高考数学椭圆的几何性质
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解61---椭圆及其性质
高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——椭圆 第一课时 椭圆及其性质
索引
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角形， r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)
2c＝
23，短轴长
2b＝12，离心率
e＝ac＝
3 2.
索引
5.(易错题)已知椭圆x52＋ym2＝1(m>0)的离心率 e＝ 510，则 m 的值为___3_或__2_3_5___.
解析 若 a2＝5，b2＝m，则 c＝ 5－m.
由ac＝ 510，即
5－m＝ 5
510，解得 m＝3.
若 a2＝m，b2＝5，则 c＝ m－5.
索引
法二(定义法) 椭圆2y52＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)，即 c＝4. 由椭圆的定义知,2a= （ 3-0）2+（- 5+4）2+ （ 3－0）2+（- 5－4）2，解 得 a＝2 5. 由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
索引
3.设点 P 为椭圆 C：xa22＋y42＝1(a>2)上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，且
43 ∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为____3____.
解析 由题意知，c＝ a2－4.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2 a2－4， ∴|F1F2|2 ＝ (|F1P| ＋ |PF2|)2 － 2|F1P|·|PF2| － 2|F1P|·|PF2|cos 60°＝ 4a2 － 3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
高考数学专题复习：椭圆
高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅= ，且2PQ = ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =（1）若k ≤ （2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
2020高考数学复习专题61 椭圆的几何性质(解析版)
因为 x0 , y0 0 ，所以 x0 2, y0 1 ．
因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) ．
②因为三角形 OAB 的面积为 2 6 ，所以 1 ABOP 2 6 ，从而 AB 4 2 ．
7
2
7
7
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
由（*）得
x1,2
24 x0
＋c＝0)． 可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
3．设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](k 为直线 斜率)或 （1＋k12）[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)．
∴e＝ 6. 3
4.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有 b＝c，此时可求得离心率 e＝c＝ a
c ＝ c ＝ 2；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为 m，故有 2c＝m,2a＝(1 b2＋c2 2c 2
所以椭圆的标准方程为
x2 4
2
2
2
3.若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的
垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是____.
【解析】 由题意知，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即点 F 到点 P 与到点 A 的距离
因为圆 O 的直径为 F1F2 ，所以其方程为 x2 y2 3 ．
高考椭圆大题知识点公式
高考椭圆大题知识点公式椭圆是初中数学中的一个重要的几何概念，它也是高考中常见的题型之一。
椭圆的性质和计算方法在高考中一直以来都是考察的重点，掌握了椭圆的知识点和公式，对于解答相关题目有着至关重要的作用。
本文将详细介绍高考椭圆大题的知识点和公式。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以用一个特定的平面曲线来描述，它是一个离心率小于1的闭合曲线。
椭圆有两个特殊的焦点和一个长轴和短轴。
在求解椭圆的相关题目时，我们需要了解椭圆的四个基本性质：离心率、焦半径、焦距和准线。
2. 椭圆的方程和标准方程对于给定的椭圆，我们需要根据已知条件求解其方程。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是与椭圆的离心率相关的关键概念。
根据椭圆的标准方程，椭圆的焦点分别位于椭圆的长轴两侧，并与中心坐标的y坐标有一定的关系。
在求解与焦点相关的问题时，我们需要根据给定条件确定焦点的坐标和与焦点相关的长度。
4. 椭圆的参数方程和切线方程椭圆的参数方程是描述椭圆上任意一点的坐标与参数的关系。
根据椭圆的参数方程，我们可以求解椭圆上特定点的坐标，并进一步求解与椭圆相关的问题。
另外，椭圆的切线方程是求解椭圆上某一点的切线斜率和方程的重要手段。
5. 椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是解答椭圆相关题目时常见的考点。
椭圆的面积公式为πab，其中a是椭圆的长轴半径，b是椭圆的短轴半径。
椭圆的周长公式是2π√(a²+b²/2)。
6. 椭圆在平面几何中的应用椭圆不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活和工程领域中有着丰富的应用。
椭圆的轨迹和焦点特性在天体运动、建筑设计、电子工程等领域有着广泛的应用。
通过了解椭圆的应用，我们可以更好地理解椭圆的几何性质和相关计算方法。
高考椭圆的知识点
高考椭圆的知识点高考数学中关于椭圆的知识点主要包括以下几个方面：1、椭圆的定义：椭圆是平面内到两个固定点（焦点）的距离之和为定值（大于两焦点间距离）的所有点的轨迹。
2、椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时，标准方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a > b > 0)，(h, k)是椭圆中心的坐标。
当焦点在y轴上时，标准方程为：(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1，同样a>b>0，(h, k)为椭圆中心坐标。
3、参数形式：椭圆还可以用参数方程表示，例如：x = a * cosθ + h，y = b * sinθ + k。
4、基本性质：长半轴a和短半轴b决定了椭圆的形状和大小，离心率e = c/a（c为焦距的一半），范围在0 < e < 1。
椭圆的面积公式S = πab。
焦点与长轴、短轴的关系：焦距|F1F2| = 2c，长轴长2a，短轴长2b，有关系式a^2 = b^2 + c^2。
