递推公式求通项公式的几种方

递推公式求通项公式的

几种方

内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

由递推公式求通项公式的常用方法

由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

方法一：累加法

形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。

例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列

（1）求c 的值

（2）求{a n }的通项公式

解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列

（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2－n 又a 1＝2,a n ＝n 2－n ＋2 方法二：累乘法

形如

a n +1

a n

＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例2：设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2

＋a n ＋1a n ＝0(n ＝

1,2,3…)，求它的通项公式。

解：由题意知a 1=1,a n ＞0(n ＝1,2,3…) 由(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0 得(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0

因为a n ＞0，则a n ＋1＋a n ≠0，所以a n +1a n = n n ＋1

,将n ＝1,2, …,n －1,分别代入得

a 2a 1 = 1

2 a 3a 2 = 23

……

a n a n －1 = n －1n

将上面n －1个式子相乘得，a n a 1 ＝12×23×…×n －1n

又a 1=1，则a n ＝1

n

点评：本题先由已知求出递推公式，化成了a n+1

a n

＝g(n)的类型，再利用累乘法

求通项公式。

方法三：构造新数列法

构造新数列法：将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式），以下类型均采用这种解法。

类型一: a n＋1＝A a n＋B(A,B∈R,A≠0) 线性递推关系

当A≠0，B＝0时，a n＋1＝A a n是以A为公比的等比数列；

当A≠0，B≠0时，a n＋1＝A a n＋B可变形为a n＋1＋

B

A－1

＝A（a n＋

B

A－1

），此时

就构造出了{a n＋

B

A－1

}这样一个以a1＋

B

A－1

为首项，以A为公比的新的等比数

列，从而求出a n。

例3：（07年全国理科卷）已知数列{a n}中，a1＝2, a n＋1＝（ 2 －1）（a n ＋2）n＝1,2,3,…，求{a n}的通项公式。

解：由题设：a n＋1＝（ 2 －1）（a n＋2）变形为a n＋1－ 2 =（ 2 －1）（a n － 2 ）

所以数列{a n－ 2 }是首项为2－ 2 公比为 2 －1的等比数列，则

a n－ 2 ＝ 2 （ 2 －1）n 即{a n}的通项公式为a n＝ 2 [（ 2 －1）n＋1]

类型二：a n＋1＝p a n＋cq n(其中p,q,c均为常数)

方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为a n＋1＋xq n+1＝p(a n＋xq n),

将递推关系a n＋1＝p a n＋cq n待入得p a n＋cq n＋xq n+1＝p(a n＋xq n)解得x＝

c

p－q

,则由

原递推公式构造出了a n＋1＋

c

p－q

·q n+1＝p(a n＋

c

p－q

·q n)，而数列{a n＋

c

p－q

·q n}

是以为首相以为公比的等比数列。

方法二：将a n＋1＝p a n＋cq n两边分别除以q n+1,则有a n+1

p n+1

＝

a n

p n

＋

cq n

p n+1

然后利用累

加法求得。

可见对于同一个题型的构造的新数列类型可能不唯一，所以要注意巧妙构造。

例4：（07年唐山二摸）在数列{a n}中，a1＝1

6，a n＝

1

2

a n＋

1

2

·

1

3n

(n∈n*,n≥

2) ,求{a n}的通项公式。

解：由a n＝1

2

a n＋

1

2

·

1

3n

可变形为a n+

1

3n

＝

1

2

(a n＋

1

3n-1

),则数列{ a n+

1

3n

}是以为a1+

1

3

＝1

2首项以

1

2

为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得a n+

1

3n

＝（

1

2

）n