含绝对值的函数图像的画法及其应用1
绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法。
22
1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
[精品]含绝对值的函数的图像
![[精品]含绝对值的函数的图像](https://img.taocdn.com/s3/m/95b2b6d45a8102d277a22fbe.png)
含绝对值的函数的图像———给朱正怡同学答疑大罕含绝对值的函数，如去掉绝对值符号，则是分段函数。
化为分段函数，是作这类函数图像的“保底”的方法。
含绝对值的函数，其绝对值符号出现的方式无非以下三种情况⑴整“绝”（函数式右边整个加绝对值）：y=|f(x)| ,例如y=|x－1|；⑵x“绝”（函数式右边纯x处均加绝对值）：y=f(|x|)，例如y=|x|－1；⑶乱“绝”（函数式右边杂乱无章地加绝对值）：例如y=x2-2|x+1| -1乱“绝”函数的图像，一般需要先化为分段函数，再画图。
整“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“上留下翻”：先画y=f(x)图像，将x轴上方部分留着，将在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上边去，即得 y=|f(x)|图像。
x“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“右留翻左”：先画y=f(x)图像，将y轴右方部分留着，并将它以y轴为对称轴翻折到y轴右边去，即得y=f(|x|)图像。
两个或多个整“绝”的一次函数的和，有乱“绝”之嫌，当然可以先化为分段函数再画图之，但是，由于其图像是三段直线型（一条线段和二条射线）图像组成，可以用折点（拐点）作图法：先逐个找出每个绝对值的零点（局部零点），再以此为横坐标算出相应的纵坐标，得到若干个折点，并将诸折点连接成线段，然后在最左边和最右边的折点的两边，利用函数式得到各得到一个辅助点，并连成射线。
于是函数的图像大功告成。
例1 作函数y=| x-1|+|x+2|图像。
解：图像如图1，作法从略。
利用函数图像，可以简捷地解决一些问题，如解不等式，求取值范围，证明恒成立。
例2 解不等式：| x-1|+|x+2|≤4解：在同一直角坐标系下，分别作出y=| x-1|+|x+2|和y=4的图像如图2；再解方程| x-1|+|x+2|＝4得，x1=-3/2，x2=5/2，由图可知，-3/2≤x≤5/2为所求。
思考题：解不等式：| x-1|－|x+2|＞3（提示：方法与例2一样。
专题：绝对值函数
专题：绝对值函数研究意义：研究绝对值函数图像有助于：①绝对值不等式求解集问题（包括解集为空或R 问题）；②绝对值函数最值问题.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（一）绝对值函数图像特点归纳实例1：21-+-=x x y（函数图像如右图所示）函数图像特点：①图像类似“平底锅”；②函数有最小值，但无最大值；③函数取到最小值的x 有无穷多个，即当21≤≤x 时，对应函数值均为最小值1.小结此类函数图像特点：①图像类似“平底锅”；②此类函数有最小值，但无最大值；③函数取到最小值的x 有无穷多个，即当x 介于a ，b 之间时，对应函数值均为a b y -=min .函数最值情况： ①函数有最小值，但无最大值；②函数有唯一的最小值：仅当2x x =（中间零点）时，13min x x y -=.【备注】绝对值零点：x =1x 时，01=-x x ，称1x 是零点.函数最值情况：①函数有最小值，但无最大值；②当n 为奇数时，函数有唯一的最小值：仅当x 取中间零点i x 时，min y ；当n 为偶数时，函数取到最小值的x 有无穷多个，即当x 介于中间两零点之间时，min y .举例1：43211-+-+-+-++=x x x x x y分析：零点从小到大：-1,1,2,3,4，显然2是中间零点，故仅当x =2时，=min y 74232221212=-+-+-+-++.举例2：13121-+-+-=x x x y分析：3131312*********-+-+-+-+-+-=-+-+-=x x x x x x x x x y 零点从小到大：1/3，1/3，1/3，1/2，1/2，1显然1/3，1/2是中间两零点，故当2131≤≤x 时，=≡min )(y x y 1.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－实例2：21---=x x y（函数图像如右图所示）函数图像特点：①图像类似“Z 字形”；②函数有最小值-1，且取到最小值的x 有无穷多个，即当1≤x 时，对应函数值均为最小值-1；③函数有最大值1，且取到最大值的x 有无穷多个，即当2≥x 时，对应函数值均为最大值1.实例3：12---=x x y（函数图像如右图所示）函数图像特点：①图像类似“Z 字形”；②函数有最小值-1，且取到最小值的x 有无穷多个，即当2≥x 时，对应函数值均为最小值-1；③函数有最大值1，且取到最大值的x 有无穷多个，即当1≤x 时，对应函数值均为最大值1.小结此类函数图像特点：①图像类似“Z 字形”； ②此类函数既有最小值b a --，也有最大值b a -；③函数取到最小、最大值的x 均有无穷多个，且这样的x 分别位于a ，b 两侧（相对a ，b 之间而言的）：－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ （二）作形如d cx b ax y +±+=的函数图像技巧（三段论）【注意】此方法只是用于画出该类函数的大致图像以便分析问题.步骤：①描出折点，记为A ，B ；②连结A ，B 得到一条线段，即为两折点间的函数图像；③折点两侧的函数图像趋势判断是根据∞→x 来确定，即抹掉常数项d b ,，x 系数保留，再根据⎪⎩⎪⎨⎧<=>±.00,0，两侧图像向下，两侧图像呈水平；两侧图像向上；cx ax 【备注】③步骤的处理原因：如下图所示是某一此类绝对值函数，两侧x 趋势是∞±，显然此时d b ,是有限数，对x 趋势影响不大，故可抹去。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
绝对值函数图像的画法
最先要从简朴的千万于值函数绘起.之阳早格格创做 2-=x y ：是一条以()0,2为拐面的合线.
