小波变换理论及应用资料
小波变换公式原理应用csdn
小波变换是一种信号处理技术，其基本原理是将一个信号分解成多个小波函数的线性组合。
这些小波函数具有有限的时间支持，即在有限的时间段内有非零值，这使得小波变换能够有效地分析信号的局部特征。
小波变换的公式如下：
(y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{i\omega t} d\omega)
其中，(X(\omega)) 是小波变换系数，(y(t)) 是小波函数。
小波变换的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理、语音处理、模式识别等领域。
具体来说，小波变换可以用于信号的降噪、压缩、特征提取等任务。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、图像增强、图像融合等方面。
在语音处理中，小波变换可以用于语音识别、语音合成等方面。
此外，小波变换还可以用于模式识别领域，例如文本分类、人脸识别、手势识别等。
在CSDN上，有许多关于小波变换的博客和教程可供参考。
例如，有一篇博客详细介绍了小波变换的基本原理和在图像处理中的应用，以及如何使用Python实现小波变换。
此外，还可以通过搜索相关教程和资料来深入了解小波变换的原理和应用。
小波分析基础学习资料
(t)
1
1
x0,
1 2
x12
,1
(1.11)
数学上已经证明：
( 2 jt k ) |j ,k Z
(1.12)
构成L2(R)的一个正交基，通过规范化处理， j
小波级数、信 号的小波逼近
j,k(t)22 (2jtk) (j,k Z ) (1.13)
构成L2(R)的一个规范正交基。故任何一个能量有限信号 f(t)L2(R) 可以分解为
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
❖ 尺度与频率的关系
尺度与频率的关系如下： ➢ 小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分 ➢ 大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
College of Mathematics and Computer Science, Hebei University
傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性； 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好。 下面通过例子来说明这两点。
例、歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成
某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在 哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。
将a,b离散化，令
a 2 j， b 2 jk ， j,k Z
(2.5)
可得离散小波变换：
(DW f)(j,k)f(t) , j,k(t)
(2.6)
j
j,k(t)22(2jtk)，j,kZ
(2.7)
总结：小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均 值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有 紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即支 流分量为零。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的 正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函 数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移 和尺度伸缩得来的。
小波变换及其在地震资料去噪中的应用
拉 伸 ， 窗 口的时 宽增 大 ， 频谱 变 窄并 向低 频方 向移 使 其 动； 而若 ０＜１ 基 函数 相 当 于将 窗 函数 压 缩 ， 窗 函 则 使 数缩 小 ， 其频 谱 展 宽 并 向 高 频 方 向移 动 。大 的 尺度 参 数对 应 于低 频端 ， 率分 辨 率高 、 间分 辨率 低 ； 频 时 反之 ， 小 的尺 度参 数对 应 于高 频端 ， 率分 辨率 低 、 间分辨 频 时 率高 ， 就是 小 波变 换 的多 分辨 特性 。参 数 ｂ起 时移 这
因此 ， 提 高 分辨 率 ， 要 降低 截 断 效应 ， 要 有足 够 就
的窗 口来保 证 ， 在 实 际 问题 中往 往 不 可 能 满 足 。这 但 样， 就提 出 了一 个 问题 ， 没 有 办 法 使 窗 口宽 度 足 够 有 小 ， 又使分 辨 率足 够高 呢 ？为此 ， 出小 波 变换 。小 而 提 波变 换 的基本 思 想来 源 于 函数 的伸 缩 与 平 移 ， 是 通 它
Ｇ ｂｒ ａ ｏ 引入 了加 窗傅 立 叶 变换 的概 念 。他 用 一 个 在 有
Ｉ
√ 一 ∞
（ ） ０ ￡ｄ ｒ＝
限区间（ 称为窗 口） 外恒等于零 的光滑 函数去乘所要研
究 的 函数 ， 然后 对它作 傅 立 叶变换 ， 种变 换确 实 能反 这
映 函数 在窗 口内部 的频 率 特 征 ， 而在 研 究 信 号 的局 因 部性 质 的 问题 中起 了一定 作用 。加 窗 傅立 叶变 换 的优 称
定义 ：
（ ＝ 。 （ ）。ｂ ，≠ ｌＩ ） ，∈Ｒ口 ０
（ ） 小 波 基 函 数 或 母 小 波 函数 ， ｔ为 ０为 尺 度 参
点 主要 在于 ， 采用 窗 函数 对 信 号 的乘 积 运 算 实 现 开 窗
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种信号分析方法，它可以将一个信号分解成不同频率和时间的小波基函数的线性组合。
这种分解能够提供关于信号局部特征的信息，并且具有较好的时频局部化性质。
小波变换的基本原理是利用小波基函数对信号进行多尺度分析。
