高三数学二模文

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安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题-文(含解析)苏教版

江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题文（含解析）苏教版一、填空题1。

【题文】函数f （x)＝lnx＋错误!的定义域为．【结束】2。

【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a错误!R）．若z1z2为实数，则a的值为．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在［300,350)内的学生人数共有．【解析】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【结束】5。

【题文】已知等差数列｛an}的公差d不为0,且a1，a3，a7成等比数列,则错误!的值为．【结束】6。

【题文】执行如图所示的流程图,则输出的k的值为．7。

【题文】函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）(A,ω,φ为常数，A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的图象如下图所示,则f（错误!)的值为．考点:三角函数解析式【结束】8。

【题文】在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为．【结束】9。

【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为．【结束】的夹角大小为．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为．【结束】12。

【题文】已知f（x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时,f(x)＝x2,当x＞0时，f(x＋1）＝f(x）＋f(1)，且． [来源:］若直线y＝kx与函数y＝f（x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为．02)2(2=++-x k x ，因为相切，所以,08)2(2=-+=∆k 又,0>k 所以.222-=k考点：分段函数图像【结束】［来源:Zxxk 。

安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)

马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。

下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。

北京朝阳区2002届高三文科数学二模试卷

朝阳区高三数学第二次统一练习试卷（文史类）2002．5（考试时间120分钟，满分150分）参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βββ-++=a a a)]sin()[sin(21sin cos βββ--+=a a a)]cos()[cos(21cos cos βββ-++=a a a)]cos()[cos(21sin sin βββ--+-=a a a正棱锥、圆锥侧面积公式：cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。

（1）设全集 I={-2，-1，21-，31，21，1，2，3}， A={31，21，1，2，3}， B={-2，2}则集合{-2}等于（）（A ）B A ⋂ （B ）A ∩B (C)B A ⋂ (D)B A ⋃（2）直线0153:1=+-y x l 与直线044:2=--y x l 所成的角的大小是（）（A ）32π （B ）3π（C ）4π （D ）6π（3）11->a是a<-1成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件（D ）既不充分不必要条件（4）已知圆锥的体积为π316，中截面面积为π，则圆锥的侧面积为（）（A ）π54 （B ）π52 （C ）π62 （D ）π172（5）函数12+-=x y )02(≤<-x 的反函数是（）（A ）x y +=1 （-2<x ≤0）（B ）x y +-=1 （-3<x ≤1）（C ）x y -=1 （-3<x ≤-1） (D) x y --=1 （-3<x ≤1）(6)若幂函数ax x f =)(满足f(2)=4，那么函数|)1(log |)(+x x g a 的图象为（）（7）如图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（）（A ）33 （B ）32 （C ）63 （D ）62 （8）函数)4cos()4cos(2)(ππ-+=x x x f 周期为（）（A ）π (B)23π （C ）2π （D ）3π（9）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙。

2018北京西城区高三数学(文)(二模)

（ A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．设不等式组
x ≥ 1, x y ≥ 3, 表示的平面区域为 D ．若直线 ax y 0 上存在区域 D 上的点， 2x y ≤ 5
则实数 a 的取值范围是
（ A） [ 1 ,2] 2
（B） [ 1 ,3] 2
2018 北京西城区高三数
学（文）（二模）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
2018.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．若集合 A { x | 0 x 1} ， B { x | x 2 2x 0} ，则下列结论中正确的是
中点． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ．（Ⅰ）求证： DF // 平面 BCE ；
（Ⅱ）求证：平面 BCF 平面 GCE ；（Ⅲ）求多面体 AFEBCD 的体积．
19．（本小题满分 13 分）
3/9
已知函数 f ( x) ln x ax ，曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线经过点 (2, 1) ． x
2/9
已知函数 f ( x)
cos2 x ．
sin x cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域；
（Ⅱ）求 f (x) 的取值范围．
17．（本小题满分 13 分）
在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体
指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了
1/9
（ C） [1,2]

2021届江西省南昌市高三二模文科数学试题扫描版附答案

NCS20210607项目第二次模拟测试卷「’ 文科数学木试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准•考证号填涂在答题卡上.并在相应位置贴好条形码.2•作答选择题时.选出每小題答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后•再选涂其它答案.3•非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答无效.4•考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.选择番本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数Z = l + V3i，则z2在复平面上所对应的点在A・第一彖限B・第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 己知集合/ = {(XJ)|(X + y + l)(2x_y + l) = 0},则集合/中元素个数是A.0个B.1个C.2个D无数个’3. 从编号依次为01,02,…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,由左向右依次选取两个数字，则_______________________________5308 3395 5502^ 6215 2702 4369 3218826^ 099£_7846_i充莎刁?莎乙丽巧両亍9527 _肓匕_药方_而厂'A709B^of C^l'5 D. 184. 在平面直角坐标系x®中，若点/与点8(2,1)关于直线y = x对称，则血乙46等于A.15. 己知/⑴二竺二1，则5+勺=：0"是“/(州)+ /(兀)二0”的e” + 1A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.坯不充分也不必要条件6 •函数/(x) = sin伽+讣⑺＞0)部分图象如图所示, 若厶ABC的面积为?则血二7. 己知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点, 值为A. 2 + 275B. 4 +亦C. 3 + V?8. 直线l:y = k(x±2)上存在两个不同点到原点距离等丁1,则斤的取值范围是D.2龙川3,1),则AJPF周长的最小D・6+7勺A. (-2,2)B. (-73,73) 'C. (-1J)—高三文科数学（模拟二）第2页（共4页）一B9.已知/（x ） = F" ，"（（）」），若/（x ）= 1有两解，则a 的取值范圈是 log, AXE [L2） -A. （0,—）B.（0,才C.（1,2]D.（1,2）10・如图是默默无"蚊”的广告创意图，图中网格是单位正方形，阴影部分由若干个牡两迈首尾相连组成的图形.最外层的半圆弧与矩形相切• 从矩形屮任取一点，则落在阴影部分的概率是 TCB. 3rr28A.C.5TID ・71567H •如图，正四棱锥P —ABCD 的高为12, AB = 6近• 分别为PA 、PC 的中点，过点B.E.F二.填空题：本题共4小题，每小题5分■共20分.13. 已知7 = （—1、2）,乙=（3,—1）,则与a-b 同方向的单位向疑足 ________ • Y 2 1 14. 若曲线y = J — 在X = 处的切线的斜率为三，则勺二 ______________ ・‘ 4 215. 四面体 A BCD 中，Z.ABC = Z.BCD = 90°, AB = BC = CD = 2,AD= 2^3，则该四面体的外接球表面积为 ________ •16. 如图，平面凹四边形A BCD ,其中力〃 =5, BC = &ZMBC = 60°, AZ.ADC = 120°则四边形A BCD 血积的最小值为―__・12. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图彖，例如将双曲线--^1 = 1的图象22绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数尹=丄的图象x（其渐近线分别为X 轴和y 轴）：同样的，如图所示，常见的“对勾函数° =加：+巴（加> 0〃 > 0）也能由双曲线的x 图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为『=加兀和y 轴）・设m 二写小二屈・则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为A.価B. 4C. 2&D. 2^7的截面交PD 于点A/ , 将四棱锥分成上下两个部分, 规定丽为主视图方向，则几何体CDAB — FME 的俯视图为A B三.解答题：共70分.解答应写出文•字说明、证明过程或演算步骤.第17il21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22. 23题为选考题.考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12 分〉己知数列何｝中，=2,a2=l（we N*）.（1 ）求鸟，兔的值；（H）求｛%｝的前2021项和S?⑵.18. （12分）春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物.采取推广使用••某某到家'•线上购物APP,再由物流人员送货到家.下左图为从某区随机抽取100位年龄在卩0,70）的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了柱某某到家"线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图•（1 ）从年龄段在［60,70）的样本中，随机抽取两人•估计都不使用••某某到家"线上购物APP的概率；：U1）若把年龄低于40岁（不含）的人称为^青年人S为确定是否有99.9%的把握认为••青年人” 更愿童使用"某某到家"线上购物APP,填写下列2x2联表，并作出判断.参考数据:-bc\（a 4 6）（c + 〃）（a + c）（b + 〃）其中n-a^b^c^d・19. (12分)如图，菱形ABCD 的边长为6,对角线交于点E, ZABC =芒~,将△/4DC 沿FC 折起得到三棱锥D - ABC ，点D 在底面ABC 的投影为点O ・20. (12分)已知椭圆E:-^- + ^- = l(a>6>0)的离心率,椭圆£与“轴交干人B 两点, 与夕轴交于C,D 两点，四边形ACBD 的面积为4.(I )求椭圆E 的方程；(H)若P 是椭圆E 上一点(不在坐标轴上)，直线PC.PD 分别与乂轴相交于两点，设 PC,PD,OP 的斜率分别为人也扎,过点P 的直线/的斜率为且k& = kk 、,直线/与x 轴交于点Q,求|M0 — |N0|的值.21. (】2分)已知函数f(x) = e\g(x) = x 9直线y = a(a> 0)分别与函数y = f(x).y = g(x)的图象交于儿B 两点，O 为坐标原点. (I )求I FBI 长度的最小值；(H)求最大整数使得k<OA OB 对*(0,xo)恒成立.(二)选考题：共10分请考生在第22. 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (10分)选修4-4：坐标系与参数方程x = 2 cos 0r-在直角坐标系xOr 中，曲线G 的参数方程为彳 — a(。