大概者不妨明白为将曲线2-=x y 正在x 轴底下的部分沿x 轴翻合上去 而后再发端于搀纯的图像的绘法.
22
1121-++=x x y ，先单独绘出二个千万于值的图像，再合到所有.（叠加后曲线的斜率分歧）
其中-2战4由二个千万于值为整算的，3为由x=-2战x=4算得的y 值. 末尾，最搀纯的二次函数中的千万于值的绘法.
122--=x x y ，很隐然千万于值是将x 形成正数，由前里的图像可知
a x y -=的图像总会闭于a x =轴对于称，故x y 21-=闭于
y 轴对于称，又122-=x y 也闭于y 轴对于称，所以图像合并起去便简单多了.。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
绝对值函数的图像与性质
绝对值函数的图像与性质绝对值函数是数学中常见的一类函数。
它使用绝对值符号来表示，可以用一条直线段来表示其图像。
本文将详细讨论绝对值函数的图像与性质。
1. 绝对值函数的定义绝对值函数通常表示为|x|，表示x与原点的距离。
其定义如下：|x| = {x，x≥ 0−x，x < 0其中，x为实数。
2. 绝对值函数的图像由于x与原点的距离是非负的，绝对值函数的图像总是处于原点的左侧。
当x≥ 0时，绝对值函数的图像与x轴重合，即为x = x。
当x < 0时，绝对值函数的图像为一条通过原点的与x轴对称的直线段，斜率为-1，即为x = -x。
3. 绝对值函数的性质绝对值函数具有以下几个重要的性质：性质1：非负性对于任意实数x，绝对值函数的值都是非负数，即|x| ≥ 0。
性质2：对称性绝对值函数关于原点对称，即对于任意实数x，有|−x| = |x|。
性质3：单调性当x > x时，有|x| > |x|。
反之，当x < x时，有|x| < |x|。
性质4：三角不等式对于任意实数x和x，有|x + x| ≤ |x| + |x|。
三角不等式表示绝对值函数的加法性质，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
性质5：零点判定当且仅当x = 0时，有|x| = 0。
4. 绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：应用1：距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
例如，在数轴上，点x的坐标为x，点x的坐标为x，则点x和点x之间的距离为|x−x|。
应用2：温度变化绝对值函数可以用于表示温度的变化范围。
例如，在某城市中，某天的最高气温为10摄氏度，最低气温为-5摄氏度。
则该城市这一天的气温变化范围为|10−(−5)| = 15摄氏度。
应用3：经济收益绝对值函数可以用于描述经济收益的情况。
例如，某企业的利润为x万元，通过绝对值函数|x|可以表示利润的绝对值。
对称性应用(一)——含绝对值函数的图象
对称性应用（一）——含绝对值函数的图象熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。
函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。
本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：已知函数()R x x f y ∈=,，x 叫做函数的自变量；y 叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,；②对应变量y 取绝对值：()R x x f y ∈=,； ③对y x ,全都取绝对值：()R x x f y ∈=,；④对整个函数取绝对值：()R x x f y ∈=,； ⑤对()x f x ,都取绝对值：()R x x f y ∈=,；⑥部分自变量取绝对值：()R x x x f y ∈=,,。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x ,-关于y 轴对称。
因为点()y x ,与()y x ,-都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于y 轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数()x f y =的图象；（2）保留0>x 时函数()x f y =的图象；（3）当0<x 时，利用对称性作出（2）中图象关于y 轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数()22-==xx f y 的图象→【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x -,关于x 轴对称。
因为点()y x ,与()y x -,都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于x 轴对称。
26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
绝对值函数图像的画法
起首要从简略的绝对值函数画起.
2-=x y ：是一条认为()0,2拐点的折线.
