高考数学基础知识训练(4)
高考数学基础知识专题提升训练44---全称量词命题与存在量词命题
高考数学基础知识专题提升训练全称量词命题与存在量词命题1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3,③是存在量词命题.2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是()A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2∀a,b∈R均成立,故选D.3.下列命题中的真命题是()A.存在x∈N,使4x<-3B.存在x∈Z,使2x-1=0C.对任意x∈R,2 019x>x2D.对任意x∈R,x2+2>0x∈R时,x2≥0,所以x2+2≥2>0.4.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是()A.∃x1∈R,f(x1)=f(x0)B.∃x1∈R,f(x1)>f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)a>0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x满足关于x的方为抛物线顶点的横坐标,所以f(x)min=f(x0),故对于∀x∈程2ax+b=0,则x0=-b2aR,f(x)≥f(x0)成立,从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.5.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R,使x2>3B.对有些x∈R,使x2>3C.任选一个x∈R,使x2>3D.至少有一个x∈R,使x2>3C中“任选一个”是全称量词,没有“∃”的含义.6.下列存在量词命题是真命题的是.(填序号)①有些不相似的三角形面积相等;②存在一个实数x,使x2+x+1<0;③存在实数a ,使一次函数y=ax+b 的值随x 的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x ∈R ,x 2+x+1=(x +12)2+34>0,所以不存在实数x ,使x 2+x+1<0,故②为假命题;③中当实数a>0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故选①③④.7.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x 都能使5x+1>0成立;(2)对所有实数a ,b ,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x ,y ,使得3x-2y=10成立;(4)所有的有理数x 都能使13x 2+12x+1是有理数.∀x ∈R ,5x+1>0;假命题.(2)∀a ,b ∈R ,方程ax+b=0恰有一个解;假命题.(3)∃x ,y ∈Z ,使3x-2y=10;真命题.(4)∀x ∈Q ,13x 2+12x+1是有理数;真命题.8.已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0为真命题,求实数a 的取值范围.p 为真,可知x 2≥a 对x ∈[1,2]恒成立,即a ≤(x 2)min ,x ∈[1,2],又(x 2)min =1,x ∈[1,2],所以a ≤1,故实数a 的取值范围是(-∞,1].A.a ≥9B.a ≤9C.a ≥10D.a ≤102-a ≤0,对∀x ∈[2,3]恒成立,则a ≥x 2在x ∈[2,3]上恒成立.令g (x )=x 2,x ∈[2,3],则g (x )max =9,所以a ≥9.故要求题干要求的一个充分条件,但不是必要条件,只需求集合{a|a ≥9}的一个真子集,观察四个选项知,只有选项C 符合.故选C .2.已知命题p :∃x ∈N ,使x 3<x 2,命题q :一元二次函数y=x 2+x-3的图象的顶点为(-12,-134),则()A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 假q 假D.p 真q 真x 3<x 2,得x 2(x-1)<0,解得x<0,或0<x<1,在这个范围内没有自然数,所以命题p 为假命题;因为y=x 2+x-3=(x +12)2−134,所以其图象的顶点坐标为(-12,-134),所以命题q 为真命题,故选A .3.若x 2-2x+5+m>0对于任意x ∈R 恒成立,则实数m 的取值范围是.x 2-2x+5+m>0可化为m>-x 2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x ∈R 恒成立,只需m>-4即可,即所求实数m 的取值范围为m>-4.44.下列命题:①存在x<0,使|x|>x ;②对于一切x<0,都有|x|>x ;③已知a n =2n ,b n =3n ,对于任意n ∈N +,都有a n ≠b n ;④已知A={a|a=2n },B={b|b=3n },对于任意n ∈N +,都有A ∩B={3}.其中是真命题的有.(填序号);③由于a n -b n =2n-3n=-n ,对于∀n ∈N +,都有a n <b n ,即a n ≠b n ,故为真命题;④已知A={a|a=2n },B={b|b=3n },如n=1,2,3时,A ∩B={6},故为假命题.5.若∀x ∈R ,关于x 的方程m (x 2-1)+x-a=0都有根,求实数a 的取值范围.当m=0时,x-a=0有一个根.(2)当m ≠0时,m (x 2-1)+x-a=0有根的充要条件是Δ=1+4m (m+a )=4m 2+4am+1≥0恒成立, 又因为4m 2+4am+1≥0是一个关于m 的二次不等式,此不等式恒成立的充要条件是Δ'=(4a )2-16≤0,解得-1≤a ≤1.综上,当m=0时,a ∈R ;当m ≠0时,a ∈[-1,1].6.已知命题p :存在x ∈[1,2],使x 2-a ≥0与命题q :存在x ∈R ,使x 2+2x+3+a=0都是真命题,求实数a 的取值范围.p 为真命题,所以当x ∈[1,2]时,a ≤(x 2)max ,而当x ∈[1,2]时,x 2的最大值是22=4,所以a ≤4.命题q 为真命题,即方程x 2+2x+3+a=0有解,因而有Δ=22-4×(3+a )≥0,解得a ≤-2.因为p ,q 都是真命题,所以有{a ≤-2,a ≤4,即a ≤-2.综上所述,a 的取值范围为(-∞,-2].。
高考数学 函数及导数(基础及能力训练)4
高考数学 函数及导数(基础及能力训练)41. 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛623πf ( ) A. 12 B.32 C .0 D .-122. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数 B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A .f (x )=1x 2B .f (x )=x 2+1C .f (x )=x 3D .f (x )=x -24.函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为________.5.若函数f (x )=cos2x +a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是 .6. 已知函数f (x )=x cos x -sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2. (1) 求证:f (x )≤0;(2) 若a <sin x x <b 对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.e-,其中e是自然对数的底数.7. 已知函数f(x)=x e+xe-+m-1在(0,+∞)上恒成立,求(1) 若关于x的不等式mf(x)≤x实数m的取值范围;(2) 已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-x30+3x0)成立,试求a的取值范围.8. 已知函数f(x)=x e-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e是自然对数的底数.(1) 设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2) 若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维(名师点拨)知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半(奇偶性) 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维(名师点拨)知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1.(2021·宁夏·平罗中学高一期中)已知4()f x x x=+. (1)判断()f x 的奇偶性;(2)判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】(1)函数()f x 为奇函数;(2)()f x 在区间()2,+∞上是增函数;证明见详解. (1)解:由题可知,4()f x x x=+,则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ,关于原点对称,又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-, 所以函数()f x 为奇函数.(2)解:()f x 在区间()2,+∞上是增函数, 证明:12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <, 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-, 122x x <<,1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<,即12()()f x f x <, ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评:对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下:①定义域(,0)(0,)-∞+∞; ②奇偶性:奇函数;③单调性:当0x >时;()(0)af x x a x =+>在上单调递减;在)+∞的单调增;④值域与最值:当0x >时;()(0)af x x a x =+>值域为)+∞,当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数(耐克函数),注意需要0a >这个大前提,当0a ≤时都不再是对钩函数,此时不具有对钩函数的性质。
高考数学基本知识百题训练(1)及答案
充分非必要条件. 充分且必要条件.
b 0 , a 0 是 函数
充分非必要条件. 充分且必要条件.
