圆：弧弦圆心角圆周角关系经典练习
九年级上册数学弧、弦、圆心角和圆周角练习及答案
九年级上册数学弧、弦、圆心角和圆周角练习及答案1．下列说法中，正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等2．如图24-1-24，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数为()A．50°B．40°C．30°D．25°图24-1-24 图24-1-253．如图24-1-25，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝()A．40°B．50°C．60°D．120°4．如图24-1-26所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°.则∠D＝______.图24-1-26 图24-1-275．在半径为5 cm的⊙O中，60°的圆心角所对的弦长为________cm.6．如图24-1-27，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是________．7．如图24-1-28，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝50°.求∠A的度数．图24-1-288．一个圆形人工湖如图24-1-29所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为()图24-1-29 A ．50 2 m B ．100 2 m C ．150 2 m D ．200 2 m9．如图24-1-30，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，连接BC .(1)求证：OD ＝12BC ； (2)若∠BAC ＝40°，求∠AOC 的度数．图24-1-3010．如图24-1-31，AB 是⊙O 的直径，点C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F .(1)求证：CF ＝BF ；(2)若CD ＝6, AC ＝8，求⊙O 的半径及CE 的长．图24-1-31答案：1．B 2.D 3.C4．28° 5.5 6.105°7．解：∵AB ＝CD ，∴AB ＝AC .∴∠B ＝∠C .又∵∠B ＝50°，∴∠C ＝50°.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝80°.8．B9．(1)证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD .∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB .∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD ＝12BC . (2)解：连接OC ，∵OA ＝OC ，∠BAC ＝40°，∴∠OCA ＝40°.∴∠AOC ＝180°－(40°＋40°)＝100°.10．(1)证明：如图D32，∵AB 是⊙O 的直径，图D32∴∠ACB ＝90°.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°.∴∠A ＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°.∴∠A ＝∠2.又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1＝∠A .∴∠1＝∠2. ∴ CF ＝BF . (2)解：由(1)可知：CD ＝BC ，∴CD ＝BC ＝6.又∵在Rt △ACB 中，AC ＝8，∴AB ＝10，即⊙O 的半径为5.S △ACB ＝AC ·BC 2＝CE ·AB 2，∴CE ＝245.。
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系(含解析)
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）【一】单项选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是〔〕A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC、那么与的数量关系是〔〕A.=B.＞C.＜D.无法确定3.如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是〔〕cm．A.6πB.3πC.2πD.π4.如下图，正六边形ABCDEF内接于圆O，那么∠ADB的度数为〔〕A.60°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，那么四边形ABCD的周长等于〔〕A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，假设∠DAB =58°，那么∠CAB=〔〕A.20°B.22°C.24°D.26°7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，以下结论中不一定正确的选项是〔〕A.∠ACB=90° B.OE=B E C.BD=BC D.△BDE ∽△CAE8.如下图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O 的半径为4cm，MN=4 cm，那么∠ACM的度数是〔〕A.45°B.50°C.55°D.60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，那么∠A EO的度数是〔〕A.51°B.56°C.68°D.78°10.如图，在⊙O中，=，那么AC与BD的关系是〔〕A.AC=BD B.AC ＜BDC.AC＞BDD.不确定【二】填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，那么∠AOE =________°．12.，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，那么弦AB长是________．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，那么此弦所对的圆心角等于_____ ___．14.如图，⊙O中，弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，那么∠A OC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，那么∠AOC________∠BOD、16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．假设MP+NQ=12，AC+BC=15，那么AB的长是_ _______．17.如下图，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，那么∠DOE=36度，的度数为________度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________，与相等的弧有________ ．【三】解答题19.：如下图，AD=BC。
《垂径定理-弧弦圆心角-圆周角》练习
1《圆》练习题（垂径定理, 弧、弦、圆心角, 圆周角）一、选择题1.已知在⊙O 中, 弦AB 的长为8厘米, 圆心O 到AB 的距离为3厘米, 则⊙O 的半径是（ ）A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 8厘米2.半径等于12的圆中, 垂直平分半径的弦长为（ ）A. B. C. D.3.如图1, 在⊙O 中, ∠ABC=50°, 则∠AOC 等于（ ）A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°4.如图2, AB 是⊙O 的直径, ∠ABC=30°, 则∠BAC =（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5.如图3, △ABC 内接于⊙O, 连结OA.OB, 若∠ABO ＝25°, 则∠C 的度数为（ ）．A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°6.如图4, 四边形ABCD 内接于⊙O, 若它的一个外角∠DCE=70°, 则∠BOD=( )A. 35°B.70°C. 110°D.140°7、如图5, △ABC 内接于⊙O, AD ⊥BC 于点D, AD=2cm, AB=4cm, AC=3cm, 则⊙O 的直径是（ ）A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm8、如图6, BD 是⊙O 的直径, 圆周角∠A = 30(, 则∠CBD 的度数是（ ）A. 30(B. 45(C. 60(D. 80(9、如图7, AB 为⊙O 的直径, C ．