江西省南昌市2023届高三二模数学(文)试题(含答案)

江西省南昌市2023届高三二模数学〈文〉试题学校姓名：班级－考号：一、单选题l.己知集合A={xl ι4x-5豆叶，B = {xjlog 2 x ＜牛则A r B =( ) A.(-1,4)B.[-1,4]c.[-l,5]D.(0,4)2.己知复数z满足（z+i)i=l+z ，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C 第三象限D.第四象限7π3.执行如l到所示的程序框图，若输入x ＝τ，则输出y的值为（）开始每�d－2A ..fj B.－一－l－2C D.24已知数列｛a 小若a ,+a zn ”I =4n-6，则。

7= ()A.9B.l lc.13 D.155.己知α＝log, 0.4, b = l og 0., 0.2, c = 0.4°·2，则（〉A.C>a>bB.c>b ＞。

C.b>c>aD.a>c>b6.己知函数f（对＝2•;n，，命题p :3码，与ε（0，π），使得f (x,)+ f （毛）＝2，命题q:Vx,,Xz el －�，.＇.： I，当引〈乓时，都有！（，飞）＜f(x 2），则下列命题中为真命趣的是（〉飞Z 2)A.pvqB.p,-...qC.pA （「q)D.(-p )A(-q)7.己知抛物线C:y 2=4x 的准线为l，点Mf是抛物线上一点，若因M过点A(3,0）且与革线l相切，则因M与y轴相交所得弦长是（A. 2../2B. 2./3c.4 D.2./5P-ABC 的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，贝I]三棱锥P-ABC 的体积为（〉’...＋ (7)A／主视BA..!_B.14－3户UD.豆39.己知如t J ｛饨，｝的前峭的积为T,，，若a.＝＿＿！！＿＿，则汇的最大值为〈〉2n-5A.豆3B.2c .1D . .!_310.在“ABC 中，角A,8, C所对的边分别为α，b,c ，若a 2,b 2,C 2成等差数列，且J JJC 的丽积为号，则叫＝（A.tB. 2A吨－qJCD.三411.己知函数f(x)= X 3＋旷＋bx+c 的三个零点分别为1，抖，毛（O<x,＜与），若函数/(x + I）为奇函数，则／（2）的取值范围为（〉A. [0,1]B.(0,1)c.(0,2)D.[0,2J12.己知M是因C : (x-1)2 + y 2= 4上的动点，以点M为圆心，IOMI为半径作圆M,设圆M 与圆C 交于A,B 两点，则下列点中，直线AB 一定不经过（）、飞’EE，，／AU4－5／fa『B’飞、A、、It－－／l －2 ，－A －qtM fttlk口υc肚子）、、IBEE－J 5－4AU／FIll－－、D二、填空题13.f(x）是以2为周期的函数，若xe[O,I J时，I＜心＝2‘，则／（3）＝一一一一··14.某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为（单位：在n,l, 2, 4, 7, I L 16, 21, 29, 37, 46，令A(i)(i = I, 2, 3, · ·, 10）表示第i辆车到达路口的时间，记B(i)= A(i)-A (i-l)(i = 2, 3, ·, 10），则B (i ）的方差为－15.圆锥曲线都具有光学性质，女日双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发敞的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截而因是一条双曲线的部分，AP 是它的一条对称轴，F 是它的FBC 90？，贝I]1亥双曲线的离心率等于一一一一··A16.己知正四面体的棱长为2币，现截去四个金等的小正四面体，得到如图的八丽体，若这个八面体能放进半径为J6的球形容！击cl才，则截去的小正四面体的楼长最小值为．三、解答题17.如｜因是瞅f(x）＝叫叫（仙O叫司的部分图象己知AB·A印y, 步BA x(1）求ω：（�）＝子求伊创胖.r18.如阂，在四棱锥P-ABCD中，已知底iii ABCD是边长为4的菱形，平面PABJ_平π面ABCD，且ζPAB=LDAB＝一，PAJ_PB，点E在结段附上，BE=2PE.3c(1）求证：AB.LDE;(2）求点E jlj平丽PAD 的距离19.一地质探测队为探测一矿中金属键的分布悄况，先设了l个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为儿，其中x = i (i = 1,2,3,4,5），并得到了各采样点金属锐的含量Y ；，得到一组数据（码，只），i =1,2,3,4,S ，经计算得到如下统计量的值：主只＝62，主（λ；-x ）（川）＝47，主li;""4.烈主（川)2,::: l饥�：（u, -u)(y, -y) "'19.38，其中问＝I叫，（i = 1,2,3,4,5).(1）利用相关系数判断y =a+bx 与y ＝α＋blnxl!)J l l 一个更适宣作为y关于x的回归模型：(2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程y ＝α＋bf 中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为艺（t,－η（y;-y) 艺以－f 冯工（t;-T)(y, -y)b = .l=• " ＝牛一一－,a= y-bt ,三（，，-r )'L r? -n,-2 19.382参考数据：－一一＝232.56l .615，＝i（卜，')120.己失u椭困C ：兰＋t =l （α＞b >O ）的焦距为2♂，左、右］页，奇分别为A ，’Az，上顶α0 为8，且t a nLA,B O =2.(1）求椭圆C的方程：(2）若过A，且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交干点Q ，与Z主线A,B 相交于点P,与y辅相交子点M ，旦IPAillMQI = 3IQAzllM叫．求k的值．21.己知函数f （巾。