f(x) ax 2 bx c 为偶函数的
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
若 sin
2 , 且 cos 0 2
(0 2) 则角 的值为
9 关于 x 的方程 x 2 (1 m) x 2 0 的两个根的等差中项为 10 关于 x 的方程 x 2 2 x m 0 两根差的平方是 16. 则 m 11 已知 2 12 若 2 13
x 1
92 4 0
x
x
x= x= 成立 (B)若 a 0 则 a 2 a (D)若 a 2 a 则 a 0 必成立
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深圳市碧波中学李红权
高考数学基本知识百题训练(1)及答案.doc(一)
23
是偶函数且在区间(0 ,+∝)上是单调增函数的是
( A)y x
24
(B) y log
2
1 x
-x (C) y 1 x 2 1 (D) y 2 2
是偶函数,且在区间(-∝,0 )上是单调减函数的是
57
物线. 58 a,b 全不是零. 是 a b 0 的 充分非必要条件. 充分且必要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
2 2
(A) (C) 59 (A) (C) 60 (A) (C) 61 62 63 64 65
是 3
sin
3 的 2
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
是偶函数且在 (0, ) 内为增函数的是 (B)
2020年高考数学专项训练:函数概念与基本初等函数(四)
2020年高考数学专项训练:函数概念与基本初等函数(四)一、选择题1.己知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--> (1)若A B =∅I ,求实数a 的取值范围; (2)若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围. 2.博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日至11日在海南博鳌举行,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作,在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中,a b d ++=__________.在数学兴趣课堂上,老师出了一道数学思考题,某小组的三人先独立思考完成,然后一起讨论.甲说:“我做错了!”乙对甲说:“你做对了!”丙说:“我也做错了!”老师看了他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是( ) A. 乙做对了 B. 甲说对了C. 乙说对了D. 甲做对了 4.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表,得到的正确结论是()2p K k ≥0.010 0.005 0.001 k6.6357.87910.828B. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 5. 若复数12z i =+,则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点为( ) A. 1(,1)2 B. 1(,)2iC. 1(,)2i -D. 1(,1)2-6.如图的程序框图,当输出15y =后,程序结束,则判断框内应该填( )A. 1x ≤B. 2x ≤C. 3x ≤D. 4x ≤7.已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,113z i =,则12z z =( ) A. 232D. 1二、填空题8.已知圆C 的普通方程为222690x y x y ++-+=,则圆C 的参数方程为________________. 9.已知i 为虚数单位,若复数()()12ai i ++是纯虚数,则实数a =______. 10.已知a 、b 、c 均为正数,若1a b c ++=,则111a b c++的最小值为______. 三、解答题11.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈,点A 是曲线C 3与C 1的交点,点B 是曲线C 3与C 2的交点,A 、B 均异于原点O ,且AB =α的值. 12.已知a 、b 、c 均为正实数.(Ⅰ)用分析法证明:2a b + (Ⅱ)用综合法证明:若abc =1,则(1)(1)(1)a b c +++≥8. 13.为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的年龄频率分布直方图,在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如表所示:[35,45) 15 [45,55) 23 [55,65) 17(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的中位数和平均数;(2)根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异?(3)按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人,再从六人中随机选两人,求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少. 45岁以下 45岁以上 总计 非常高 一般 总计参考数据:()20P K k ≥ 0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82814.平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线,无论转弯或者直行,遇有行人过马路,必须礼让行人,违反者将被处以100元罚款,记3分的行政处罚.如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内,机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:(Ⅰ)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆybx a =+$; (Ⅱ)预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式:()()()1122211nni iii i i nnii i ix ynxyxx y yb xx x nx====---==--∑∑∑∑$,ˆay bx =-$. 15.当实数a 为何值时()22232z a a a a i =-+-+. (1)为实数; (2)为纯虚数;(3)对应的点在第一象限.试卷答案1.(1)[]2,3-;(2){5|a a -<或6}a >. 【分析】(1)求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-,或6}x >,由A B =∅I,列出不等式组,能求出实数a 的取值范围.(2)由A B B ⋃=,得到A B ⊆,由此能求出实数a 的取值范围. 【详解】解:(1)∵集合{}|3A x a x a =≤≤+,24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >,A B =∅I ,∴236a a ≥-⎧⎨+≤⎩,解得23a -≤≤∴实数a 的取值范围是[]2,3- (2)A B B A B =∴⊆QU ,32a ∴+-<或6a >,解得5a -<或6a >.∴实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >【点睛】本题考查实数的取值范围的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.将集合的运算转化成子集问题需注意,若A B B ⋃=则有A B ⊆,进而转化为不等式范围问题.2.44 【分析】根据总人数为50结合表格中的数据可求出a b d ++的值.【详解】由于总人数为50,可得出650a b d +++=,解得44a b d ++=,故答案为:44.【点睛】本题考查列联表的相关计算,解题时要充分利用题中信息与数据,考查计算能力,属于基础题. 3.B 【分析】分三种情况讨论:甲说法对、乙说法对、丙说法对,通过题意进行推理,可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论:①甲的说法正确,则甲做错了,乙的说法错误,则甲做错了,丙的说法错误,则丙做对了,那么乙做错了,合乎题意;②乙的说法正确,则甲的说法错误,则甲做对了,丙的说法错误,则丙做对了,矛盾; ③丙的说法正确,则丙做错了,甲的说法错误,则甲做对了,乙的说法错误,则甲做错了,自相矛盾. 故选:B.【点睛】本题考查简单的合情推理,解题时可以采用分类讨论法进行假设,考查推理能力,属于中等题. 4.A 【分析】将2K 的值对照附表进行判断,即可得出相关的结论,注意2()p K k ≥对应的是犯错误的概率.【详解】因为8.333>7.879,由上表知7.879上面为0.005,所以,有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,或在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.【点睛】主要考查了独立性检验,属于基础题.这类型题的关键是会根据附表进行判断,2K 的值越大,犯错误的概率越小,反之越大,同时对应的正确的概率越大,反之越小.5.D 【分析】由共轭复数的定义得共轭复数,进而可得解. 【详解】∵12z i =+,∴12z i =-,∴z 在复平面上对应的点为1(,1)2-. 故选:D .【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念,考查了复数的几何意义,属于基础题. 6.C 【分析】计算出输出15y =时,3x =;继续运行程序可知继续赋值得:4x =,此时不满足判断框条件,结束程序,从而可得判断框条件.【详解】解析 当x =-3时,y =3;当x =-2时,y =0; 当x =-1时,y =-1;当x =0时,y =0; 当x =1时,y =3;当x =2时,y =8;当x =3时,y =15,x =4,结束.所以y 的最大值为15,可知x ≤3符合题意. 判断框应填:3x ≤ 故选C【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可. 7.D 【分析】由复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称且11z =,得21z =-,即可求解12z z 的值,得到答案. 【详解】由题意,复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称,11z =,则21z =-,所以12212z z ====,故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的表示,以及复数的运算与求模,其中解答熟记复数的运算公式和复数的表示是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.8.1cos 3sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数) 【分析】由圆的一般方程先化为标准方程,再由圆的参数方程的公式即可得出结果. 【详解】由222690x y x y ++-+=,可得()()22131x y ++-=.令1x cos θ+=,3sin y θ-=,所以圆C 的参数方程为13x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数).【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化,熟记公式即可,属于基础题型. 9.2 【分析】利用复数的运算法则进行化简,然后再利用纯虚数的定义即可得出. 【详解】∵复数(1+ai )(2+i )=2﹣a +(1+2a )i 是纯虚数,∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩,解得a =2. 故答案为:2.【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键,本题属于基础题. 10.9 【分析】将代数式a b c ++与111a b c ++相乘,展开后利用基本不等式可求出111a b c++的最小值. 【详解】由基本不等式得()111111+3b a c b c a a b c a b c a b c a b b c a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭39≥=, 当且仅当13a b c ===时,等号成立,因此,111a b c ++的最小值为9,故答案为:9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,解题的关键就是对代数式进行合理配凑,并充分利用定值条件,考查计算能力,属于中等题. 11.(1)()()222224,24x y x y -+=+-=;(2)3π4. 【分析】(1)根据曲线1C 的参数方程,消去参数,即可得到1C 的普通方程;由4sin ρθ=两边同时乘以ρ,即可得到24sin ρρθ=,进而可得2C 的直角坐标方程;(2)根据1C 的直角坐标方程先得到其极坐标方程,将θα=分别代入1C 和2C 的极坐标方程,求出A ρ和B ρ,再由A B AB ρρ=-=.【详解】解:(1)由222x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ,得1C 的普通方程为()2224x y -+=.由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,又sin y ρθ=,222x y ρ+=,所以2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.(2)由(1)知曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=, 所以其极坐标方程为4cos ρθ=.设点A ,B 的极坐标分别为(),A ρα,(),B ρα, 则4cos A ρα=,4sin B ρα=,所以4cos sin 4A B AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭,即()42k k Z ππαπ-=+∈, 解得()34k k Z παπ=+∈, 又0απ<<,所以34πα=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型. 12.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析 【分析】(Ⅰ)因为a >0, b >0,所以2a b+>0,两边同时平方,根据分析法步骤证明,即可得证。
2023年高考数学复习满分训练必做题(新高考专用)专题4-2 三角函数的图像与性质(练习版)
专题4.2 三角函数的图像与性质【647】.(2022·全国·高考真题·★★★)函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( )A .B .C .D .【648】.(2020·全国·高考真题·★★★)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图,则f (x )的最小正周期为( )A .10π9B .7π6C .4π3D .3π2【649】.(2019·全国·高考真题·★★★)函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π,π]的图像大致为A .B .C .D .【650】.(2019·全国·高考真题·★★★★) 关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③【651】.(2007·海南·高考真题·★★)函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A .B .C .D .【652】.(2015·全国·高考真题·★★)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为A .13(,),44k k k Z ππ-+∈B .13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C .13(,),44k k k Z -+∈D .13(2,2),44k k k Z -+∈【653】.(2012·浙江·高考真题·★★★)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图象是( )A .B .C .D .【654】.(2011·全国·高考真题·★★) 设函数,则()A .函数()f x 在(0,)2π上单调递增,其图象关于直线对称; B .函数()f x 在(0,)2π上单调递增,其图象关于直线对称; C .函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称; D .函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称;【655】.(2018·全国·高考真题·★★★)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是 A .4πB .2π C .34π D .π【656】.(2018·天津·高考真题·★★★)将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A .在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B .在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【657】.(2016·全国·高考真题·★★★) 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示,则A .2sin(2)6y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .2sin(+)6y x π=D .2sin(+)3y x π=【658】.(2013·全国·高考真题·★★)若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图,则=ω( )A .5B .4C .3D .2【659】.(2020·海南·高考真题·★★)(多选题)下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)= ( )A .πsin(3x +)B .πsin(2)3x -C .πcos(26x +)D .5πcos(2)6x - 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【660】.(2022·全国·高考真题·★★★★)(多选题)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则( ) A .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C .直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D .直线y x =-是曲线()y f x =的切线 【661】.(2021·全国·高考真题·★★)已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.【662】.(2021·全国·高考真题·★★★)已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________.【663】.(2020·全国·高考真题·★★★★)关于函数f (x )=1sin sin x x+有如下四个命题: ①f (x )的图象关于y 轴对称. ②f (x )的图象关于原点对称. ③f (x )的图象关于直线x =2π对称. ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________. 【664】.(2011·江苏·高考真题·★★★)函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>)的部分图象如图所示,则_____________【665】.(2022·全国·模拟预测·★★★★)(多选题)已知函数()()sin cos sin f x x x x =-,则下列说法正确的是( )A .函数()f x 的最小正周期为2πB .()f xC .()f x 的图像关于直线8x π=-对称D .将()f x 的图像向右平移8π个单位长度,再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数 【666】.(2022·全国·模拟预测·★★★)(多选题)已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )A .()3cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .()f x 在()3,4ππ上单调递增C .()32f x >的解集为()4,43k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .D .()f x 的图象的对称轴方程为()3x k k ππ=-∈Z【667】.