D 是⊙O 上的两点, ∠BAC=30º, AD=CD, 则∠DAC 的度数是（ ）A. 30ºB. 60ºC. 45ºD. 75º10、圆内接四边形ABCD 中, ∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是（ ）A. 1∶2∶3∶4B. 1∶3∶2∶4C. 4∶2∶3∶1D. 4∶2∶1∶3AB O C图1 图2 O 30D B C A O D CBA 图3 图4图6图7图52二、填空题11.如图8, ∠A 是⊙O 的圆周角, ∠A=40°, 则∠OBC 的度数为_______.12.如图9, AB 是⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上∠AOD=130°, BC ∥OD 交⊙O 于C, 则∠A= .13、如图10, ⊙O 的直径AB=8cm, C 为⊙O 上的一点, ∠BAC=300, 则BC= .14、如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .三、解答题: 15、.如图, AB 、CD 是⊙O 的两条弦, 延长AB 、CD 交于点P, 连结AD 、BC 交于点E ． , , 求 的度数．16.如图所示, AB 是⊙O 的一条弦, OD ⊥AB , 垂足为C, 交⊙O 于点D , 点E 在⊙O 上。
圆心角、圆周角、弦、弧、弦心距经典训练题
圆的相关知识第一部分姓名：一、圆的定义:（1）在同一平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
（2）线段绕一固定不动的端点旋转一周时另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆，固定不动的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。
（3）综合看成：圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．二、点与圆的位置：关系有三种（点到圆心的距离与圆的半径的数量比较）：（1）点在圆外，这个点到圆心的距离大于半径；（2）点在圆上，这个点到圆心的距离等于半径；（3）点在圆内，这个点到圆心的距离小于半径.。
二、相关概念：（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
（2）优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；（3）劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）（4）半圆（弧）：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（5）弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦；（6）弦心距：圆心到弦的距离。
（7）圆心角：顶点在圆心，两边为半径所组成的图形；（8）圆周角：顶点在圆上，两边为弦组成的图形。
（9）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
（10）等圆：能够重合的两个圆（即半径相等的两个圆）叫做等圆。
（11）等弧：在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫做等弧三、圆心角定理：（1）圆心角的度数等于它所对弧的度数；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等，所对的圆周角相等。
（3）简单地说：知一则知四。
即同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．四、圆周角定理：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（2）圆周角等于同弧所对圆心角的度数的一半。
（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角，反之90°的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
(完整word版)弧,弦,圆心角的关系练习题
弧，弦，圆心角的关系练习题1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________2。
△ABC 中,∠C=90°,AB=cm 4，BC=cm 2,以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________;3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD,AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。
4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠EFO= °。
5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC,那么下列说法中正确的是（ ）A. AB=BCB. AB=2BCC 。
AB ＞2BCD 。
AB<2BC6.、AB 为⊙O 的直径,C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5,则∠AOC= °,∠COD= °，∠DOB= °.7。
在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。
8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ；②＝;③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有( )．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证：．10。
已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。
求证:∠OBA=∠OCD 。
11。
已知：如图,∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
弦、弧、圆心角、圆周角习题课
9.BC为 9.BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点, 的直径,AD⊥BC于点 于点D,P是弧 上的一动点 是弧AC上的一动点, 连结PB分别交 、AC于点 分别交AD 于点E 连结PB分别交AD、AC于点E，F。 当弧PA=弧AB时 求证：AE=BE； （1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE； 当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。 （2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
当堂训练
6.如图： 6.如图：我市路桥公司准备新建一座石 如图 拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（ 拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所 对的弦的长） 40m，拱高（ 对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点 到弦的距离） 8m.求桥拱的半径 求桥拱的半径. 到弦的距离）为8m.求桥拱的半径.
当堂训练
7.如图所示， 7.如图所示，残破的轮片上弓 如图所示 形的弦AB=50cm, CD=5cm,求原 AB=50cm,高 形的弦AB=50cm,高CD=5cm,求原 来轮片的直径是多少？ 来轮片的直径是多少？
当堂训练
2.如图， 的中点， 2.如图，D是 如图 的中点，与 相等的角有（ ∠ABD 相等的角有（ B ） A 、7 个 B 、3 个 C 、2 个 D 、1 个
当堂训练
3.如图，AB是 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P. 如图 的直径， CD⊥AB于 已知CD=8cm CD=8cm， 的半径. 已知CD=8cm，∠B=300.求⊙O的半径.
6.在足球比赛场上,甲、乙两名对员互相配合向对方 6.在足球比赛场上 在足球比赛场上, 球门MN进攻 当甲带球攻到球门前处时, 进攻, 球门MN进攻,当甲带球攻到球门前处时,乙已跟随 冲到B 这里甲是选择自己攻门好, 冲到B点.这里甲是选择自己攻门好,还是迅速将球 传给乙,让乙射门? 传给乙,让乙射门?
