全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文设计

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：甲型H1N1流感的预测、控制和影响模型摘要甲型H1N1流感是全国乃至全球人们最受关注的传染病，它的传播速度快，对人们的身体健康危害极大。

本文根据香港甲流疫情数据进行分析，对其传播的预测与控制进行研究并建出模型，并提出模型建立的关键和困难以及对卫生部门所采取的预防措施作出评定估计。

针对问题一，为了了解甲流的传播情况，先作出已确诊的病例散点图。

根据散点图的情况，分别建立了马尔萨斯模型：()t e t x 0175.08.1107=，阻滞增长模型：()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11110，SIS 模型：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)11(σλi i dt di ，SIR 模型： ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=0000s s i i s d ds N s d d i t i i tiλμλ， 以及SIR 模型的改进模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+==-+=-=βεωωωβωωωεββεωβωωβ)()()(g s p dt d qi g dt di qi dt dr g g g s p gt dg s p dt ds. 从SIR 模型的改进模型中，可以得出控制传染源、切断传播途径、保护易感人群、隔离等措施进行预防和控制H1N1甲流的传播。

针对问题二，考虑H1N1对旅游经济的影响，对近几年香港接待海外游客的数据进行拟合，得出2009年后三个月的游客数目18.1984y3 , 26.7907y2, 25.5199y1===，进而建立灰色预测模型:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=--∧2046820468))1((17669.2500.0124 0124.0)0(11e a b e a b x k x x dtdx a ，并对其模型进行了残差检验和关联度检验，从而较为准确的预测出2010的旅客人数为274.9568万人。

【关键词】 H1N1流感 马尔萨斯模型 Logistic 模型 SIR 模型 灰色预测法一、问题重述2009年3月底至4月中旬，由墨西哥、美国等地相继发生甲型H1N1流感(A/H1N1 influenza)疫情逐步迅速地蔓延到世界各地。

甲型H1N1流感（简称甲流）是一种新型甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病。

去年爆发期间全球数千万人染病，死亡人数超过16000人。

截至去年12月21日，我国内地确诊110590例，死亡442人。

由于甲流的传播速度快，对人们的身体健康危害大，因此得到世界卫生组织的重视和人们广泛的关注。

附件1是香港流感疫情的模拟数据；附件2是香港接待海外旅游人数的模拟数据。

收集和阅读有关甲流的相关数据及文章，建立数学模型，解决如下问题：问题一：对甲流的传播数学模型进行分析，特别地说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？同时，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计（附件1提供的数据可供参考）。

问题二：收集甲流对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测（附件2提供的数据可供参考）。

二、问题分析根据附件1香港疫情数据分析，我们初步观察到在对65天甲流传播情况包含了对已确诊病例、疑似病例、死亡人数累计量以及治愈出院人数累计量。

依据这些数据，首先我们对香港疫情中的已确诊病例情况做出定量分析，运用Mtlab7.1编程得出了甲流传播速度情况的散点图。

针对传染病的传播过程，首先，我们用()t x 表示时刻t 的病人人数，用λ表示每天每个病人有效接触的人数，考虑t 到t t ∆+时刻病人人数的增加，建立微分方程 x dtdxλ=，()00x x =，通过马尔萨斯模型求解得：()t e x t x λ0=。

接着在病人的有效接触人群中只有病人方可被传染为病人，因此要区分健康人和病人。

那么我们再次对这些数据进行分析， 用常数λ表示日接触率；()t s 表示健康者；()t i 表示病人；用()t Ni 表示病人数。

那么由此可知每天共有()()t i t Ns λ个健康者被感染。

建立模型 Nsi dt diNλ=，()()1=+t i t s ，通过阻滞增长模型求解得：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t e i t i λ111/10。

接着我们考虑当治愈后的健康者还可被感染变成病人的情况，我们用μ表示日治愈率，μ1表示平均传染期，建立模型 Ni Nsi dtdiN -=λ。

对于问题二，首先我们利用2003年至2008年后7至9月份各个月份的平均值与2009年做差值，利用其差值进行拟合，利用Mtlab7.1求得2003年至2008年与2009年后三个月的差值为2.4468，-2.2407，0.6516，从而得到2009年后三个月香港海外旅游人数。