(2022·全国·模拟预测·★★★)(多选题)函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示,则( )A .3ω=B .65ϕπ=C .函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【668】.(2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★★)(多选题)已知函数()()sin 0,R f x x x x ωωω=>∈的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位,横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x 的图象,则下列关于函数()g x 的结论正确的是( ) A .函数()g x 是偶函数 B .()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C .()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D .当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域是[1,2]【669】.(2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测·★★★)(多选题) 已知函数()cos 2sin f x x x =+,则下列说法正确的是( ) A .直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B .函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半,再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C .函数f (x )在[-2π,2π]上单调递增D .函数()f x 的值域为[-2 【670】.(2022·内蒙古包头·二模·★★★)已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则满足条件()54f x f π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()703f x f π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝的最小正偶数x 为___________.【671】.(2022·天津河西·一模·★★★)函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0>ω,0A >,π2ϕ<)的图象如图所示,则()f x 在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为______. 【672】.(2022·四川·成都七中三模·★★★★)已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩,则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个.【673】.(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测·★★★★)已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴,则下列说法正确的是( ) A .6π=ϕ B .()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C .()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D .()f x θ+为偶函数,则()23k k Z θππ=+∈【674】.(2022·上海青浦·二模·★★★)已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ,值域为⎡-⎣,则b a -的取值范围是( ) A .3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【675】.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★)将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,则下列说法正确的是( ) A .π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C .()g x 的图象关于直线π2x =对称D .当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【676】.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★) 函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是( )A .B .C .D .【677】.(2022·广东茂名·二模·★★★)已知函数π())(||)2f x x ϕϕ+< 的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向左平移 π12个单位得到()g x 的图象,则( )A . ()3sin(2)6g x x π=+) B .()3sin(2)12g x x 5π=+C .()2g x x =D .()2g x x =【678】.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★)若函数()f x 过点,其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则()f π=( )A .0B .12C .22D .2 【679】.(2022·黑龙江·哈九中三模·★★★★)已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示,且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14,再向上平移一个单位长度,得到()g x 的图象.若()()129g x g x =,1x ,[]20,4πx ∈,则21x x -的最大值为( )A .πB .2πC .3πD .4π【680】.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★)函数sin 22cos x x y x=-的部分图像大致为( ) A . B .C .D .【681】.(2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★)如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分,则要得到该函数的图像,只需要将函数()2cos2g x x x =-的图像( )A .向左平移4π个单位长度B .向右平移4π个单位长度 C .向左平移2π个单位长度 D .向右平移2π个单位长度 【682】.(2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测·★★★)函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大致图象为( ) A . B . C . D .【683】.(2022·山东潍坊·模拟预测·★★★)函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示,现将()f x 的图像向左平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图像,则()g x 的表达式可以为( )A .2sin 2g x xB .()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D .()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【684】.(2022·全国·模拟预测·★★★)已知函数()|sin()|0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图,则()f x 的解析式为( )A .()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ B .()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C .()3sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D .()3sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【685】.(2022·上海金山·二模·★★)已知向量()()sin2,2cos ,3,cos a x x b x ==,则函数()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________. 【686】.(2022·上海闵行·二模·★★)若函数cos y x x +的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像,则正数ϕ的最小值为___________;【687】.(2022·山东日照·三模·★★)已知函数()()(2sin 0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示,则ϕ=________.【688】.(2022·上海·模拟预测·★★★)已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则满足条7π4π()()043f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最大负整数x 为_________.【689】.(2022·北京工业大学附属中学三模·★★★) 已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论: ①f (x )的值域是[1,1]-;②f (x )在π[0,]2上单调递减: ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后,可得一个奇函数的图象 其中所有正确结论的序号是___________.【690】.(2022·四川·模拟预测·★★★★)已知函数()cos 22cos 2f x x x π=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①()f x 的最小正周期为2π;②()f x 是奇函数;③()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;④()f x 在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. 【691】.(2022·江西·新余市第一中学三模·★★★★)已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><<,若函数()y f x =的部分图象如图,函数()g x =()sin A Ax ϕ-,则下列结论正确的是___________.(填序号) ①函数()g x 的图象关于直线π12x =-对称; ②函数()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称; ③将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象;④函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【692】.(2022·天津红桥·二模·★★★)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+,0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则ϕ=__________. 【693】.(2022·黑龙江·哈尔滨三中三模·★★★)函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图象如图所示,则φ=___________.【694】.(2022·江西·模拟预测·★★★★) 如图是函数()sin(2)||,02f x A x A πθθ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭的部分图像,()()0f a f b ==,且对不同的12,[,]x x a b ∈,若12()()f x f x =,有12()f x x +=θ=____________.【695】.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测·★★★)已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位,得到()y g x =的图象,则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______.(填序号)①方程()()3π60,2f x g x x ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为7π12;②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k ∈Z ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称.。
2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)
专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0,(π,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,0,(2π,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y =tan x 不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y =cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( ) (4)y =sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y =cos x 的对称轴有无穷多条,y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y =tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.(3)当k >0时,y max =k +1;当k <0时,y max =-k +1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2,3改编)若函数y =2sin 2x -1的最小正周期为T ,最大值为A ,则( ) A.T =π,A =1 B.T =2π,A =1 C.T =π,A =2D.T =2π,A =2【答案】 A【解析】 最小正周期T =2π2=π,最大值A =2-1=1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y =-tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z )【解析】 由-π2+k π<2x -3π4<π2+k π(k ∈Z ),得π8+k π2<x <5π8+k π2(k ∈Z ), 所以y =-tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T =2π2=π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,则f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2 的图象关于直线x =π3对称,则φ的值是________. 【答案】 -π6【解析】 由函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2的图象关于直线x =π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+φ=±1.所以2π3+φ=π2+k π(k ∈Z ),所以φ=-π6+k π(k ∈Z ),又-π2<φ<π2,所以φ=-π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )=-2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠-π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π6(k ∈Z )D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2+π6(k ∈Z ) (2)不等式3+2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )=64-x 2+log 2(2sin x -1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8【解析】 (1)由2x +π6≠k π+π2(k ∈Z ),得x ≠k π2+π6(k ∈Z ).(2)由3+2cos x ≥0,得cos x ≥-32,由余弦函数的图象,得在一个周期[-π,π]上,不等式cos x ≥-32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-5π6≤x ≤56π,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z .(3)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧64-x 2≥0,①2sin x -1>0,②由①得-8≤x ≤8,由②得sin x >12,由正弦曲线得π6+2k π<x <56π+2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例,应用正切函数y =tan x 的定义域求函数y =A tan(ωx +φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________. (2)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义,必须使sin x -cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象,如图所示.在[0,2π]上,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ), 所以2k π<x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2的最大值是________.(3)函数y =sin x -cos x +sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3,即y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3.(2)由题意可得f (x )=-cos 2x +3cos x +14=-(cos x -32)2+1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴cos x ∈[0,1].∴当cos x =32,即x =π6时,f (x )max =1. (3)设t =sin x -cos x ,则t 2=sin 2x +cos 2x -2sin x cos x , sin x cos x =1-t22,且-2≤t ≤2,所以y =-t 22+t +12=-12(t -1)2+1.当t =1时,y max =1;当t =-2时,y min =-12- 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型:(1)形如y =a sin x +b cos x +c 的三角函数化为y =A sin(ωx +φ)+c 的形式,再求值域(最值); (2)形如y =a sin 2x +b sin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值); (3)形如y =a sin x cos x +b (sin x ±cos x )+c 的三角函数,可先设t =sin x ±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π【解析】 (1)由f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x =1-2sin 2x +6sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -322+112,又sin x ∈[-1,1],所以当sin x =1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,知x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,a +π6.