天津市河北区2021届高考数学二模试卷(文科) Word版含解析

天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣84．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．125．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥07．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2 8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由（a+i）（1+i）=bi，得a﹣1+（a+1）i=bi，∴，即．∴a+bi=1+2i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由正切函数的单调性的性质即可得到结论．解答：解：由＜2x ﹣，即﹣＜x ＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．点评：本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，由此能求出k．解答：解：∵等差数列{a n}中，公差d≠0，S11=132，∴，∴（2a1+10d）×=132，∴a1+5d=12，∵a3+a k=24，∴2a1+2d+（k﹣1）d=24，∴2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，∴2+k﹣1=10，解得k=9．故选：A．点评：本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质的机敏运用．5．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx﹣y+1=0与直线x=0垂直时，满足条件，此时k=0，当直线kx﹣y+1=0与直线y=2x垂直时，满足条件，此时k=﹣，综上k=0或﹣，故选：D点评：本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0考点：复合命题的真假．专题：2021届高考数学专题．分析：A命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．可以推断出A的真假．B由于（x﹣y）2≤0⇔x=y，可推断出B的真假．C．依据p∨q的真假推断规章：当p，q两个命题有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题，据此可以推断出C的真假．D．“命题：∃x∈R，结论p成立”的否定是：“∀x∈R，结论p的反面成立”据此可以推断出D的真假．解答：解：A．据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．由此可知：命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”．所以A是真命题．B．由实数x，y 满足⇔（x﹣y）2≤0⇔x=y，故当x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件．C．我们知道：只有当p与q皆为假命题时，p∨q才为假命题，既然C中p∨q为假命题，则命题p与q都不行能是真命题，故C是假命题．D．据特称命题的否定规章可知：命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p应是：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故D 正确．故选C．点评：本题考查了四种命题间的关系、充要条件、“或”命题、“非”命题及全称命题与特称命题等命题的真假推断，关键是把握其推断方法．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线方程求得其渐近线方程，与直线方程联立求得点A的坐标，进而利用△OAF的面积求得a和b的关系式，带入抛物线方程，求得抛物线方程，最终利用抛物线的性质求得准线方程．解答：解：依题意知，双曲线渐近线方程为：y=±，依据对称性可知，A点在x轴上方和下方的解是一样的，故看A在x 轴上方时，联立方程，，求得y=∴S△OAF =•C •=，∴a=b，∴抛物线的方程为y2=4x，即2p=4，p=2∴抛物线的准线方程为x=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查了抛物线和双曲线的基本性质．解题的关键是求得a和b的关系．8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．考点：向量的模．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将||2表示成m的二次函数，求出二次函数的最值解答：解：由于=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点所以=（）﹣（）=（1﹣m ）（1﹣n ），又m+n=1，所以，所以||2+，△ABC是边长为1的等边三角形，所以上式整理得||2==，所以当m=时，||2最小值为，所以||的最小值为；故选C．点评：考查向量的运算的三角形法则；考查向量模的平方等于向量的平方；利用二次函数求最值．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b 的值是8．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图，结合中位数和众数的定义进行求解即可．解答：解：甲运动员的中位数为19，即a=19，乙运动员的众数为b=11，则a﹣b=19﹣11=8，故答案为：8；点评：本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以消灭在选择题或填空题，考查最基本的学问点．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化状况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+的值，∵S=1+=；故答案为：．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，依据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，依据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．解答：解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，依据余弦定理得：AD2=OA2+OD2﹣2OA •ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在Rt△APM 中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD 的面积S=OD •AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在Rt △AOF中，依据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，经常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，经常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，同学做此类题应留意帮助线的作法．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=[0，1）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即A=[0，1]，由B中f（x）=lg（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1．解得：﹣1＜x＜1，即B=（﹣1，1），则A∩B=[0，1），故答案为：[0，1）点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知几何体是正方体，球的直径为正方体的对角线，即可求出球的体积．解答：解：一个空间几何体的三视图均是边长为2的正方形，可知几何体是正方体，∵几何体的顶点都在球面上，∴球的直径为正方体的对角线2，∴球的半径为，∴球的体积为π×（）3=4π．故答案为：4．点评：正确推断几何体的特征是解题的关键，考查空间想象力量，计算力量．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，依据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）=的图象如图：则当x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值为f（2）=3，最小值f（﹣2）=﹣4，若a=0，g（x）=1，此时满足∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，若a≠0，则直线g（x）过定点B（0，1），若a＞0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即2a+1≤3且﹣2a+1≥﹣4，即a≤1且a≤，此时满足0＜a≤1，若a＜0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即﹣2a+1≤3且2a+1≥﹣4，即a≥﹣1且a≥﹣，此时满足﹣1≤a＜1，综上﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，本题主要考查的是最值之间的关系，综合性较强，有肯定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）依据分层抽样，抽取人数与相关人员数对应成比例的原则，结合已知中高中三个班级的相关人员数及从2021届高三班级中抽取的人数，易求得x，y的值．（2）设从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，从中随机选2人，我们用列举法列出全部不同的选取结果的个数，及满足条件选中的2人都来自2022-2021学年高二的结果个数，即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，所以x=11，y=3．（Ⅱ）记从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，则从这两个班级中抽取的5人中选2人的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10种．设选中的2人都来自2022-2021学年高二的大事为A，则A包含的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共3种．因此．故选中的2人都来自2022-2021学年高二的概率为0.3．点评：本题考查的学问点是古典概型，及分层抽样，其中用列举法计算基本大事数及大事性质的概率是古典概型最常用的方法．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．考点：正弦定理的应用；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可得=，化为sinA=3sinAcosB．即可解出．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，由于b=4，a=c，cosB=．可得a2．利用余弦定理可得cosA=，，即可得出．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得=，化为sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB．又B+C=π﹣A，∴sinA=3sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，∵将b=4，a=c，cosB=．∴a2=24．∴cosA==，∴=．∴==．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB．PA⊥BC．然后证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠CPB是PC与平面PB所成的角．然后求解tan∠CPB即可．（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，证明AF∥DE．然后证明DE∥平面PAB．解答：证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，且∠DAB=90°，∴BC⊥AB．…（1分）又PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．…（2分）又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．…（4分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，∴∠CPB是PC与平面PB所成的角．…（6分）由已知得PB=3，∴tan∠CPB==．∴PC与平面PAB 所成角的正切值为．…（9分）证明：（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，∵，∴．∴EF=AD，又EF∥AD，∴ADEF是平行四边形．…（10分）∴AF∥DE．…（11分）又AF⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，∴DE∥平面PAB．…（13分）点评：本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理，考查空间想象力量以及计算力量．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类争辩，依据•=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…（2分）∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在直线l2，使•=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入•=﹣1，不符题意；…（5分）（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．…（6分）∴x1+x2=，x1x2=．…（7分）又∵•=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．…（9分）∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．…（11分）∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0冲突．…（12分）综上可知，不存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．…（13分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类争辩的数学思想，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．（3）由=（），由此能证明b1+b2+…+b n＜．解答：解：（1）∵S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2分）（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），（4分）∴（n﹣1）a n﹣（n﹣1）a n﹣1=6（n﹣1），∴a n﹣a n﹣1=6，n≥2，n∈N*，（6分）∴数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，∴a n=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，（7分）∴．（8分）（3）证明：∵（10分）=，（11分）∴（13分）=，∴b1+b2+…+b n ＜．（14分）点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质和放缩法的合理运用．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类争辩即可；（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以推断存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；解答：解：（1）由已知可得f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣==，（x＞0），①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x ＞；由f'（x）＜0，得0＜x ＜，∴函数的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（2）由（1）得若函数有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值为f （）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴a+4ln﹣4＞0，令h（a）=a+4ln﹣4，明显h（a）在（0，+∞）上是增函数，且h（2）=﹣2＜0，h（3）=4ln﹣1=ln﹣1＞0，∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．∴满足条件的最小整数a=3，当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时f（x）有两个零点．综上，满足条件的最小值a的值为3．点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．。