圆心角与弧弦的关系专项练习60题(有答案)ok
圆心角与弧弦的关系专项练习60题（有答案）1．如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且．求证：AE=DE．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．3．如图，在⊙O中，AB=CD，求证：AC∥DB．4．如图，在⊙O中，，试比较AB与CD的长度，并证明你的结论．5．已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．6．如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？7．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．8．如图，已知在⊙O中，∠ABD=∠CDB．（1）求证：AB=CD；（2）顺次连接ACBD四点，猜想得到的四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．9．如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于E、F，AE=BF，说明AC=BD的理由．11．已知：⊙O中，OB、OC是半径，DF⊥OC于F，AE⊥OB于E，若AB=CD，求证：AE=DF．12．如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD．13．如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若再增加一个条件，就可使四边形ABCD成为等腰梯形，你所增加的条件是（只写出一个条件，图中不再增加其他的字母和线段．（给出证明）14．如图，D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，C是的中点，CD与CE相等吗？为什么？15．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．求证：=．16．如图，C是的中点，D、E分别是半径OA、OB上的点，且AD=BE．求证：∠CDO=∠CEO．17．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA•PB=PC•PD；（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．18．如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．19．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．20．如图，C是劣弧AB的中点，过点C分别作CD⊥OA，CE⊥OB，D、E分别是垂足，试判断CD、CE的大小关系，并证明你的结论．21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分线，过A，C，D三点的圆与斜边BC交于点E，连接DE．（1）求证：AC=EC；（2）若AC=，△ACD外接圆的半径为1，求△ABC的面积．22．如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．23．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．24．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM．25．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．26．AB、CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB=CD．则以下结论中：①AE=EC、②AD=BC、③BE=EC、④AD∥BC，正确的有_________．试证明你的结论．27．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点．求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF．28．已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC．求证：AB=CD．29．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，点C是的中点．求证：CD=CE．30．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．31．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．32．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．（1）求证：=；（2）求BD的长．33．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．（1）求证：△DEC∽△ADC；（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．34．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD∥OC．求证：．35．如图，⊙O中，=，∠C=75°，求∠A的度数．36．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB=CD．37．⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，若圆的半径为4cm，试求：（1）优弧的长；（2）弦所对的圆周角的度数．38．如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．39．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC=BD．求证：AB=CD．40．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．41．如图，半径为2的半圆O中有两条相等的弦AC与BD相交于点P．（1）求证：PO⊥AB；（2）若BC=1，求PO的长．42．如图所示，在⊙O中，AB与CD是相交的两弦，且AB=CD，求证：．43．如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．44．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．45．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，的度数为40°，过点O作OC∥BE交⊙O于点C，求∠BCO 的度数．46．如图，A、B、C都是⊙O上的点，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：OD=OE．47．如图，在⊙O是中A、B、C、D在圆上，AD=BC．求证：BD=AC．48．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．49．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=BF．50．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB=∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？51．如图所示，⊙O中弦AB=CD，求证：．52．已知：如图，⊙O中弦AB=CD．求证：．53．如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC．54．已知图所示，AB是半圆O的直径，，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．55．如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，判断，，之间的大小关系，并说明理由．56．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．57．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求证：；（2）求证：CE=DF．58．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．59．如图所示，⊙O在△ABC三边截得的弦长相等，∠A=70°，求∠BOC．60．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线交于点P，且DP=OB，若∠P=29°，求弧AC的度数．参考答案：1．方法一：连接AD，∵=∴AC=BD，∴∠BAD=∠CDA，∴AE=BE．方法二：∵=，∴﹣=﹣，=，∴AC=BD在△ACE与△DBE中，∵，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴AE=DE．2．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．3．∵在⊙O中，AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，即=，∴∠ACD=∠BDC，∴AC∥DB（内错角相等，两直线平行）．4．AB=CD．理由如下：∵，∴+=+，即=，∴AB=CD．5．过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．6．△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．7．先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．8．（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC，∴弧AB=弧CD，∴AB=CD；（2）四边形ACBD是等腰梯形．理由如下：如图，连AC，CB，AD，∵弧AD=弧BC，∴AD=CB，∠1=∠2，∴AC∥BD，且AC≠BD，∴四边形ACBD是等腰梯形．9．（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE10．∵OA=OB（同圆的半径相等），∴∠A=∠B（等角对等边）．在△AOE和△BOF 中，，∴△AOE≌△BOF（SAS）…（1分）∴∠AOC=∠BOD（全等三角形对应角相等）．∴AC=BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．11．连接OA、OD，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∵AE⊥OB，DF⊥OC，∴∠OEA=∠OFD=90°，又∵OA=OD，∴△AOE≌△DOF，∴AE=DF．