或者可以懂得为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于庞杂的图像的画法.
221121-++=x x y ,先单独画出两个绝对值的图像,再合到一路.（叠加后直线的斜率不合）
个中-2和4由两个绝对值为零算的,3为由x=-2和x=4算得的y 值. 最后,最庞杂的二次函数中的绝对值的画法.
122--=x x y ,很显然绝对值是将x 变成正数,由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称,故x y 21-=关于y 轴对称,又122-=x y 也关于y 轴对称,所以图像归并起来就轻易多了.。
寒假2作含有绝对值的一次函数的图像
作一次含有的绝对值函数的图像我们知道一次函数的图像是一条直线，若函数中含有绝对值，它的图像又会是怎样的呢？下面我们一起来进行探究。
根据绝对值的概念：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数。
我们把使绝对值式子为零的字母（自变量）的值叫做绝对值的零点。
例1：作函数33--=x y 的图像。
分析：由绝对值的概念知，3-x 的零点为3=x 。
当3≥x 时，6+-=x y ；当3<x 时，x y =，将原函数分成两段。
因此，我们根据x 的取值范围，分别作出对应的图像。
解：由题可知：绝对值的零点是3=x 。
函数⎩⎨⎧+-=6x xy )3()3(≥<x x函数33--=x y 的图像为例2：作函数112++-=x x y 的图像。
分析：由012=-x ，01=+x 得零点有21,1-=x 。
当1-≤x 时，x x x y 3112-=--+-=；当211≤<-x 时，2112+-=+++-=x x x y ；当21>x 时，x x x y 3112=++-=； 解：由题可知：绝对值的零点有21,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎩⎪⎨⎧+--=xx xy 323 )21()211()1(>≤<--≤x x x其图像如图所示：例3：求由1-=x y 的图像与2=y 的图像围成的图形的面积。
分析：此函数含有两重绝对值，里层x 的零点是0，外层1-x 的零点是1，-1，三个零点将的x 取值分为四段。
解：由题可知：绝对值的零点有1,0,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--=1111x x x x y)1()10()01()1(>≤<≤<--≤x x x x与2=y 的图像如图所示：所求面积可以看作一个等腰直角三角形挖去一个小正方形。
因此，该图形的面积为：72922213621=-=⨯⨯-⨯⨯。
作含有绝对值的一次函数的图像，首先要找出其零点；然后根据零点将函数化为分段函数；再分段画出其对应的函数图像。
高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数课件
答案 [-1,
2+1
]
2
的取值范围是
.
解析 因为|bx-a|≤b-ax2,且 b>0,所以丨 x- 丨≤1- x2.令 t= ,则原不等
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
(ⅲ)当a>1时,因为x∈[-1,1],
1
2
1
4
所以 f(x)=|x2-a|+|a2-x|=a-x2+a2-x=-(x+ )2+a2+a+ ,
1
1
2
此时 M=f(- )=a +a+ ,
2
4
1
3
2 + + ≤ 4,
4
由
得 1<a≤ .
2
> 1,
3
2
综上所述,a 的取值范围为[-1, ].
5.(2020年1月浙江学考)设a,b∈R,函数f(x)=ax2+bx-3,g(x)=|x-a|,
.
答案 2+2 3
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2
与x=b时恰好取到零点的边界.
若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则
几何画板怎样画绝对值函数
几何画板怎样画绝对值函数
几何画板是一些数学爱好者经常使用的作图工具，利用几何画板能够很准确的画出自己想要画出的函数图像，可是有的时候函数解析式中带有了绝对值，那么怎样利用几何画板画绝对值函数图像呢？
具体步骤如下：
1.在几何画板窗口中，选择“绘图”——“绘制新函数”。
在“绘图”中选择“绘制新函数”
2.输入函数解析式，例如f（x）=|cosx|，在新建函数窗口中选择“函数”按钮，在下拉菜单中选择“abs”函数。
在新建函数窗口中的“函数”选择abs函数
3.确定后绘图区域自动出现函数图象，如图所示。
绝对值函数示例
以上内容向大家介绍了几何画板绝对值函数的绘制方法，操作简单。
绝对值函数是几何画板函数功能中默认的一种，可以直接绘制。
利用几何画板函数功能可以绘制出很多函数，例如对数函数。
正方形绝对值函数图像画法总结
正方形绝对值函数图像画法总结今天我就来和大家分享一下吧。
正方形绝对值函数有三个解析式：x=-1/(1- sinx)， x=1/2， x=3/4。
当且仅当正方形内部对角线互相垂直时，正方形内部各点的横坐标与纵坐标的差都为0，此时它们都可以表示为一个常数 c。
但是正方形不能单独使用函数图像表达其面积，而必须把正方形作为一个整体考虑，通过分割将这些表达在一起，即由点到面积的映射来确定函数的值域，从而得出函数的具体解析式。
首先需要指明的是，正方形绝对值函数的解析式和它所代表的图象都是在平面上描绘出来的，因此它只是研究函数的一种特殊方式，本质还是利用实数系进行运算，而其他类型的函数也可以借鉴这种思想。
例如，直线上的点到直线的距离的两种情况、抛物线中心点的轨迹等。
其次，在一般函数学习的基础上，简化了很多复杂的计算过程。
另外，与直线相交的直线段中垂线的斜率是负值。
最后，还需说明的是：正方形绝对值函数在解题时主要应用了对称性原理。
在求函数值域问题中，往往存在一些特殊位置关系或者具有某种对称性。
通过分别找出函数图像的对称轴及反对称轴，并根据函数对称轴及反对称轴上的点来判断函数值域。
正方形绝对值函数的图像很好地展现了自变量取决于因变量的对称关系，由对称性的引入可使问题易于处理，也有助于突破数列难点，让函数概念更加清晰。
同时，利用正方形绝对值函数的对称性，便于建立变量间的等量关系，将其转化成求函数值域的问题。
还有在多元函数问题中，常会遇到当 n 个变量的乘积仍为常数，然后再对各变量做变号处理，求该常数的几何意义的问题，利用正方形绝对值函数的对称性便于操作，这里就不赘述了。