接着同样运用Mtlab7.1编程对2003年到2009年香港海外旅游总人数进行了处理并假设 ()()}{1,196.697,297,326.3,250,292.229.2,217.0=k X ，再对其作一次性累加生成运算得到新的生成数列()()}{,1809 ,1612.3 ,1286.2 989.2 , 696.5 , ,446.5 229.21=k X ，紧接着对()()k X1作紧邻均值生成得出数据阵B 和数据向量n Y ，再对参数列T b a ],[=∧α进行最小二乘估计最后建立出了灰色模型（GM(1,1)模型）。

我们又经过对GM(1,1)模型的残差检验和关联度检验，最终得出了预测结果。

三、符号说明四、模型假设1、假设已确诊人数作为主要的预测模型的指标，对于甲流感病情的预测没有影响。

2、假设所有的统计数据真实，没有遗漏现象。

3、假设与患者有效接触的易感染者（即未患过该病的健康者）均会被传染。

4、假设所考查人群的总数恒定，没有其他病源的输入和输出，不考虑总人口的出生率和自然死亡率。

五、模型的建立与求解5.1 对问题一建立模型与求解5.1.1 已确诊病例散点图根据问题一，由附件1（香港疫情数据）中的已确诊病例数据,用Mtlab7.1作出如下散点图（程序参见附件3）：图1 散点图从图1可看出，前25天（即5月20日至6月15日），甲流的传播速度增长幅度较大，而后四十天，甲流的传播速度持续增长，但增长速度趋于平缓。

5.1.2马尔萨斯模型（Malthusian 模型）甲流传播预测模型类似于人口增长的预测模型，故首先采用马尔萨斯模型（Malthusian 模型）进行建模。

设时刻t的病人人数()t x是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t到t+t∆病人人数的增加，则有()()()t=-∆+λtx∆txttxx个病人，即得微分方程再设0=t时有()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x xdtdxλ 解之可得：()t e x t x λ0= 其中， λ,0x 为常数。

根据香港疫情数据中的已确诊的病例数据散点图(图1)，考虑利用马尔萨斯模型()t e x t x λ0=来预测甲流的传播情况。

用matlab7.1求得8.11070=x 0175.0=λ。

即得马尔萨斯模型如下（程序参见附件4）： ()t e t x0175.08.1107= 模型Ⅰ图2 马尔萨斯拟合及预测图形结果表明，随着t 的增加，病人人数()t x 无限增长。

即马尔萨斯拟合及预测图线与香港疫情中的已确诊病例数据图线拟合程度较差，且对未来预测情况跟实际显然是不太相符合的，因此暂不考虑用该模型进行数据预测。

对模型Ⅰ的结果分析：马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型，它发现人口或种群成指数增长。

即在模型I 中可引意为，患病人数随着时间得增长呈指数增长变化。

但现实生活中，由于病人在有效接触的人群中，包含健康人和病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，因此在改进的模型中必须避免将健康人和病人混为一体这种情况，即要区别病人和健康人进行建模。

5.1.3 阻滞增长模型（Logistic 模型）在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。

人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人。

时刻t 这两类人在总人数中占得比例分别记作()t s 和()t i 。

假设病人每天的有效接触的平均人数是常数λ，λ成为日接触率。

当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。

根据假设，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，因为病人数为()t Ni ，所以每天共有()()t i t Ns λ个健康者被感染，于是Nsi λ就是病人数Ni 的增加率，即有Nsi dtdiNλ= 又因为()()1=+t i t s再记初始时刻()0=t 病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt diλ解之得：()te i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11110 模型Ⅱ用Mtlab7.1作出()t t i ~和i dtdi~的图形如下（程序参见附件5）：图3 Logistic 模型()t t i ~曲线 图4 Logistic 模型i dtdi~曲线 模型Ⅱ结果分析：由图4可知，当5.0=i 时dt di 达到最大值mdt di ⎪⎭⎫⎝⎛，这个时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ 此时病人数增加得最快，预示着传染病的高潮的到来。

m t 与λ成反比，由于日接触率λ反应了该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高。

所以改善保健设施、提高卫生水平可以延缓传染病高潮的到来。

而当∞→t 时1→i ，即所有人终究将被传染，全变为病人，这显然与实际情况不符相。