大学数学《微积分BI》第2章 导数与微分知识点汇总

解 据左右导数定义
f
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x0 1。 x
f
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x 0 1 。 x x0
因为左右导数不相等，所以函数在 x 0 处的导数不存在。
四、导数的几何意义
（一）导数的几何意义
导数
f (x0 ) 表示曲线
y
f (x) 在点 x , 0
x
x
(x ) lim (x h)
x
(1 h) lim x 1 x
1
lim x 1
h x
x 1 。
h0
h
h0
h
h0
h
x
x
（三） 三角函数的导数
例 4 按导数定义证明： (sin x) cos x ， (cos x) sin x 。
证明 由导数定义
(sin x) lim sin(x x) sin x
限贴近直线T ，则称直线T 是曲线 S 在点 P 的切线， P 是切点。
切线定义：设定点 P 、动点 Q 都在曲线 S 上，T 是某直线。如果当| QP | 0 时，割线
PQ 与直线T 的夹角 趋于零，即
lim 0 ，
|QP|0
则称直线T 是曲线 S 在点 P 的切线， P 是切点。
切线斜率求法：设曲线 S 的方程为 y f (x) ，如图示。那么割线 PQ 的斜率是
x x0
x x0
x0
x
存在，则称该极限为 f 在 x0 的右导数，记作 f (x0 ) ；类似定义左导数 f (x0 ) 。
（三）导数与左右导数的关系
在§1.3 的“极限与左右极限的关系”中，我们把“极限、左极限、右极限”分别换成 “导数、左导数、右导数”，得
（1） f (x0 ) A f (x0 ) f (x0 ) A ； （2） f (x0 ) 存在 f (x0 ) 与 f (x0 ) 都存在且相等。
令 x x0 ，那么极限 （ k 是实数）就是切线的斜率。
f (x) f (x0 ) ， x x0
k lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
我们以图示为例来说明上述结论。记割线 PQ 的倾斜角为 ，那么
tan f (x) f (x0 ) ， x x0
记 k tan ，作直线T 过点 P ，使其倾斜角为 ，那么直线T 与割线 PQ 的夹角 满足
x0
x
2sin x cos(x x)
lim
2
2
x0
x
lim cos(x x) cos x 。
x0
2
类似可证 (cos x) sin x 。
（四） 指数函数的导数
例 5 按导数定义证明： (ax ) ax ln a (a 0, a 1) 。
证明 因为
ex 1 x (x 0) ，
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（四）导函数
若函数 f 在区间 I 的每一点都可导（在端点指单侧导数），则称函数 f 在区间 I 可导； 把函数 f (x) ， x I 叫做 f 在区间 I 的导函数。导函数可表示为：
f (x) ， y ， dy ， df (x) 。 dx dx
三、求导数举例
（一） 常值函数的导数
例 1 按导数定义证明：若 f (x) C （常数函数），则 f (x) 0 。
f (x0 ) ， y
x x0
， dy dx
， df (x)
x x0
dx
。
x x0
若上述极限不存在，则称 f 在点 x0 不可导；如果不可导的原因是极限为 ，为方便起
见，也说导数是无穷大。
（二）左导数、右导数
定义 2 设函数 f 在[x0, x0 ) 有定义，若极限
lim f (x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 )
那么极限
故 T 是切线。
arc tan f (x) f (x0 ) ， x x0
lim lim arc tan f (x) f (x0 )
|QP|0
x x0
x x0
arc tan k 0 ，
评注 可以类似说明，当 k 时，直线 x x0 就是切线。
h0
h
Cnnhn ) xn
lim h0
Cn1 xn1 Cn2 xn2h
Cnnhn1
Cn1 xn1 nxn1 。
例 3 按导数定义证明： (x ) x1 ，其中 是实数。
证明 幂函数的定义域与常数 有关，以下设 x 总在定义域内且 x 0 ，注意到
由导数定义得
(1 h) 1 h (h 0) ，
由导数定义得
(ax ) lim axx ax lim ax ax 1
x0 x
x0
x
lim ax (exlna 1) lim ax (x ln a)
x0
x
x0
x
ax ln a 。 评注 特别有 (ex ) ex 。
（五） 不可导函数一例
例 6 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的导数。
f
(x0 ) 处切线的斜率；如果函数
f
在点 x0 的
导数是无穷大，那么曲线
y
f
(
x)
在点
x 0
,
f
( x0
) 处具有垂直于 x 的切线 x
x0 。
（二）曲线的切线方程与法线பைடு நூலகம்程
过切点且与切线垂直的直线叫做法线；记 y0 f (x0 ) 。据导数的几何意义知
曲线 y f (x) 在点 (x0 , y0 ) 的切线方程是
证明 由导数定义得
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f (x) lim f (x x) f (x) lim C C 0 。
x0
x
x0 x
（二） 幂函数的导数
例 2 按导数定义证明： (xn ) nxn1 ， n N 。
证明 由导数定义
(xn ) lim (x h)n xn
h0
h
lim (xn Cn1xn1h
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二、导数的定义
（一） 函数在某点的导数
定义 1 设函数 y f (x) 在点 x0 的某邻域有定义。若极限
lim f (x) f (x0 ) ，或 lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x x0
x0
x
存在，则称 f 在点 x0 可导，该极限叫做 f 在点 x0 的导数，记为
第二章 导数与微分
微分学是高等数学的重要内容，包括求导运算和微分运算，其应用十分广泛。求导运算 是高等数学中的基本运算，微分运算在以后的不定积分和定积分理论中也会十分有用。
§2.1 导数概念
一、切线及其斜率
切线概念： 如图，设点 P 在曲线 S 上， T 是某直线。如果当 Q P 时，割线 PQ 无