因为x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π2时,f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,所以由函数的图象知π2≤a +π6≤7π6,所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3-1】 (1)函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) (2)函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x +π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z【解析】 (1)由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ).(2)y =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,它的减区间是y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的增区间.令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3-2】 已知函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7,b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,c =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x +π6≤2k π+π,k ∈Z ,解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6,k ∈Z ,∴函数f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6上是减函数,∵-π6<π7<π6<π4<5π6,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3-3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )=cos x -sin x =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4,由题意得a >0,故-a +π4<π4,因为f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4在[-a ,a ]是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧-a +π4≥0,a +π4≤π,a >0,解得0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间:(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;(2)求形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π,则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π上单调递增 (2)cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-4π3,-π3,此时函数f (x )先减后增;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,此时函数f (x )先增后减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,4π3,此时函数f (x )单调递减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3,5π3,此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°=cos 22°,又y =cos x 在[0°,180°]上是减函数, ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,π3为函数f (x )的14周期,故2πω=4π3,解得ω=32.法二 由题意,得f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3ω=1.由已知并结合正弦函数图象可知,π3ω=π2+2k π(k ∈Z ),解得ω=32+6k (k ∈Z ),所以当k =0时,ω=32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4-1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=2cos 2x -sin 2x +2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称,则θ=( )A.-π6B.π6C.-π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )=2cos 2x -sin 2x +2=3cos 2x +1=3cos 2x +12+1=32cos 2x +52,则f (x )的最小正周期为π,当2x =2k π,即x =k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4.(2)f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-π3,由题意可得f (0)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±2,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±1,∴θ-π3=π2+k π(k ∈Z ),∴θ=5π6+k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2,∴k =-1时,θ=-π6.【规律方法】 1.若f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0),则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π2+k π(k ∈Z );(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ).2.函数y =A sin(ωx +φ)与y =A cos(ωx +φ)的最小正周期T =2π|ω|,y =A tan(ωx +φ)的最小正周期T=π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4-2】 (1)已知函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,则函数g (x )=sin x +a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3,0对称C.关于直线x =π3对称D.关于直线x =π6对称(2)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|≤π2,x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18,5π36上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,所以f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,所以1=32a +12,a =33, 所以g (x )=sin x +33cos x =233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6,函数g (x )的对称轴方程为x +π6=k π+π2(k ∈Z ),即x =k π+π3(k ∈Z ),当k =0时,对称轴为直线x =π3,所以g (x )=sin x +a cos x 的图象关于直线x =π3对称. (2)因为x =-π4为f (x )的零点,x =π4为f (x )的图象的对称轴,所以π4-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=T 4+kT 2,即π2=2k +14T =2k +14·2πω(k ∈Z ),所以ω=2k +1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18,5π36上单调,所以5π36-π18=π12≤T 2=2π2ω,即ω≤12,ω=11验证不成立(此时求得f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x -π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18,3π44上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44,5π36上单调递减),ω=9满足条件,由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )=A sin(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x 即可.2.对于可化为f (x )=A cos(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x ;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )=tan x 1+tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为-2πB.y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称 C.f (x +π)的一个零点为x =π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π2,k ∈Z . f (x )=sin x cos x1+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2=sin x ·cos x =12sin 2x , ∴f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为-2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x =k π-π3(k ∈Z ),当k =3时,直线x =8π3是其对称轴,B 项正确. C 项,f (x +π)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4π3,将x =π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6=cos 3π2=0,所以x =π6是f (x +π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+2π3,2k π+5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,π是增区间,D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t (或y =cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时A 和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y =3sin 2x +cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y =2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x +12cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6, ∴T =2π2=π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8,0是函数f (x )=sin ωx +cos ωx 图象的一个对称中心,则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4,由题意,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8+π4=0,所以ωπ8+π4=k π(k ∈Z ),即ω=8k -2(k ∈Z ),当k =1时,ω=6. 3.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0,-π3≤x ≤π4,∴-ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知-ωπ3≤-π2,∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )=2sin ωx -cos ωx (ω>0),若f (x )的两个零点x 1,x 2满足|x 1-x 2|min =2,则f (1)的值为( ) A.102 B.-102 C.2 D.-2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω=2|x 1-x 2|min =2×2=4,即ω=π2,所以f (1)=2sin π2-cos π2=2. 5.若f (x )为偶函数,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上满足:对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,则f (x )可以为( ) A.f (x )=cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +5π2 B.f (x )=|sin(π+x )| C.f (x )=-tan xD.f (x )=1-2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )=cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +5π2=-sin x 为奇函数,∴排除A ;f (x )=-tan x 为奇函数,∴排除C ;f (x )=1-2cos 22x =-cos 4x 为偶函数,且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2,k π2+π4(k ∈Z ),排除D ;f (x )=|sin(π+x )|=|sin x |为偶函数,且在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +φ-π3(0<φ<π)是奇函数,则φ=________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数,所以φ-π3=π2+k π(k ∈Z ),φ=5π6+k π,k ∈Z .又因为0<φ<π,故φ=5π6. 7.函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4, 得2k π≤2x -π4≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ), 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x =π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1,πω4-π6=2k π(k ∈Z ),∴ω=8k +23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin =23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期;(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,m 上的最大值为32,求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )=12-12cos 2x +32sin 2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6+12. 所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π. (2)由(1)知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6+12. 由题意知-π3≤x ≤m , 所以-5π6≤2x -π6≤2m -π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,m 上的最大值为32, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,m 上的最大值为1. 所以2m -π6≥π2,即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )=sin ωx -cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y =f (x )图象的对称轴方程;(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π4,且T =π,∴ω=2,于是f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4.令2x -π4=k π+π2(k ∈Z ),得x =k π2+3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x =k π2+3π8(k ∈Z ).(2)令2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π8,k π+3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,所以令k =0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π8;同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8,π2.【能力提升题组】(建议用时:20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π4,0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π8,0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π4,0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,所以f (-x )+2f (x )=3cos x +sin x .解得f (x )=cos x +sin x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,所以f (2x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4.令2x +π4=k π(k ∈Z ),得x =k π2-π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π, ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8-5π8=3π, ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8+φ=2,得φ=2k π+π12(k ∈Z ), 又|φ|<π,∴取k =0,得φ=π12. 13.已知x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点,则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3+φ=1,解得φ=2k π-π6(k ∈Z ). 不妨取φ=-π6,此时f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6, 令2k π+π2≤2x -π6≤2k π+3π2(k ∈Z ), 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x sin x -3cos 2x +32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值;(2)若方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1-x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )=cos x sin x -32(2cos 2x -1) =12sin 2x -32cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3.当2x -π3=π2+2k π(k ∈Z ),即x =512π+k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1. (2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x =512π+k π(k ∈Z ),∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x =512π. 