5、几何性质：焦点弦性质、通径（过焦点垂直于长轴的弦）、共轭直径等。
与圆锥曲线相关的光学性质，如反射定律等。
6、解题方法：利用定义求解有关焦点、焦半径等问题。
根据给定条件确定椭圆的标准方程，通常采用待定系数法。
计算椭圆上的点与焦点或准线的距离，以及运用离心率解决相关问题。
7、离心率的应用：离心率常作为约束条件出现在题目中，用来求解椭圆方程或者判断椭圆形状。
8、交点问题：椭圆与其他图形（直线、圆、抛物线等）相交时求交点坐标及相关长度、面积计算。
高考中的椭圆题目类型多样，包括但不限于以上知识点，要求考生能够灵活运用椭圆的基本概念、性质及方程来解答不同难度的问题。
新高考数学复习基础知识专题讲义43 椭圆(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离． 五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一 椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==， 由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=， 由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二 椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥， 即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤． 【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->． 解不等式得22m -<<．考向四 弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________． 【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度． 【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=， 即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五 离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==； 当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==； 故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（ ）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点， 设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点， 所以24PF OQ '==， 由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =， 故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（ ） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（ ）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（ ） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（ ）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==． 故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________． 【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心， 故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-． 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠， 故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=， 则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =． 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==， 由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 有12122269,4343t y y y y t t --+==++， 由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。
高考数学总复习——椭圆课件
椭圆中的最值问题
运用基本不等式
解决椭圆中的最值问题时，可以运用基本不等式，通过合理转化，将问题转化为 容易处理的形式。
椭圆中的最值问题
数形结合
结合椭圆的几何图形，将问题转化为几何问题，利用几何性质求解最值，是解决这类问题的常用方法 。
椭圆中的最值问题
代数运算
02
01
在解决椭圆最值问题时，需要进 行一些代数运算，如配方、换元
2018年高考数学全国卷Ⅱ 椭圆题目：已知椭圆C的中 心在原点，焦点在x轴上， 椭圆C上的点P到焦点的距 离和为12，点P的横坐标是 3，且过点P作短轴的垂线
，垂足Q的轨迹为圆C。
01
2019年高考数学全国卷Ⅲ 椭圆题目：已知椭圆C的中 心在原点，焦点在x轴上， 椭圆C上的点P到焦点的距 离和为10，点P的横坐标是 4，且过点P作短轴的垂线
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是 $left{ begin{array}{l} x = a cos theta y = b sin theta end{array} right.$，其中 $theta$ 是参数。
该方程通过三角函数将椭圆上的点与角度 $theta$ 关联起来，方便进行角度和距离 的计算。
高频考点总结与预测
总结
通过对近五年高考真题的分析，可以发现椭 圆的离心率的计算、直线与椭圆的交点以及 弦长问题等知识点是高频考点。同时还需要 注意椭圆的几何意义和性质的应用。
预测
根据高频考点的规律和趋势，预测未来高考 中可能会出现的考点包括椭圆的切线问题、 椭圆的参数方程以及椭圆的对称性等知识点 。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
高中数学椭圆高考知识点
高中数学椭圆高考知识点高中数学是学生们备战高考的重要科目之一，而椭圆作为其中的一个重要知识点，对于学生们来说也是不容忽视的。
在高考数学中，椭圆是一个常见的题型，涉及到方程、焦点、离心率等多个概念。
下面将对椭圆的相关知识点进行深入讨论。
椭圆是圆锥曲线的一种，其定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
这两个定点被称为焦点，2a表示椭圆的长轴的长度。
椭圆的几何性质表明，任意一点到F1和F2的距离之和等于2a，这就是椭圆的焦点定义。
椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴的长度，同时满足a>b>0。
当椭圆的长轴与x 轴平行时，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b；当椭圆的长轴与y轴平行时，长轴的长度为2b，短轴的长度为2a。
除了标准方程外，椭圆还可以用参数方程和极坐标方程表示。
