内点法的基本原理以及举例计算
内点法及最大输电能力计算
要保证系统在发生扰动后能够继续保持可靠的运行。
输电能力基本概念
系统输电能力的准确求解对电力系统有重要的意义： 输电能力的大小直接反映了电网的安全性、可靠性，以 及互联电网的联接强度和结构的优劣，为电网规划设计 部门及审批部门提供量化的辅助性测评标准。
输电能力的实时求解可以帮助调度运行人员可以及时掌 握系统目前运行情况，合理调度各区域间的资源。
原对偶内点法基本原理
扰动因子和衡量系统最优性的互补间隙之间有确定的关系，当
Gap 为0，则互补间隙为0，意味着最优解已找到。
只要扰动因子的选取满足
Gap 2r
就可以使互补间隙单调下降，从而使系统单调收敛到最优解。
于是可引入一个中心常数 ( (0,1)) 使得 Gap 2r 一般中心常数 取0.1
算法的流程
（7）求解修正方程式，得到修正方向；
（8）确定原变量和对偶变量的步长； （9）修正原变量和对偶变量，转到步骤（2）
ji
Qi QGi Vi 2 BCi Vi I Ci QLi
ji
Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij ) dQi 0
应用原对偶内点法求解最大输电能力
不等式约束 • 发电容量约束
PGi PGi PGi
QGi QGi QGi
min f ( x)
S .t. g ( x) 0
h( x) u h
h( x ) l h
u 0, l 0
原对偶内点法基本原理
把优化问题 中的目标函数改造为障碍函数，该函数在可行 域内应近似于原目标函数 f ( x)
min f ( x) log( l i ) log( u i )
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
内点法 梯度
内点法梯度一、内点法梯度的基本原理内点法梯度是一种基于梯度信息的优化算法，通过不断迭代逼近最优解。
其基本思想是引入一个罚函数来惩罚违反约束条件的解，并通过梯度信息来指导搜索方向。
内点法梯度的目标是在迭代过程中逐步满足约束条件，直到找到最优解。
二、内点法梯度的步骤内点法梯度的步骤主要包括初始化、计算梯度、更新迭代、判断终止条件等几个关键步骤。
1. 初始化：选择初始点，并设置迭代参数，例如迭代次数、容忍度等。
2. 计算梯度：根据所求解的问题，计算当前点的梯度信息。
梯度是一个向量，指示了函数在当前点上升最快的方向。
3. 更新迭代：根据计算得到的梯度信息，更新当前点的位置。
内点法梯度通常使用线性搜索或者牛顿法来确定步长。
4. 判断终止条件：判断当前点是否满足终止条件，例如达到最大迭代次数、梯度变化小于容忍度等。
如果满足终止条件，则迭代终止，输出最优解；否则，返回第二步。
三、内点法梯度的应用内点法梯度广泛应用于非线性规划问题，例如在工程、经济和金融等领域中。
下面以一个简单的例子来说明内点法梯度的应用。
假设我们要最小化一个二次函数f(x) = x^2 - 2x + 1，同时满足约束条件x >= 0。
我们可以使用内点法梯度来求解这个问题。
我们选择初始点x0=1，并设置迭代参数，例如最大迭代次数为100，容忍度为0.01。
然后，我们计算初始点的梯度，即f'(x0) = 2x0 - 2 = 2*1 - 2 = 0。
接下来，我们根据梯度信息更新当前点的位置。
假设我们选择步长为0.1，则更新后的点为x1 = x0 - 0.1 * f'(x0) = 1 - 0.1 * 0 = 1。
然后，我们判断终止条件。
由于迭代次数还未达到最大迭代次数，我们继续迭代。
重复以上步骤，直到满足终止条件。
在每次迭代中，我们计算当前点的梯度，更新当前点的位置，并判断终止条件。
最终，我们得到最优解x* = 1，对应的函数值为f(x*) = 0。
最优化方法-障碍函数法与混合罚函数法
Company Logo
12
二、混合法函数法
(3)极小点外推记为：
X
c1/ 2 X k 1 X k c1/ 2 11或X Nhomakorabea
X k1
(c c1/2 ) X k c3/2 X k1 (c 1)(c1/2 1)
2
若有 gi (X )＜0,i 1,2,...,m ，令 Xk1 X ，否则，舍弃。 (4)若点Xk+1满足终止准则，输出Xk+1,计算停止；否则，令
11
二、混合法函数法
3、混合罚函数法的算法基本步骤：
(1)选取X0，使满足 hj (X0) 0, gi (X0)＜0, 令 0 1，c＞1(通常，取c=4
或c=10),选取ε＞0，令k=0。
(2)对 k 构造 F ( X , k )。以Xk为初始点，求解无约束极小化问题：
min F ( X , k )
2
一、障碍函数法
当X在边界时，B(X)的值为无穷大。这样，可阻止 F(X,γ)的极小点穿越边界，而必定被限制为可行 点。显然，函数B(X)的作用对企图脱离可行域的
点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍 ，因此称为障碍函数。
Company Logo
3
一、障碍函数法
2.障碍函数法(内点法)算法过程
(4)如果 0＜ k B( X k 1） ，输出Xk+1，计算终止；否则