小波基函数是一组函数，它们具有有限时间和频率的特性。
通过对不同尺度的小波基函数进行缩放和平移，可以得到不同频率和时间的基函数。
在小波变换中，通常采用离散小波变换（DWT）进行信号分析。
离散小波变换将信号分解成不同尺度和位置的小波系数，每个小波系数表示信号在相应尺度和位置上的能量。
小波变换的优点之一是可以提供多分辨率的信号分析。
通过对信号进行分解，可以得到不同尺度上的信息，从而揭示信号在局部的频率特征。
这对于处理非平稳信号和突发信号非常有用。
小波变换还具有较好的时频局部化性质。
在时域上，小波基函数具有较短的时域长度，可以更好地描述信号的瞬时特征。
在频域上，小波基函数具有较宽的频带，可以更好地描述信号的频率特征。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
它可以用于信号去噪、压缩、特征提取等任务，也可以用于图像边缘检测、纹理分析等任务。
总之，小波变换是一种多尺度信号分析方法，通过对信号进行分解，可以提取信号在不同尺度和位置上的特征。
它具有较好的时频局部化性质，可以有效地描述非平稳信号和突发信号的特征。
第三章离散小波变换 31页
3.1 尺度和位移的离散化方法
对于连续小波而言，尺度a、时间 t和与时间有关的偏移量τ都是连 续的。如果利用计算机计算，就 必须对它们进行离散化处理，得 到离散小波变换。
本章主要内容
尺度和位移的离散化方法 小波框架理论 二进小波变换
3.1 尺度和位移的离散化方法
为了减小小波变换系数的冗余度，
我们将小波基函数
a,(t)
1 (t)
aa
的a、τ限定在一些离散的点上取值。
离散化方法
（1）尺度的离散化。目前通行的做法 是对尺度进行幂数级离散化。即令a取 a a0j , a0 0, j Z 对应的小波函数是：
j
a02[a0 j (t )], j 0,1,2
如果可以，系数 c j ,k 如何求？
3.2 小波的框架理论
3.2.1 框架 1 框架的定义
在希尔伯特空间H中有一族函数 kkZ，如
果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：
Af2 |f,k |2Bf2
k
称 k kZ 是H中的一个框架。
常数A、B的意义。
离散化方法
（2）位移离散化。 ka0j0
通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时 间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时， 沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况 下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频 率减小一半。此时采样率可降低一半而不 导致引起信息的丢失。
3.3.2 二进小波的性质
（1）二进小波满足小波母函数容许性条件， 即二进小波必为基本小波。
（2）二进小波是冗余的。 由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架
小波分析算法资料整理总结
一、小波分析基本原理：信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。
傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。
与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。
对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。
相关原理详见附件资料和系统设计书。
注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。
本人找到了相对好理解些的两个外文的资料：Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.docTen.Lectures.of.Wavelets.pdf二、搜索到的小波分析源码简介（仅谈大体印象，还待继续研读）：１、83421119WaveletVCppRes.rar源码类型：VC++程序功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。
说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。
但这是为专业应用写的算法，通用性差。
２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）源码类型：fortran程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。
说明：用的是墨西哥帽小波。
程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份功能是：气象应用。
小波分析在形变数字化观测资料中的应用
小波分析在形变数字化观测资料中的应用小波分析是在现代调和分析的基础上发展起来的一门新兴学科，具有多尺度、多分辨率的特性，它在数字信号处理中发挥着日渐重要的作用，因为小波分析方法研究的是含有大量的非稳态成分的信号，例如偏移、趋势、突变、事件的起始与终止等情况，而这些情况往往是相当重要的，反映了信号的重要特征。
近几年，小波变换理论在天然地震震相识别及天然地震与爆破或塌方的模式识别（刘希强等，2000）中，在重力、大面积形变测量和定点形变测量资料地震异常分析研究（张永志等，1997，1998，1999）和地下水观测资料的应用分析（敬少群，2002）中，都得出了一些有益的结果，可见，小波理论在地震学和地震前兆资料分析中也具有广阔的应用前景。
小波分析方法对定点形变数字化观测资料的干扰识别与消除以及对不同频率的信息识别功能较强，因此，作者运用小波分析方法对怀来、张家口的形变数字化观测资料进行分析，识别、消除形变数字化观测资料的干扰，提取不同频率信息，为形变数字化观测资料的分析处理提供一种新的方法。
