计算气动声学 四. 空间离散格式

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huangxun@pku.edu.cn (黄迅)
计算气动声学
Oct 2010
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Introduction
格式小结
FDM只使用结构网格(Structural Grid System),而FVM及FEM可 适用非结构型网格,其中FEM的网格可以是任意大小和形状,因此 后两个方法可以采用网格自动生成工具; 一般而言,FVM的精度较低( 至高阶; 2nd order),FEM及FDM都可以延展
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大; 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同; 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。
为了准确计算声学现象,因此需要发展更高数值精度、更小耗散(dissipation)和色 散(dispersion)的数值格式。
数值耗散(dissipation),在CFD中会有助于数值计算的稳定性,但是在CAA中会把声学小 扰动量抹去;
为了准确计算声学现象,因此需要发展更高数值精度、更小耗散(dissipation)和色 散(dispersion)的数值格式。
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Introduction
Introduction
计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
i 此处Ni (x)为basis function;
(3)
FEM具有适用于非结构网格和易于拓展至高阶的特性;
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Introduction
有限元法
FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元,所求 解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得 ˜(x)是q(x)的近似解,那么q ˜(x)可以表示为: 如果q X ˜(x) = q qi (x)Ni (x),
为了准确计算声学现象,因此需要发展更高数值精度、更小耗散(dissipation)和色 散(dispersion)的数值格式。
数值耗散(dissipation),在CFD中会有助于数值计算的稳定性,但是在CAA中会把声学小 扰动量抹去; 数值色散(dispersion),会破坏声场各个谐波量之间的相位关系。
其中 vi 为控制体,Lij 为控制体边的长度,⃗ u为向外法向量。
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Introduction
有限体积法
对上述控制体写出守恒形式的积分方程 Z I ∂ ρdv + ρ⃗ u·⃗ nds = 0, ∂t v S 此处S为控制体的表面,⃗ n为控制体表面指向外面的法向量。
(1)
考虑如图所示的非结构型网格所定义的i节点,将其关于空间离散化后有关系式: X ∂ρi vi ~i · n ~. =− Lij ρi u ∂t j 上述式子是FVM的一般形式,vi 代表控制体的体积,Lij 为相应的表面积。 一般来说,FVM的精度比较低( 2nd order),在CAA中用途不是很广。 (2)
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计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大; 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同; 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。
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Introduction
有限体积法
FVM的基本步骤:
将计算域划分为多个有限体积(控制体); 对每一个控制体使用积分形式的守恒关系; 使用恰当的方法解这些关系式。
考虑2-D连续方程 ∂ρ u = 0,有 ∂ t + ∇ · ρ~
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Spatial Difference Schemes
泰勒展开(Taylor series expansion)
泰勒级数展开是有限差分格式的基础,通过使用物理量来代替偏导数项将偏微分方程转化成 代数方程组。 考虑如下图所示的在直角坐标系下的均匀网格系统
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Introduction
Introduction
计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大; 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同; 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。
对(i, j)点和(i + k, j)点的函数值,泰勒展开有: fi+k,j = fi,j + ( ∂f 1 ∂2f 1 ∂3f )i,j (k∆x) + ( 2 )i,j (k∆x)2 + ( 3 )i,j (k∆x)3 + · · · · · · + O(∆x)n . ∂x 2! ∂ x 3! ∂ x
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计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大; 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同; 频率范围差异巨大(CAA处理的声波动问题频率宽得多)。
Explicit 3 points stencil with 2nd order: ∂f 1 =− (fk+1 − fk−1 ) + o(∆x)2 . ∂x 2∆x Explicit 5 points stencil with 4th order: 1 ∂f =− (−fk+2 + fk−2 + 8fk+1 − 8fk−1 ) + o(∆x)4 . ∂x 12∆x
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Introduction
Introduction
时间步进(Time Marching); 空间离散(Spatial Discretisation) ; 例如: ∂u ∂u + = 0, ∂t ∂x
∂ u/∂ t对应于时间离散(time marching); ∂ u/∂ x对应于空间离散(spatial discretisation); 空间离散的方法有:有限体积法(FVM)、有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)。以下介 绍CAA中主要的空间离散格式。
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有限元法
FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元,所求 解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得
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有限元法
FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元,所求 解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得 ˜(x)是q(x)的近似解,那么q ˜(x)可以表示为: 如果q X ˜(x) = q qi (x)Ni (x),
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(5)
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Introduction
有限差分法
FDM的误差是以O(∆x)n 来衡量的,其中∆x为空间步长,n为误差精度,n越大表 示精度越高,具体取决于所用stencil和格式; 有限差分格式适用于结构网格; 有限差分格式很容易推广到高维情形; 提高计算精度无外乎: (1)提高n; (2)减少∆x。但减小∆x的值意味着增加网格 数目,会使得计算量大大增加,因此需要设计高精度格式; 在一般的CFD计算中2nd 精度格式稳定性较好,同时又能提供足够的精度来模拟流 动。但在CAA中为了准确模拟声学小量的发展过程需要使用高精度计算格式。
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Spatial Difference Schemes
空间离散有限差分格式
泰勒展开是有限差分格式的基础。空间离散一般主要有以下几种格式: 显式格式(Explicit Schemes):
一阶导数; 高阶导数; 边条件的处理; DRP方法(关键是其思想) 。
隐式格式(Implicit Schemes)。 Prefactored compact scheme。
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有限差分法
FDM(Finite Difference Method)用网格节点上物理量来表示空间导数的值,其基 础就是泰勒展开; 例子:一维连续方程 ∂q ∂f + = 0 (where q = ρ, f = ρu), ∂t ∂x 对于∂ f/∂ t,可分别使用如下两图所示的计算格式 (4)
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Spatial Difference Schemes
均匀性网格与非均匀性网格
所谓均匀网格,是指在特定的方向上网格空间步长一定。
反之,则为非均匀网格。结构性的非均匀网格可以通过构造雅可比 矩阵变换为均匀网格。 对于有限差分格式而言,因为其需要利用不同的结点来达到不同精 度的格式,只需要知道结点之间的网格数以及步长即可。 结构性网格的优势在于推导比较容易,但是也制约了对于复杂形状 的结构的适应性。
FDM由于形式固定,容易延展至高阶精度,因此在CAA中常常使 用此格式; FDM主要有显式格式和隐式(紧致)格式之分,在阶数越高时,显式 格式会需要较大结点数目的stencil,隐式格式则可以用较小 的stencil实现高阶格式。
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i 此处Ni (x)为basis function;
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FEM(Finite Element Method)是将计算空间离散成任意形状和大小的子元,所求 解量用所谓的basis functions和周围的量线性组合而得 ˜(x)是q(x)的近似解,那么q ˜(x)可以表示为: 如果q X ˜(x) = q qi (x)Ni (x),
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计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大;
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源自文库
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计算声学(CAA)和计算流体力学(CFD)通过求解由偏微分方程组构成的控制方程来预测 声场/流场的特性,二者的差异主要体现在:
声场能量和不稳定流动能量值差别巨大; 声场传播和流体动力学中的特征长度不尽相同;
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黄迅 特聘研究员
力学与空天技术系 工学院 北京大学
www.coe.pku.edu.cn/faculty/huangxun
感谢张欣教授提供原始素材,钟思阳帮助准备材料 初稿,保留一切版权
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i 此处Ni (x)为basis function;
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FEM具有适用于非结构网格和易于拓展至高阶的特性; 在实际运用中,综合了FVM和FEM特性的discontinuous Galerkin(DG) method已经成功的用于求解N-S方程。
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