k1 d k , k k 1 转(2)。
Company Logo
4
一、障碍函数法
注：从理论上讲，Xk一定是可行域的内点，但是 在实际的计算过程中，由于步长是取离散数值， 以及舍入误差等原因，使Xk有能取非可行点， 在这种情况下，应选用优于Xk+1的内点来取代 Xk。
内点法
一、目的使用目前熟悉的C 语言进行编程，实现所学的内点法对约束非线性规划问题进行求解，并正确运算测试结果。
二、内点惩罚函数法内点法是从可行域内某一初始内点出发，在可行域内进行迭代的序列极小化方法。
它仅用于求解不等式约束优化问题。
三、问题的提出用c 语言实现内点法的编程，并求解下面的非线性规划问题。
1222121min ()..0f x x x s t x x x =+-+≤≥四、算法基础内点法具体计算步骤为：1、 给定初始点(0)i n t x D ∈，允许误差0ε>，初始参数10r >，缩小系数(0,1),1k β∈=；2、 以(1)k x -为初始点，求解问题min ()()..int k f x r B x s t x D +∈设求得极小点为()k x ；3、 若()()k k r B x ε<则停，得近似解()k x ；否则令1,1k k r r k k β+==+，回2。
五、具体实现程序#include <stdio.h>#include <math.h>#define MAXDEM 10//This is the optional model:struct MODEL{double (*g[10])(double *); //The object functiondouble (*f)(double *); //The subject functions,the max number is 10int stNum; //The number of subject functions} Model;//******A example to get the optional value of function x1+x2double f(double x[]){return x[0]*x[0]+x[1]*x[1];}//****下面的三个函数是不等式约束函数，要求约束函数>0double g1(double x[]){return 0; //-x1*x1+x2>0}double g2(double x[]){return x[0]-1; //x1>0}//*****The function created for this methoddouble fun(double x[],double r){int i;double (*g)(double *);double ret=0;for(i=0;i<Model.stNum;i++){g=Model.g[i];if(g(x)<1e-10)ret+=1e+30;elseret+=r/g(x);}return f(x)+ret;}//**********The following two functions are to get the optional value of fun// in dimensions_turn methodvoid Search(double(*fun)(double *, double ),double Accur,int s,double X[],double r,int Dim) {double S[MAXDEM],AidX[MAXDEM],h=1;int i;for(i=0;i<Dim;i++){if(i==s)S[i]=1;elseS[i]=0;}while(fabs(h)>Accur){for(i=0;i<Dim;i++)AidX[i]=X[i]-h*S[i];if(fun(X,r)>fun(AidX,r)){for(i=0;i<Dim;i++)X[i]=AidX[i];h*=2;}elseh=h*(-1.0/4.0);}}void Demensions_Turn(double(*fun)(double *, double),double Accur,double* X,double r,int Dim) {double AidX[MAXDEM],Mod=1;int i;while(Mod>Accur){Mod=0;for(i=0;i<Dim;i++)AidX[i]=X[i];for(i=0;i<Dim;i++)Search(fun,Accur,i,X,r,Dim);for(i=0;i<Dim;i++)Mod+=(AidX[i]-X[i])*(AidX[i]-X[i]);Mod=sqrt(Mod);}}//The function is to get the optional value of the modelvoid Sum_In(double x[],double Accur,int Dim){double Aidx[MAXDEM],r=1,mod=10;int i;printf("\tr");for(i=0;i<Dim;i++)printf("\tx%d",i+1);printf("\tf(x*)\n");while(mod>Accur&&r>1e-10){mod=0;r *=0.02;for(i=0;i<Dim;i++)Aidx[i]=x[i];Demensions_Turn(fun,Accur,x,r,Dim);printf("%10.9lf",r);for(i=0;i<Dim;i++){printf("%10.5lf",x[i]);if(fabs(Aidx[i]-x[i])>mod)mod=fabs(Aidx[i]-x[i]);}printf("%10.5lf",f(x));printf("\n");}printf("\tr");printf("\tx%d",i-1);printf("\tx%d",i);printf("\tf(x*)\n");printf("%10.9lf",r);printf("%10.5lf",x[i-2]);printf("%10.5lf",x[i-1]);printf("%10.5lf",f(x));printf("\n");}int main(){double x[2]={1,0},Accur=0.000000005;//Initial the ModelModel.f=f;Model.g[0]=g1;Model.g[1]=g2;Model.stNum=2;Sum_In(x,Accur,2);return 0;}六、实验结果及分析从运行结果可以看出，最优解为：*(0,0)Tx=最优值为：()0f x=。
内点法无法处理等式约束
内点法无法处理等式约束1. 引言在数学和优化领域中，等式约束是一类经常出现的问题。
在优化问题中，等式约束指的是优化目标函数所受到的一系列等式限制条件。
内点法（Interior Point Method）是一种常用的优化算法，通常用于解决约束优化问题。
然而，内点法无法处理等式约束问题，因为等式约束问题的解空间通常是非凸的。
本文将详细介绍内点法的原理和应用，并解释为什么内点法无法处理等式约束。
2. 内点法的原理内点法是一种迭代算法，用于求解凸优化问题。
其基本思想是通过将问题转化为无约束问题，找到目标函数在可行域内的最优解。
内点法的核心思想是通过引入一系列罚函数，将约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而将原问题转化为一个无约束优化问题。
内点法的基本步骤如下：1.初始化：选择初始点作为可行解。
2.内点迭代：迭代计算目标函数的梯度和Hessian矩阵，并更新可行点，直到满足终止条件。
3.输出结果：输出最优解。
内点法的优点是收敛速度快，对于大规模问题具有较好的求解效果。
然而，当问题存在等式约束时，内点法的应用受到限制。
3. 等式约束问题等式约束问题是指在优化问题中，目标函数受到一系列等式限制条件的约束。
等式约束问题的一般形式如下：minimize f(x)subject to c(x) = 0其中，f(x)是目标函数，c(x)是一组等式约束条件。
等式约束问题的解空间通常是非凸的，即不满足凸集的定义。
因此，内点法无法直接应用于等式约束问题。
4. 内点法无法处理等式约束的原因内点法无法处理等式约束问题的原因主要有以下几点：4.1 非凸性等式约束问题的解空间通常是非凸的。
非凸集是指不满足凸集的定义，即集合中的任意两点的连线不完全位于集合内部。
内点法是一种基于凸集的优化算法，只能处理凸优化问题。
因此，当问题存在非凸性时，内点法无法应用。
4.2 无法构造合适的罚函数内点法通过引入罚函数将约束条件转化为目标函数的惩罚项。
内点法 梯度
内点法梯度【原创版】目录1.内点法的定义和基本原理2.梯度的概念及其在内点法中的应用3.内点法的求解步骤和过程4.内点法的优缺点分析5.实际应用案例正文内点法是一种求解最优化问题的数值方法，主要适用于非线性规划问题。
它是基于梯度下降法的一种改进方法，通过在可行域内选择一个初始点，然后沿着梯度的反方向更新这个点，直到满足停止条件。
梯度是内点法中的核心概念，表示目标函数在当前点处的变化率。
在每次迭代过程中，内点法都会计算目标函数在当前点处的梯度，然后沿着梯度的反方向更新点，以实现目标函数值的下降。
内点法的求解步骤如下：1.选择一个初始点，可以是可行域内的任意点。
2.计算当前点处的目标函数梯度。
3.更新当前点，使其沿着梯度的反方向移动。
4.重复步骤 2 和 3，直到满足停止条件，例如迭代次数达到预设值或者目标函数值变化小于预设阈值。
内点法相较于梯度下降法有以下优点：1.内点法始终在可行域内进行迭代，因此不会出现梯度下降法中的可行解被“穿过”的问题。
2.内点法在每次迭代时都会更新目标函数值，而梯度下降法只有在目标函数值变化时才会更新。
然而，内点法也存在一些缺点，例如在高维问题中，计算梯度可能会非常困难，导致计算量过大。
此外，内点法在处理非线性问题时，收敛速度可能较慢。
内点法在实际应用中有广泛的应用，例如在机器学习中求解最优化问题。
一个典型的例子是使用内点法求解线性回归问题的最小二乘解，即通过最小化均方误差来确定线性回归模型的参数。
综上所述，内点法是一种求解最优化问题的有效方法，尤其在处理非线性规划问题时具有优势。
内点法的基本原理以及举例计算
