§2.2 运动方程式的建立

对具有集中参数的旋转电机，运动方程通常有两部分组成：一组是电路方程，也就是系统的电压方程；另一组是机械方程，也就是系统的转矩方程。

建立运动方程的方法通常有三种：
(1)动态耦合电路法；
(2)变分原理法；
(3)传统法；
由于传统法在前面几章里已经介绍，所以本节仅说明前两种方法。

一、动态耦合电路法
这种方法就是把处于运动状态的机电系统作为一个动态电路来看待。

这样，利用基尔霍夫定律就可以列出系统的电压方程，
利用牛顿定律或达朗贝尔原理，就可以列出系统的转矩方程。

由于机电系统是一种动态电路，所以于一般的静止电路相比较，所建立的电压方程中出现一项有机械运动引起的感应电势，
另外，于一般的纯机械相比较，转矩方程中多出一项电磁起因的
转矩项，总之，在运动方程中多出一项机电耦合项，运动电势可
以由法拉第电磁定律导出，电磁转矩可以用虚位移法和能量守恒
原理导出。

下面以双边激励的机电系统为例，建立起运动方程。

对于图所示的双边激励的机电装置，电路方程包括定子绕组和转子绕组两个电压方程。

在线性情况下，根据基尔霍夫定律和法拉利电磁感应定律可知，
()()[]()()
d dL dL di di dt
d
i
i
L
L
R i i L i L R i u θθθ12112121121111212111111++++=++= ()()[]()()
dt
d d dL d dL dt
di dt
di dt
d
i
i
L
L
R i i L i L R i u θθ
θ
θθ22112121221222222112222++++=++=
式中1u ，2u 为定子和转子绕组的端电压；
1i ，2i 为定转子电流； 1R ，2R 为定子和转子的绕组。

这两个式子中含有dt d θ
的项就是转子旋转引起的运动电势项。

若m T 为电磁转矩，l T 为轴上的负载转矩，ΩR 为旋转阻力系数，J 为转动部分的转动惯量，则根据牛顿运动定律，转矩方程为
dt
d dt d l m R J
T T θθ
Ω+=-2
2
Ф
其中 θ
θθd dL
d dL d dL m i i i i T 22
12
11
2221212121++= 二、 为分原理法
动态耦合电路法是用电学，力学的基本定律和能量守恒原理列出系统运动的。

从数学物理方法上来看，他们是一组有关系统微增变化的“微分原理”作为出发点的，另外一种方法是，通过求出系统的某个特定状态函数的积分函数（范函）极值，来确定机电系统的运动方程，这种方法叫做变分原理法。

变分原理法是从联系机电系统的总体运动的“几分原理”作为出发点的。

变分原理法的优点是通过变分原理，可以自动导出运动方程的机电耦合向。

另外，处理问题的步骤比较单一和系统化，缺点是物理上不太直观，不易于较快的动产系统的内部关系。

通常公认的基本积分原理是汉密尔顿原理，它既适合于力学系统，又适用于电学系统，是个比较普遍的原理，对分析机电系统十分有用。

先介绍一下广义坐标的概念。

广义坐标 从动力学的观点来看，可以把物理系统看成是有许多互相连接并受到一定约束的质点或元件所组成，对于静力学系统，可以用称为“坐标”的量来描述系统的即时状态。

但对于动力学系统，除坐标外，还要加上坐标的导数，即速度，才能完整地描述一个系统。

坐标和速度两者，就成为系统的动力学变量。

一个系统的动力变量不能全部任意选定，因为他们可能不全是独立的，究竟有多少个独立变量，取决于系统的约束条件。

若系统的自由度位N ，就可以有N 个坐标，这一最低数目的独立坐标，就称为广义坐标，广义坐标通常用j q 表示，,2,1),(==j t q q j j ……‚N. 广义坐标的导数就称为广义
速度，用'j q 表示，机电系统的即时状态，就有该时刻的N 个广义坐标和N 个广义速度所确定。

拉格朗日状态函数
机电系统的储能是一个状态函数。

系统的储能可以分为动能（动共能）和位能两类。

对于机械系统，动能就是指物体运动时期中所储存的与速度有关的能量，根据动力学可知，物体的动能
对于平移运动为 221
x
M T '= 对于旋转运动为 22
1θ'=J T 式中 M 为物体的质量；
J
为物体的转动惯量。

位能就是指物体内储存的仅与位置有关的能量，例如受压的弹
簧，其位能为
K
x V 2
2
1= 式中K 为弹簧的弹性系数
对电磁系统，若选择电荷q 作为点的广义坐标，电流i 作为广
义速度，则因电容器内部储存的能量（电场能量）仅与q 有关，故可
作为位能，即()C
q
c W V 2
21== 相应的，因电感内储存的（磁场储能）与电的广义速度有关，故可作为
动能，即()22
1221q L Li W T m '===
总之，不论是机械系统还是电磁系统，位能仅为广义坐标的函数，
动能仅为广义速度的函数，有时也于广义坐标有关。