2017年高三数学二模(文科)答案

2017年高三数学二模(文科)答案2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. D2. A3. B4. A5.C6. C7. A 8. D 9. D 10. C 11.A 12. C简答与提示：1.【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】D(12)(12)5⋅=+-=. 故选D.z z i i2.【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A 由}31{<|-=xB.x2<{<A，}2<|x=x-故选A.3.【命题意图】本题考查充分必要条件知识.【试题解析】B由祖暅原理得如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等. 故选B.4.【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】A10第 2 页共 12 页第 3 页共 12 页30故选A.5. 【命题意图】本题主要考查点线面位置关系.【试题解析】 C 根据面面垂直的性质定理，只有在面内垂直于交线的直线才垂直另一个平面. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}na 是以2为公差的等差数列，12627,||||||na n a a a =-+++ 53113518=+++++=. 故选C.7. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】A 不等式组所表示的平面区域位于直线10x y +-=的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定2z ≤-. 故选A.8. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积3822231=⋅⋅⋅=V . 故选D.9. 【命题意图】本题考查函数图象问题.【试题解析】D 由函数定义域及值域. 故选D.10. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由于方程有两个解，所以1122m≤<. 故选C.11. 【命题意图】本题主要考查程序框图.第 4 页共 12 页第 5 页共 12 页13b a =，即2101()3b e a =+=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正余弦定理等.【试题解析】(1) (3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--，（2分）()331sin 42sin()3f x x x x π=+-=-+，（4分）)(x f 的最小正周期为π2；（6分）(2) 因为()4f A =，所0)3sin(=+πA ，因为π<<A 0，所以23A π=，（8分）因为43332sin 21sin 21===π∆bc A bc SABC，所以3=bc ，（10分）根据余弦定理92)(32cos22222=+-+=-+=bc bc c b bc c b aπ，所以32=+c b ，即三角形的周长为33+ （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.第 6 页共 12 页【试题解析】解：（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90 分的人数为4，记为,,,A B C D ，评分不小于90分的人数为2，记为b a ,，设事件M 为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，（6分）基本事件空间为{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ω=(),(),(),(),()}Ca Cb Da Db ab ，共有15个元素. （8分）评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O50第 7 页共 12 页M ={(),(),(),(),(),()}AB AC AD BC BD CD ，共有6个元素.（10分）=)(M P 62155=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直与几何体体积算法问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（1）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,ABPA ⊥∴, （2分）平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （4分） ⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴,AD PA = , E为PD 中点，⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （6分）(2)取PC 的中点为O ，连接OD OB ,，由（1）知⊥AB 平面PAD ，CD AB //，⊥∴CD 平面PAD ,⊂PO 平面PAD ,PD CD ⊥∴,则OC OP PC OD ===21, ⊥PA 平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,BC PA ⊥∴,,,A AB PA AB BC =⊥第 8 页共 12 页⊥∴BC 平面PAB ,⊂PB 平面PAB ,PB BC ⊥∴,则OC OP OB ==（8分）即,36)72(222222222=++=++=AP ADAB PC 6=PC ,ππ36)3(342==V （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】（1）设切点为0x M （，))(0x f ，直线的切线方程为)()(0x x k x f y -=-xa x f 1)(-=' ，001)(x a x f k -='=∴，（2分）即直线的切线方程为))(1(ln 0x x xa x ax y --=+-，又切线过原点O ,所以1ln 0+-=+-ax x ax ，由1ln 0=x ，解得e x =0，所以切点的横坐标为e . （4分）（2）因为不等式)2(ln 2x x a x ax -≥-对1[∈∀x ，)∞+恒成立,所以2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.设x ax ax x g ln )(2--=， xa ax x g 12)(--='. (5分)①当0≤a 时，01)12()(<--='xx a x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递减，即0)1()(=≤g x g ，0≤∴a 不符合题意.第 9 页共 12 页(7分)②当0>a 时，x ax ax x g 12)(2--='.设18)41(212)(22---=--=ax a ax ax x h ，在1[，)∞+上单调递增，即()(1)1h x h a ≥=-.(9分)（i ）当1≥a 时，由0)(≥x h ，得0)(≥'x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递增，即0)1()(=≥g x g ，1≥∴a 符合题意；(10分)（ii ）当10<<a 时，01<-a ，1[0∈∃∴x ，)∞+使得0)(0=x h ，则)(x g 在1[，)0x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0)1()(0=<∴g x g ，则10<<a 不合题意.(11分)综上所述，1a ≥.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1).因为以12F F 为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以1==c b ，2=a ，即椭第 10 页共 12 页圆C的方程为1222=+y x ，(3分)(2). 根据题意，直线B A ,的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(+=x k y ， (4分)与1222=+y x 联立，得0224)21(2222=-+++k x k x k ，(5分) 设),(),,(2211y x B y x A ，AB的中点为),(00y x M ，,3142221kk x x +-=+2221212kk x x +=⋅， 22121212)1()1(k kx k x k y y +=+++=+，即)21,212(222k k k k M ++-， (7分)设直线AB 的垂直平分线为),2122(121222k k x k kk y +-+-=+-令=y ，得2221k k x p +-=，因为)0,41(-∈p x ，所以2102<<k (9分) []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-+=⋅-++=22222221221221224)214()1(4)()1(||k k k k k x x x x k AB ).22,223()2111(221)1(22222∈++=++⋅=k k k(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (1) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.(5分)（2）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离10|sin()|545d πα==+， 10(10分)23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(1)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12b a +=，22a b +=. （5分）(2)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab+≥恒成立, 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a+=+=++=+++1229(14)22a b b a ≥++⋅= ,当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

北京2013届丰台高三二模数学文科试题及答案

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“| a |＝1”的（A ）充要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分而不必要条件（D ）既不充分又不必要条件 3. 设向量(4,)x =a ,=,1-（2）b ,且⊥a b ，则x 的值是（A ）8 （B ）-8 （C ）2 （D ） -24. 双曲线22123x y -=的离心率为（A ）（B （C （D 5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=- （D ） sin(2)3y x π=+6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）24 （B ） 20+42 （C ）28 （D ）24+ 42 7.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +≤的概率大于18，则b 的取值范围是（A ） (,1)-∞ （B ） (0,1) （C ）(1,4) （D ） (1,)+∞8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=2，m=0时，直线l 与图象G 恰有3个公共点；② 当a=3,m=14时，直线l 与图象G 恰有6个公共点； ③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 过点(0,2)P 且与直线20x y -=平行的直线方程为 . 10. 已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，其回归方程为ˆ 1.4yx a =+，则a 的值等于 . 11. 等差数列{n a }中，35a =,53a =,则该数列的前10项和S 10的值是_______. 12.若tan()2x π-=，则tan 2x 的值是 .13. 若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是＿＿＿＿. 14. 已知直线x=2,x=4与函数2log y x =的图象交于A,B 两点，与函数4log y x =的图象交于C,D 两点，则直线AB,CD 的交点坐标是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A + （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S.16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）. （Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.17. （本小题13分）如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两垂直，AD//CE ，ED DC ⊥，12AD CE =，M 为BE 中点.15 16 17 189 8 8 5 5 1 1 02 1 9 6 9 234 7 2 3 5第一组第二组（Ⅰ）求证：DM//平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD.18. （本小题13分）已知函数 21()ln (1)(0)2f x a x a x x a =-++≥. （Ⅰ）若直线l 与曲线()y f x =相切，切点是P(2,0)，求直线l 的方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ；（Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关.20. （本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，并说明理由.丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）参考答案一、选择题选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 2x-y+2=0； 10. 0.9； 11. 25； 12.34； 13. 116或21； 14. (0,0). 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴∴ ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. …………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中,60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分 16.解: （Ⅰ）11(168168169170171171175175181182)17310x cm =+++++++++=, ………………………….3分()()()()()222222211168173168173169173...18117318217323.610S cm ⎡⎤=-+-+-++-+-=⎣⎦; ………………………….6分答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.62cm 。

陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2021-2022学年高三上学期二模文科数学试题

陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学2021-2022学年高三上学期二模文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.12．D【分析】方法一：不妨设()f x x =-，解1(2)1f x -£-£即可得出答案.方法二：取=0x ，则有21()1f --££，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --££矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得()11f -=，利用函数的单调性可得121x -£-£，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设()f x x =-，因为1(2)1f x -£-£，所以121x -£-£，化简得13x ££．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取=0x ，则有21()1f --££，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --££矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ．故选：D.［方法三］：直接法根据题意，()f x 为奇函数，若(1)1f =-，则()11f -=，因为()f x 在(,)-¥+¥单调递减，且1(2)1f x -£-£，②若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;③若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min maxf xg x >.。

北京市西城区高三数学第二次模拟考试文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

北京2013届东城高三二模文科数学试题及答案

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科） 2013.05一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B 是（）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（） A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203lo g 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（）A ．2-B ．2C ．4-D ．44、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知命题:p x ∀∈R，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则s i n s i n αβ>．下列命题是真命题的是（）A ．p q∧⌝ B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q∧6、已知x ，y 满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y=+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47、根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3， D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a ta a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；频率x 俯视图侧（左）视图正（主）视图②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t=；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有真命题的序号是（）A ．①②B ．②③ C．③④ D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9、已知向量()23a=-，，()1bλ=，，若a b∥，则λ=________．10、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、在A B C △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、过抛物线24y x=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10A B =，则A B的中点P 到y 轴的距离等于________．14、对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1yx x=-，②log 1a yx =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、（本小题共13分）已知函数)()sin s sin f x xx x=-．⑴ 求()f x 的最小正周期； ⑵ 当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、（本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴ 求x ，y ；⑵ 若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、（本小题共14分）如图，B C D △是等边三角形，A B A D =，90B A D ∠=︒，M ，N ，G 分别是B D ，B C ，A B 的中点，将B C D △沿B D 折叠到B C D '△的位置，使得A D C B '⊥． ⑴ 求证：平面G N M ∥平面A D C '； ⑵ 求证：C A '⊥平面A B D ．GN MDCBA18、（本小题共14分）已知函数()ln a f x x x=+（0a>）．19、（本小题共13分）已知椭圆C：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率2e=，原点到过点()0A a ，，()0B b -，的5．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 如果直线1y kx =+（0k≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、（本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，41n a -=，411n a +=（*n ∈N）．⑴ 求4a ，7a ；⑵ 是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=．北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（文科）2013.05一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32-（10）12，152；（11）4（12）3π， 2 ；（13）4 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x=-=21co s 2sin )2x x x-11=2co s 2)22x x +-1sin (2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2Tπ==π2．（Ⅱ）因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可得2992718x y ==，所以11x =，3y =．（Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种．因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是B D ，'B C 的中点，所以//M N D C '．因为M N ⊄平面A D C '，D C '⊂平面A D C '，所以//M N 平面A D C '．A CDMNG同理//N G 平面A D C '．又因为M N N G N = ，所以平面//G N M 平面A D C '．（Ⅱ）因为90B A D ∠=，所以A D A B ⊥．又因为'A D C B ⊥，且'A B C B B = ，所以A D ⊥平面'C A B ．因为'C A ⊂平面'C A B ，所以'A D C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，A B A D =，不防设1A B =，则B C C D B D ===1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'A B C A ⊥．因为A B A D A = ，所以'C A ⊥平面A BD ． …………………………………14分（18）（共14分）解:(Ⅰ) ()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞, 则|221()a x a f x xxx-=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足0021()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立．又当00x >时,200311222x x -<-+≤,（19）解(Ⅰ) 因为2c a=，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线A B ：1xy ab-=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164xy +=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>．设11(,)E x y ，22(,)F x y ，E F 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k+-==+，21114M M y kx k=+=+．所以21M B M My k x k+==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414kk k kk-++=++．又因为0k ≠，所以218k =．所以4k =±． ………………………………13分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ），则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ），则22n T n na a a +==，而222n T n t n ta a a +++==从而n t na a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．…………13分。