内点法的基本原理以及举例计一、内点法1・基本原理内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数一一惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。
因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为min f(x)g w w≤o (u=l, 2, 3, ∙∙∙m)的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为g")或者A))=/(%)÷√υ Xln^)I =∕CY)-r<t,χin[-g M W]而对于/(X)受约束于g u (%) ≥ O(W = 1,2,…,加)的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为φ(Xy k)) = f (X) +r {k} YM = I φ(X 9r^)=f(X)-r^∖n [g u (X)]U=I式中，严——惩罚因子，是递减的正数序列, 即 Iimr a)=O k→∞通常取 r (A) = IAO.1,0.01,0.001,... o上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：当迭代点在可行域内部时,有≤θ(w =l,2, 3, 4, ∙∙∙m),而a 〉O,则惩罚项恒为正值,当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触及约束边g")r (0)>r (l)>r (2)>>严) 〉尸)5)取 r k 1 Cr k ,X 0 X (r k ),k k 1，转向步骤 3)。
ipopt原理 内点法
ipopt原理内点法IPOPT（Interior Point OPTimizer）是一种用于非线性优化问题的求解器，它基于内点法（Interior Point Method）进行求解。
内点法是一种数值优化算法，用于求解线性规划、非线性规划和二次规划等问题。
内点法的基本思想是将优化问题转化为一系列约束问题，并通过在可行域内搜索的方式逐步逼近最优解。
与传统的基于梯度的方法不同，内点法通过在可行域内部进行搜索，不断接近最优解，而不需要对目标函数进行梯度计算。
具体而言，内点法通过引入一个罚函数或者惩罚项，将原始优化问题转化为一个等价的约束问题。
这个约束问题的可行域是一个内点集合，而不是原始问题的可行域。
通过在内点集合内部进行搜索，内点法逐步逼近最优解。
在每一步迭代中，内点法通过求解一个线性化的等价问题来确定下一步的搜索方向。
这个线性化的等价问题可以通过求解一个KKT（Karush-Kuhn-Tucker）系统来获得。
KKT系统由原始问题的目标函数、约束条件以及拉格朗日乘子构成的一组非线性方程组。
内点法的优点之一是可以处理大规模的非线性优化问题。
它能够在迭代过程中保持对可行域的探索，从而避免了陷入局部最优解的可能性。
此外，内点法还具有全局收敛性和快速收敛速度的特点。
IPOPT作为一种基于内点法的求解器，被广泛应用于各种非线性优化问题，特别是在工程、经济和科学领域中。
它提供了高效的求解算法和灵活的接口，使用户能够方便地使用和集成到自己的应用程序中。
总结而言，IPOPT是一种基于内点法的求解器，内点法是一种通过在可行域内部进行搜索的数值优化算法。
它能够处理大规模的非线性优化问题，并具有全局收敛性和快速收敛速度的特点。
8-2内点法
可以定义惩罚函数
1 Φ(x,r) f(x) r i 1 g i (x)
m
或
Φ(x,r) f(x) r log ( g i (x))
i 1 m
这里的惩罚函数 Φ(x,r) 也称障碍函数， r 称 为障碍因子。 其中， r 是很小的正数。 当 x 趋于可行域的边界时，至少有一个
m
1 x rk x2
用解析法求最优解 dΦ r k 1 0 2 dx (x 2 ) 解得
x 2 rk
令 r k 0 ，则得最优解 x 2 下面是几何意义:
x2
f( x) x
目标函数
x2
可行域
目标函数 在可行域 边界上达 到最小
x
障碍函数 的 最优解
非线性规划
第八章 惩罚函数法
§8.2
内点法
内点法也叫障碍函数法。 基本思想：在每次迭代中迭代点都保持在 可行域内，即每次迭代点被阻挡在由可行域边界 构成的“障碍”之内。
适用范围：内点法只使用与不等式约束最 优化问题. 1 惩罚函数的构造 考虑不等式约束问题 min f(x) （Ⅰ） s .t g (x) 0 ,i 1,2 ,m i
解： 障碍函数用对数形式
Φ(x,r) f(x) r log ( g i (x))
m
( x1 x 2 ) 2 r k ln ( x 1 x 2 ) r k ln x 1
用解析法求最优解
i 1
2 x1 r k r k Φ 1 0 2 x1 x1 x 2 x1 Φ r k 1 0 2 x2 x1 x 2
g i (x) 0
，因此，
Φ(x,r)
惩罚函数法概述_内点法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法). 该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