第一种情况是，若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比等于1.5:1时，则该函数解析式为 x=-1/(1- sinx);若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比小于1.5:1时，则该函数解析式为 x=1/2;若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比大于1.5:1时，则该函数解析式为 x=3/4。
[原创]绝对值函数的作图
![[原创]绝对值函数的作图](https://img.taocdn.com/s3/m/81742630ec630b1c59eef8c75fbfc77da26997ed.png)
[原创]绝对值函数的作图
绝对值函数的作图
大罕
含绝对值的函数分为三种情况。
一是函数式的一部分含有绝对值另一部分不含（称为部分“绝”）；二是函数式整个在绝对值之下（称为整体绝）；三是凡x处含有绝对值（称为x绝）。
本文的独到之处就是总结出以上三种情况，这样教给学生，脉络清晰，易懂好记，效果显著。
一部分“绝”——化为分段函数，分段画；
例⑴ y=|x-2|(x+1)
例⑵ y＝|x2－2x－3|－x
二整体绝——上留下翻（x轴上方的图像保留，x轴下方的图像翻转上去）
例⑶ y＝|2x2+x－1| ；
例⑷ y=|1/(x-1)| ；
三 x绝——右留翻左（y轴右方的图像保留，并把它翻转到y轴左方去）
例⑸ y＝2x2+|x－1| ；
例⑹ y=1/(|x|-1) ．。
含绝对值的函数图象的画法及其应用
含绝对值的函数图象的画法及其应用一、三点作图法三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a b ，；------为什么是这个坐标？ ②在顶点两侧各找出一点；③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，，两点（0，0），（1，0）。
其图象如图1所示。
图1（2）顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，，两点（－1，0），（0，0）。
其图象如图2所示。
图2注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线ab x -=对称。
--- 比较一下，两个函数有什么关系，各自的图像又有什么联系？二、翻转作图法翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4（2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。
把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。
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含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法
三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭
⎫
⎝⎛-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点；
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121
，，两点（0，0）
，（1，0）。
其图象如图1所示。
图1
（2）顶点⎪⎭
⎫
⎝⎛-121，，两点（－1，0）
，（0，0）。
其图象如图2所示。
图2
注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线a
b
x -=对称。
二、翻转作图法
翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4
（2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。
把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6
（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。
把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图8。
图8就是要画的函数图象。
图6 图7
三、分段函数作图法
分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
（1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2
--=x x y 。
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=)
0(12)
0(121||222
2
x x x x x x x x y
图9就是所要画的函数图象。
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧><<--≤-=-++=)
1(2)11(2
)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。
（3）|32|2
--=x x y
⎪⎩⎪⎨⎧<--++-≥----=)032(32)
032(322
222x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=)
31(32)
31(322
2x x x x x x x 或 图11就是所要画的函数图象。
图9 图10 图11
注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。
三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。
四、应用
把数化为形是“数形结合”思想。
利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。
解：由图10知函数的值域为)2[∞+，。
2. 求函数的单调区间。
例5. 求函数|32|2--=x x y 的单调递增区间。
解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］ )3[∞+，。
3. 求方程解的个数。
例6. 求方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数。
解：方程|)3lg(|1||22
+=+-x x x 解的个数就是函数1||22
+-=x x y 的图象与函数
|)3lg(|+=x y 的图象在同一坐标系中交点的个数。
由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程
|)3lg(|1||22+=+-x x x 有5个解。
图12。