12．∵弦AB=CD（已知），∴=；∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC=∠COD﹣∠BOC，即∠AOC=∠BOD．13．添加的条件为=；证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C=180°；∵=，∴=；∴∠A=∠B；∴∠B+∠C=180°；∴AB∥CD；∵，∴AD=BC；又∵AB＞CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．14．CD=CE，理由如下：（1分）连接OC，∵D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，∴OD=，，∵OA=OB，∴OD=OE，（2分）∵C 是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，（4分）∴△DCO≌△ECO，（5分）∴CD=CE．（6分）故答案为：CD=CE．15．连接AG．∵A为圆心，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，（4分）∴∠DAG=∠EAD，（5分）∴=．（6分）16．连接OC，∵OA=OB，又∵AD=BE，∴OD=OE，又∵∠AOC=∠BOC，∴OC=OC，∴△DOC≌△EOC（AAS）．∴∠CDO=∠CEO．17．（1）连接AD，BC，∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA•PB=PC•PD；（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：OM2=（2）2﹣42=4，ON2=（2）2﹣32=11，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∴OP=．18．连接MO（1分）∵∴∠MOD=∠MOE（4分）又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E∴MD=ME（7分）19．∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC．20．CD=CE…（1分）理由：连接CO．∵C是弧AB 的中点，∴=，∴∠COD=∠COE…（2分），∵CD⊥AO、CE⊥BO，∴∠CDO=∠CEO=90°…（3分），又∵CO=CO…（4分），∴△COD≌△COE…（5分），∴CD=CE…（6分）．21．（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠ECD．∴∠ADC=∠EDC．∴．∴AC=EC．（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，∴AD=1．∴∠ACD=∠ECD=30°，∴∠ACB=60°．在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，又∵AC=，∴S△ABC =×3×=22．连接AC，∵=30°，∴∠1=∠2==15°，∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，∴=2ADC=90°；∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．故答案为：90°，60°．23．：∵AD=BC，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧BD=弧BC+弧BD，即弧AB=弧CD．∴AB=CD24．连接OM、ON，∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD．∵AB=CD，∴OM=ON．∴∠OMN=∠ONM．∵∠AMN=90°﹣∠OMN，∵∠CNM=90°﹣∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．25．∵点C是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC=∠OEC，又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（AAS）．∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE．26．③BE=EC、④AD∥BC；∵AB=CD，∴弧AB=弧CD．∴弧AB﹣弧AD=弧CD﹣弧AD．即弧AC=弧BD．∴∠B=∠C．∴BE=EC．故③正确．由弧AC=弧BD得∠A=∠B，∴AD∥BC．故④正确．27．（1）连接PO，∵，∴∠POC=∠POD．∵C、D分别是半径OA、OB的中点，∴OC=OD．∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO．∴PC=PD．（2）∵△PCO≌△PDO，∴∠PCO=∠PDO．∵OA=OB，∴∠A=∠B．∴∠AEC=∠BFD．∴∠PEF=∠PFE．∴PE=PF．28．∵AD=BC，∴．∴．∴．∴AB=CD．29．∵点C 是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，∴OD=OE=OA；又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）．∴CD=CE．30．连OM，ON，如图，∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO=∠CNO=90°，∵AB=CD，∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．31．连接OE，如图，∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，∴∠BOD=∠DOE，∴BD=DE．32．（1）证明：∵∠1=∠2，∴=，∴+=+，∴=；（2）解：∵=，∴AC=BD，而AC=3cm，∴BD=3cm．33．（1）∵C为劣弧BD的中点，∴=，∴∠DAC=∠BAC，又∠DAC和∠BDC 对的弧都为，∴∠DAC=∠BDC．∴∠BAC=∠BDC，又∠DCA=∠DCA，∴△DEC∽△ADC．（2）由（1）知，△DEC∽△ADC，∴EC：DC=DC：AC．∴DC2=3，DC==BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△BCE中，CE=1，BC=，∴BE=2，∴∠CBE=30°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°，劣弧AD的度数为60°．即∠DCA=30°=∠CAB．∴CD∥AB，且CD≠AB．∴四边形ABCD是上底为DC，下底为AB，高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形．∵AC=AE+EC=3，BC=，根据勾股定理得AB=2，则∠CAB=30°，∴直角三角形斜边AB 边上的高为，∴S梯形ABCD ==．34．连接AC、OD．∵AD∥OC（已知），∴∠DAB=∠COB（两直线平行，同位角相等）；又∵∠CAB=∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DAB=∠CAB（等量代换），∵∠DAC=∠CAB，∠DAC=∠DOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DOC=∠COB（等量代换）∴．35．∵⊙O 中，=，∠C=75°，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°×2=30°36．∵，∴，即：，∴AB=CD．37．（1）弦AB分圆周长为3：7两部分，则分圆心角也为3：7两部分．故优弧的圆心角为360×∴优弧AB==cm；（3分）（2）弦AB所对圆周角也被分成了3：7两部分．弦AB所对圆周角的度数为180°．故分别为54°或126°．38．连接DE，∵DC是圆的直径，∴∠DEC=90°．∵弧EC的度数是40°，∴∠EDC=40°．∴∠ECD=50°．∵CE∥AB，∴∠AOD=∠ECD=50°．∴∠BOD=130°39．∵AC=BD，∴．∴．∴AB=CD．40．AOBC是菱形．证明：连OC∵C 是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．41．（1）证明：连接AD．∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．∵AC=BD，AB=BA，∴△ABC≌△ABD．∴∠BAC=∠ABD，从而PA=PB．∵O是AB中点，∴PO⊥AB；（4分）（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，∴△AOP∽△ACB．∴．∵AB=4，BC=1，∴AC==．∴OP==．42．在⊙O中，∵AB=CD，∴．∴．∴．43．连接AF，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF．∴∠GAE=∠EAF．∴．44．连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，∵在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，∵OD=OE，∴AD=BE，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD=∠BCE．45．连接OE，∵的度数为40°，∴∠BOE=40°，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=（180°﹣40°）÷2=70°，∵OC∥BE，∴∠C=∠1，∵CO=BO，∴∠2=∠C，∴∠1=∠2，∴∠BCO=∠1=∠OBE=35°46．∵，∴∠AOC=∠BOC，又∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（AAS），∴OD=OE．47．∵AD=BC，∴=，∴+=+，∴=，∴BD=AC．48．连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．49．连接OA，交BF于点E，∵A是弧BF的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD与△OBE 中，，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF．50．∠COB=∠COA，理由是：∵∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∴弧AC=弧BC，∴∠COB=∠COA．51．连接AD，BD，CB，∵AB=CD，∴=，∴=，∴AD=BC．52．∵AB=CD，∴，∴﹣=﹣，∴．53．∵OC⊥AB，∴（垂径定理）．∴AC=BC（同圆中相等的弧所对的弦相等）54.