1 观测中的干扰因素分析张家口地震台的水管仪、垂直摆在正常观测条件下一般呈年变形态，固体潮曲线清晰、光滑；气压对观测影响较明显，气压变化会造成地面荷载的增减，导致岩体块体的倾斜变化；气压的影响存在着周期性变化，主要以短周期影响最为显著，它直接破坏观测记录的应变固体潮汐波形，使记录曲线发生畸变，长周期的气压缓变对应力应变观测记录的固体潮波形影响并不十分显著，但是对于曲线趋势走向产生影响，或加大零漂或改变漂移方向，有时可能影响几天，直观的表现在记录曲线呈现鼓包或凹斗，有时会掩盖了震兆异常，给地震分析和预报带来了许多不便。
2 研究方法及原理2.1 小波变换理论2.1.1 小波变换的定义及特点小波，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。
它有两个特点：一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即是直流分量为零。
小波包变换
1 小波变换的基本理论信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。
小波变换（DWT ）是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。
傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。
与傅立叶变换不同，小波变换能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT 压缩普遍具有的方块效应。
通过缩放母小波（Mother wavelet ）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。
对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。
小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。
它是以局部化函数所形成的小波基作为基底展开的，具有许多特殊的性能和优点，小波分析是一种更合理的进频表示和子带多分辨分析。
2小波包变换的基本理论和原理概论：由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。
与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。
小波包的定义：正交小波包的一般解释 仅考虑实系数滤波器.{}n n Z h ∈{}n n Zg ∈()11nn ng h -=-()()()()22k k Z kk Z t h t k t g t k φφψφ∈∈⎧=-⎪⎨=-⎪⎩为便于表示小波包函数，引入以下新的记号：通过,,h,g 在固定尺度下可定义一组成为小波包的函数。
小波变换在面波去噪中的一些应用
小波变换在面波去噪中的一些应用摘要：地震资料的去噪，在处理中是非常重要的内容。
随着勘探技术的进步，地球物理可以用于去噪的方法越来越多。
目前去噪效果相对较好的是小波变换法。
小波变化以其独特的时频特性被广泛的使用于地震资料的去噪中。
与以前的频率滤波相比，其优越性是可见的。
本文简要介绍了小波函数以及用于地震去噪的小波变换的一些方法，并且结合实际来对小波去噪进行了介绍。
关键词：小波变换、地震、随机干扰Abstract: Seismic data noise attenuation is a very important part of seismic data processing. With the advancement of exploration techniques,more and more geophysical methods can be used in noise attenuation. Currently the wavelet transform is relatively a better methods. Wavelet transform are widely used in seismic data noise attenuation with its unique time-frequency characteristics. Compared with the previous frequency filter, it is visible superiority.In this paper,we briefly introduces the wavelet function as well as the methods of wavelet noise attenuation,then combined with the realities of wavelet noise attenuation was introduced.Key words：the wavelet transform, Seismic, randomnoise.0引言野外地震资料中包含着有关地下构造和岩性的信息，但是由于各种因素的影响，我们所需要的信息中往往包含着各种的噪声，这些噪声的存在严重影响了我们对地震资料的解释。
基于小波变换的地震资料处理和应用
用 的今天 ，对地震勘探资料 的远距离快速传输 成为必要 。但 由于地震 资料数据 量太 大 ，除要 进行 去噪外 ，对地震 数据 的有效压缩 非常必 要 。怎样才能在满足科研的条件下对地震数据进行 有效 的压缩成 为近 几年 不少学者研究的课题 。地震资料 的压缩 不同与去噪 ，去噪是除去 那些 无效 的信息 。而地震数据压缩是对有效信息经 行处理 ， 要求对贡 献小 的信 号进行压缩 ，而突出主要信息 。这就要求压缩工具具有很好 的频域性 ，由于 地震信号随着时间的变化而变化 ，所以需要找到同时 具有 时域性 和频 域性的的方法 ，而小波正有这样的特性 。可以用小波 的这 一特 性出除或压 缩那些贡献不 大的有效信息 。然而在 实际的应 用 中却不这样 简单 ． 其是对 有效信息贡献率的辨 上和对压缩程度 尤
不同的尺度成分采用相应的时域采样步长 ，就要局 部化性 强的特点 ，
其 中，Ｎ 为采样点数。小波变换的离散公式 为 ：
（ ∑ ∑ （ａ （ ＝ ｔｊ ￣） ，
为常数 ，与所选的分析小波相关 。
不难看 出，小波变换实际上就是用一系列不同宽度的时窗去分析
（ ｆ ）
（ ） … ２
其 中 ， （ 与 ， ｇ ） （是复共轭 ，ａ 为尺度伸缩因子 ， 制窗 口的 大 ｒ ） 称 控 小 ；ｂ 称为时 平移因子 ，确定时频 窗口的中心在时 Ｍ轴上 的位置 。 令