江西省赣州市2020届高三数学适应性考试(二模)试题文

江西省赣州市2020届高三数学适应性考试（二模）试题文一､选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A= {0,1,2,3,4}, 集合{|,},B x x n n A ==∈则A ∩B= A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.已知m,n ∈R ,i 是关于x 的方程,20x mx n ++=的一个根,则m+n= A. -1B.0C.1D.23.从某班50名同学中选出5人参加户外活动,利用随机数表法抽取样本时,先将50名同学按01,02,……50进行编号,然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字,则选出的第5个个体的编号为(注:表为随机数表的第1行与第2行)0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676D.474.若cos78° =m,则sin(-51°)= 1.2m A +-1.mB --1.2m C + 1.2mD - 5.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+ f(1)+...+ f(2020)= A.-1B.0C.1D.20206.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象,那么兔子对数依次为: 1,1, 2,3,5, 8,13, 21,34,55,89,144....... 这就是著名的斐波那契数列,它的递推公式是*12(3,)n n n a a a n n --=+≥∈N ,其中,121, 1.a a ==若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是奇数的概率为1.3A 2.3B 1.2C 3.4D 7.函数2()sin ln(1)f x x x x =⋅+-的图象大致为8.圆22440x y y +--=上恰有两点到直线x-y+a=0(a> 0)2,则a 的取值范围是 A. (4,8)B. [4,8)C. (0,4)D. (0,4]9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a , b , c ,若2,(sin 2sin )()(sin sin )a b B C a c A C =-=+-,则△ABC 外接圆的面积为A. πB.2πC.3πD.4π10.某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.25.33B 4.33C 2.33D 11.已知平面向量,a b rr 的夹角为θ,且||2,||1,a b ==r r 若对任意的正实数λ，||a b λ-r r 3,则cosθ=2.A 1.2B 1.2C ±D.012.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为3,y x =±过右焦点F 的直线l 与双曲线交于A, B 两点且3,AF FB =u u u r u u u r则直线l 的斜率为.3A ± .15B ± C. ±1 .5D 二､填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量(3,1),(1,2)a b ==-r r，且()//()a mb a b +-r r r r ，则实数m=___. 14.若x, y 满足约束条件210220320x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则z=x+ y 的最小值为____.15. 已知函数()ln (2())3,f x x x f e x '=-+--则f(x)在x= 1处的切线方程为____.16. 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1, E,F, P 分别为1111,,B C C D CD 的中点，Q 点是正方形11BCC B 内的动点.若PQ//平面AEF ，则Q 点的轨迹长度为___.三､解答题(共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为3139,9,2.n S S a a a =+= (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令(21),n n n b a =⋅+求数列{}n b 的前n 项和.n T18. (本小题满分12分)2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表(1 )根据2015- 2019年的数据,求出y 关于x 的线性回归方程.ˆˆy bxa =+,并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫;(2) 2019 年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫,随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶,求抽取的2户不都是扶贫户的概率.参考公式:1122211()()ˆˆˆ,()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bay bx x nxx x ====---===---∑∑∑∑19. (本小题满分12分)已知三棱锥P- ABC, AC= BC=2,∠ACB=120°,M 是线段AB 上靠近B 点的三等分点，三角形PBC 为等边三角形(1)求证: BC ⊥PM;(2)若三棱锥P- ABC 5求线段PM 的长度.20. (本小题满分12 分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为1,2且椭圆C 经过点3(1,).2P 抛物线2:2(0)E y px p =>与椭圆有公共的焦点.(1)求抛物线E 的标准方程;(2)在x 轴.上是否存在定点M ，使得过M 的动直线l 交抛物线E 于A,B 两点,等式221114||||MA MB +=恒成立，如果存在试求出定点M 的坐标，若不存在请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()(ln )ln 2(2)af x x a x x x a =+-⋅-∈R .(1)讨论函数f (x)的单调性;(2)若0<a<2,求证: ()e 2(1)af a a +<-.（二）选考题请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线2C的参数方程为tan x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数).(1)求曲线12,C C 的普通方程(2)已知点()2,0,M -若曲线12,C C 交于A,B 两点,求MA MB -的值.23.(本小题满分10分)[选修4-5不等式选讲] 已知正实数a,b 满足a+b=4. (1)求11a b+的最小值; (2)求证: 221125.2a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11。

2016年北京市东城高三二模数学(文科)试题及答案解析(word版)

北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)一、单选题（共8小题）1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）A ．B．C．D．3．执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．5．设，为实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数是偶函数,且，则（）A ．B．C．D．7．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．8．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数_____________．10.若函数在区间上有且只有一个零点，则实数_______．11.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数_______.12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.13.已知数列满足,，且，，则；数列的前项的和为________．14.一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．三、解答题（共6小题）15.在△中，角，，所对的边分别是，，，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求△的面积．16.已知等差数列满足，，其前项和为.（Ⅰ）求的通项公式及；（Ⅱ）令，求数列的前项和.17.在梯形中，，，.平面⊥平面，四边形是矩形，，点在线段上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试问当为何值时，AM//平面？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：（Ⅰ）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．19.已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且△是边长为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．20.设函数，．（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；（Ⅱ）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；（Ⅲ）若对任意的，均有成立，求的取值范围．北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)答案1.考点：集合的运算试题解析：所以。

2018年天津市河北区高三数学二模(文)试题(解析版)

河北区2017－2018学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R，集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出，再求即可得到结论．详解：∵，∴，∴．故选B．点睛：本题考查集合的补集和交集运算，属于容易题，主要考查学生的运算能力和运用数形结合解题的能力．2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先由三视图得到几何体，并分析出几何体的特征，然后再求出其体积．详解：由三视图可得该几何体为三棱柱，且底面为边长是2的等边三角形，高为1，故其体积为．故选A．点睛：（1）在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．（2）在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．3. 命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据含有量词的命题的否定求解即可．详解：由题意得，命题的否定为：．故选C．点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．4. 从数字1，2，3，4，5中任取2个组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.本题选择B选项.5. 己知点A(-1，0)、B(1，0)分别为双曲线的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由条件可得，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，且，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得，故可得曲线方程．详解：由题意得，故双曲线的方程为．设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有且，∴点M的横坐标为，纵坐标为，∴点M的坐标为．又点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为．故选D．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．6. 若函数在上单调递减，则的取值不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数在上单调递减，．在上单调递减，求得，故选D．考点：正弦函数的单调性【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属中档题．解题时利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得的减区间，结合条件可得，，由此求得的范围，从而得出结论．7. 若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．详解：∵正数满足，∴，解得．同理．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．8. 已知函数，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f (a)=f (b)=f (c)=f (d)=m.则以下三个结论：①m∈[l，2)；②a+b+c+d∈，其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f (x)=x+m恰有三个不相等的实数解。