又方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2. ∴x 1+x 2=56π,则x 1=56π-x 2, ∴cos(x 1-x 2)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π-2x 2=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-π3, 又f (x 2)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-π3=23, 故cos(x 1-x 2)=23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,所以α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π,-2π3,则f (α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,0,因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,所以f (β)在[0,m ]上单调,且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3,所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2,即实数m 的最小值是π2.。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习04 函数的性质综合应用(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1.(2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考(文))已知函数(1)f x +的定义域为(-2,0),则(21)f x -的定义域为() A .(-1,0) B .(-2,0) C .(0,1)D .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域,应用换元法求出()f t 的定义域,进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设,若1t x =+,则(1,1)t ∈-,∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-,故其定义域为(0,1). 故选:C.2.(2021·湖南·高三月考)已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++,则() A .()f x 的最小值为2B .x R ∃∈,22432()x x f x ++>C .()f x 的最大值为2D .x R ∀∈,22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ,然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++(i ),所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+(ii ). (i )×2-(ii )得23()366f x x x =++, 即22()22(1)1f x x x x =++=++,从而()f x 只有最小值,没有最大值,且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++, ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选:D.3.(2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考(理))若函数()2021x x f x x ππ-=-+,则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为() A .[1,)+∞ B .(,1]-∞ C .(0,1] D .[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性,再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--, 所以()f x 是奇函数,所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-, 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数, 所以()f x 在R 上为增函数, 所以142x x +≥-,解得1x ≥, 故选:A.4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x 2+1)=x 4,则函数y =f (x )的解析式是( )A .()()21,0f x x x =-≥B .()()21,1f x x x =-≥C .()()21,0f x x x =+≥D .()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++,且211x +≥,所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选:B.5.(2021·湖南省邵东市第一中学高三月考)已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立,且(1)0f ≠,则(2021)f =() A .1010 B .20212C .1011D .20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律,从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==,则()()()()20020,00f f f f =+=,令0,1a b ==,则()()()()()221021,121f f f f f =+=,由于()10f ≠,所以()112f =.令1a b ==,则()()()221211f f f =+=, 令2,1a b ==,则()()()2133221122f f f =+=+=,令3,1a b ==,则()()()23144321222f f f =+=+=,以此类推,可得()202120212f =.故选:B.6.(2021·安徽·六安二中高三月考)设()f x 为奇函数,且当0x ≥时,()21x f x =-,则当0x <时,()f x =() A .21x -- B .21x -+C .21x ---D .21x --+【答案】D 【分析】根据题意,设0x <,则0x ->,由函数的解析式可得()21x f x --=-,结合函数的奇偶性分析可得答案. 【详解】根据题意,设0x <,则0x ->, 则()21x f x --=-,又由()f x 为奇函数,则()()21x f x f x ---=-+=,故选:D.7.(2021·河南·高三月考(理))||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为()A .4-B .4eC .44e-D .0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数,且其图像的对称性,利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-,设2()xx g x e=,则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数,图像关于原点对称,其最大值与最小值是互为相反数,max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x , 当0x >时2()xxg x e =,222(1)()x x x x g x e e --'==, 故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞, 所以max 2()(1)g x g e==,所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选:B.8.(2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考(理))已知减函数()332f x x x =--,若()()320f m f m -+-<,则实数m 的取值范围为() A .(),3-∞ B .()3,+∞ C .(),3-∞- D .()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性,列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数,且在R 上单调递减, 由()()320f m f m -+-<,得()()()322f m f m f m -<--=, 于是得32m m ->,解得3m <-. 故选:C.9.(2021·陕西·西安中学高三期中)已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-(0a >,1a ≠),且()5f π=,则()f π-=() A .5- B .2 C .1D .1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-,由()()0g x g x -+=,可得()g x 为奇函数,利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解:令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=,因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=,所以()g x 为奇函数,所以()()0g g ππ-+=,即()()330f f ππ--+-=, 又()5f π=, 所以()1f π-=, 故选:C.10.(2021·北京通州·高三期中)已知函数()f x 的定义域为R ,()54f =,()3f x +是偶函数,[)12,3,x x ∀∈+∞,有()()12120f x f x x x ->-,则()A .()04f <B .()14f =C .()24f >D .()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称,()f x 在[)3,+∞上单调递增,结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称 因为[)12,3,x x ∀∈+∞,有()()12120f x f x x x ->-,所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =,所以()()064f f =>,()()154f f ==,()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小 故选:B.11.(2021·北京朝阳·高三期中)若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数,则实数a =().A .2-B .1-C .0D .1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可 【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数,定义域为R ,所以()00f =,即02021a -=+,解得1a =,经检验符合题意,故选:D.12.(2022·上海·高三专题练习)函数()2020sin 2f x x x =+,若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立,则实数t 的取值范围为() A .[2,)+∞ B .[1,)+∞C .3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-,且()20202cos20f x x '=+>, ∴函数()f x 为单调递增的奇函数.于是,()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-,即21x x t +≥-,∴21t x x ≤++,而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭,可知实数34t ≤, 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选:C.13.(2021·江苏·海安高级中学高三月考)已知定义在R 上的可导函数()f x ,对任意的实数x ,都有()()4f x f x x --=,且当()0,x ∈+∞时,()2f x '>恒成立,若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立,则实数a 的取值范围是() A .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B .10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---,令()()2F x f x x =-,根据奇偶性的定义,可得()F x 为偶函数,利用导数可得()F x 的单调性,将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---,即()(1)F a F a ≥-,根据()F x 的单调性和奇偶性,计算求解,即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=,得()2()2()f x x f x x -=---, 记()()2F x f x x =-,则有()()F x F x =-,即()F x 为偶函数, 又当(0,)x ∈+∞时,()()20F x f x ''=->恒成立, 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增,所以由()()()1221f a f a a --≥-,得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---, 即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-,所以|||1|a a -,即2212a a a ≥+-,解得12a ,故选:D.14.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中(文))设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,则函数()1y f x =-的零点个数为() A .1个 B .2个C .3个D .0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象,把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案. 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知,函数()1y f x =-的零点的个数为2个. 故选:B .15.(2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,满足1(2)()f x f x +=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()2log (31)f x x =-+,则()2021f 等于() A .4 B .2C .2-D .2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数,从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数,()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+, 其最小正周期为4,所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()2log (31)f x x =-+, 所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯,所以()202112()f f =--=-. 故选:C.16.(2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考(文))已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数,且在[3,0]-上单调递增,则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是()A .5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B .5,32⎛⎤⎥⎝⎦C .[]2,3D .[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=,即可解出a ,由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增,再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-,然后根据单调性即可解出. 【详解】依题意可得320a -+-=,解得5a =,而函数f x ()在[3,0]-上单调递增,所以函数()f x 在[0,3]上单调递增,又函数()f x 连续,故函数()f x 在[]3,3-上递增,不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-,所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩,解得532m <≤.故选:B .17.(2021·浙江·高三期中)已知0a >,0b >,则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】构造函数,利用函数的单调性,结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解:由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-,得()2ln 23ln 3a b a b +>+,令()ln 3x f x x =+,()f x 在()0,∞+上单调递增,又()()2f a f b >,则2a b >.即当0a >,0b >时,2ln 392b a a a b b>-⇔>.显然,2a b a b >⇒>,但由2a b >不能得到a b >. 故选:B .18.(2021·重庆市实验中学高三月考)已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩,若函数()f x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围为()A .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .10,3⎛⎤⎥⎝⎦D .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义,建立关于a 的不等式组,解不等式组即可得答案. 【详解】解:因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数,所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩,解得1132a ≤≤,所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:B.19.(2021·全国·高三期中)已知()2f x +是偶函数,当122x x <<时,()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()3b f =,()4c f =,则a 、b 、c 的大小关系为() A .b a c << B .c b a << C .b c a << D .a b c <<【答案】A 【分析】分析可知函数()f x 在()2,+∞为增函数,由已知条件可得1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当122x x <<时,()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,则()()12f x f x <, 所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数,所以,()()22f x f x -+=+,即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:A.20.(2021·宁夏·海原县第一中学高三月考(文))已知()f x 是定义域为()-∞+∞,的奇函数,满足()()11f x f x -=+,若()13f =,则()()()()1232022f f f f ++++=()A .2022B .0C .3D .2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数,然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞,的奇函数,所以()()f x f x -=-,()00f = 因为()()11f x f x -=+,所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=,所以()f x 是周期为4的周期函数 因为()13f =,()()200f f ==,()()()3113f f f =-=-=-,()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选:C.21.