∵，∴都为60°．连接DO，CO，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．∴△AOD≌△DOC≌△COB．∴S△AOD =AO•ODsin60°=×22=．∴四边形ABCD面积为3．55．相等．如右图所示，连接OD，OE，∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°∴△BOD与△COE都是等边三角形∴∠BOD=∠COE=60°∠DOE=180°﹣∠BOD﹣∠COE=60°∴∠DOE=∠BOD=∠COE∴56．解法一：（用垂径定理求）如图，过点C作CE⊥AB于点E ，交于点F，∴，又∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠FCA=25°，∴的度数为25°，∴的度数为50°；解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠E=∠B=25°，∴的度数为50°；解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°，∵CA=CD，∴∠ADC=∠A=65°，∴∠ACD=50°，∴的度数为50°．圆心角与弧弦的关系--21 57．（1）作ON ⊥EF ，OM ⊥CD ，∵∠DPB=∠EPB ；∴ON=OM ，∴CD=EF ， ∴=，﹣=﹣， 即．；； （2）证明：∵∴CE=DF ．58．∵AB ⊥CD 于点E ，过E 作AC 的垂线交BD 于点Q ，∴三角形ACE 、三角形PCE 、三角形APE 、三角形BED 都是直角三角形．∴∠DEQ=∠CEP （对顶角相等）．∠CEP=∠A （同角的余角相等）．又∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等），∴∠DEQ=∠D ，∴EQ=QD （等角对等边）． 又∵∠QEB=∠B （等角的余角相等），∴EQ=QB ．∴EQ=QD=QB ，即Q 为BD 的中点．59．过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P ，∵DE=FG=HI∴OM=OP=ON∴O 是∠B ，∠C 平分线的交点∵∠A=70°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=110°，又∵O 是∠B ，∠C 平分线的交点，∴∠BOC=180°﹣（∠B+∠C ）=180°﹣×110°=125°60．作直径DE ．∵OB=OD ，OB=PD ，∴DO=DP ，∵∠P=29°，∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE ，∴弧AE 的度数是29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°， ∴弧CAE 的度数是2×58°=116°，∴弧AC 的度数是116°﹣29°=87°．。
(完整版)圆心角圆周角的经典练习
圆心角和圆周角同步练习一、填空题: 一、填空题：1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．2. 如图1，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，130AOC ∠=o， 则弧AD 的度数为 ，CAD ∠的度数为 ，ACD ∠的度数为 ．图1 图23. 如图2，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=o，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．4. 如图3，弧ACB 与弧ADB 的度数比是5:4，则AOB ∠= ，ACB ∠=，ADB ∠= ， CAD CBD ∠+∠= ．5. 如图4，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，点E ，F 分别在弧AC 和弧BC 上，若50ABC ∠=o，则BEC ∠= BFC ∠=．图图56. 如图5，已知：圆O 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=o，47ABC ∠=o，则AOB ∠=__________度．1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是»AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DDCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有______对相等的角。
3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.Ａ4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, »»BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DDCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是¼CAD上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.16.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)答案：1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD 是等边三角形,从而CD= 4cm. 14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2. 15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴»»BCBD ,∴∠COB= ∠DOB. ∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.16.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.。
圆心角、弧、弦的关系精选题38道
圆心角、弧、弦的关系精选题38道一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为度．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC ＝120°，那么OM的长为．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是°．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．圆心角、弧、弦的关系精选题38道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解答】解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，DB，由已知条件可知AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解．【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵＝2，∴AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6＝60°∴∠ADB＝30°故选：C．【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．【解答】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴的度数是120°，∵点C、D是的三等分点，∴的度数是×120°＝80°，∴∠BOD＝80°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．【解答】解：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π【分析】连接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出＝，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．【分析】如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD ＝90°，求得∠P AC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵P A⊥BC，∴∠P AC＝90°，∴∠P AC＝∠PBD，∴△P AC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴xy＝30，∴y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．【分析】先根据在⊙O中，＝，可得出＝，再由∠AOB＝40°即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是＜S≤．【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE 最长，进而得出答案．【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，∴CF＝FO＝，∴S△AOC＝×1×＝，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，∵△AOC面积确定，∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．当∠COD＝90°时DE最长为半径，S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．∴＜S≤，故答案为：＜S≤．【点评】此题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，正确得出四边形的最大值是解题关键．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为52°．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠OBC，求出∠C，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C，再求出答案即可．【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是8．【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，，∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝8，故答案为8．