2 min f ( x) x12 x2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x ) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)
内点法中心路径
内点法中心路径
内点法是一种常见的凸优化求解方法，其中心路径是内点法的核心。
本文将介绍内点法中心路径的基本概念、计算方法和应用。
一、中心路径的概念
内点法中心路径是指在一系列的迭代计算中，从初始点到最优解的一条连续路径，该路径上的每个点都满足一定的凸性要求。
换句话说，中心路径是一组由凸问题的解构成的集合，这些解可以通过迭代算法求解。
二、中心路径的计算
中心路径的计算方法基于牛顿迭代法。
具体而言，我们可以将原问题转化为一系列的等式约束问题，使用拉格朗日乘子法得到增广拉格朗日函数，并通过牛顿迭代法求解其次优化问题。
迭代过程中，新的迭代点需要满足一定的凸性要求，才能沿着中心路径前进。
三、中心路径的应用
中心路径是内点法的核心，也是凸优化求解的基础。
通过中心路径，我们可以有效地解决一系列凸优化问题。
在实际应用中，中心路径方法被广泛应用于多种领域，如运筹学、金融、机器学习等。
在机器学习领域中，中心路径方法可以用于求解逻辑回归、支持向量机等模型的优化问题，提高算法的效率和精度。
综上所述，中心路径是内点法求解凸优化问题的关键。
通过计算中心路径，我们可以快速有效地求解一系列凸优化问题，并在实际应用中取得良好的效果。
内点法 单纯形法 解乘数
内点法单纯形法解乘数
内点法和单纯形法是线性规划中常见的两种求解方法，二者均需要使用解乘数来进行求解。
其中，内点法是通过不断向可行域内的内部点移动来逼近最优解的方法。
在该方法中，使用了一个参数t，通过不断缩小t的值来逐步接近最优解点，在每次迭代中通过求解线性方程组来确定下一个分量的值，并计算出下一个内点。
直到t的值趋近于0时，最优解点就被找到了。
而单纯形法则是通过不断寻找可行域的顶点来逼近最优解。
在该方法中，首先构造初始的单纯形表，并选取一个入基变量和一个出基变量进行换基，以求得新的单纯形表格。
通过不断迭代，直到所有系数非负或者无可行解为止，得到了最优解。
而解乘数是在单纯形法中进行换基计算时用到的，其作用在于确定入基元素和出基元素。
具体来说，在每一次迭代中，我们需要选取一个离开基变量和一个进入基变量。
首先在离开变量对应的行中选择一个系数为正的元素，然后在进入变量对应的列中找到一个使得该元素尽可能大的行，并计算出解乘数。
最终，通过这两种方法的求解，可以得到线性规划问题的最优解。
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
内点法介绍(Interior Point Method)
内点法介绍（Interior Point Method）在面对无约束的优化命题时，我们可以采用牛顿法等方法来求解。
而面对有约束的命题时，我们往往需要更高级的算法。
单纯形法（Simplex Method）可以用来求解带约束的线性规划命题（LP），与之类似的有效集法（Active Set Method）可以用来求解带约束的二次规划（QP），而内点法（Interior Point Method）则是另一种用于求解带约束的优化命题的方法。
而且无论是面对LP还是QP，内点法都显示出了相当的极好的性能，例如多项式的算法复杂度。
本文主要介绍两种内点法，障碍函数法（Barrier Method）和原始对偶法（Primal-Dual Method）。
其中障碍函数法的内容主要来源于Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe的Convex Optimization一书，原始对偶法的内容主要来源于Jorge Nocedal和Stephen J. Wright的Numerical Optimization一书（第二版）。
为了便于与原书对照理解，后面的命题与公式分别采用了对应书中的记法，并且两者方法针对的是不同的命题。
两种方法中的同一变量可能在不同的方法中有不同的意义，如μ。
在介绍玩两种方法后会有一些比较。
障碍函数法Barrier MethodCentral Path举例原始对偶内点法Primal Dual Interior Point Method Central Path举例几个问题障碍函数法（Barrier Method）对于障碍函数法，我们考虑一个一般性的优化命题：minsubject tof0(x)fi(x)≤0,i=1,...,mAx=b(1) 这里f0,...,fm:Rn→R 是二阶可导的凸函数。
同时我也要求命题是有解的，即最优解x 存在，且其对应的目标函数为p。
此外，我们还假设原命题是可行的（feasible）。
内点法的基本原理以及举例计算
１． 基本原理内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部,这样,在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中,所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。