参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数；极坐标方程为r = a*b/sqrt((a*sinθ)^2 + (b*cosθ)^2)，其中r和θ分别表示极径和极角。
椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的指标，定义为焦距与长轴的比值。
离心率的取值范围在0到1之间，当离心率接近于1时，椭圆形状趋于扁平；当离心率接近于0时，椭圆形状趋于圆形。
离心率e的计算公式为e = c/a，其中c表示焦距的长度。
椭圆的重要性质之一是关于焦点和直线的性质。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，其到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 +PF2 = 2a。
此外，对于给定的直线L，过椭圆上的任意一点P的切线L'与L的交点O为焦点F1和F2连线的中点。
椭圆的方程与焦点和直线的性质在高考数学中常常会与其他几何图形进行组合运用，从而提高解题的难度。
例如，考生可能需要结合直线的方程与椭圆的方程，求解方程组并确定椭圆与直线的交点。
此外，还有可能需要通过椭圆的方程确定其离心率，并进一步分析椭圆的形状。
高考数学复习课件：椭圆性质+(共12张PPT)
曲线
椭圆
定义
标准方程
图形
范围
分组讨论并尝试完成表格中的内容 （可参考书P38-P39)
问题 1 ：“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中 的,x,y 取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
问题 2：标准形式的方程所表示的椭圆，如何研究椭圆对称性？有何作用？
问题 3：椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多 少？ a,b,c,,的几何意义各是什么？
问题 4：椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？ 圆的形状都是相同 的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？ 并研究该量对椭圆形状影响的原因？
问题 5：画椭圆草图的方法是怎样的？
新授
• 一 椭圆的几何性质
曲线 定义
标准方程
椭圆
PF1 PF2 2a( F1F2 )
• 本节课我掌握了的数学知识和方法
• 我还有哪些不懂的知识
• 我对学案提出的改进意见
（±c,0）c= a2 b2
0＜ c 1(e c )
a
a
（0，±c）
0＜ c 1(e c )
a
a
例
1
求椭圆
4x2
9
y2
二
36
例题选讲
的长轴长和短轴长、焦点及顶点坐标、
离心率，并思考如何绘制它的草图。
1 化标准方程 2 定位（焦点在x轴或轴上） 3 定量（计算如a ,b , c, e )
图形
范围
|x|≤a，|y|≤b
标准方程 图形
对称轴 对称中心 顶点坐标
x 轴 长轴长 2a y 轴 短轴长 2b
高考数学复习：圆锥曲线
高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23、抛物线中的几何常用结论（1）设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦．①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．（2）过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 【题型1圆锥曲线的定义及应用】容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F 。
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第五节 第2课时椭圆的几何性质
)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5
【解析】选
D.方法一：由于直线
y＝kx＋1
恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则
1 0<m
≤1 且
m≠5，故 m≥1 且 m≠5.
y＝kx＋1， 方法二：由
消去 y 整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
【解析】(1)由题意知 e＝ac ＝21 ，2a＝4.又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝ 3 ，所以椭圆方程为x42 ＋y32 ＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝
第2课时 椭圆的几何性质
第九章 平面解析几何
考点探究·悟法培优
考点探究·悟法培优
考点一 椭圆的几何性质 多维探究
高考考情：椭圆的几何性质是历年高考的重点，其中离心率的求解常出现在小题中，直线与椭圆的交点问题
几乎每年必考，难度较大．
·角度 1 求椭圆的离心率的值(范围) [典例 1](1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜
·角度 2 与椭圆有关的范围(最值)问题 [典例 2]已知椭圆ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(3，0)，离心率为 e.
(1)若 e＝
3 2
，求椭圆的方程；
高考数学一轮讲义：平面解析几何 椭圆
8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ， 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)， 化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。
高考数学公开课——焦半径
小结:
若
F1、F2分别为椭圆
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)的
下焦点、上焦点, P(x0,y0)为椭圆上的点.
则：| PF1 | a ey0;| PF2 | a ey0
作业:完成导学案.
标准方程 图形
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a b 0) b2 a2
椭圆的简单 几何性质
1. 椭圆的第一定义：平面平面内与两个 定点F1、F2的距离的和等于常数（大 于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
2. 椭圆的简单几何性质：
3. 椭圆的第二定义：点M(x,y)与定点F的 距离和它到定直线l的距离的比是常数e (0<e<1) ，则点M的轨迹为椭圆.定点F 叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆相应 于该焦点的准线.
顶点 范围 对称轴 对称中心 焦点坐标 焦距 离心率
准线
(± a,0);(0,±b) －a<x<a,－b<y<b 两个坐标轴 原点（0，0）
(± c,0)
2c
e c a
x a2 c
(± b,0);(0,±a) －a<y<a,－b<x<b 两个坐标轴 原点（0，0）
d1
5 2
(3)求P到直线x=5的距离;
d2 3
Eg2:设P点为椭圆上
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)任
意一点,F1为椭圆的左焦点.求|PF1|
的取值范围.
解:由焦半径公式,得: | PF1 | a ex0 x0 [a, a]