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵∠AOB＝110°，∴∠A＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为64度．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC＝32°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC ＝∠AOE，求出∠AOE的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案为：64．【点评】本题考查了对顶角相等和圆心角、弧、弦之间的关系，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠AOE是解此题的关键．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝4﹣4．【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角的定义、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB ＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，通过证得△CAD≌△BAD（SAS），得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），即可证得结论；（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．【解答】证明：∵＝，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．。
圆的定义、弧弦圆心角圆周角基础练习
圆的定义、圆心角、弧、弦和圆周角基础练习1、⊙O中，弦AB=12，⊙O半径为10，则O到AB的距离为.2、P为⊙O内一点，OP=4，⊙O半径为5，则过P点的最短弦长为，最长弦.3、如图1，⊙O中，弦CD⊥直径AB于E，AB=20，CD=16，则BE= .4、AB为⊙O直径，OD⊥弦AC于D，且OD=4，则弦BC= .5、如图2，将半径是2cm的圆形纸片折叠后圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB= .6、半径为13的圆中，弦AB∥CD，且AB=10，CD=24，则AB与CD之间的距离为.7、如图3，AB为直径，B为弧BC的中点，∠A=35°，则∠BOD= .8、以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D，交AC于E，连接DE，若BC=8，则DE= .9、⊙O直径AB=8cm，C为⊙O上一点，∠BAC=30°，则BC= .10、如图4，⊙O半径OA⊥OB，D、E为⊙O上的点，则∠D+∠E= .11、如图5，∠ACB=20°，则∠OAB= .12、如图6，AB直径，∠BAC=20°，则∠D= .13、如图7，∠ABC=120°，则∠AOC= .14、如图8，AB为直径，∠COB=30°，则∠ADC= .15、如图9，OA⊥OB，∠A=38°，则∠F= .16、如图10，AB为直径，弦CD与AB相交于E，则∠AEC= .17、如图11，Δ ABC中，AB=AC，D是⊙O上的点，E在BD的延长线上且∠ADE=65°，则∠BOC= .18、已知⊙O是等边ΔABC 的外接圆，且⊙O半径为4，则ΔABC的边长是.19、如图12，∠BAC=30°，BC=2.4cm，则⊙O直径AB= .20、⊙O半径为10，OP=8，则点P在⊙O .（填内、上或外）21、如图13，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，AB=10，CD=8，则BE= .22、如图14，⊙O的直径AB⊥弦CD，D=30°，CD= .23、如图15，∠ACB=45°，AB=4，⊙O的半径为.24、在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则ΔABC的外接圆半径是.25、如图16，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,∠CDB=35°，则∠CAD= .26、若AB是⊙O的弦，OA=6，∠AOB=120°，则AB= .27、如图17，∠COD=84°，AC平分∠OCD，则∠ABD+∠OCA= .28、如图18，AB为直径，∠BAC=50°，∠D= .29、如图19，AB直径，∠B=30°，OD⊥BC，∠BCD= .30、如图20，∠A=30°，OD⊥AB，则∠E= .31、如图21，∠BCD=58°，DC直径，则∠A= .CA P O DCEO AD B 32. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=_______。
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。
圆周角弧弦的关系 经典分层练习(含详解)
圆周角、弧、弦的关系分层练习A组1．下列说法中，正确的有（）①两边及一内角相等的两个三角形全等；②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线；③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等；④无理数就是无限小数．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°3．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．C E=DE C．O E=BE D．4．下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这A．①②B．②③C．①③D．①②③A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分6．如图，⊙O中，如果=2，那么（）A．A B=AC B．A B=AC C．A B＜2AC D．A B＞2AC7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°，交AD交于点E，则∠DEF=_________°．9．如图，点A1、A2、A3、A4、A5在⊙O上，且====，B、C分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为_________．10．如图，AC是⊙O的直径，AB=AC，AB交⊙O于E，BC交⊙O于D，∠A=44°，则的度数是_________度．B组11．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，=2，则∠ABC=_________度．12．如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．13．已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是_________．14．如图，⊙O上B、D两点位于弦AC的两侧，，若∠D=62°，则∠AOB=_________．15．如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②弧AB等于弧CD；③PO=PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB=PD；其中结论正确的是_________（填序号）16．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是_________．17．如图，CD是半圆的直径，O为圆心，E是半圆上一点，且∠EOD=93°，A是DC延长线上一点，AE与半圆相交于点B，如果AB=OC，则∠EAD=_________°，∠EOB=_________°，∠ODE=_________．18．（2010•潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．19．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．20．（如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AD：BC=5：3，试求⊙O的半径．C档（跨越导练）21．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC 交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．22．如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若，求∠DAB和∠ABC的大小；（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．23．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD．（1）求证：AC=BD（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，问：四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．24．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB 组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE=BF．26．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C为上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度数．27．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q．求对角线AC的长．28．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2﹣AD2=AB•AC．29．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．30．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线交于点P，且DP=OB，若∠P=29°，求弧AC的度数．【答案】A档（巩固专练）1．解：①因为SSA不能判定三角形全等，故本项错误；②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，故本项错误；③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故本项正确；④无限不循环小数是无理数．此说法遗漏了不循环这个条件，故本项错误．故选A．2．解：∵在⊙O中，，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C；又∠A=30°，∴∠B==75°（三角形内角和定理）．