第3章傅里叶变换

其中n 1,2,....
周期信号的另一种三角 函数正交集表示
f (t) c0 cn cos(n1t 0 ) n1
f (t) d0 dn sin( n1t n ) n1
狄利克雷(Dirichlet)条件
周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充 分条件：
(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即
三角形式:
f
(t)
E
T1
E1
n1
Sa( n1
2
) cos(n1t)
3.1 引言
信号的正交分解 完备正交集
信号的正交函数分解
二维空间:矢量在直角坐标系中分解为两 个正交矢量的组合,每一个正交矢量都是 原矢量在正交坐标系上的投影.
正交函数:在区间(t1<t<t2)内用函数f2(t) 近似表示f1(t).
f1(t) c12 f2 (t) (t1 t t2 ) 选取c12使得实际函数与近似函数之间的方均
(n为偶数)
an
4 T1
bn
4 T1
T1 2 0
T1 2 0
f (t) cos(n1t)dt
(n为奇数)
f
(t )
cos(n1t
)dt
信号分解为f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n 1
n为所有的偶数
吉布斯(Gibbs)现象
page99:用三角函数集取不同的有限项 级数逼近原函数(对称方波).原函数既是 偶函数又是奇谐函数,因此,傅里叶级数 只存在奇次谐波的余弦项. 分析结论:page100
t2 t1
[
f
(t)
n r 1
cr
gr
(t )]2
dt
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
3.2 周期信号的傅里叶级数 分析
三角函数的傅里叶级数 指数函数Biblioteka Baidu傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系 傅里叶有限级数与最小方均误差
g
* j
(t
)dt
0
t2
t1
gi
(t ) gi* (t )dt
Ki
(i j)在区间(t1,t2 )内
则此复变函数集为正交函数集.
完备正交函数集
定义一 : 如果用正交函数集g1(t), g2 (t),...gn (t)
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
第三章傅里叶变换
本章要点: 1. 利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱 进行分析 2. 利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续 谱进行分析 3. 利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性 间的内在关系 4. 灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换 5. 掌握抽样信号的傅里叶变换和抽样定理
其中n为所有的整数
请将三角函数表示的频谱 与指数函数表示的频谱
的对应关系找出!
帕塞瓦尔定理
周期信号的功率特性
P f 2 (t) 1 t0 T1 f 2 (t)dt T1 t0
a0 2
1 2
n1
(an2
bn2 )
c0 2
1 2
cn 2
n1
|
n
Fn
|2
称为帕塞瓦尔方程.表征了时频域的能量守恒.
吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多, 合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于 一个常数,约为总跳变值的9%,并从不 连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰 减下去。无论N多大，这个超量不变。
但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所 以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意 义下部分和的波形收敛于原波形。
3.3 典型周期信号的傅里 叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号
周期矩形脉冲信号
f (t)
E
T1
0
2
2
T1
t
一个周期[ T1 , T1 ]内 22
E f (t)
0
(t (t
)
2
)
E[u(t
) 2
u(t
)] 2
2
对应傅里叶级数
| t0 T1 f (t) | dt 等于有限值. t0
(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的 数目应是有限个.
(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有 限个.
指数函数的傅里叶级数
f (t) F (n1)e jn1t n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t)e jn1t dt
在(t1,t2 )内正交的条件 :
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
0
例题:page326 6-1 6-2
正交函数集
n个函数g1(t), g2 (t), gn (t)构成一函数集,
如在区间(t1,t2 )内满足正交特性,即
t2
t1
gi
(t ) g
j
(t)dt
0
(i j)
t2
t1
gi2
(t)dt
Ki
则此函数集称为正交函数集.
归一化正交函数集：
t2 t1
g
2 i
(t
)dt
Ki
1
ci
t2 t1
f (t)gi (t)dt
2
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2 ]
r 1
复变函数的正交特性
复变函数集{gr (t)}(r 1,2,..., n)满足
t2
t1
gi
(t
)
三角函数的傅里叶级数
f
(t )
a0
n1
(an
cos
n1t
bn
sin
n1t ), 1
2
T1
直流分量 :
a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
余弦分量幅度
: an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
正弦分量幅度
: bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
函数的对称性与傅里叶 系数的关系
(1)偶函数 : f (t) f (t)
系数为: an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
bn 0
信号分解为f (t) a0 an cos n1t n1
类推:偶谐函数?
(4)偶谐函数(半波重叠) : f (t) f (t T1 ) 2
系数为: a0 an bn 0
误差 2在区间t1 t t2内为最小.
2 1
t2 t1
t2 t1
[
f1 (t )
c12
f2
(t )]2
dt
使 2最小的c12,
应有 d 2 dc12
0 c12
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
t2 t1
f22 (t)dt
正交条件
若c12 0,则f1(t)内不包含f2 (t)的分量, 称为正交.