圆的方程;空间两点的距离公式

【同步教育信息】
一.本周教学内容：
圆的方程；空间两点的距离公式
教学目的：
1.理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径；能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。
2.能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系；能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。
2.两圆相交问题
（1）过两已知圆 的交点的圆系方程，
即
当 时，变为 ，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。
（2）过直线与圆交点的圆系方程
设直线 与 相交，则方程 表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程。
A.（－2，3，－1）B.（－2，－3，－1）
C.（2，－3，－1）D.（－2，3，1）
3、设点B是点A（2，－3，5）关于xOy面的对称点，则|AB|等于（）
A. 10B. C. D. 38
4、设有圆M： ，直线 ，点P（2，1），那么（）
A.点P在直线l上，但不在圆M上B.点P不在直线l上，但在圆M上
圆 与圆 的位置关系，其中
设两圆的圆心距为d，则
当 时，两圆外离；
当 时，两圆外切；
当 时，两圆相交；
当 时，两圆内切；
当 时，两圆内含
注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示：
两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。
（4）确定圆的条件
由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。
（5）点与圆的位置关系的判定
若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即
；
若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1） 和 的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程 表示圆的必要条件，但不是充分条件。
要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。
（三）直线和圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
（5）圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点（2，－1）。
解析：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）设所求圆的方程为
因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ，
又圆心在直线 上，所以 ，
解方程组 ，得：
所以圆心坐标为（4，4），或（1，－1）
于是可得半径 ，
故所求圆的方程为 或 。
（5）设圆心为（a,－2a）由题意，圆与直线 相切于点（2，－1），得
8、直线 被圆 截得的弦长等于（）
A. B. 2C. D.
9、直线 被圆 所截得线段的中点坐标是（）
A. B.（0，0）C. D.
10、若圆 和圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是（）
A. B.
C. D.
11、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程是____________________
（五）空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示．轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。
解得：a＝1
所以所求圆的圆心为（1，－2），半径为
故圆的方程为
点评：一般情况下，如果已知圆心或圆心到某直线的距离，可用圆的标准方程来求解。用待定系数法，求出圆心坐标和半径。
例2.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点（5，2）和点（3，－2）的圆的方程。
解析：法一
设圆的方程为 ，则
解得
法二：因为圆过A（5，2），B（3，－2）两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为
2.点P的坐标
过点P作一个平面平行于平面yOz（这样构造的平面同样垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗？
3.坐标平面
每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。
4.特殊点的坐标形式
xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数；
设所求的圆的方程为 ，则有
解得
因此，圆的方程为
法三，设所求圆的方程为
即
因为这个圆的圆心在直线 上
所以
解得
圆的方程为
点评：注意掌握这种特殊题型的几种解题方法。
【模拟试题】
1、点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）
A. y轴上B. xOy平面上C. xOz平面上D.第一卦限内
2、点M（2，－3，1）关于坐标原点的对称点是（）
点评：（1）曲线C不是一个完整的圆，是半圆；（2）数形结合思想的应用。
例7.求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆 ， 的交点的圆的方程。
解析：法一
解方程组
得交点坐标分别为（0，2）（－4，0）
设所求圆心坐标为（a，－a）
则
解得
因此，圆的方程为
法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0，2），（－4，0）
C和l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解
于是
解得
法二：方程 表示斜率为1的平行直线系；方程 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l通过A（－1，0），B（0，1）时，l与C有两交点，此时b＝1，记为 ；当 与半圆相切时，切线记为 ；当l夹在 与 之间时，l和C有两个不同公共点。因此 。
xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；
yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；
x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
5.卦限
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。
在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y、z均为正数。
（3）相离，并写出过P点的切线方程。
解析：法一
设过P点的直线的斜率为k，则其方程为
由 消去y，得
即
（1）令 ，即
当 时，直线与圆相切，切线方程为 或
（2）令 ，即
当 时，直线与圆相交
（3）令 ，即 或 时，当 或 时，直线与圆相离
法二：设圆心到直线的距离为d，则
（1） ，即 ，
时，直线与圆相切，其切线方程为 或
（2） 时，即 ， 即 时，直线与圆相交
（3） ，即 ，
即 或 时直线与圆相离
点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。
例6.已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，求b的取值范围。
解析：法一，曲线C中， ，因此l和C有两个公共点，等价于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，消去x得
；
若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为 ，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。
（3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为
（四）圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系问题
判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：
解析：设所求的圆的方程为
将A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三点的坐标代入圆的方程
得
解得
圆的方程为：
点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。
例5.已知圆 ，定点P（4，0），问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆
（一）圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
2.圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为 。
说明：
（1）上式称为圆的标准方程。
（2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是 。
（3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即 圆心为（a，b），半径为r。
C.点P在直线l上，也在圆M上D.点P既不在直线l上，也不在圆M上
5、设M是圆 上的点，则M到直线 的最小距离是（）
A. 9B. 8C. 5D. 2
6、方程 表示圆，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7、过点P（3，0）能有多少条直线与圆 相切（）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 1条或2条
3.掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标；掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。