浙江省温州市2024届高三下学期二模数学试题含答案

温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试数学试题卷（答案在最后）2024.3本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z C ∈，则“2R z ∈”是“R z ∈”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知2i R z z =⇒∈，所以不满足充分性，而2R R z z ∈⇒∈，满足必要性.故选：B2.已知集合{{,M x y N y y ====，则M N ⋂=（）A.∅B.RC.MD.N【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由集合交集的运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，{[)1,M x y ∞===-+，{[)0,N y y ∞===+，则[)0,N M N ⋂=+∞=.故选：D3.在正三棱台111ABC A B C -中，下列结论正确的是（）A.1111113ABC A B C A BB C V V --=B.1AA ⊥平面11AB CC.11A B B C ⊥D.1AA BC⊥【答案】D 【解析】【分析】对于A ：求出体积，然后作差确定大小；对于BC ：举例说明其错误；对于D ：通过证明BC ⊥面1A ADP 来判断.【详解】设正三棱台111ABC A B C -上底面边长为a ，下底面边长为b ，a b <，高为h ，对于A ：1112213444ABC A B C V h a b ab -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭三棱台，1112134A BB C V h a -=⋅，则1111112221334444ABC A B C A BB C V V h a b ab h a --⎛⎫-=++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()22222222012121212121212h a b ab a a a h b a ab a ⎛⎫=++---=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭，即1111113ABC A B C A BB C V V -->，A 错误；对于B ：由正三棱台的结构特征易知11AA B ∠为钝角，所以1AA 与1AB 不垂直，所以1AA 与面11AB C 不垂直，B 错误；对于C ：（反例）假设该棱台是由正四面体被其中截面所截后形成的棱台，则11120A B B ∠=，若2b a =，1BB a =，所以()()21111111111111A B B C A B B B B B BC A B B B A B BC B B B B BC⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅ 2222102a a a a =-+-≠，即1A B 与1B C 不垂直，C 错误；对于D ：取BC 中点D ，11B C 中点P ，连接1,,AD DP A P ，则,BC AD BC PD ⊥⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂面ADP ，所以BC ⊥面ADP ，同理11B C ⊥面1A DP ，又11//BC B C ，所以BC ⊥面1A DP ，则面ADP 与面1A DP 是同一个面（过一点只有一个平面与已知直线垂直）所以BC ⊥面1A ADP ，又1A A ⊂面1A ADP ，所以1AA BC ⊥.故选：D.4.已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】构造函数sin y x x =-，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，所以sin0.50.5a =<，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31=>=且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<，又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B5.在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为（）A.64-B.64C.32- D.32【答案】A 【解析】【分析】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，利用赋值法计算可得.【详解】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+，令=1x -可得0123456128a a a a a a a -+-+-+=，所以1350128642a a a -++==-，即在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为64-.故选：A6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增．若55a =，则d ∈（）A.50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.100,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.100,7⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】因为数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数，由此可求d 得取值范围.【详解】因为{}n a 为等差数列，且55a =，所以()55n a n d =+-，又数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数.由()25250a d =+->⇒53d <.因为0n a >()2n ≥恒成立，所以数列{}n a 为常数数列或递增数列，所以0d ≥.综上，50,3d ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：A7.若关于x 的方程22112x mx x mx mx +++-+=的整数根有且仅有两个，则实数m 的取值范围是（）A.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.55,22,22⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.55,22,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】设2,1A mx B x ==+，利用绝对值三角不等式得||||2||B A B A A ++-≥，()()0A B B A +-≤时等号成立，进而有422(2)10x m x +-+≤且整数根有且仅有两个，对于22()(2)1f t t m t =+-+，应用二次函数性质及对称性有0∆≥且2224t x =<=，得(4)0f >，即可求参数范围.【详解】设2,1A mx B x ==+，则原方程为||||2||B A B A A ++-=，由||||||||||2||B A B A A B A B A B A B A ++-=++-≥++-=，当且仅当()()0A B A B +-≥，即()()0A B B A +-≤时等号成立，所以22222()()(1)()0A B B A B A x mx +-=-=+-≤，整理得422(2)10x m x +-+≤①，显然0x =不满足，令2t x =，即22(2)10t m t +-+=必有两根，且1210t t =>，故12,t t 为两个正根，所以2222(2)4(4)0m m m ∆=--=-≥，可得2m ≤-或2m ≥，对于22()(2)1f t t m t =+-+，有2(1)40f m =-≤，即21t x ==，即1x =±恒满足①，要使①中整数根有且仅有两个，则对应两个整数根必为1±，若整数根为12,x x 且12x x <，则12202x x -<<<<，即2222112224,24t x t x =<==<=，所以2(4)2540f m =->，得5522m -<<，综上，55,22,22m ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：C【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式的等号成立得到422(2)10x m x +-+≤，且整数根有且仅有两个为关键.8.已知定义在()0,1上的函数()()1,,1,m x m n f x n nx ⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数是互质的正整数是无理数，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于12x =对称 B.()f x 的图象关于11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.()f x 在()0,1单调递增 D.()f x 有最小值【答案】A【解析】【分析】利用特殊值可排除B 、C ，利用函数的性质可确定A 、D.【详解】对于BC ，由题意可知：13122f f ⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎭⎝⎭，显然()f x 的图象不关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，而3122+<，故B 、C 错误；对于D ，若x 为有理数，则()1f x n=，显然n →+∞，函数无最小值，故D 错误；对于A ，若mx n =是有理数，即(),m n m n <互质，则,n m n -也互质，即1m n m f f n n n -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若x 为无理数，则1x -也为无理数，即()()11f x f x =-=，所以()f x 的图象关于12x =对称，故A 正确.下证：,m n 互质，则,n m n -也互质.反证法：若,m n 互质，,n m n -不互质，不妨设,n m ka n kb -==，则(),m k b a n kb =-=，此时与假设矛盾，所以,n m n -也互质.故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A 、B ，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，()3,4P -为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，则（）A.()3cos π5α+=B.()π2π22k k βα=++∈Z C.7tan 24β=D.角β的终边在第一象限【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，所以：5OP =，所以4sin 5α=，3cos 5α=-，所以()3cos πcos 5αα+=-=，故A 对；又4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：724,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，所以角β的终边与单位圆的交点为247,2525⎛⎫⎪⎝⎭，所以7tan 24β=，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y x =-的角为：ππ,4k k -∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y x =-对称，所以2ππ24k αβ+=-⇒π2π22k βα=--()k ∈Z ，故B 错误.故选：ACD10.已知圆221:6C x y +=与圆222:20C x y x a ++-=相交于,A B 两点．若122C AB C AB S S =△△，则实数a的值可以是（）A.10B.2C.223D.143【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，由条件可得弦AB 所在的直线方程，然后将122C AB C AB S S =△△转化为圆心到直线AB 的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得弦AB 所在的直线方程为12:260C C x a -+-=，因为圆221:6C x y +=，圆心()10,0C ，圆222:20C x y x a ++-=，圆心()21,0C -，设圆心()10,0C 与圆心()21,0C -到直线AB 的距离分别为12,d d ，因为122C AB C AB S S =△△，即1211222AB d AB d ⋅=⨯⋅，所以122d d =，又12d d ==，2=2320280a a -+=，即()()31420a a --=，解得2a =或143a =.故选：BD11.已知半径为r 球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d ，则（）A.r 有最大值，但无最小值B.r 最大时，球心在正四面体外C.r 最大时，d 同时取到最大值D.d 有最小值，但无最大值【答案】ABD 【解析】【分析】求出r 的取值范围可判断A ，B ；设1OO x =，根据题意得到d 关于x 的表达式，构造函数()3f x x =-+，对()f x 求导，得到()f x 的单调性和最值可判断C ，D.【详解】对于AB ，设球心为O ，正四面体为A BCD -，BCD △的中心为1O，则O 在1AO上，32AH ==，12333DO ==，球与平面ACD ，平面ABC ，平面ABD 相切，与平面ABC 相切于点2O，11336HO ==，163AO ==，因为2r OO =，在1Rt AO H中，111tan 4O H O AH AO ∠==，则1sin 31O AH ∠=所以在2Rt AOO △中，2212tan 4r OO AO O AH AO ==∠=，因为20,2AO ⎛∈ ⎝⎦，所以20,48r AO ⎛=∈ ⎝⎦，r 有最大值，但无最小值，故A 正确；当max 8r =，此时13sin 82r AO r O AH ===>∠，r 最大时，球心在正四面体外，故B 正确；对于CD ，设1OO x =，63AO x =-，OD ==，所以33d OA OD x =+=-+，令()3f x x =-+，令()10f x =-=='，解得：612x =或612x =-（舍去），当0,12x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当123x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x在123⎛ ⎝⎭，上单调递减，所以当612x =时，()max f x =，所以d 有最小值，但无最大值，故D 正确，C 错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题CD 选项解决的关键在于，假设1OO x =，将d 表示为关于x 的表达式，再利用导数即可得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.平面向量,a b满足()2,1a = ，a b，a b ⋅= ，则b = ______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设向量(),b x y = ，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到b的坐标，从而得到结果.【详解】设向量(),b x y = ，由a b可得21x y =，又a b ⋅=，则2x y +=解得2105x =-，105y =-，则21010,55b ⎛=-- ⎝⎭ ，所以b ==13.如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB BC CD AD ===，点E 是AD 的中点．现将ABE 沿BE 翻折到A BE ' ，将DCE △沿CE 翻折到D CE '△，使得二面角A BE C '--等于60︒，D CE B '--等于90︒，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于______．【答案】8【解析】【分析】根据图象可得直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，设2AB a =，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.【详解】设2AB a =，取CE 的中点K ,连接,BK A K ',由题知平面BCE ⊥平面D CE ',平面BCE 平面D CE CE '=,又BK ⊂平面BCE ,BK CE ⊥所以BK ⊥平面D CE '，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，易求得3,3BK a A C a '==，2225cos 28EA EC A C A EC EA EC +-''⋅'=='∠,又2225cos 28EA EK A K A EC EA EK +-''⋅'=='∠,解得102A K a '=，22233cos 28A B BK A K A BK A B BK +-'⋅''=='∠,则23337sin 188A BK ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪'⎝⎭,所以直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于378，故答案为：378.14.已知P ，F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>与抛物线()220y px p =>的公共点和公共焦点，直线PF 倾斜角为60 ，则双曲线的离心率为______．【答案】273+72+【解析】【分析】由题意2pc =，根据直线PF 倾斜角为60 得直线PF 的方程为)3y x c =-，联立24y cx =得P 点坐标，代入双曲线方程即可得离心率.【详解】因为F 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>与抛物线()220y px p =>的公共焦点，所以2pc =，故24y cx =，因直线PF 倾斜角为60 ，故直线PF的斜率为k =，直线PF的方程为)y x c =-，联立24y cx =，得()234x c cx -=，即2231030x cx c -+=，得3x c =或13x c =，当3x c =时，2212y c =，代入22221x y a b-=得22229121c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得4292210e e -+=，解得211479e ±=，又因1e >，得723e +=当13x c =时，2243y c =，代入22221x y a b -=得222214931c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得422290e e -+=，解得211e =±，又因1e >，得2e =+故答案为：273+2.