ｎ ：
一
变换 处理 后 ，地震信号的分辨率得到明显的提 高。为了使信号的高频 成分更 为丰富 ，有些学者对信号经小波分解后对 不同频率进行增益补
）
（ ３）
般来讲 ， ｂ 一 ｇ （ 不一定是彼此正交 的，稍微变换后 ，可得小波变 ） 换的逆变换公式 为 （ 高静怀 ，汪文秉 ，朱光明等 。地震资料处理 中小 波函数的选取研 究［ 地球物理 学报 ，１ ９ ， ２ ４ ０ Ｊ 】 ９６ ９—０ ） ３
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
小波变换 能量谱 哥廷根 学派
小波变换能量谱哥廷根学派小波变换是一种信号分析的方法，是在时频域上对信号进行处理的一种数学工具。
它是通过将信号分解成一系列不同频率的子信号来描述信号的特征。
由于小波变换在信号处理领域有着广泛的应用，特别是在信号去噪、分析和压缩等方面，因此受到了研究者的广泛关注。
小波变换的基本思想是采用一组基函数，这些基函数称为小波。
小波具有局部性和时频多分辨率特性，可以表示不同频率的信号成分。
小波变换的计算包括两个步骤：分解和重构。
分解是通过将信号与小波基函数进行内积运算，得到一系列分解系数。
重构是根据分解系数和小波基函数进行相应的运算，恢复原始信号。
小波变换的能量谱是描述信号在不同频率上的能量分布的函数。
它可以通过计算小波变换系数的模的平方得到。
能量谱可以反映信号在不同频率范围内的能量分布情况，可以帮助人们了解信号的频谱特性。
哥廷根学派是小波分析领域的一个重要学派。
它是由德国数学家哈维·因夫厚和他的学生于1990年代初在哥廷根大学创建的。
哥廷根学派通过研究小波分析的基本理论和应用，以及与其他数学领域的交叉研究，为小波分析的发展做出了重要贡献。
哥廷根学派的研究成果在信号处理、图像处理、数据压缩等领域产生了广泛的应用。
小波变换和哥廷根学派的研究成果在多个领域都得到了广泛的应用。
在信号处理领域，小波变换可以用于信号的去噪和分析。
由于小波变换具有频率多分辨率的特性，它可以很好地分析非平稳信号的频谱特性。
在图像处理领域，小波变换可以用于图像的压缩和增强。
小波变换可以通过去除图像中的高频噪声来实现图像的去噪，同时可以提取出图像的纹理信息。
在数据压缩领域，小波变换可以用于数据的降维和特征提取。
通过对数据进行小波变换，可以将数据在频域上表示，从而实现数据的压缩和重构。
总的来说，小波变换是一种在时频域上对信号进行处理的方法，能够提取信号的频率特性，具有频率多分辨率的特性。
哥廷根学派在小波分析领域的研究为小波变换的发展做出了重要贡献，小波变换和哥廷根学派的研究成果在信号处理、图像处理和数据压缩等领域都得到了广泛的应用。
小波变换公式推导
小波变换公式推导
1、定义小波函数：小波函数ψ(t)是一个具有零平均值的振荡函数，它在时间域和频率域都是局部化的。
2、小波变换的积分形式：对于信号f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为
其中，a是尺度参数，控制小波的宽度；b是平移参数，控制小波的位置。
3、小波函数的性质：小波函数需要满足一定的条件，如可容许性条件，以确保小波变换的存在性和唯一性。
4、逆变换：连续小波变换的逆变换为
其中，Cψ是一个与ψ有关的常数。
5、离散小波变换：在实际应用中，常常使用离散小波变换（DWT），它是对连续小波变换的尺度和平移参数进行离散化得到的。
6、多分辨率分析：小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同的尺度上观察信号，从而揭示信号的局部特征。
7、小波基的选择：在实际应用中，需要选择适合信号特点的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。
8、快速小波变换：为了提高计算效率，可以使用快速小波变换（FWT）算法，它利用了小波变换的某些性质来减
少计算量。
同步压缩小波变换及其在地震资料处理中的应用研究
摘要同步压缩小波变换（Synchrosqueezing Wavelet Transform，SSWT）是在小波变换（Wavelet Transform，CWT）基础上发展而来的时频分析方法，结合了重排算法的思想，可以获得较高的时频分辨率，同时可以实现信号的重构。
文中基于CWT和重排算法系统地介绍了SSWT的方法原理，并通过示例对其时频分析效果和重构效果进行了分析。
另外，针对与SSWT算法思想类似的几种改进和推广算法，如：压缩短时傅里叶变换、二阶压缩短时傅里叶变换以广义同步压缩变换等，文中对其方法原理一一进行了介绍，并用模型信号和实际地震信号进行了分析对比。
由于SSWT以CWT为基础，因此也一样受测不准原理限制，针对这一问题，本文将互补集合经验模态分解（Complementary Empirical Mode Decomposition，CEEMD）与SSWT结合，首先利用CEEMD将信号自适应分解为一系列的经验模态分量（Intrinsic Mode Function，IMF），然后根据各个分量频率范围采用不同的压缩小波系数，最后将各个分量的时频结果相加得到原信号的时频谱结果，从而改善SSWT的时频分辨率。
地震信号是典型的非平稳信号，SSWT可以获得良好的时频表征，因此该方法是对地震信号进行处理分析的有效工具。
文中基于该方法主要研究了以下几个方面的具体应用：基于SSWT的谱模拟反褶积提高地震资料分辨率；基于SSWT的Q估计和反Q补偿衰减地震信号；基于SSWT的随机噪声压制以及利用SSWT进行低频阴影检测。
通过模型和实际资料测试，并与其他方法对比，证明了该时频分析方法在地震资料处理中应用的有效性和优越性。