内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。
因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数,而等式约束优化问题不存在可行域空间,因此,内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为min ()f Xs ．ｔ. ()0u g X ≤ （u=1,2,３,…m)的最优化问题，利用内点法进行求解时,构造惩罚函数的一般表达式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==-∑ 或者()()()[]11(,)()ln ()()ln ()mmk k k uuu u X r f X rg X f X rg X ϕ===+=--∑∑而对于()f X 受约束于()0(1,2,,)u g X u m ≥=的最优化问题,其惩罚函数的一般形式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==+∑ 或()()[]1(,)()ln ()mk k uu X r f X rgX ϕ==-∑式中,()k r---－-惩罚因子,是递减的正数序列，即()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>>>()lim 0k k r →∞=通常取()1.0,0.1,0.01,0.001,k r=。
上述惩罚函数表达式的右边第二项,称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：当迭代点在可行域内部时,有()0u g X ≤(u ＝１,2，3，4,…m),而()0k r>,则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触2. 内点法的迭代步骤（1)取初始惩罚因子(0)0r>，允许误差0ε>;（2)在可行域D 内取初始点()0X ，令1k =;(3)构造惩罚函数()(,)k X rϕ，从(1)k X -点出发用无约束优化方法求解惩罚函数()(,)k X r ϕ的极值点()()k X r *；（４）检查迭代终止准则：如果满足()()1571()()1010k k X r X r ε-**---≤=-或()()()13421(,)(,)1010(,)k k k X r X r X r ϕϕεϕ-**---*-≤=- 则停止迭代计算,并以()()k X r*为原目标函数()f X 的约束最优解,否则转入下一步；根据情况，终止准则还可有如下的形式：()()1()()k k f X f X ε--≤或()11()mk u urg X ε=≤∑ 或()1ln ()mk uu rg X ε=≤∑5)取()()()()10,(),1k kkrCr X X r k k +*===+，转向步骤３）。
惩罚函数法概述-内点法
min f (x) g j (x) 0 ( j 1,2,...,m) hk (x) 0 (k 1,2,...,l)
m
l
(x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] r2 H[hk (x)]
j 1
k 1
障碍项
惩罚项
r1, r2 加权因子(惩罚因子)
➢原约束优化问题转化为无约束优化问题:
|| X * (r1 ) X * (r 0 ) || 0.1994
X 0 [4.983 2.983 ]T
当r 2 cr1 0.01时，X * (r 2 ) [4.998 2.998 ]T
|| X * (r 2 ) X * (r1 ) || 0.0212
X 0 [4.998 2.998 ]T
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法).
该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
m
min (x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] j 1 l r2 H[hk (x)] k 1
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
二 惩罚函数法分类
1
|| x * (rk ) x * (r k1) || 2
x* x *(rk ) f (x*) f (x *(rk ))
内点法的计算步骤和程序框图 1) 选择 • 可行的初始点; • 惩罚因子的初始值; • 缩减系数; • 收敛精度; • 取迭代次数k<-0. 2) 构造惩罚函数,选择无约束优化方法求解方法,求出无约束极值. 3) 判断所得极值点是否满足收敛条件 满足:取极值点为最优点,迭代终止 不满足:缩小惩罚因子,将极值点作为初始点,增加迭代 次数,转步骤2),直到满足收敛条件为止.