(2021·河北·高三月考)已知函数()3()21sin f x x x x =+++,则()(32)4f x f x -+-<的解集为() A .(,1)-∞ B .(1,)+∞C .(,2)-∞D .(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++,然后可得函数()g x 为奇函数,函数()g x 在R 上单调递增,然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+,然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++,可得函数()g x 为奇函数,2()62cos 0g x x x '=++>,所以函数()g x 在R 上单调递增,()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+,所以321x x x -<-+⇒<. 故选:A.22.(2021·河南·高三月考(文))已知函数()()12x x f x e e -=+,记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=,1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=,()c f π=,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a <b <cB .c <b <aC .b <a <cD .b <c <a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性,然后根据导函数的符号求出函数的单调区间,利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解:因为()()()12x x f x e e f x --=+=,所以函数()f x 为偶函数,()()12x xf x e e -'=-, 当0x >时,()0f x '>,所以函数()f x 在()0,∞+上递增,则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以10log 212πππ<<<<, 所以b a c <<. 故选:C .23.(2021·安徽·高三月考(文))已知定义在R 上的函数()f x 满足:(1)f x -关于(1,0)中心对称,(1)f x +是偶函数,且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为() A .0 B .-1 C .1 D .无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称,又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ,所以()f x 关于(0,0)中心对称,即()f x 是奇函数;又(1)f x +是偶函数,又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ,所以()f x 关于直线1x =对称,可得函数()f x 的周期4T =, 由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称,又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ,所以()f x 关于(0,0)中心对称,即()f x 是奇函数;又(1)f x +是偶函数,又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ,所以()f x 关于直线1x =对称,即()(2)f x f x =-; 所以()(2)f x f x =--,所以(+2)()f x f x =-,所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=, 所以函数()f x 的周期4T =,911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:B.24.(2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(理))函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立,且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称,(1)4f =,则(2020)(2021)(2022)f f f ++=()A .1B .2C .3D .4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称,得到函数是奇函数,然后结合(2)()f x f x +=-,得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称, 所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称, 即()()f x f x -=-, 又因为(2)()f x f x +=-,所以(2)()f x f x +=-,即(4)()f x f x +=, 所以函数的周期为4T =, 又(1)4f =,所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选:D.25.(2021·江西·高三月考(文))若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,且()30f =,则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为()A .(][),15,-∞-+∞B .[][]3,05,-+∞C .[][]1,02,5-D .(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换,结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数,且在(0,)+∞递增,且()30f =,所以()f x 在(),0-∞递增,且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到,画出()2f x -的大致图象如下图所示,由图可知,满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选:C.26.(2022·全国·高三专题练习)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),且在[0,1]上是减函数,则有() A .f 3()2<f 1()4-<f 1()4B .f 1()4<f 1()4-<f 3()2C .f 3()2<f 1()4<f 1()4-D .f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期,以及对称性,画出函数的草图,即可判断选项. 【详解】因为f (x +2)=-f (x ),所以f (x +2+2)=-f (x +2)=f (x ),所以函数的周期为4,并且()()()2f x f x f x +=-=-,所以函数()f x 关于1x =对称,作出f (x )的草图(如图),由图可知3()2f <1()4f <1()4f -,故选:C.27.(2022·全国·高三专题练习)函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩,,则不等式()1f x ≥的解集是( )A .()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭,,B .(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦,,C .513⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D .533⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式,由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩,,443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩, 当43x <时,431,11x x x -≥≤⇒≤,当423x ≤≤时,55341,233x x x -≥≥⇒≤≤,当2x >时,10x ->,则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-,综上所述,不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选:B.28.(2021·安徽省亳州市第一中学高三月考(文))函数()f x 满足()()4f x f x =-+,若()23f =,则()2022f =()A .3B .-3C .6D .2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+,变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+,即()()4f x f x +=-, 则()()()84f x f x f x +=-+=,所以函数()f x 是周期函数,周期为8,所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-.故选:B .29.(2021·贵州·贵阳一中高三月考(理))函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为()A .3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域,再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中,由22310x x -+>得12x <或1x >,则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞, 函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增,于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选:B.30.(2021·广东·高三月考)已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点,且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数,则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为()A .404B .804C .806D .402【答案】A【分析】 根据两个偶函数得()f x 的对称轴,由此得函数的周期,10是其一个周期,由周期性可得零点个数.【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数,所以(2)(2)f x f x +=-+,(7)(7)f x f x +=-+,所以()f x 图象关于2x =,7x =轴对称,所以()f x 为周期函数,且2(72)10T =⋅-=,所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组,所以2012402N =⨯=,在[2010,2013]中,含有零点(2011)(1)0f f ==,(2013)(3)0f f ==共2个,所以一共有404个零点.故选:A.31.(2021·安徽·池州市江南中学高三月考(理))已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),且函数f (x )在区间(2,+∞)上单调递增,如果x 1<2<x 2,且x 1+x 2>4,则f (x 1)+f (x 2)的值()A .可正可负B .恒大于0C .可能为0D .恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-,再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增,将1x 转换为14x -,从而14x -,2x 都在(2,)+∞的单调区间内,由单调性得到它们的函数值的大小,再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号.【详解】解:定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,将x 换为x -,有(4)()f x f x -=-,122x x <<,且124x x +>,2142x x ∴>->,函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增,21()(4)f x f x ∴>-,(4)()f x f x -=-,11(4)()f x f x ∴-=-,即21()()f x f x >-,12()()0f x f x ∴+>,故选:B .32.(2021·河南·模拟预测(文))已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈,则下列函数中,不是奇函数的为()A .()()11f x f x -+ B .()()11f x f x +- C .()()1f x f x - D .()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断.【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈,所以()1()()1f x g x f x -=+,则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++,()g x 是奇函数, 同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数,1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--,则()()()()p x f x f x p x -=--=-,是奇函数, 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-,()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数, 故选:D .33.(2021·四川郫都·高三月考(文))已知奇函数()f x 定义域为R ,()()1f x f x -=,当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭() A .2log 3B .1C .1-D .0【答案】D【分析】 根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2,利用周期性进行转化求解即可.【详解】 解:奇函数满足(1)()f x f x -=,()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--,即(1)()f x f x +=-,则(2)(1)()f x f x f x +=-+=,所以()f x 是以2为周期的周期函数, 所以225111()()log ()log 102222f f ==+==. 故选:D.34.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为R ,且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=,且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()00f ≠,则()2021f =().A .2021B .1C .0D .1-【答案】C【分析】 分别令0x y ==,令12x y ==得到()()110f x f x ++-=,进而推得函数()f x 是周期函数求解. 【详解】令0x y ==,则()()()()00200f f f f +=,故()()()20010f f -=,故()01f =,(()00f =舍) 令12x y ==,则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故()10f =.∴()()()()11210f x f x f x f ++-==,即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=,故()f x 的周期为4,即()f x 是周期函数.∴()()202110f f ==.故选:C .二、多选题35.(2021·全国·高三月考)()f x 是定义在R 上的偶函数,对x R ∀∈,均有()()2f x f x +=-,当[]0,1x ∈时,()()2log 2f x x =-,则下列结论正确的是()A .函数()f x 的一个周期为4B .()20221f =C .当[]2,3x ∈时,()()2log 4f x x =--D .函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】 由()()2 x f f x +=-可判断A ,()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-,可判断B ,当[]2,3x ∈时,[]20,1x -∈,结合条件可判断C ,易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===,可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数,对x R ∀∈,均有()()2 x f f x +=-,()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=)故函数的周期为4,故选项A 正确;()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-,故选项B 错误;当[]2,3x ∈时,[]20,1x -∈,则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣,故选项C 正确;易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===,于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点,故选项D 错误,故选:AC .36.(2021·重庆市第十一中学校高三月考)关于函数()321x f x x +=-,正确的说法是() A .()f x 有且仅有一个零点B .()f x 在定义域内单调递减C .()f x 的定义域为{}1x x ≠D .()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-,数形结合,逐一分析即可; 【详解】 解:323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---,作出函数()f x 图象如图:由图象可知,函数只有一个零点,定义域为{}|1x x ≠,在(),1-∞和()1,+∞上单调递减,图象关于()1,3对称,故B 错误,故选:ACD .37.(2021·福建·三明一中高三月考)下列命题中,错误的命题有()A .函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B .命题“[]00,1x ∃∈,2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈,21x x +<”C .函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D .设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 在R 上单调递增 【答案】ACD【分析】 求出两函数的定义域,即可判断A ;命题的否定形式判断B ;函数的最值判断C ;分段函数的性质以及单调性判断D ;【详解】解:函数()f x x =定义域为R ,函数2()g x =的定义域为[)0,+∞,所以两个函数的定义域不相同,所以两个函数不是相同函数;所以A 不正确;命题“0[0x ∃∈,1],2001x x +”的否定为“[0x ∀=,1],21x x +<”,满足命题的否定形式,所以B 正确; 函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<,因为02x π<<,所以0sin 1x <<,可知4sin 4sin y x x =+>,所以函数没有最小值,所以C 不正确; 设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数,并且0x <时,0x →,()2f x →,0x 时,函数的最小值为1,两段函数在R 上不是单调递增,所以D 不正确;故选:ACD .38.(2021·福建·高三月考)已知()f x 是定义域为R 的函数,满足()()13f x f x +=-,()()13f x f x +=-,当02x ≤≤时,()2f x x x =-,则下列说法正确的是()A .()f x 的最小正周期为4B .()f x 的图象关于直线2x =对称C .当04x ≤≤时,函数()f x 的最大值为2D .当68x ≤≤时,函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式,可推导得到周期性和对称性,知AB 正确;根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值,结合对称性和周期性可知C 正确,D 错误.