《概率论》第八章 假设检验修改

2 1
(n
1)；
而 对 右 边 问 题H0：
2

02；H1：
2


2，
0
可 得 拒 绝 域 ： 2 2 (n 1)。
EX电工器材厂生产一批保险丝 ，取10根测得其熔化时间 （min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整
可得拒绝域：W {Z Z }
现考虑完备的右边HT问题 H0：0；H1：>0,
H
下
0
X μ ~N( 0,1) σn
若取拒绝域为 W { X k}
0
则犯第一类错误的概率为
P{ X

k
|

0}
P
0
{
X


0

k


0
}
n
n

X
P0 {


0时 :T

X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为

Tt(n1),
EX 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)
今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉 强度要高?
拒绝域为 T t (n1 n2 2)
H0 : 1 2 ; H1 : 1 2或H0 : 1 2 ; H1 : 1 2
拒绝域为 T t (n1 n2 2)
EX1. 比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成 两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数 分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4;另10人 服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, 0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.若服用两种安眠药后增加的睡 眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的 疗效有无显著性差异?(=0.10)
P{拒绝H0| H0真}= , 求出拒绝域W； (4) 计算统计量的值, 若统计量W, 则拒绝H0, 否则接 受H0
§2 单正态总体的假设检验
一、单总体均值的假设检验
iid
~ 设X1，，Xn N(，2 ), 给定检验水平，由观测
值
x 1，，x n 检验假设H 0：

0；H1：
解:H0：=10620；H1：>10620
H
真时
0
:
T

X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt0.05(9)} =0.05, 得拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里 t 10631 .4 10620 0.45 1.8331 81 10
接受H0
·左边HT问题 H0： =0 ；H1： <0, 或 H0： 0 ；H1： <0,


0时 :T

X S
0
n
~
t(n 1)
由p{T - t(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
T - t(n 1)

EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620
(kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测 得平均抗拉强度10600 (kg/mm2) ,样本标准差为80.,问该厂的镍
合金线的抗拉强度是否不合格? (=0.1)
解:H0：10620；H1：<10620
10620时:T X 10620 ~ t(9)
S 10
由p{T - t0.1(9)} =0.1, 得拒绝域为 T - t0.1(9) =-1.383
这里
t

10600 80
10620
0.79 1.8331
第八章 假设检验
§1假设检验 §2 单个正态总体均值的假设检验 §3 两个正态总体方差的 假设检验 §4置信区间与假设检验之间的关系 §5样本容量的选取 §6分布拟合检验
§1假设检验 一 假设检验的思想和概念
二 。显著性检验的步骤：
(1)根据实际问题作出假设H0与H1； (2)构造统计量, 在H0真时其分布已知； (3)给定显著性水平的值, 参考H1, 令
H
真时
0
:
T

X S
0
n
~
t(n 1)
由p{|T|t0.025(n 1)} =0.05,
得水平为=0.05的拒绝域为 |T|t0.025(6)=2.4469
这里 | t || 112 .8 112 .6 | 0.466 2.4469 1.135 7
接受H0
·右边HT问题 H0： =0 ；H1： >0, 或 H0： 0 ；H1： >0,
这里
z 1675 1500 4.375 1.645 200 25
拒绝H0
·左边HT问题
H0：=0；H1：<0, 或H0：0；H1：<0,



时
0
X μ0 ~N( 0,1) σn
由p{Z Z } α
可得显著性水平为的拒绝 域为

Z Z
EX: 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从 正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下: 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变,该日铁水 的平均含碳量是否显著偏低?(取 =0.05)
解: H0 : 4.55
H1 : 4.55
H
下
0
Z X 4.55 ~N( 0,1) 0.11 5
由p{Z Z } α
得水平为的拒绝域为 Z Z0.05 1.645
这里
z 4.364 4.55 3.78 1.645 0.11 5
例3：P223
二、方差比的假设检验
拒绝H0
注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.
若用双边检验, H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝
域为
Z Z 1.96 2
由|z|=3.78>1.96,故拒绝H0,说明可以认为该 日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说
明是显著高于还是低于4.55.不合题意
若用右边检验, H0：4.55；H1：>4.55,则拒绝域为
往经验知平均寿命 =1500小时, 现采用新工艺后, 在所
生产的灯管中抽取25只, 测得平均寿命1675小时, 问采用
新工艺后, 灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)
解: H0 : 1500
H1 : 1500
H
下
0
Z X 1500 ~N( 0,1) 200 25
可得拒绝域：Z Z0.05 1.645
10
接受H0
二、单总体方差的假设检验
iid
~ 设X1，，X n N(，2 )，给定检验水平 ，由观测
值x 1，，x n 检验假设
H 0： 2

