大学物理习题及解答振动与波波动光学

1． 有一弹簧,当其下端挂一质量为m 的物

体时,伸长量为9、8 ⨯ 10－2 m 。若使物体

上下振动,且规定向下为正方向。(1)t = 0

时,物体在平衡位置上方8、0 ⨯ 10－2 m 处,

由静止开始向下运动,求运动方程。(2)t =

0时,物体在平衡位置并以0、60 m/s 的速

度向上运动,求运动方程。

题1分析:

求运动方程,也就就是要确定振

动的三个特征物理量A 、ω,与ϕ。 其

中振动的角频率就是由弹簧振子系统的固

有性质(振子质量m 及弹簧劲度系数k )决定

的,即m k /=ω,k 可根据物体受力平衡时弹簧

的伸长来计算;振幅A 与初相ϕ需要根据初

始条件确定。

解:

物体受力平衡时,弹性力F 与重力P 的大小

相等,即F = mg 。 而此时弹簧

的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。 则弹簧

的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。 系统作简谐运动

的角频率为 1

s 10//-=∆==l g m k ω

(1)设系统平衡时,物体所在处为坐标原点,

向下为x 轴正向。 由初始条件t = 0

时,m x 210100.8-⨯=,010=v 可得振幅

m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ;应用旋转矢量法可

确定初相πϕ=1。则运动方程为

])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x

(2)t = 0时,020=x ,120s

m 6.0-⋅=v ,同理可得m

100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A , 2/2πϕ=;则运动方程为

]5.0)s 10cos[()m 100.6(1

22π+⨯=--t x

2.某振动质点的x －t 曲线如图所示,试

求:(1)运动方程;(2)点P 对应的相位;(3)到达

点P 相应位置所需要的时间。

题2分析:

由已知运动方程画振动曲线与由振动曲

线求运动方程就是振动中常见的两类问题。

本题就就是要通过x －t 图线确定振动的三

个特征量量A 、ω,与0ϕ,从而写出运动方程。

曲线最大幅值即为振幅A ;而ω、

0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出,一般采用旋转

矢量法比较方便 。

解:

(1)质点振动振幅A = 0、10 m 。 而由振动

曲线可画出t = 0与t = 4s 时旋转矢量,如图所

示。 由图可见初相）或3/5(3/00πϕπϕ=-=,

而由()3201ππω+=-t t 得1s 24/5-=πω,则运动

方程为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3s 245cos )m 10.0(1ππt x

(2)图(a)中点P 的位置就是质点从A /2处运

动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如

图所示。 当初相取3/0πϕ-=时,点 P 的相

位为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t )。

(3)由旋转关量图可得3)0(P πω=-t ,则

s 6.1P =t

0)0(P 0P =-+=t ωϕϕ(如果初相取3/50πϕ=,

则点P 相应的相位应表示为

π

ωϕϕ2)0(p 0P =-+=t

3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。第一

个质点的运动方程为)cos(1

ϕω+=t A x ,当第一个质

点自振动正方向回到平衡位置时,第二个

质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢

量图表示它们,并求第二个质点的运动方

程及它们的相位差。

题3、解:图为两质点在特定

时刻t 的旋转矢量图,OM 表示

第一个质点振动的旋转矢

量;ON 表示第二个质点振动的

旋转矢量。 可见第一个质点振动的相位比

第二个质点超前2/π,即它们的相位差2/πϕ=∆。

第二个质点的运动方程应为

)2cos(2πϕω-+=t A x

4.波源作简谐运动,其运动方程为

t y )s 240cos()m 100.4(13--⨯=π,它所形成的波形以30 m/s 的

速度沿一直线传播。(1)求波的周期及波长;(2)

写出波 动方程。

解:(1)由已知的运动方程可知,质点振动的

角频率1s 240-=πω。根据分析中所述,波的周期就

就是振动的周期,故有

s 1033.8/23

-⨯==ωπT

波长为

m 25.0==uT λ

(2) 将已知的波源运动方程与简谐运动

方程的一般形式比较后可得

s 240m 100.4013==⨯=--ϕπω，，A

故以波源为原点,沿x 轴正向传播的波的

波动方程为 ()[]

])m 8()s 240cos[()m 100.4(cos 1130x t u x t A y ----⨯=+-=ππϕω

5.波源作简谐振动,周期为s 100.12-⨯,以它经

平衡位置向正方向运动时为时间起点,若此

振动以u = 400 m/s 的速度沿直线传播。求:(1)

距离波源8、0 m 处质点P 的运动方程与初

相;(2)距离波源9、0 m 与10、0 m 处两点的

相位差。

解:在确知角频率

1s 200/2-==ππωT 、波速1s

m 400-⋅=u 与初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下,波动方

程 ]2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y

位于 x P = 8、0 m 处,质点P 的运动方程为 ]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y