【详解】对于A ,()()13f x f x +=-,()()4f x f x ∴+=,()f x ∴的最小正周期为4,A 正确; 对于B ,()()13f x f x +=-,()()22f x f x ∴+=-,()f x ∴的图象关于直线2x =对称,B 正确;对于C ,当02x ≤≤时,()()max 22f x f ==,()f x 图象关于2x =对称,∴当24x ≤≤时,()()max 22f x f ==; 综上所述:当04x ≤≤时,()()max 22f x f ==,C 正确;对于D ,()f x 的最小正周期为4,()f x ∴在[]6,8上的最小值,即为()f x 在[]2,4上的最小值,当02x ≤≤时,()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,又()f x 图象关于2x =对称, ∴当24x ≤≤时,()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-,D 错误. 故选:ABC.39.(2022·全国·高三专题练习)设f (x )的定义域为R ,给出下列四个命题其中正确的是()A .若y =f (x )为偶函数,则y =f (x +2)的图象关于y 轴对称;B .若y =f (x +2)为偶函数,则y =f (x )的图象关于直线x =2对称;C .若f (2+x )=f (2-x ),则y =f (x )的图象关于直线x =2对称;D .若f (2-x )=f (x ),则y =f (x )的图象关于直线x =2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性,结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A :中由y =f (x )关于y 轴对称,得y =f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,所以结论错误;B :因为y =f (x +2)为偶函数,所以函数y =f (x +2)的图象关于y 轴对称,因此y =f (x )的图象关于直线x =2对称,所以结论正确;C :因为f (2+x )=f (2-x ),所以y =f (x )的图象关于直线x =2对称,因此结论正确;D :由f (2-x )=f (x ),得f (1+x )=f (1-x ),所以y =f (x )关于直线x =1对称,因此结论错误,故选:BC.40.(2021·广东·湛江二十一中高三月考)已知函数sin ()()x f x e x R =∈,则下列论述正确的是()A .()f x 的最大值为e ,最小值为0B .()f x 是偶函数C .()f x 是周期函数,且最小正周期为2πD .不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈,得到函数的值域,可判定A 错误;由函数奇偶性的定义,可判定B 正确; 由函数周期的定义,可得判定C 错误;由()f x ≥,得到1|sin |2x ≥,结合三角函数的性质,可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈,可得的sin [1,]x e e ∈,故A 错误; 由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===,所以()f x 是偶函数,故B 正确;由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===,所以π是()f x 的周期,故C 错误; 由()f x ≥,即1sin 2x e e ≥,可得1|sin |2x ≥, 解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ,故D 正确. 故选:BD. 41.(2021·全国·模拟预测)已知函数()21x f x x =-,则下列结论正确的是() A .函数()f x 在(),1-∞上是增函数B .函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C .函数()f x 的图象上存在两点A ,B ,使得直线//AB x 轴D .函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩,然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩,其大致图象如下,结合函数图象可得AC 正确,BD 错误.故选:AC.42.(2022·全国·高三专题练习)对于定义在R 上的函数()f x ,下列说法正确的是()A .若()f x 是奇函数,则()1f x -的图像关于点()1,0对称B .若对x ∈R ,有()()11f x f x =+-,则()f x 的图像关于直线1x =对称C .若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称,则()f x 为偶函数D .若()()112f x f x ++-=,则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用,在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换,再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ,()f x 是奇函数,故图象关于原点对称,将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象,故()1f x -的图象关于点(1,0)对称,正确;对B ,若对x ∈R ,有()()11f x f x =+-,得()()2f x f x +=,所以()f x 是一个周期为2的周期函数,不能说明其图象关于直线1x =对称,错误.;对C ,若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称,则()f x 的图象关于y 轴对称,故为偶函数,正确;对D ,由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=,()()()()312,422,f f f f +-=+-=,()f x 的图象关于(1,1)对称,正确.故选:ACD.第II 卷(非选择题)三、填空题43.(2021·广东·高三月考)请写出一个函数()f x =__________,使之同时具有如下性质:①图象关于直线2x =对称;②x R ∀∈,(4)()f x f x +=. 【答案】()cos 2f x x π=(答案不唯一). 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数,即可求解.【详解】解:由题可知,由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称;由性质②x R ∀∈,(4)()f x f x +=,可知函数()f x 以4为周期, 写出一个即可,例如:()cos 2f x x π=, 故答案为:()cos 2f x x π=(答案不唯一). 44.(2021·湖南·高三月考)已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=,且当(]0,1x ∈时,()[]222()f x f x =,则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法,可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=,令2x =,可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==,212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥,所以()10f ≥,所以()14f =,由()()416f x f x +-=,令1x =,可得()312f =.因为()f x 是偶函数,所以()()3312f f -==.故答案为:12.45.(2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考)定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+,且x ∈(0,1)时,1()24x f x =+,则23(log 8)2f +=___. 【答案】74【分析】 由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=,然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+,且x ∈(0,1)时,1()24x f x =+, 所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为:74. 46.(2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考)定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩,数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*,{}n a 的前n 项和为n S ,则2021S =_________.【答案】337【分析】先判断出周期为6,再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值,最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为6的周期函数,()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-,()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==,()()7711a f f ===,1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=,因为202163365=⨯+,所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为:337.47.(2021·辽宁沈阳·高三月考)若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数,则m 的值为________. 【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值,再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解:由已知210x -≠,即0x ≠,故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞,因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数, 则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭, 解得12m =-, 当12m =-时, ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时,函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数 故答案为:12-. 48.(2021·全国·高三月考(理))已知函数2()sin f x x x x =-,则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数,再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数,从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+,进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ,由题意,()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--,当0x >时,()1sin 0f x x x '≥⋅->,故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=,所以()f x 为偶函数,故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+,则|21||1|x x -<+,故22(21)(1)x x -<+,解得02x <<,故原不等式的解集为(0,2).故答案为:(0,2).49.(2022·全国·高三专题练习)函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简,再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-,函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数,在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的(如图所示):由图可知两函数图象有2个交点,即f (x )的零点个数为2.故答案为:2.50.(2021·河南·高三月考(文))已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上,且满足()()224359x f x g x x x +=-++,则()()13f g -+=______.【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式,代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得:()235f x x =+,()249x g x x =-+, 所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为:223.。
全国统一高考数学练习卷及含答案 (4)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线)(042R n m ny mx ∈=-+,始终平分圆042422=-+-+y x y x 的周长,则m 、n 的关系是()A.02=--n m B.02=-+n m C.04=-+n m D.04=+-n m 2.与圆8)3()3(22=-+-y x 相切,且在y x 、轴上截距相等的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条3.在一口袋中有2个白球和3个黑球,从中任意摸出2球,则至少摸出一个黑球的概率是()(A)73(B)109(C)51(D)614.若,1sin )(3++=x b ax x f 且,)75(=f 则=-)5(f ()A7-B5-C 5D75.函数)(x f y =的图象过点(0,1),则函数)3(+=x f y 的图象必过点()A)1,3(-B (3,1)C (0,4)D)4,0(-6.过(x 1,y 1)和(x 2,y 2)两点的直线的方程是()111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=7.已知a ∥α,b ∥α,则直线a ,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.已知a、b、c 是三条互不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,给出四个命题:①;//,//,//ααa b b a 则②a、;//,//,//,βαββα则b a b ⊂③;,//,βαβα⊥⊥则a a ④b a b a ⊥⊥则,//,αα.其中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知等差数列==16884,31,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前()A.81B.31C.91D.10310.定义在R 上的偶函数0)(log ,021(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合()A.),2()21,(+∞⋃-∞B.)2,1()1,21(⋃C.),2()1,21(+∞⋃D.),2(21,0(+∞⋃11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个,则a 的值等于()A.31B.1C.6D.312.已知函数)41(,2),3(log ,2,43)(1162-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-=-f x x x x x f 则的值等于()A.2116B.25-C.4D.-4二、填空题(共4小题,每小题5分;共计20分)1.某校有初中学生1200人,高中学生900人,老师120人,现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为N 的样本进行调查,如果应从高中学生中抽取60人,那么N=_______.2.在经济学中,定义)()(),()1()(x f x Mf x f x f x Mf 为函数称-+=的边际函数,某企业的一种产品的利润函数N x x x x x P ∈∈++-=且]25,10[(100030)(23*),则它的边际函数MP(x)=______.(注:用多项式表示)3.已知c b a ,,分别为△ABC 的三边,且==+-+C ab c b a tan ,02333222则______.4.已知下列四个函数:①);2(log 21+=x y ②;231+-=x y ③;12x y -=④2)2(3+-=x y .其中图象不经过第一象限的函数有______.(注:把你认为符合条件的函数的序号都填上)三、大题:(满分30分)1.如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.(Ⅰ)求证:BF ∥平面ADE ;(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(Ⅲ)若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长.2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.3.设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+,.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n k k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N .(i)求数列(){}221nna c -的通项公式;(ii)求()2*1ni ii a c n =∈∑N .4.设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ;(Ⅲ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点,其中n N ∈,证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.5.设首项为1的正项数列{an}的前n 项和为Sn,数列的前n 项和为Tn,且,其中p 为常数.(1)求p 的值;(2)求证:数列{an}为等比数列;(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y 均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.6.已知函数f(x)=(x﹣x1)(x﹣x2)(x﹣x3),x1,x2,x3∈R,且x1<x2<x3.(1)当x1=0,x2=1,x3=2时,求函数f(x)的减区间;(2)求证:方程f′(x)=0有两个不相等的实数根;(3)若方程f′(x)=0的两个实数根是α,β(α<β),试比较,与α,β的大小,并说明理由.参考答案:一、选择题:1-5题答案:AABBA 6-10题答案:CDBDD 11-12题答案:BD二、填空题:1、148;2、]25,10[(295732∈++-x x x且)*N x ∈(未标定义域扣1分);3、22-;4、①,④(多填少填均不给分)三、大题:1.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AB AD AE,,的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ,(0,0,2)E .设(0)CF h h =>>,则()1,2,F h .(Ⅰ)证明:依题意,(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量,又(0,2,)BF h = ,可得0BF AB ⋅=,又因为直线BF ⊄平面ADE ,所以BF ∥平面ADE .(Ⅱ)解:依题意,(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--.设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量,则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =,可得(2,2,1)n =.因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅==-.所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(Ⅲ)解:设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量,则0,0,m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =,可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由题意,有||1cos ,||||3m n m n m n ⋅〈〉==,解得87h =.经检验,符合题意.所以,线段CF 的长为87.2.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。