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．（1）求C ；（2）若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．【答案】（1）π4C =或3π4（2）43【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【小问1详解】由2sin c B =得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin >0,得sin 2C =，而C 为三角形内角，∴π4C =或3π4【小问2详解】由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =，，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴310sin 10A =.又sin sin a cA C =即232=⇒3c =，又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =114sin 222353S ac B ∴==⨯⨯=.16.已知直线y kx =与椭圆22:14xC y +=交于,A B 两点，P 是椭圆C 上一动点（不同于,A B ），记,,OP PA PB k k k 分别为直线,,OP PA PB 的斜率，且满足OP PA PB k k k k ⋅=⋅．（1）求点P 的坐标（用k 表示）；（2）求OP AB ⋅的取值范围．【答案】16.(P或P （0k ≠）；17.(4,5].【解析】【分析】（1）设出点,A P 的坐标，利用点差法求得14OP k k ⋅=-，再联立直线y kx =与椭圆方程求解即得.（2）利用（1）的结论求出||,||OP AB ，再借助基本不等式求出范围即可.【小问1详解】依题意，点A 、B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y P x y ，则()11,B x y --，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+，于是14OP k k ⋅=-，由22440y kx x y =⎧⎨+-=⎩，整理得22(14)4k x +=，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，用14k -代替上述坐标中的k，得(P或P （0k ≠）.【小问2详解】由（1）得，0k ≠，OP AB ⋅====221168816k k ++≥+=，当且仅当12k =±时取等号，显然2292511116168k k <+≤++，所以45OP AB <⋅≤，即OP AB ⋅的取值范围是(4,5].17.红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x （万元）与年收益y （万元）的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4（1）用ln y b x a =+模拟生产食品淀粉年收益y 与年投入资金x 的关系，求出回归方程；（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线ˆˆˆu bv a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii v unv u bvnv ==-⋅=-∑∑，ˆˆa u bv =-⋅②81ii y=∑81ln ii x=∑821ii x=∑()128ln i i x =∑81ln iii y x=∑1612920400109603③ln20.7,ln5 1.6≈≈【答案】（1）5ln 2ˆyx =+（2）36.5【解析】【分析】（1）利用回归直线的公式求ˆb和ˆa 的值，可得回归方程.（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.【小问1详解】()()()()88881111882222211ln 29161ln 8ln ln 860388888529ln 8ln ln 81098ˆln 8iii i ii iii i i i i i x yx yx yx ybx xx x ======-⋅-⋅-⨯⨯====⎛⎫---⨯ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑1ˆˆ6129ln 5288y ab x =-⋅=-⨯=∴回归方程为：5ln 2ˆyx =+【小问2详解】2024年设该企业投入食品淀粉生产x 万元，预计收益y （万元）()15ln 220010y x x =++-⋅，0200x ≤≤515001010x y x x-=-=>'，得50x <∴其在()0,50上递增，()50,200上递减()()max 5ln5021552ln5ln217521.60.71736.5y =++=++≈⨯⨯++=18.数列{}{},n n a b 满足：{}n b 是等比数列，122,5b a ==，且()()*1122238N n n n n a b a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-+∈．（1）求,n n a b ；（2）求集合()(){}*0,2,Ni i A x x a x b i n i =--=≤∈中所有元素的和；（3）对数列{}n c ，若存在互不相等的正整数()12,,,2j k k k j ⋅⋅⋅≥，使得12j k k k c c c ++⋅⋅⋅+也是数列{}n c 中的项，则称数列{}n c 是“和稳定数列”．试分别判断数列{}{},n n a b 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．【答案】（1）31n a n =-，2nn b =（2）()2log 61122212462433n n n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦++--（3）数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈，数列{}nb 不是“和稳定数列”，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出{}n b 的通项公式，由已知和求通项可得{}n a 的通项公式，（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.【小问1详解】()1111238a b a b =-+ ，112,2b a =∴=又()11222223a b a b a b +=-，1122,2,5b a a =∴==，解得：24b =因为{}n b 是等比数列，所以{}n b 的公比212b q b ==，2n n b ∴=又当2n ≥时，()11221111238n n n n a b a b a b a b ----++⋅⋅⋅+=-+，作差得：()()112323n n n n n n a b a b a b --=---将2nn b =代入，化简：()()1233n n n a a a -=---，得：()132n n a a n --=≥{}n a ∴是公差3d =的等差数列，()1131n a a n d n ∴=+-=-【小问2详解】记集合A 的全体元素的和为S ，集合{}122,,,n M a a a =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22261262n n n A n n -+==+，集合{}122,,,n N b b b =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22122122212nn nB+-==--，集合M N ⋂的所有元素的和为T ，则有22n n S A B T =+-对于数列{}n b ：当()*21N n k k =-∈时，()()2121*2123131N k k k bp p ---==-=-∈是数列{}n a 中的项当()*2Nn k k =∈时，()()*221223132N kk bb p p p -==-=-∈不是数列{}n a 中的项1321k T b b b -∴=++⋅⋅⋅+，其中()()21222212log 611log 61122k n k n b a n n k b a -+≤⎧---+⇒<≤⎨>⎩即()2log 6112n k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）()()()2log 61122142241411433n k k T ⎡-+⎤⎢⎣⎦⎛⎫- ⎪∴==-=--⎪⎝⎭()2log 61122212462433n n S n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦∴=++--【小问3详解】①解：当()*3,Nj m m =∈时，12j k k k aa a ++⋅⋅⋅+是3的正整数倍，故一定不是数列{}n a 中的项；当()*31,Nj m m =-∈时，()121mod3j k k k aa a ++⋅⋅⋅=+，不是数列{}n a 中的项；当()*31,Nj m m =+∈时，()122mod3j k k k aa a +++= ，是数列{}n a 中的项；综上，数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈；②解：数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：121j k k k ≤<<⋅⋅⋅<，则12j j k k k k b b b b ++⋅⋅⋅+>，且121112121222222j j j j j j kk k k k k k k b b b b b b b +++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-<=故12j k k k b b b ++⋅⋅⋅+不是数列{}n b 中的项.数列{}n b 不是“和稳定数列”.19.如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．（1）求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线1y x=的曲率半径的最小值；（3）若曲线e x y =在()11,ex x 和()()2212,e x x xx ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x +<-．【答案】（1）221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出b 即可；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ，根据所给定义表示出r ，再由基本不等式计算可得；（3）依题意函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，即242333eex x r -=+，从而得到112242423333e e e ex x x x --+=+，令1231e xt =，2232e xt =，即可得到()12121t t t t +=，再由基本不等式证明即可．【小问1详解】记()2f x x =，设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，其中b为曲率半径．则()2f x x '=，()2f x ''=，故()()231200b f b b ===-''，232r b=，即12b =，所以抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r．则法一：()()()0002030x a f x y b r f x b y -⎧=-⎪-⎪⎨'''⎪=⎪-⎩，由()()22200x a y b r -+-=知，()()220201r f x y b ⎡⎤+='⎣⎦-，所以(){}()32201f x r f x ⎡⎤+='''⎣⎦，故曲线1y x=在点()00,x y 处的曲率半径3222030112x r x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=，所以3340220220301111242x r x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+≥ ⎪⎝⎭，则2212333020122r x x -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则322020112r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x=时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =法二：()0202330012x a x y b r x b y -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩r =，所以23001323013022x ry b r x a x ⎧⋅⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪⎩，而()()4423322200022233022x r r r x a y b x ⋅=-+-=+⋅，所以2223302012r x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程可得322020112r x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3220201124r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即21x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =【小问3详解】法一：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，故242333e ex x r -=+，由题意知：112242423333eeeex x x x --+=+令12223312,e ex x t t ==，则有22121211t t t t +=+，所以22122111t t t t -=-，即()()12121212t t t t t t t t --+=，故()12121t t t t +=．因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以()()123212121212122e x x t tt t t t t t +=+>⋅=，所以12ln2x x +<-．法二：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，有()3224222e1e 3e 3e exx x xxr -+==+++令122212,e e x x t t ==，则有22112212113333t t t t t t +++=+++，则()121212130t t t t t t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，故1212130t t t t ++-=，因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以有12121211033t t t t t t =++->-，令t =，则21230t t+-<，即()3220231(1)21t t t t >+-=+-，故12t <，所以1212e x x t +==<，即12ln2x x +<-；法三：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1e xxr +=．故242333e ex x r =+设()4233e ex xg x =+，则()()4222333422e e e 2e 1333x x xx g x ---='=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈--⎪⎝⎭时()0g x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0g x '>，所以()g x 在1,ln22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈--⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2g x g x g x =>--将12ln2x x +<-，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2g x g x >--，设函数()()()ln2G x g x g x =---（其中1ln22x >-），则()()()()21423332ln22e 1e 2e 03x x x G x g x g x --⎛⎫=+--=--⋅> ⎪'⎝⎭'，故()G x 单调递增，()1ln202G x G ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故()()22ln2g x g x >--，所以12ln2x x +<-．法四：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，有()3224222e 1e 3e 3e exx x x xr -+==+++，设()422e3e 3e xx x h x -=+++．则有()()()24222224e 6e 2e2ee12e1xx xxxxh x --=+-+'=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈--⎪⎝⎭时()0h x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0h x '>，故()h x 在1,ln 22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln 2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增．故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈--⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2h x h x h x =>--．将12ln2x x +<-，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2h x h x >--，设函数()()()ln2H x h x h x =---（其中1ln22x >-），则()()()()222411ln22e11e e 024xx x H x h x h x --''⎛⎫=+--=-++> ⎪⎝⎭'，故()H x 单调递增，故()1ln202H x H ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故()()22ln2h x h x >--，所以12ln2x x +<-．【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.。