故选B．3．解：由垂径定理可知B、D均成立；由圆心角、弧之间的关系可得A也成立．不一定成立的是OE=BE．故选C．4．解：正确的是①②．必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错误的．故选A．5．解：A、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；故选D．6．解：取弧AB的中等D，连接AD，DB，∵=2，∴AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选C．7．解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，∵点C是的中点，OC过O，∴AD=BD，∵OA=OB，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选B．8．解：由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°，即∠BOF=120°，∴∠COF=180°﹣∠BOF=60°，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠COF=60°，故答案为：60．9．解：∵====，∴每段弧的度数是：=72°，则的度数是：3×72=216°，∴∠A5A1A2=108°．∵在△A1A5B和△A2A1C中，，∴△A1A5B≌△A2A1C（SAS），∴∠A1A5B=∠A2A1C，∴∠A5DC=∠A1A5D+∠A5A1D=∠A5A1D+∠A2A1C=∠A5A1A2=108°．故答案是：108°．10．解：∵AB=AC，∠A=44°∴∠ABC=（180°﹣44°）÷2=68°又∵AC是⊙O的直径∴∠AEC=90°∴∠ECD=90°﹣68°=22°∴的度数为44°．故填44°．B档（提升精练）11．解：∵AB是半圆的直径，O是圆心，∴∠AOB=180°；又∵=2，∴2∠AOC=∠BOC，∴∠BOC=120°；∵OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理），∴∠ABC=30°．故答案是：30°．12．解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．14．解：连接OC．∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）；∴∠AOB=∠D=62°．故答案是：62°．15．解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB=CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△PFO，则PE=PF，根据AB=CD，得到BE=DF，则PB=PD，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分=S大半圆﹣S小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=πBC2=72π．故答案为72π．17．解：设∠A=x，∵AB=OC，∴∠BOA=x，∴∠EBO=2x，而OB=OE，∴∠AEO=2x，∴∠EOD=∠A+∠AEO，而∠EOD=93°，∴x+2x=93°，∴x=31°，∴∠EOB=180°﹣4x=180°﹣124°=56°，∴∠ODE=（180°﹣93°）÷2=43.5°．故答案为31°，56°，43.5°．18．（1）证明：∵AC=CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC=∠CBD，又∵OC=OB（⊙O的半径），20．（1）证明：∵OC∥AB∴∠OCA=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=∠BAC即AC平分∠DAB；（2）解：∵AC平分∠DAB，∴弧CD=弧BC∴CD=BC又AD：BC=5：3∴AD：CD=5：3∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°根据勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4所以AD=10，即圆的半径是5．11．解：∵AB是半圆的直径，O是圆心，∴∠AOB=180°；又∵=2，∴2∠AOC=∠BOC，∴∠BOC=120°；∵OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理），∴∠ABC=30°．故答案是：30°．12．解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．14．解：连接OC．∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）；∴∠AOB=∠D=62°．故答案是：62°．15．解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB=CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△PFO，则PE=PF，根据AB=CD，得到BE=DF，则PB=PD，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分=S大半圆﹣S小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=πBC2=72π．故答案为72π．17．解：设∠A=x，∵AB=OC，∴∠BOA=x，∴∠EBO=2x，而OB=OE，∴∠AEO=2x，∴∠EOD=∠A+∠AEO，而∠EOD=93°，∴x+2x=93°，∴x=31°，∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM得∠GCN=∠BCN．（8分）又∵CN=CN，∴△CGN≌△CBN．∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°，∴在Rt△MGN中，由勾股定理，∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）20．（1）证明：∵OC∥AB∴∠OCA=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=∠BAC即AC平分∠DAB；（2）解：∵AC平分∠DAB，∴弧CD=弧BC∴CD=BC又AD：BC=5：3∴AD：CD=5：3∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°根据勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4所以AD=10，即圆的半径是5．C档（跨越导练）21．证明：证法一：延长AO交圆与点M，连接DM，∵AM是圆的直径，∵∠ADM=90°则△OAC与△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，∴∠M=∠C，而∠AOD=2∠M．∴∠AOD=2∠C．∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，∴弧AD的度数是∠C的2倍．证法二：连接OD，在直角△AOC中，∠C=90°﹣∠A，在△OAD中，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∴∠AOD=180﹣2∠A．∴∠AOD=2∠C．∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，∴弧AD的度数是∠C的2倍．证法三：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OM、OD，∵AN⊥OC，OA=ON，∴AC=CN．∴∠A=∠N∠ACN=2∠ACO．∴∠ACN=180﹣∠A﹣∠N=180﹣2∠A．∵△OAD中OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠N．∴∠AOD=∠ACN=2∠ACO．又∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，弧AD的度数是∠ACO的2倍．22．解：（1）∵∴∠BOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD（2分）∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°∴∠AOD=30°，∠BOC=90°，∠COD=60°（4分）∴∠DAB=∠BOD=（∠BOC+∠COD）=75°（5分）∠ABC=∠AOC=（∠AOD+∠COD）=45°（6分）（2）①若，则∠DAB＞∠ABC；（8分）②若，则∠DAB=∠ABC；（10分）③若，则∠DAB＜∠ABC（12分）23．（1）证明：∵AB=CD，∴=∴﹣=﹣，即=∴AC=BD（2）四边形OFEG是正方形．理由：连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，∴四边形OFEG是矩形；∵OF⊥CD，OG⊥AB，∴DF=CD，AG=AB，∵AB=CD，∴DF=AG；∵OD=OA，∴Rt△OFD≌Rt△OGA （HL）∴OF=OG，∴矩形OFEG是正方形．24．证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDB，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE=BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF=∠PAD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDF，∵CD⊥PA，∴△AFD为等腰三角形，∴∠F=∠A，AE=EF，∴∠PBF=∠F，∴PB=PF，∴AE=PE+PB（3）AE=PE﹣PB．连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，∵弧AC=弧BC，∴∠ADC=∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FDE，∵DE=DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD=DF，AE=EF，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，∴∠PFB=∠PBF，∴PF=PB，∴AE=PE﹣PB；25．证明：∵弧CB=弧CD，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB，∴DE=BF．26．