内点法的基本原理以及举例计算

一、内点法

1. 基本原理

内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。

内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。

对于目标函数为

min ()f X

s.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ）

的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为

()()

11

(,)()()m

k k u u

X r f X r

g X ϕ==-∑ 或者 ()

()

()

[]1

1

(,)()ln ()

()ln ()m

m

k k k u

u

u u X r

f X r

g X f X r

g X ϕ===+=--∑∑

而对于()f X 受约束于()0(1,2,

,)u g X u m ≥=的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为

()

()

11

(,)()()m

k k u u

X r f X r

g X ϕ==+∑ 或

()()

[]1

(,)()ln ()m

k k u

u X r f X r

g

X ϕ==-∑

式中，()

k r

-----惩罚因子，是递减的正数序列，即

()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>>

>

()lim 0k k r →∞

=

通常取()

1.0,0.1,0.01,0.001,

k r

=。

上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。

说明：

当迭代点在可行域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），而()

0k r

>，则惩罚

项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不

会触及约束边界。

2. 内点法的迭代步骤

（1）取初始惩罚因子(0)

0r

>，允许误差0ε>；

（2）在可行域D 内取初始点()

0X ，令1k =；

（3）构造惩罚函数()

(,)k X r

ϕ，从(1)k X -点出发用无约束优化方法求解惩罚函数

()(,)k X r ϕ的极值点()()k X r *；

（4）检查迭代终止准则：如果满足

()()1571()()1010k k X r X r ε-**---≤=-

或

()()()134

21(,)(,)1010(,)

k k k X r X r X r ϕϕεϕ-**---*

-≤=- 则停止迭代计算，并以()

()k X r

*

为原目标函数()f

X 的约束最优解，否则转入下一步；

根据情况，终止准则还可有如下的形式：

()()1()()k k f X f X ε--≤

或

()

11

()m

k u u

r

g X ε=≤∑ 或

()

1

ln ()

m

k u

u r

g X ε=≤∑

5）取()

()()()10

,(),1k k

k

r

Cr X X r k k +*===+，转向步骤3）。

递减系数0.10.5C =-，常取0.1，亦可取0.02。

采用内点法应注意的几个问题： （1）初始点()

0X 的选取

初始点()

0X

必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。

如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点()

0X

，具体方程参照复合形法介绍。

（2）关于初始惩罚因子(0)r 的选择。实践经验表明，初始惩罚因子(0)r 选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。

若()

0r

值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数()

(,)k X r

ϕ中惩罚项的作用就会很小，

这时求()

(,)k X r ϕ的无约束极值，犹如原目标函数()f X 本身的无约束极值，而这个极值点

又不大可能接近()f X 的约束极值点，且有跑出可行域的危险。相反，若()

0r 值取得过大，

则开始几次构造的惩罚函数()

(,)k X r ϕ的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率

降低。可取()

0r

≈1～50，但多数情况是取()0

1r =。

通常，当初始点()

0X

是一个严格的内点时，则应使惩罚项()

()0011

()m

u u r

g X

=∑在新目标函数()

(,)k X r

ϕ中所起的作用与原目标函数()0()f X 的作用相当，于是得

()

()()

001()

1()m u u f X r

g X

==∑

倘若约束区域是非凸的且初始点()

0X 亦不靠近约束边界，则()

0r

的取值可更小，约为上式算

得值的0.1～0.5倍。