递推公式求通项公式的几种方

递推公式求通项公式的
几种方
内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
由递推公式求通项公式的常用方法
由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

方法一：累加法
形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。

例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列
（1）求c 的值
（2）求{a n }的通项公式
解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列
（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2－n 又a 1＝2,a n ＝n 2－n ＋2 方法二：累乘法
形如
a n +1
a n
＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例2：设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2
＋a n ＋1a n ＝0(n ＝
1,2,3…)，求它的通项公式。

解：由题意知a 1=1,a n ＞0(n ＝1,2,3…) 由(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0 得(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0
因为a n ＞0，则a n ＋1＋a n ≠0，所以a n +1a n = n n ＋1
,将n ＝1,2, …,n －1,分别代入得
a 2a 1 = 1
2 a 3a 2 = 23
……
a n a n －1 = n －1n
将上面n －1个式子相乘得，a n a 1 ＝12×23×…×n －1n
又a 1=1，则a n ＝1
n
点评：本题先由已知求出递推公式，化成了a n+1
a n
＝g(n)的类型，再利用累乘法
求通项公式。

方法三：构造新数列法
构造新数列法：将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式），以下类型均采用这种解法。

类型一: a n＋1＝A a n＋B(A,B∈R,A≠0) 线性递推关系
当A≠0，B＝0时，a n＋1＝A a n是以A为公比的等比数列；
当A≠0，B≠0时，a n＋1＝A a n＋B可变形为a n＋1＋
B
A－1
＝A（a n＋
B
A－1
），此时
就构造出了{a n＋
B
A－1
}这样一个以a1＋
B
A－1
为首项，以A为公比的新的等比数
列，从而求出a n。

例3：（07年全国理科卷）已知数列{a n}中，a1＝2, a n＋1＝（ 2 －1）（a n ＋2）n＝1,2,3,…，求{a n}的通项公式。

解：由题设：a n＋1＝（ 2 －1）（a n＋2）变形为a n＋1－ 2 =（ 2 －1）（a n － 2 ）
所以数列{a n－ 2 }是首项为2－ 2 公比为 2 －1的等比数列，则
a n－ 2 ＝ 2 （ 2 －1）n 即{a n}的通项公式为a n＝ 2 [（ 2 －1）n＋1]
类型二：a n＋1＝p a n＋cq n(其中p,q,c均为常数)
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为a n＋1＋xq n+1＝p(a n＋xq n),
将递推关系a n＋1＝p a n＋cq n待入得p a n＋cq n＋xq n+1＝p(a n＋xq n)解得x＝
c
p－q
,则由
原递推公式构造出了a n＋1＋
c
p－q
·q n+1＝p(a n＋
c
p－q
·q n)，而数列{a n＋
c
p－q
·q n}
是以为首相以为公比的等比数列。

方法二：将a n＋1＝p a n＋cq n两边分别除以q n+1,则有a n+1
p n+1
＝
a n
p n
＋
cq n
p n+1
然后利用累
加法求得。

可见对于同一个题型的构造的新数列类型可能不唯一，所以要注意巧妙构造。

例4：（07年唐山二摸）在数列{a n}中，a1＝1
6，a n＝
1
2
a n＋
1
2
·
1
3n
(n∈n*,n≥
2) ,求{a n}的通项公式。

解：由a n＝1
2
a n＋
1
2
·
1
3n
可变形为a n+
1
3n
＝
1
2
(a n＋
1
3n-1
),则数列{ a n+
1
3n
}是以为a1+
1
3
＝1
2首项以
1
2
为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得a n+
1
3n
＝（
1
2
）n
因此a n ＝12n －1
3
n
类型三：a n ＋2＝p a n ＋1＋q a n (其中p,q 均为常数)
方法：先把原递推公式转化为a n ＋2－s a n ＋1= t(a n ＋1－s a n )，其中s,t 满足⎩⎨⎧s ＋t ＝p s ·t ＝－q
，再利用等比数列来求解。

例5：已知数列{a n }中, a 1=1, a 2=2, a n ＋2＝23a n ＋1＋1
3
a n , 求{a n }的通项公式。

解：由a n ＋2＝23a n ＋1＋1
3
a n 可转化为a n ＋2－s a n ＋1= t(a n ＋1－s a n )
即a n ＋2＝（s ＋t ）a n ＋1－s · t a n ,
∴⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝23
s ·t ＝－13
解得⎩⎨⎧s ＝1t ＝－13 或⎩⎨⎧s ＝－13t ＝1 这里不妨选用⎩⎨⎧s ＝1t ＝－13 （当然也可以选用⎩⎨⎧s ＝－1
3t ＝1
）
a n ＋2－a n ＋1= －1
3
(a n ＋1－a n )
所以{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项, －1
3
为公比的等比数列，
所以a n ＋1－a n ＝(－13)n -1 再用累加法a n －a 1＝(－13)0＋(－13)1+…＋(－1
3
)n-2＝
1－(－13)
n-1
1＋
13
又a 1=1，因此a n ＝74－34(－1
3)n -1 上面给大家介绍了由递推公式求通项公式常用的三种方法（累加法、累乘法和构造新数列法）以及几种典型类型题。

构造新数列法比较简捷，但如果观察不到结构的特殊性，就想不到构造的新数列，所以仔细观察结构的特征是运用这种方法解决求通项公式的问题的关键所在。

如果构造新数列难度较大时也可采用迭代法求通项公式，迭代法即根据递推公式循环代入，一直代到首项为止，上面这些类型的问题大都也可采用此种方法求解。

有时由递推公式求通项公式还可以用猜想归纳法，即利用数列的递推公式求出前几项，根据前几项猜想出通项公式，然后运用数学归纳法证明其正确性。

需要说明的是以上这些方法都有一定的局限性，求解时要注意灵活运用。

配套练习：
1、已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1
n 2＋n
,求a n 。

2、（04年唐山）已知数列{a n }满足a 1＝1，2n-1a n ＝a n －1(n ∈N, n ≥2)，求a n 。

3、（06年福建卷）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1（n ≥2），求a n 。

4、已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋(12
)n +1
，求a n 。

5、已知数列{a n }中, a 1=0, a 2=2, a n ＋1＋ a n －1＝2(a n ＋1)(n ≥2), 求{a n }的通项公式。

6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋2,求a n 。

7、已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。