若系统为线性，用动能T 减去位能V 所定义的状态函数，就成为拉格朗日状态函数，用L 表示，即L=T-V
式中 T 为机电系统的总动能，包括机械系统的动能和电磁系统的磁场储能；
V 为机电系统的总位能，包括机械系统的位能和电磁系统的电场储能；
一般来讲，拉格朗日状态函数L 是广义坐标，广义速度和时间三者的函数，即()()()t q V t q q T t q q L ,,,,,-'='
若系统为非线性，需引进动共能T '此时拉格朗日状态函数定义为
V
T L -'=
汉密尔顿原理和拉格朗日方程
机电系统的运动方程可用不同的方法建立，但是，无论运动方程怎样推导，一个机电系统的仅能有一条动力路线来描述。

汉密尔顿原理的含义是：做 拉格朗日状态函数在时间 和 之间的积分I:
⎰=2
1t t Ldt I
对于保守系统，有状态函数L 所描述的系统的真正（实际）动力路线，是使 的变分为零，亦即使I 达到极值时所确定的路线。

根据变分原理，若N 个坐标均为独立变量（即为广义坐标），则积
分达到极值的条件是0=-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂'∂∂k
k
L q L d ,2,1=k ……N
上式就是拉格朗日方程，实际上是一个方程组，他有N 各方成组成，其中n 个是电路方程，m 个是机械系统的方程。

所以，汉密尔顿原理的结论是：机电系统的实际运行路线由拉格朗日方程（一组微分方程
组）所确定。

进一步分析不难看出，若动能仅是广义速度的函数，则k
q L ∂∂- 实质上
是与系统的位能所对应的广义力， 则⎪⎭
⎫ ⎝
⎛'∂∂k
q L dt d 是广义的惯性力。

所以，
拉格朗日方程的实际含义是：保守系统在动力平衡时，作用在第k 个坐标上的广义力的总和恒等于零。

不难看出，从动力学方面来看，这恰好与达朗贝尔原理一致，从电路方面来看，这恰好与基尔霍夫定律一致。

三、 推广到非保守系统的拉格朗日方程
实际系统均为非保守系统，因为系统内部既有损耗，例如机械运动时的摩擦损耗和电阻上的电损耗等，系统的各个端口可能加有各种非保守力（即局外力），例如电端口可能有外加电源，机械端口（例如转轴）上可能有外加转矩等。

为考虑机械损耗和点损耗的影响，可以引进随广义速度qk 的平方 而变化的瑞利损耗函数Fr,即
Fr=½∑Rkqk ²
其中Rk 为损耗系数。

Fr 的因次为功率，等于整个系统损耗的功率 （包括机械损耗，亦包括电损耗）的一半。

相应地，第k 个端口的广义为dFr/dqk=Rkqk.
再设作用在第k 个端口上的非保守力（电系统的外加电源电压，机 械系统的外加驱动转矩等）Qk.则根据达郎贝尔原理和基尔霍夫定律， 系统达到动力平衡时，要求所有作用力（包括非保守力）的总和等 于零，于是可得系统的动力平衡方程为
d/dt(dL/dqk)-dL/dqk=Qk-dFr/dqk
上式的右端项为加于第k的端口的一切非保守力。

该式即为推广到
非保守系统的拉格朗日方程。

上式说明，对非保守系统，保守的拉格朗日函数依然有效，只要把
非保守力考虑进去，并对原来的拉格朗日方程加以修正即可。

这样
做，实质上相当于先把系统的非保守部分移出，把系统作为保守系统
处理，然后加以修正。

归结起来，利用变分原理导出系统运动方程的步骤是：
（１）选择广义坐标
（２）用广义坐标和广义速度写出系统的动公能T’和位能V，并进一步列出拉格朗日状态函数L=T’-V
（３）确定损耗函数Fr,以及有外部能源所产生的非保守力Qk （４）代入非保守系统的拉格朗日方程
下面举1个例子加以说明。

例１试导出双边激励电机系统的运动方程（磁路设为线性）。

解：（1）系统公有3个广义坐标，其中2 个属于电磁系统（k=1，2）。

一个属于机械系统（k=3）
（2）系统的动能，位能和拉格朗日函数
动能 T=Wm+1/2Jθ²=1/2L11i1²+L12i1i2+1/2L22i2²+1/2Jθ²
位能 V=0
拉格朗日函数 L=T-V
（3）损耗函数
Fr=1/2R1i1²+1/2R2i2²+1/2RΩθ²
（５）代入非保守系统的拉格朗日方程 d/dt(dL/dqk)-dL/dqk+dFr/dqk =Qk对于定子电路（k=1）
dL/dq1=0θ
d/dt(dL/dq1)=d/dt(dL/dl1)=L11di1/dt+L12di2/dt+(i1dL11/dθ
+i2dL12/dθ)d/dt
dFr/dq1=dFr/di1=R1i1
Q1=u1
故可得定子电路的电压方程为
L11di1/dt+L12di2/dt+(i1dL11/dθ+i2dL12/dθ)dθ/dt+ R1i1= u1
同理，转子电路（k=2）的电压方程为
L21di1/dt+L22di2/dt+(i1dL12/dθ+i2dL22/dθ)dθ/dt+ R2i2= u2
对于机械系统(k=3)的转矩方程为
JdΩ/dt+RΩ=(1/2i1²dL11/dθ+i1i2dL12/dθ+1/2i2²dL22/dθ)-Tl
下一节。