解：如图，设圆的半径是r，则AO=r，BO=r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC=30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，在直角△BED中，可以得∠EBD=30°，因为线段BE与线段BC关于直线BD对称，所以BC=BE，所以BD垂直平分线段CE，所以=，所以∠CBD=30°而∠BCA=∠AOB=45°．在三角形ABC中，∠OAC=180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO=15°．同理，当E为C时，∠OAC=75°．故答案为：15°或75°．27．解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE．显然A、B、C在⊙D上．∵AB∥CD∴．∴BC=AE=q．在△ACE中，∠CAE=90°，CE=2p，AE=q，故AC==．故答案为：．28．证明：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，如图，∵D为的中点，∴DB=DC，又∵∠DBF=∠ACD，∴△DBF≌△DCA，∴DF=DA，而DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，∴BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB•AC，即证．29．证明：∵AD=BC，∴=，∴=，∴AC=BD．30．解：作直径DE．∵OB=OD，OB=PD，∴DO=DP，∵∠P=29°，∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE，∴弧AE的度数是29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°，∴弧CAE的度数是2×58°=116°，∴弧AC的度数是116°﹣29°=87°．。
圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题
CE DOF圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ） A 、CE=DE B 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）．4、如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A 、43cm B 、23cm C 、3cm D 、2cm5、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A 、AB ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACD C 、AD BD = D 、PO=PD6、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径.7、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？8、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．9、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．10、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）B AC E DO B A OM A BO BA CDP O BA CE DOE DC FO BA G1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.5.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.6. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.7. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 8.如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒9如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30º B ．60º C ．45º D ．75º10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该 半圆的半径为（ ） A ．(45)+ cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm3.如图，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.4.如图所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD. 求证：OC=OD.5.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.O B ACE D B A C E DO O 30︒D B C AO D CBA6．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。
《圆周角定理典型例题及练习》
《圆周角定理典型例题及练习》圆周角定理典型例题及练
引言
圆周角定理是解决与圆相关的几何问题的重要工具之一。
本文将介绍一些典型的圆周角定理例题，并提供相关练，以帮助读者加深对圆周角定理的理解和应用。
例题
例题 1
已知圆 O 的半径为 r，圆心角为α 度，求圆周角的大小。
解答
根据圆周角定理，圆周角的大小等于圆心角的两倍，即圆周角= 2 * α 度。
例题 2
已知弧 AB 的长度为 l，圆心角为α 度，求弧 AC 的长度。
解答
根据圆周角定理，圆心角所对应的弧长与圆心角成正比。
设弧AC 的长度为 x，则根据比例关系有l / α = x / 360°。
解得 x = l * (360° / α)。
练
1. 已知圆 O 的半径为 5 cm，圆心角为 60°，求圆周角的大小。
2. 已知弧 BC 的长度为 8 cm，圆心角为 120°，求弧 AB 的长度。
请在纸上计算后，再比较答案。
总结
圆周角定理是解决与圆相关的问题的重要定理。
通过学习典型
例题和进行相关练习，可以加深对圆周角定理的理解和应用能力。
希望读者通过本文的学习，能够更好地掌握圆周角定理，并能够灵
活运用到实际问题中去。
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1.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.
2. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm
3.将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为
4.一个拱形石桥，跨度为8米，拱高8米，那么这拱形石桥所在圆的半径是___________米
5. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。
现有一艘宽3米、船舱顶部
为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等 2. 在两个半径不同的圆中，分别有
和，若和的度数相等，那么下面结论中正确的是（ ）． A ．＝
B ．和所对的两个圆心角相等
C ．
所对的弦和所对的弦相等
D ．
和
所对的弦的弦心距相等
3. 在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的
3
1
，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm
B ．2cm
C ．32cm
D ．34cm
4半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm
5.如图1，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠=︒BAC 20，AD CD ⋂=⋂
，则∠DAC 的度数是（ ） A. 70°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
D
A O
B C
6.在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） A.
AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂2
D. AB CD ⋂=⋂2
7..AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。
8. 弦AB 分圆周为1:5两部分，则弦AB 所对的圆周角的度数为
9. 如图2，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 10. 如图3，已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为
cm ．
11，如图4，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。
用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的位置； 强化练习：
12. 如图5，所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5 个
A
B
M
N
E
F
C
D
A
B
C
D E
O
B O
C
A
13. 已知：如,6，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°
14.如图7，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）
A
B
C
．
D
．15.如图8, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围
是 .
16. 已知四边形ABCD
C ＝
1∶2，则∠BOD ＝ .
17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△
ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（
1）求证：AC ＝AE ；
（2）求△ACD 外接圆的半径。
18. 已知：
如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂
上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ． （1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？
B E D
A C O 图7 图8 A
B O
C x P
B
图① 图②。