除微分d iff P不整除判别式D

它的一个重要推论就是分歧的素理想最多只能是有限多个。

由数到理想的推广实际上是代数数论的发展思想，在[2]中更是敏锐的指出了它与代数数论两大基本定理之间的联系。怎样由数生成理想呢？最简单的方法就是由K上的元素直接生成主分式理想，由此