关键词：时频分析；同步压缩小波变换；提高分辨率；去噪；储层预测Synchrosqueezing Wavelet Transform and ItsApplication in Seismic Data ProcessingZhang Yan（School of Geosciences）Directed by Prof. Li ZhenchunAbstractSynchrosqueezing Wavelet Transform is a time-frequency analysis method developed on the basis of Wavelet Transform (CWT). Combining with the idea of Reassignment Method （RM）, it can obtain higher time-frequency resolution and signal reconstruction at the same time.In this paper, the principle of SSWT is systematically introduced based on CWT and RM, and the effect of time-frequency analysis and reconstruction results are analyzed through examples. In addition, several improvements and generalizations similar to those of the SSWT algorithm, such as: synchrosqueezing short-time Fourier transform, second-order synchrosqueezing transform and generalized synchrosqueezing transform, etc. Introduced and compared using the model signal and the actual seismic signal.Since the SSWT is based on CWT, it is also subject to the principle of unqualified measurement. To solve this problem, this paper combines Complementary Empirical Mode Decomposition (CEEMD) with SSWT, and first uses CEEMD to decompose signals adaptively. For a series of empirical modal components (IMF), then use different compression wavelet coefficients according to the frequency range of each component, and finally add the time-frequency results of each component to obtain the time-frequency spectrum of the original signal, thereby improving the SSWT. Time-frequency resolution.Seismic signals are typical non-stationary signals. SSWT can obtain good time-frequency characterization. Therefore, this method is an effective tool for processing and analyzing seismic signals. Based on this method, the paper mainly studied the following applications: spectral modeling deconvolution based on SSWT to improve the resolution of seismic data; SSWT-based Q-estimation and anti-Q compensation for attenuated seismic signals; and SSWT-based noise suppression and utilization The SSWT performs low-frequency shadow detection. Through the model and real data tests, and compared with other methods, the validity andsuperiority of this time-frequency analysis method in seismic data processing are proved.Key words: time-frequency analysis; Synchrosqueezing Wavelet Transform; improving resolution; Denoising; Reservoir prediction.目录第一章绪论 (1)1.1选题的目的与意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.3论文的研究内容及成果 (3)第二章同步压缩小波变换 (5)2.1常用时频分析方法 (5)2.1.1短时傅里叶变换 (5)2.1.2 连续小波变换 (6)2.1.3 广义S变换 (8)2.1.4 Wigner Ville分布及平滑伪Wigner Ville 分布 (9)2.1.5 时频分析方法效果对比分析 (11)2.2 SSWT (17)2.2.1 时频谱重排 (17)2.2.2 SSWT的基本原理 (18)2.3 SSWT时频分析及重构示例 (21)2.3.1 模型信号SSWT示例 (21)2.3.2实际地震信号SSWT示例 (23)2.4 小结 (25)第三章SSWT的推广及改进方法 (26)3.1 压缩短时傅里叶变换 (26)3.1.1 方法原理 (26)3.1.2 模型信号时频表征及重构示例 (27)3.1.3 实际地震信号时频表征及重构示例 (28)3.2 二阶压缩短时傅里叶变换 (30)3.2.1 方法原理 (30)3.2.2 模型信号示例 (31)3.2.3 实际地震信号示例 (32)3.3 广义同步压缩变换 (34)3.3.1 广义解调 (34)3.3.2 广义同步压缩变换的原理 (35)3.3.3 模型信号示例 (37)3.4 小结 (39)第四章基于CEEMD的同步压缩小波变换 (41)4.1 CEEMD (41)4.1.1 CEEMD及算法流程 (41)4.1.2 CEEMD分解测试 (43)4.2 基于CEEMD分解的同步压缩小波变换 (46)4.2.1 方法原理 (46)4.2.2 模型信号测试 (49)4.2.3 实际地震信号测试 (50)4.3 小结 (51)第五章SSWT在地震数据处理中的应用 (53)5.1 基于SSWT的时变谱模拟反褶积提高地震资料分辨率 (53)5.1.1 谱模拟反褶积方法原理 (53)5.1.2 基于SSWT的谱模拟反褶积 (54)5.1.3 实际地震资料测试 (57)5.2 基于SSWT的Q提取及反Q补偿 (59)5.2.1 Q提取及反Q补偿原理 (59)5.2.2 基于SSWT的Q提取及反Q补偿模型测试 (61)5.2.3 实际地震资料测试 (68)5.3 基于SSWT压制随机噪声 (70)5.3.1 方法原理 (70)5.3.2 模型信号测试 (71)5.3.3 实际地震资料测试 (73)5.4 基于SSWT的谱分解低频阴影检测 (75)5.4.1 模型资料测试 (75)5.4.2 实际地震资料测试 (77)5.5 小结 (79)结论与讨论 (80)参考文献 (81)攻读硕士期间取得的学术成果 (86)致谢 (87)中国石油大学（华东）硕士学位论文第一章绪论1.1选题的目的与意义地震波在地下介质中传播时，会发生吸收衰减及散射等现象，这都和频率相关，这导致接受到的地震波时频关系较为复杂，为典型的非平稳信号。
小波变换原理
小波变换原理小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的成分，从而揭示出信号的局部特征。
小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的原理及其在实际应用中的一些特点。
小波变换的原理可以通过分析其数学表达式来理解。
假设我们有一个连续信号f(t)，我们希望将其分解成不同尺度的成分。
我们可以使用一组小波函数ψ(a, b)来对信号进行分解，其中a表示尺度参数，b表示平移参数。
小波函数具有一定的特性，比如局部化、平滑性等，这使得它可以很好地描述信号的局部特征。
小波变换可以通过对信号与小波函数进行内积运算来实现，即。
W(a, b) = ∫f(t)ψ(a, b)dt。
其中W(a, b)表示小波系数，ψ(a, b)表示小波函数的共轭。
通过对不同尺度和平移参数下的小波系数进行计算，我们可以得到信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现信号的分解和分析。
小波变换的一个重要特点是多尺度分析能力。
传统的傅里叶变换只能提供信号在全局尺度下的频谱信息，而小波变换可以提供信号在不同尺度下的频谱信息，这使得它可以更好地捕捉信号的局部特征。
这种多尺度分析的能力使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，比如地震信号、心电图信号等。
另外，小波变换还具有一定的局部化特性。
小波函数在时域和频域上都具有一定的局部化特性，这使得小波变换可以更好地描述信号的局部特征。
相比之下，傅里叶变换在频域上具有全局性，这在一定程度上限制了其对信号局部特征的描述能力。
除了信号分析之外，小波变换还在图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的去噪、边缘检测等任务；在数据压缩中，小波变换可以将信号的能量集中在少数重要的小波系数上，从而实现对信号的高效压缩。
总之，小波变换是一种重要的信号分析方法，它具有多尺度分析能力和局部化特性，适用于处理非平稳信号和具有局部特征的信号。
在实际应用中，小波变换有着广泛的应用前景，可以帮助我们更好地理解和处理各种类型的信号和数据。
小波_基础知识
说明
Z表示整数集合 R表示实数集合 C表示复数集合 Z ＋表示正整数集合 R n 表示n为欧氏空间 内积 x, y
x(t ) y (t )d t
R
常用的距离空间
1.n维欧氏空间R
n
n维向量x ( x1 , x2 , , xn )的全体所组成的集合 . x, y R n , 定义距离 ( x, y ) [ ( xi yi ) ]1/ 2
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
小波变换如同一台可变焦距的数学显微
镜，改变各种焦距便可探测到被处理信 号中所隐含的奇异点并识别出它的性质， 或分析出非平衡信号所包含的各种成分， 从而可有效地探测并诊断出精密复杂设 备中的疑难故障，是该领域具有明显应 用前景的前沿课题
wavelet(小波变换资料)
Fourier Transform
Other types of transforms include the Fourier transform, which is used to decompose or separate a waveform into a sum of sinusoids of different frequencies. It transforms our view of a signal from time based to frequency based. Figure 1 depicts how a square wave is formed by summing certain particular sine waves. The waveform must be continuous, periodic, and almost everywhere differentiable. The Fourier transform of a sequence of rectangular pulses is a series of sinusoids. The envelope of the amplitude of the coefficients of this series is a waveform with a Sin X/X shape. For the special case of a single pulse, the Fourier series has an infinite series of sinusoids that are present for the duration of the pulse.