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高三数学文科二模试卷
、选择题
2
1•已知全集u Z，A 0,1,2,3，B x|x 3x，则A C d B （）
A. 1,3
B. 1,2
C. 0,3
D. 3
a
2i
2•已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则实数a等于（）
2 i
6，4上为增函数，则的最大值为（）
6.《算法统宗》是我国古代数学明珠，由明代数学家程大位所著。

该著作中的如图所
示的程序框图表示。

执行该程序块框图，若输出的
输出曲
开皓
输人日
A.-4
B.4
C.1
D.-1
3•在区间6,7内任取一实数m ,
2479
A.—
B.-— c.— D.—
13131313
22
4•双曲线
C：
x
2
y_ 1a0,b
a b2
A. 2x 'y 0
B. x2y0
5.将函数 f x2si n x
6
x2 mx m的图象与x轴有公共点的概率为（）
0的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）
C. 3x y 0 x 、一3y 0
0的图象向右平移一个单位长度，得到函数y g x的图象。

若
6
A. 3
B. 2
3
C.—
2
12
D.—
5
李白沽酒”问题的思路可以用
m的值为0，则输入的a值为（）
21 45 93 189
A. —
B. —
C. —
D.-----------------------
8 16 32 64
7•已知a n为等比数列，数列b n满足b i 2, b2 5，且a n b n ! b n a n !，则数列b n的前n项和为（）
3n2 n3n2 n
A. 3n 1
B. 3n 1
C. ---------------
D.
22
8•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A. 20 2
B. 24 2 1
C. 24 2 2
D. 20 2 1
9•已知奇函数f x的定义域为R,且对任意x R都有f 2 x f x，若当x 0,1时，f x log2 x 1 ，
则f 1 2 （）
1 1
A. B. — C. 1 D. 1
2 2
10. 已知三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC是边长为2的正三角形，PA,PB,PC两
两垂直，则球O的体积为（）
A. B.彳'3 C.3 D.4J3
2
11. 某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同。

下面是关于他们选课的一些信息：
①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；
①乙不选广播电视，也不选公共演讲；」
①如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视。

若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是（）
A.影视配音
B. 广播电视
C.公共演讲
D.播音主持
x 1 彳
—厂x 1 23
12. 已知函数fx x ，g x x 2x -，设b为实数，若存在实数a，使得
4
ln x 2 x 1
f a
g b 2成立，则实数a的取值范围为（）
A. 1,3
B. 1,3
C. ,13,
二、填空题
13. 若平面向量a,b满足abb 7 a Q3 , b 2，则向量a与b的夹角为_______________________________
y 1
14. 已知实数x, y满足x y 1 0，则z 2x y的最大值是______________________-
x y 4 0
15•已知在平面直角坐标系中，依次链接点P0 0,0 , R X1,1，F2 X2,2，…，P n X n,n得到折线F0RF2 P n,
1
若折线R i 1F?所在直线的斜率为才T i 1,2, ,n，则数列x n的前n项和为 _____________________ --
2
16.已知抛物线X 4y的焦点为F, M是抛物线C上一点，若FM的延长线交X轴正半轴于点N，交抛物
线C的准线丨于点T,且FM MN，则NT ___________________ -
三、解答题
cos B cosC V 3 si nA
17•在△ ABC中，角A,B,C对的边分别为a, b,c，且。

b c 3sin C
(1 )求b的值；
(2)若cosB 3sin B 2，求△ ABC 的最大值。

18.
如图所示，在五面体
ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且 BAD 60 , EA ED AB 2EF 4
EF // AB , M 为 BC 中点。

(1)求证：FM //平面BDE
19.某中学为调查该校学生美洲参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的 0,2内的学生有1人。

(2)将每周参加社会实践活动时间在
4,12内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在 0,4内定义
为“不经常参加社会实践”，已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有 13人成绩等级为“优秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的 13人中“经常参加社会实践活动”的有
12人，请将2X 2列
联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.05的前提下认为青少年科技创新大赛“优秀”与经常
参加社会实践活动有关；
(3 )在(2 )的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新班，求其中恰有一人成绩优秀的概率。

(2)若平面ADE 平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离。

时间(单位：小时)，将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在
(1)求样本容量n 并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值
参考公式和数据：
n ad be
abed abedaebd
1
中点为D ，且直线0D 的斜率为。

2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过左焦点 F 斜率为k 的直线丨与椭圆交于 M , N 两点，P 为椭圆上一点，且满足 OP MN ，问
21.设函数 f x x acosx blnxa,b R
（1 ）若 b 0,且f x 在0, 上为增函数，求a 的取值范围；
（2）设 0
b
a 1，右存在 x 1, x 2 0,
，使得 f %
f x 2 x, x 2，求证：b 0 且.％x 2
a 1
x 3 tcos
22. ［选修4-4:坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
t 为参数，以
y 2 t sin 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
2 cos
（1）求直线I 和圆C 的普通方程；
1 1
（2 ）已知直线l 上一点M 3,2，若直线l 与圆C 交于不同的两点 A 、B ,求 —— ——的取值范围。

MA | |MB
23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知函数f x x a 2x 1,a R （1 ）当a 1时，求不等式f x 1的解集。

1
（2）设关于x 的不等式f x 2x 1解集为P ,且 1,
P ，求a 的取值范围。

4
20.已知椭圆
2 2
C ：；2 b
2 19
L 1
b 0
的焦距为
2 3
，斜率为2的直线与椭圆交于
A,B 两点，若线段AB
1
MN
2是否为定值？若是
OP
求出该定值；若否，说明理由。