运筹学2.4 内点算法
x 0, Ax 0, eT x 1, cT x 0 且Ae 0
为求解该不等式组, 可考虑如下LP问题 :
min z c T x s.t. Ax 0 eT x 1 x0
为叙述简便, 不妨设 :
a ) rank ( A) m, A Rmn ; b ) 问题的可行区域S的相对内部非空, 即
由前面关于LP问题与弱线性不等式组的关系 , 一般的 LP问题可归结为求解形如
x 0, Ax b
的不等式组 , 通过添加松弛变量 , 可再转化为
x 0, Ax b
(1)
XJTU
第二章 线性规划
OR
2 知(1)的基本可行解的各个分量均不超过 n
若(1)有解, 则在通常假设条件下, 由椭球法收敛性分析,
否则, 将Ek用一适当超平面分成两半, 使其中的一半必与k相交, 设法 产生另一个椭球 Ek+1 ,使其包含 Ek的这一半, 从而保证 Ek+1 k . 同时, 又要求 Ek+1的体积至多为 Ek的β <1倍
这样随着迭代的进行, 椭球的体积渐趋于0, 但其中仍 包含有k中的点 .
当迭代到一定程度时, 则可求得(3)的一个解或判定它无解 .
n 1 其中 log 2 n
i 令 Qi x a x bi , i 1 m
显然, x为弱不等式组(1)的解
Q x 0, i 1
i
m
引理 : 对Rn中任一点 x0, 必定存在一个 x R n ,使得 :
x 0, Ax 0, eT x 1
(2)
XJTU
Stop .
第二章 线性规划
r语言内点法
r语言内点法R语言内点法（RANdomized Dependence Coefficients）是一种用于计算多变量数据集之间相关性的统计方法。
它通过计算变量之间的相关系数，揭示变量之间的线性和非线性关系，从而帮助我们理解数据集中的模式和趋势。
内点法可以帮助我们解决以下问题：如何确定变量之间的相关性？如何选择最相关的变量进行进一步分析？如何探究变量之间的复杂关系？内点法是一种非参数方法，不依赖于数据的分布假设，因此在处理不同类型的数据集时具有广泛的适用性。
在R语言中，我们可以使用内点法函数来计算变量之间的相关系数。
首先，我们需要安装并加载内点法所需的包。
例如，可以使用以下命令来安装和加载“kpcalg”包：```install.packages("kpcalg")library(kpcalg)```接下来，我们可以使用内点法函数来计算数据集中变量之间的相关系数。
例如，我们有一个包含三个变量的数据集“data”，可以使用以下命令来计算相关系数：result <- kpcalg(data)```在这个例子中，我们将计算结果存储在“result”对象中。
我们可以使用“print”函数来查看计算结果。
例如，可以使用以下命令来打印相关系数矩阵：```print(result$coefficients)```使用内点法计算相关系数的结果是一个矩阵，其中每个元素表示两个变量之间的相关系数。
相关系数的取值范围在-1和1之间。
值为1表示完全正相关，值为-1表示完全负相关，值为0表示没有线性关系。
除了计算相关系数，内点法还可以帮助我们选择最相关的变量进行进一步分析。
例如，我们可以使用内点法函数的“select”参数来指定要选择的变量的数量。
例如，可以使用以下命令选择与第一个变量最相关的两个变量：```result <- kpcalg(data, select = 2)在这个例子中，我们将选择结果存储在“result”对象中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、内点法1. 基本原理内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。
内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。
因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为min ()f Xs.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ）的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==-∑ 或者 ()()()[]11(,)()ln ()()ln ()mmk k k uuu u X rf X rg X f X rg X ϕ===+=--∑∑而对于()f X 受约束于()0(1,2,,)u g X u m ≥=的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==+∑ 或()()[]1(,)()ln ()mk k uu X r f X rgX ϕ==-∑式中，()k r-----惩罚因子，是递减的正数序列，即()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>>>()lim 0k k r →∞=通常取()1.0,0.1,0.01,0.001,k r=。
上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：当迭代点在可行域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），而()0k r>，则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触及约束边界。
2. 内点法的迭代步骤（1）取初始惩罚因子(0)0r>，允许误差0ε>；（2）在可行域D 内取初始点()0X ，令1k =；（3）构造惩罚函数()(,)k X rϕ，从(1)k X -点出发用无约束优化方法求解惩罚函数()(,)k X r ϕ的极值点()()k X r *；（4）检查迭代终止准则：如果满足()()1571()()1010k k X r X r ε-**---≤=-或()()()13421(,)(,)1010(,)k k k X r X r X r ϕϕεϕ-**---*-≤=- 则停止迭代计算，并以()()k X r*为原目标函数()fX 的约束最优解，否则转入下一步；根据情况，终止准则还可有如下的形式：()()1()()k k f X f X ε--≤或()11()mk u urg X ε=≤∑ 或()1ln ()mk uu rg X ε=≤∑5）取()()()()10,(),1k kkrCr X X r k k +*===+，转向步骤3）。