For example, in an eight filter bank, a DFT would require 512 computations, while an FFT would only require 56, significantly speeding up processing time.
(最新整理)小波变换与小波滤波资料
小，则小波越窄
f (t)
f (t)＝(t)； scale ＝ 1
O
t
f (t) O
f (t)＝(2t)； scale ＝ 0.5
t
f (t) O
小波的缩放操作t
f (t)＝(4t)； scale ＝ 0.25
2021/7/26
16
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(2) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延 迟k的表达式为f(t-k)，
离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示
2021/7/26
27
1.7 小波重构
将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要 根据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分 解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构 （ Wavelet Reconstruction ） 或 叫 做 小 波 合 成 （Wavelet Synthesis）。
在上面的步骤中，最为关键的就是如何选取阈值和 如何阈值量化，从某种意义上讲，它直接影响信号去噪 的质量。
2021/7/26
43
五、阈值函数和阈值的选取
１．阈值函数 阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。
设w为小波系 wλ阈 数值 ，后的小λ波 为系 阈数 值， 。
(1).硬阈值(hard threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定阈值时， 保持不变，而小于时，令其为０。即：
2021/7/26
25
图 （a） 信号分解； (b) 小波分树；2021（/7/26c）小波分解树 26
1.6 离散小波变换（DWT）
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷课程名称:小波变换理论及应用任课教师: ________ 考试时间：_______ 分钟考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+课程论文（50%）;C （V）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。
学号：姓名：班级：一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA ）的角度构造正交小波基。
（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。
（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。
（25分）四、平时成绩。
（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数 f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数 f （ t ）的连续小 波变换(Continue Wavelet Transform ，简记 CWT )其表达式为 4 说 th W,「f(a,b)二 1 f(t)'- *C h )dt ( 1.1)何」s a其中，aw R 且a 丰0。
式（1.19 ）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。
其中 屮ab （t ）=_^屮为窗口函数也是小波母函数。
Vla| a从式（1.1 ）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。
① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。
② 计算该时刻的连续小波变换系数 C 。
如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段 内的信号波形相似程度。
C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。
小波变换系数依赖于所选 择的小波。
因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。
③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①〜②步 骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。
④ 调整参数a ,尺度伸缩，重复①〜③步骤。
⑤ 重复①〜④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图 1.7所示。
图1.5计算小波变换系数示意图图1.6不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7不同尺度下的信号小波变换系数计算小波变换的实质是用小波(微小的特定波形)与待分析信号波形分段求内积，所得的系数反映了小波与待分析信号的相似度，相似度越高则系数越高。
通过改变平移因子b可以实现对信号时频域的分析。
通过改变尺度因子可以改变小波与待分析信号的相似度。
最后由得到的系数和所选小波的特性可以知道待分析信号的特性或是待分析信号某一时段或频段的特征。
(二)从多分辨率(MRA )的角度构造正交小波基从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。
多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。
由多分辨率的思想我们可以将任意函数d j,k m f (t),屮j,k(t)> f(t)EV0分解为细节部分W i和大尺度逼近部分V i,然后将大尺度逼近部分V进一步分解。
如此重复就可以得到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。
在MRA理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。
f(t —k i)f(t -k2)dt 二(^ -k2)同一尺度下小波函数屮j,k同尺度函数*j,k正交胖j,k(t)市dt = O小波函数匸(t)和尺度函数(t)在多分辨率分析中满足方程(t)八0(n)」(t)-2' 0(n) (2t-n)'(t)「h/n)川⑴-迈宀叽n) (2t-n)这两个方程就是二尺度方程。