02；H1： 2


2。
0
假定未知, ·双边检验:对于假设
H 0：
2
02；H1：
2


2 0
H
下
0
2

(n-1 )S 2
σ
2 0
~χ
2(n 1)
2 1 2

2
2
由p{
2
χ
2
1
(n 1 )或
2
χ
2

(n

1
)}
α
2
2
得水平为的拒绝域为
2

2 1
/
2
(n
1)或 2

2 / 2 (n
1)。
对 于 左 边 问 题H0：
2


02；H1：
2


2，
0
可 得 拒 绝 域 ：
2
(2) H0：0；H1：>0 或H0：0；H1： <0 也称为单边HT问题, 不过这是一个完备的HT问题。
(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒
绝 域, 从而检验法一致。
·先考虑不完备的右边HT问题的解
H0：=0；H1：>0,
H
下
0
Z X μ0 ~N( 0,1) σn
由p{T t0.1(18)} 0.1，即得拒绝域
T t0.1(18) 1.3304
这里:t=1.86>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效
显著
上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?
三 基于成对数据的检验（t检验）
有时为了比较两种产品，或两种仪器，两种方法等 的差异，我们常在相同的条件下做对比实验，得到一 批成对的观测值，然后分析观察数据作出推断。这种 方法称为逐对比较法


。
0
1、2已知的情形---Z检验
对于假设H0：=0；H1：0, 构造
Z X μ0 X H0为真 μ ~N( 0,1)
σn
σn
由p{ Z Z } α 可得拒绝域：Z Z
2
2
查表, 计算, 比较大小, 得出结论
说明：(1) H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而 H0：=0；H1： >0(或< 0), 则称为单边问题；
解: H0 : 1 2 ; H1 : 1 2
H0下,
T X Y ~ t(18) Sw 1 10 1 10
由p{T t0.05 (18)} 0.05，即得拒绝域
T t0.05 (18) 1.7341.
这里: x 2.33, s1 2.002 y 0.75, s2 1.789
Z Z0.05 1.645
由z=-3.78<-1.96,故接受H0,说明不能认为该日铁 水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等
于还是低于4.55.不合题意.
2、2未知的情形
·双边检验:对于假设
H0：=0；H1：0

2

2
H
真时
0
:
T

X S
0
n
~
t(n 1)
由p{|T|t/2(n 1)} =,
假定
2 1


2 2

2
H 0下,
T Sw
X Y 1 n1 1 n2
~ t(n1 n2 2)
由p{T t /2 (n1 n2 2)} ，即得拒绝域
T t / 2 (n1 n2 2).
而对应的单边问题
H0 : 1 2 ; H1 : 1 2或H0 : 1 2 ; H1 : 1 2
得水平为的拒绝域为
|T|t/2(n1),
EX 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重 复测量7次，测得温度(℃): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有 无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取 =0.05 )? 解:H0：=112.6；H1：112.6

2

χ
2

(9)
χ
2 0.05
(9)

16.919
接受H0
§3 双正态总体均值差与方差比的假设检验
一、均值差的假设检验
iid
iid
~ ~ 设X1，，Xn1 N(u1，12 ); Y1，，Yn2 N(u2，22 )，
两样本独立，给定检验水平，由观测值x 1，，x n1；
y1，,y n2 检验假设 H0：1 2；H1：1 2
批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05) , 熔化时间
为Βιβλιοθήκη Baidu态变量.)
H0： 2 80；H1： 2 80 2 80时 2 9S 2 ~χ 2 (9)
80
由p{
2

χ
2

(9)}


这里
2

9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
得水平为=0.05的拒绝域为
sw
9s12 9s22 1.898
18
| t | sw
|x 1 10
y| 1
10

1.86
1.7341
拒绝H0
认为两种安眠药的疗效有显著性差异
上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?
H0 : 1 2 ; H1 : 1 2
H0下,
T X Y ~ t(18) Sw 1 10 1 10



k

0
}

n
n
于是: k 0

z
得k 0

n z
n
即 得 检 验 的 拒 绝 域 为x 0

n z
即 ：z
x 0

z
故
n
W {Z Z } 是H0：0；H1：>0,
的水平为的拒绝域
例1：设某厂生产一种灯管, 其寿命X~ N(, 2002), 由以