水力学5.7恒定总流的动量方程共18页
恒定总流的动量方程详解
dt 时间内水流动量变化ΔK
1’ 1
2 2’
K K 1'-2' K 1-2 K 1'-2' K 2-2' K 1'-2 K 1-2 K 1-1' K 1'-2
1’ 1
t+dt
2
2’
t
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2' K 1-1'
A1
v1Q
u2u2dA2
2 A2
for a gradually variedflow
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u2u2dA2
A2
K 1-1' dt u1u1dA1 Q11v1dt Q1v1dt A1
K 2-2' dt u2u2dA2 Q22 v2dt Q2 v2dt A1
K dt uudA Q vdt
个坐标方向的投影
β： 动量修正系数，渐变流断面取1.02～1.05 ，
一般取为1
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Q(
Q(
2v2x 2V2 y
1v1 x 1v1 y
) )
Fx Fy
Q(
2
v
2
z
1v1z
)
Fz
Fx ,Fy ,Fz：作用于控制体上所有外力（不包括惯性力）在三
个坐标方向的投影
β： 动量修正系数，渐变流断面取1.02～1.05 ，
j
(Qi ivix )12 Q11v1x
Q1
i
Q2 Q3
v2
2
3
3
v3
x
恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。
动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。
一、动量方程式的推导及适用条件（一）动量方程式的推导由物理学可知，物体的质量m 与速度υ的乘积称为物体的动量。
动量是矢量，其方向与流速方向相同。
物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。
动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。
现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。
图3-29在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。
设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dA dA 和1u 、2u ，经过dt 时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21'-'处，从而发生了变化。
设其动量的变化为dk ，它应等于流段21'-'与流段1—2内的动量之差。
因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21-'段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。
这样，在dt 时段内，21'-'段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22'-段的动量与11'-段的动量之差。
在dt 时段内，通过11'-段的水体质量为11dtdA u ρ，通过22'-段的水体质量为22dtdA u ρ，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdt dtdA u dtdA u ρρρ==2211，则微小流束段的动量变化为)(12u u dQdt k d -=ρ设总流两个过水断面的面积分别为21A A 与，将上述微小流束的动量变化k d 沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt 时段内动量的变化量为)()()(121112221212a dA u u dA u u dt u dQdt u dQdt u u dQdt k d A A QQ Q ⎰⎰⎰∑⎰⎰-=-=-=ρρρρ 由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速υ来代替断面上不均匀分布的流速u ，以便计算总流的动量。
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
K F t
恒定总流的动量方程
1. 恒定总流动量方程的建立
在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。 A1 A2
1
2
v1
v2 1 断面1-1至2-2所具有的动量
K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1
1'
2
2'
经过时间dt 后，流体从1-2运动至1′-2′，此时所具有的动量为
A1 2 1 1 1 2
K 2-2' dt u2u2dA2 dt 2 v2 A2 qv2 2 v2dt
A2
按照动量定律原理，则
K＝K 22' K 11'＝ qv2 2 v2dt qv11 v1dt＝ Fdt
恒定总流的动量方程
qv (2 v2 1 v1 ) F
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRx p1 A1 1 qvV1
沿z方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz qv (2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 qvV2
F F F
2 Rx 2 Rz
FRz arctg FRx
dx dx , y, z , t u x x , y, z , t dydzdt 2 2
u x dx dx ( x, y , z , t ) u ( x , y , z , t ) dydzdt x x 2 x 2 u x dx dx u x dydzdt x 2 x 2
连续性方程 连续性方程的微分形式
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
K1' 2'
dt时段动量变化
K K1'2' K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
K 1'-2' K 2-2' K 1'-2
dt 时间内水流动量的变化
K 1-2 K 1-1' K 1'-2
dx dx , y , z , t u x x , y , z , t dydzdt 2 2
u dx dx ( x, y , z , t ) u x ( x, y, z , t ) x dydzdt x 2 x 2 u dx dx ux x dydzdt x 2 x 2
FRz arctg FRx
恒定总流的动量方程的应用
管轴水平放置 1 1
重力与水流方 向垂直，可忽 略。
V1 FP1=p1A1
FRy FR FRx V2
2
沿x方向列动量方程：
2
y
x
FP2=p2A· 2
沿y方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRy p2 A2 qv ( 2V2 0) FRy p2 A2 2 qvV2
作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包
括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G 和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质 量力，其余均为表面力。即
F P1 P 2 G R
水力学 动量方程
清华大学水利水电工程系水力学实验室
水力学 流体力学
2． 学习用天平测力和用体积 法测流量的实验技能。
实验步骤
1． 认真阅读实验目的要求、实 验原理和注意事项。
2． 查阅用天平测力和用体积法（手工、自动）量测流量的原理和步骤。 3． 调天平，将微调砝码拨到零位，配重放到 A 盘，使天平处于平衡状态。调节天平位置，
使喷嘴中心与实验板中心在同一轴线上，然后用定位件将天平固定。在天平 B 盘放入砝 码，实验板为平板时放 60g 砝码，曲板时放 100g 砝码。 4． 接好自动量测仪，按自动量测操作步骤（另附）进行操作。 5． 将分流器泄水口拨向泄水槽（11），开大稳压箱调压阀，关闭进水调节阀，将量水箱存 水放空后，关闭量水箱泄水阀。启动水泵，待稳压箱内的气体全部排除后关小调压阀（不
R′ = ρQv .