利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。
正交尺度函数{ "t -kh z}构造正交小波基，还有当尺度函数为Riesz基是构造的正交小波基函数。
所以说MRA不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。
(三)小波变换理论与工程应用方面的研究进展摘要：小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术界引起了越来越多的关注和重视。
在数学家们看来，基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。
在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁波、CT 成像、机器视觉、机械故障诊断。
关键词; 小波变换工程应用引言小波分析(wavelet) 是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看。
小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学。
应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面.本文将介绍小波分析的基本理论，产生背景及其在一些工程方面的应用。
最后展望了小波分析应用研究的发展趋势。
1 小波理论所涉及的基础数学知识: 小波理论所涉及的基础数学知识包括泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理等方面的内容。
在这里主要介绍泛函分析的基础知识：泛函分析是上世纪初开始发展起来的一个重要数学分支，它是以集合论为基础的现在分析的一个基本组成部分。
在泛函研究中，一个重要的基本概念是函数空间。
所谓函数空间，即由函数构成的集合。
下面列出几个简单的函数空间的定义。
1.1 距离空间设X是一个非空集合，如果X中任意两个元素x与y,都对应一个实数p(x,y)而且满足：⑴非负性:p(x,y)>=0,当且仅当x=y时，p(x,y)=0。
(2) 对称性：p(x,y)= p(y,x) 。
(3) 三角不等式: 对于任意的X 中的x,y,z , p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z) 都成立1.2 线性空间设X 为一非空集合,若在X 中规定了线性运算——元素的加法和元素的数乘运算,并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律,则称X 为一线性空间或向量空间。
对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。
1.3 平方可积空间L2((X)表示X 上所有在几乎处处(almost everywhere )意义下平方可积( square-integrable )的复值的可测函数的集合。
平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。
1.4 巴拿赫空间Banach Space巴拿赫空间是一个完备的赋范矢量空间Normed Vector Space,它是希尔伯特空间的推广。
巴拿赫空间定义为完备的线性赋范矢量空间。
即是说,它是一个实数或复数的矢量空间并且有一个完备的范数||卜，即其每个柯西Cauchy序列都是收敛列。
2重要的小波理论；2.1小波变换的提出傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段(或瞬间)的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。
1/4 t2 /2 1946年Carbor提出了加窗的Fourier变换。
其基本思想是取时间函g(t)=二一e作为窗口函数，用g(t-—)同待分析函数f(t)相乘，然后在傅里叶变换：G f(<o,t)Jf(t)g(t-^e^dtN f(t)・g砂(t)> (2. 1)Rg/t)=g(t7)e」wt(2. 2)这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征，这是比傅里叶变换优越之处。
这一类加窗变换Fourier变换统称为短时傅里叶变换( Short Time Fourier Transform，简称为STFT)。
但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性与普遍性运用受到限制。
2.2小波变换基本理论为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。
我们设计一组连续变化的伸缩平移基屮a,/t)，屮(t)称为连续小波基函数，来代替STFT中的g^/t) = g(t -i)eT wt。
小波函数的确切定义为：设(t)为一平方可积函数，也即• L2(R)，若傅里叶变换严)(2. 3)贝r- (t)称为一个基本小波或小波母函数，并称式( 2.3)为小波函数的可容许性条件。
连续小波变换：将任意平方可积空间中的 f (t)在小波基下进行展开，称这种展开为函数(t)的连续小波变换(Continue Wavelet Transform，简记为CWT)其表达式为WT f(a, )-： f(t)「a, .(t)」二.f ⑴-否：))dt (2. 4)>/2 R a由表达式可知小波变换也是类似于傅里叶变换，但小波变换与STFT本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而当分析高频信号时，其时间窗很小。
这与实际问题中的高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的自然规律相符合，这种对信号有“自适应”使得小波变换广泛的应用于时频联合分析及目标识别领域。
因为CWT得冗余性较大计数值实现的需要，我们常采用离散型式。
对某一确定的尺度因子a o 1,b o 0 ,我们选择：相a=a m，b二nb o a^m, Z应的离散小波为屮m,n = a。
』"屮(a j x - ng)。
对屮和a0, b0做某些特殊的选择，则屮m,n可以构成L2(R)的标准正交基。
所谓小波就是小的波形，”小”即在时频域都具有紧支集。
通常选取紧支集或近似紧支集的具有正则性的实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域有较好的局部性。
“波”是指具有波动性。
小波分析优于傅里叶变换分析在于：(a)在时频域同时具有良好的局部性：小波的“自适应”能力正好符合低频信号变化缓慢而高频变化快的特点，特另U适合处理瞬变信号。
小波能对高频采用逐渐精细的时域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜”(b)基的多样性：小波分析与Fourier分析的实质都是将信号f(t)投影在一组正交基上，所不同的是Fourier 分析对f (t)只用唯一的基{exp (iwx) }:而小波基的家族是庞大的，同一 f (t)可投影在不同的小波基上。