递减系数0.10.5C =-，常取0.1，亦可取0.02。
采用内点法应注意的几个问题： （1）初始点()0X 的选取初始点()0X必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。
如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点()0X，具体方程参照复合形法介绍。
（2）关于初始惩罚因子(0)r 的选择。
实践经验表明，初始惩罚因子(0)r 选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。
若()0r值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数()(,)k X rϕ中惩罚项的作用就会很小，这时求()(,)k X r ϕ的无约束极值，犹如原目标函数()f X 本身的无约束极值，而这个极值点又不大可能接近()f X 的约束极值点，且有跑出可行域的危险。
相反，若()0r 值取得过大，则开始几次构造的惩罚函数()(,)k X r ϕ的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率降低。
可取()0r≈1～50，但多数情况是取()01r =。
通常，当初始点()0X是一个严格的内点时，则应使惩罚项()()0011()mu u rg X=∑在新目标函数()(,)k X rϕ中所起的作用与原目标函数()0()f X 的作用相当，于是得()()()001()1()m u u f X rg X==∑倘若约束区域是非凸的且初始点()0X 亦不靠近约束边界，则()0r的取值可更小，约为上式算得值的0.1～0.5倍。
内点法的计算程序框图例题：用内点法求min 2212()f X x x =+s.t. 1()10g X x =-≤ （u=1,2,3,…m ） 的约束最优解。
（取ε=0.001）解：构造内点惩罚函数为()()[][]22()1211(,)()ln ()ln (1)mk k k uu X r f X rgX x x r x ϕ==--=+---∑用极值条件进行求解()111201k r x x x ϕ∂=-=∂-，2220x x ϕ∂==∂ 联立上式求得*()11()2k x r =，*()2()0k x r =由于约束条件的限制，可得无约束极值点为*()()Tk X r ⎤=⎥⎢⎥⎣⎦当()k r 取1，0.1,0.01,…→0时，可得最优解为*[1,0]T X =，*()1f X =编程方式实现：1. 惩罚函数function f=fun(x,r)f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1); 2. 步长的函数function f=fh(x0,h,s,r) %h 为步长 %s 为方向 %r 为惩罚因子 x1=x0+h*s; f=fun(x1,r); 3. 步长寻优函数function h=fsearchh(x0,r,s)%利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解 h1=0;%步长的初始点 st=0.001; %步长的步长 h2=h1+st;f1=fh(x0,h1,s,r); f2=fh(x0,h2,s,r); if f1>f2h3=h2+st;f3=fh(x0,h3,s,r); while f2>f3 h1=h2; h2=h3; h3=h3+st; f2=f3;f3=fh(x0,h3,s,r); endelsest=-st;v=h1;h1=h2;h2=v;v=f1;f1=f2;f2=v;h3=h2+st;f3=fh(x0,h3,s,r);while f2>f3h1=h2;h2=h3;h3=h3+st;f2=f3;f3=fh(x0,h3,s,r);endend%得到高低高的区间a=min(h1,h3);b=max(h1,h3);%利用黄金分割点法进行求解h1=1+0.382*(b-a);h2=1+0.618*(b-a);f1=fh(x0,h1,s,r);f2=fh(x0,h2,s,r);while abs(a-b)>0.0001if f1>f2a=h1;h1=h2;f1=f2;h2=a+0.618*(b-a);f2=fh(x0,h2,s,r); elseb=h2;h2=h1;f2=f1;h1=a+0.382*(b-a);f1=fh(x0,h1,s,r);endendh=0.5*(a+b);4. 迭代点的寻优函数function f=fsearchx(x0,r,epson)x00=x0;m=length(x0);s=zeros(m,1);for i=1:ms(i)=1;h=fsearchh(x0,r,s);x1=x0+h*s;s(i)=0;x0=x1;endwhile norm(x1-x00)>epsonx00=x1;for i=1:ms(i)=1;h=fsearchh(x0,r,s);x1=x0+h*s;s(i)=0;x0=x1;endendf=x1;5. 主程序clearclcx0=[2;2]; %给定初始点r=1;c=0.1;epson=0.001;x1=fsearchx(x0,0.1,epson);while norm(x0-x1)>epsonx0=x1;r=r*c;x1=fsearchx(x0,r,epson) ;enddisp '函数的最优解为'x1运行结果：函数的最优解为x1 =1.0475-0.0005。