z 若射流冲击的是一块凹面板,则沿射流方向的动量方
程投影式为:
ρQ(α 02v2 cosβ − α 01v1) = −R′ ， 取动量修正系数 α 01 = α 02 = 1.0 ，v1 = v2 = v 仍满足，所 以
R′ = ρQv(1 − cosβ) .
动量-1
z 本实验装置设计的射流方向是铅垂向上的，重力沿射 流方向有分量，考虑到重力的减速作用，射流冲击到 实验板上的速度小于喷嘴出口流速，为 v1 = v2 = v2 − 2gz ， 故将实验板受力公式改为 R = ρQ v2 − 2gz (1 − cos β) ， 其中 z 为射流喷射高程（喷嘴出口到实验板的距离）。
第四章--恒定总流基本方程PPT优秀课件
元流单位时间内通过过流断面的动量：
dKdm u(ud)A u
教师：朱红钧
总流单位时间通过整个过流断面其相应的动量值为：
d K (u) d u A (u 2 d)i A
Av 2 A i q A v v i q v v
为了将上式中的积分用断面平均流速v来表达
引入动量修正系数
v3
或
z 1 p g 12 1 v g 1 2 z 3p g 32 3 v g 3 2 h w 图1 4,-3 11 分流
教师：朱红钧
（2）汇流
满足总流的总能量守恒 ，即
g qV 1 ( z1
p
g1
1v
2 1
2g
)
gqV 2 (z2
p
g2
2v 2g
2 2
)
gqV 3 (z3
二、分叉流的总流连续性方程
在有分流汇入及流出的情况下， 连续性方程只需做相应变化， 流量的总流入=流量的总流出。
Q1
Q1= Q2+ Q3
Q3 Q2
教师：朱红钧
v1A 1v2A 2v3A 3
或
q V1q V2q V3 1
2
qV2
2
节点连续性方程：
n
qV i 0
i1
qV1
3
1 节点 3
qV3
式中： n—支管数。流出节点的流量为“-”，流
p
3
g
3v
2 3
2g
)
g q V 1 h w 1 , 3 g q V h2 w 2 , 3
1
3
1
v1
v3 2
v2
3 2
图4-12 汇流
恒定流动量方程
为流段新占有的2—2’体积内的流体所具有
的动量减流段退出的1—1’体积内流体所具
有的动量；而dt前后流段共有的空间1-2内
的流体，尽管不是同一部分流体，但它们
在相同点的流速大小和方向相同，密度也
未改变，因此，动量相同。动量增量为：
d
(mvr
)
22QA222dtdtr2r2
1 A11 1Q1 dt
2）动量方程是矢量式，应适当选取投影轴，注意力和速度 的正负号；
3）外力包括作用在脱离体上的所有的质量力和表面力。固 体边界对流体的作用力方向可事先假设，若最后得到该力 的计算值为正，则说明假设方向正确；若为负，则说明与 假设方向相反；
4）应是输出动量减去输入动量；
5）动量方程只能求解一个未知数，若未知数多于一个时， 应联立连续性方程和能量方程求解。
根据伯努利方程
z1
p1
V12 2g
z2
p2
V22 2g
∵ V1 V2 截面积不变
z1 z2
∴ p1 p2 p 9807 N m2
y x 1
P1
1
2
P2
2
60°
α
R壁-水
由动量方程：
Fx p1A1 p2A2cos60 R壁水cosα
ρQ(V2x V1x )ρV1A1(V2cos60 V1)
y
x 1
2
P2
2
P1 1
60°
α
R壁-水
解：1）取控制体，进口、出口及管壁组成1122；
2）选择坐标系，如图x轴与弯管进口前管
道轴线一致；
y
F G P1 P2 R
由于不考虑重力，∴
G0
管壁→水作用力为 R壁水 ,