高考数学技巧04 结构不良问题解题策略(精讲精练)(解析版)
技巧04结构不良问题解题策略【命题规律】结构不良问题是高考重点考查的内容之一,命题形式多种多样,主要以解答题为主,应适度关注.【核心考点目录】核心考点一:三角函数与解三角形核心考点二:数列核心考点三:立体几何核心考点四:函数与导数核心考点五:圆锥曲线【真题回归】1.(2022·全国·统考高考真题)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ,渐近线方程为y =.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上,且1210,0x x y >>>.过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M 在AB 上;②PQ AB ∥;③||||MA MB =.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】(1)右焦点为(2,0)F ,∴2c =,∵渐近线方程为y =,∴ba=b =,∴222244c a b a =+==,∴1a =,∴b =.∴C 的方程为:2213y x -=;(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零,直线AB 的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M 为线段AB 的中点,假若直线AB 的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上,即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称,与从而12x x =,已知不符;总之,直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上,等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-;两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得:()22223440k x k x k --+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k k x y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得:()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦,()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-;由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中,得:()()00003y y ⎡⎤-+=⎣⎦,解得P的横坐标:100x y x ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理:200x y ⎛⎫=-⎪⎪⎭,∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=,综上所述:条件①M 在AB 上,等价于()2002ky k x =-;条件②//PQ AB 等价于003ky x =;条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-;选①②推③:由①②解得:2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立;选①③推②:由①③解得:20223k x k =-,20263k ky k =-,∴003ky x =,∴②成立;选②③推①:由②③解得:20223k x k =-,20263k ky k =-,∴02623x k -=-,∴()2002ky k x =-,∴①成立.2.(2022·北京·统考高考真题)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BCC B 为正方形,平面11BCC B ⊥平面11ABB A ,2AB BC ==,M ,N 分别为11A B ,AC 的中点.(1)求证:MN ∥平面11BCC B ;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值.条件①:AB MN ⊥;条件②:BM MN =.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)取AB 的中点为K ,连接,MK NK ,由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形,而11,B M MA BK KA ==,则1//MK BB ,而MK ⊄平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ,故//MK 平面11BCC B ,而,CN NA BK KA ==,则//NK BC ,同理可得//NK 平面11BCC B ,而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ,故平面//MKN 平面11BCC B ,而MN ⊂平面MKN ,故//MN 平面11BCC B ,(2)因为侧面11BCC B 为正方形,故1CB BB ⊥,而CB ⊂平面11BCC B ,平面11CBB C ⊥平面11ABB A ,平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =,故CB ⊥平面11ABB A ,因为//NK BC ,故NK ⊥平面11ABB A ,因为AB ⊂平面11ABB A ,故NK AB ⊥,若选①,则AB MN ⊥,而NK AB ⊥,NK MN N = ,故AB ⊥平面MNK ,而MK ⊂平面MNK ,故AB MK ⊥,所以1AB BB ⊥,而1CB BB ⊥,CB AB B ⋂=,故1BB ⊥平面ABC ,故可建立如所示的空间直角坐标系,则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ,故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===,设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =,则0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ,从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩,取1z =-,则()2,2,1n =-- ,设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ,则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②,因为//NK BC ,故NK ⊥平面11ABB A ,而KM ⊂平面MKN ,故NK KM ⊥,而11,1B M BK NK ===,故1B M NK =,而12B B MK ==,MB MN =,故1BB M MKN ≅ ,所以190BB M MKN ∠=∠=︒,故111A B BB ⊥,而1CB BB ⊥,CB AB B ⋂=,故1BB ⊥平面ABC ,故可建立如所示的空间直角坐标系,则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ,故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===,设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =,则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ,从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩,取1z =-,则()2,2,1n =-- ,设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ,则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .3.(2021·全国·统考高考真题)已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:()f x 只有一个零点①21,222e a b a <≤>;②10,22a b a <<≤.【解析】(1)由函数的解析式可得:()()'2xf x x e a =-,当0a ≤时,若(),0x ∈-∞,则()()'0,f x f x <单调递减,若()0,x ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增;当102a <<时,若()(),ln 2x a ∈-∞,则()()'0,f x f x >单调递增,若()()ln 2,0x a ∈,则()('0,f x f x <单调递减,若()0,x ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增;当12a =时,()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增;当12a >时,若(),0x ∈-∞,则()()'0,f x f x >单调递增,若()()0,ln 2x a ∈,则()()'0,f x f x <单调递减,若()()ln 2,x a ∈+∞,则()()'0,f x f x >单调递增;(2)若选择条件①:由于2122e a < ,故212a e <≤,则()21,010b af b >>=->,而10f e b b ⎛⎛=--+< ⎝⎝,而函数在区间(),0∞-上单调递增,故函数在区间(),0∞-上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦,由于2122e a < ,212a e <≤,故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦,结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点.综上可得,题中的结论成立.若选择条件②:由于102a <<,故21a <,则()01210f b a =-≤-<,当0b ≥时,24,42e a ><,()2240f e a b =-+>,而函数在区间()0,∞+上单调递增,故函数在区间()0,∞+上有一个零点.当0b <时,构造函数()1xH x e x =--,则()1x H x e '=-,当(),0x ∈-∞时,()()0,H x H x '<单调递减,当()0,x ∈+∞时,()()0,H x H x '>单调递增,注意到()00H =,故()0H x ≥恒成立,从而有:1x e x ≥+,此时:()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-,当x >()()2110a x b -+->,取01x ,则()00f x >,即:()00,10f f ⎫<+>⎪⎪⎭,而函数在区间()0,∞+上单调递增,故函数在区间()0,∞+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦,由于102a <<,021a <<,故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦,结合函数的单调性可知函数在区间(),0∞-上没有零点.综上可得,题中的结论成立.4.(2021·北京·统考高考真题)在ABC 中,2cos c b B =,23C π=.(1)求B ∠;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求BC 边上中线的长.条件①:c =;条件②:ABC的周长为4+条件③:ABC【解析】(1)2cos c b B = ,则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =,2sin 2sin32B π∴=,23C π= ,0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,23B π∴=,解得6B π=;(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得sin 21sin 2c Cb B===与c =矛盾,故这样的ABC 不存在;若选择②:由(1)可得6A π=,设ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===,22sin3c R π==,则周长24a b c R ++=+=+解得2R =,则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为:;若选择③:由(1)可得6A π=,即a b =,则211sin 2224ABC S ab C a ==⨯,解得a =则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:5.(2021·全国·统考高考真题)已知数列{}n a 的各项均为正数,记n S 为{}n a 的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{}n a是等差数列:②数列是等差数列;③213aa =.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】选①②作条件证明③:[方法一]:待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>,则()2n S an b =+,当1n =时,()211a S a b ==+;当2n ≥时,()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+;因为{}n a 也是等差数列,所以()()222a b a a a b +=-+,解得0b =;所以()221n a a n =-,21a a =,故22133a a a ==.[方法二]:待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d,等差数列的公差为1d ,1(1)n d -,将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-,化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立.则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=,解得112d d a ==.所以213a a =.选①③作条件证明②:因为213a a =,{}n a 是等差数列,所以公差2112d a a a =-=,所以()21112n n n S na d n a -=+=,)1n =+=所以是等差数列.选②③作条件证明①:[方法一]:定义法(0)an b a =+>,则()2n S an b =+,当1n =时,()211a S a b ==+;当2n ≥时,()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+;因为213a a =,所以()()2323a a b a b +=+,解得0b =或43a b =-;当0b =时,()221,21n a a a a n ==-,当2n ≥时,2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义,此时{}n a 为等差数列;当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意,舍去.综上可知{}n a 为等差数列.[方法二]【最优解】:求解通项公式因为213a a ====也为等差数列,所以公差1d ==()11n d =+-=21n S n a =,当2n ≥时,()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-,当1n =时,满足上式,故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-,所以()1123n a n a -=-,112n n a a a --=,符合题意.【方法技巧与总结】1、灵活选用条件,“牵手”解题经验对于试题中提供的选择条件,应该逐一分析条件考查的知识内容,并结合自身的知识体系,尽量选择比较有把握的知识内容,纳入自己熟悉的知识体系中.因此,条件的初始判断分析还是比较重要的,良好的开端是成功的一半嘛!2、正确辨析题设,开展合理验证对于条件组合类问题,初始状态更加的不确定,最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证,应从多个角度,考虑多种可能性的组合,这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了新的要求,所以需要更加细致地完成这个验证过程.3、全面审视信息,“活”学结合“活”用数学必备知识是学科理论的基本内容,是考查学生能力与素养的有效途径和载体,更是今后生活和学习的基础.数学基础知识是数学核心素养的外显表现,是发展数学核心素养的有效载体.“活”的知识才是能力,“活”的能力才是素养.我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握,夯实必备知识,并在此基础上活学活用,提高思维的灵活性,才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题.【核心考点】核心考点一:三角函数与解三角形【典型例题】例1.(2022·全国·高三校联考阶段练习)已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+-.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期;(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,关于x 的不等式.(),f x m ≥求实数m 的取值范围.请选择①恒成立,②有解,两条件中的一个,补全问题(2),并求解.注意:如果选择①和②两个条件解答,以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】(1)222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x=+-=+-π2cos 22sin(2)6x x x =+=+.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+++∈,解得ππππ,Z 36k x k k -++∈ .所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k -++∈,(2)若选择①由题意可知,不等式()f x m 恒成立,即min ()m f x .因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ7π2366x + .故当π7π266x +=,即π2x =时,()f x 取得最小值,且最小值为1π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以1m - ,实数m 的取值范围为(],1-∞-.若选择②由题意可知,不等式()f x m 有解,即max ()m f x .因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ7π2366x + .故当ππ262x +=,即π6x =时,()f x 取得最大值,且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m,实数m 的取值范围(],2-∞.例2.(2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边,若ABC 同时满足下列四个条件中的三个:①a =2b =;③sin sin sin ++=-B C a c A b c ;④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C .(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?(2)请在(1)所有组合中任选一组,求对应ABC 的面积.【解析】(1)对于③,()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++-=⇒=-∈∴=-;对于④,()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +--=⇒--=-,即()1cos 2B C +=-,且π,0,,πA B C A B C ++=<<,则π3A =,故③,④不能同时存在,则满足有解三角形的序号组合为①②③,①②④.(2)选①②③:2π2,3a b B ===时,由余弦定理:22221cos22a c b B ac +-=⇒-=整理得:210c -=且0c >,则2c =,ABC ∴ 的面积为31sin 28ABCSac B == .选①②④:π2,3a b A ===时,由余弦定理:2222143cos 224b c a c A bc c+-+-=⇒=,整理得:2210c c -+=,则1c =,ABC ∴ 的面积1sin 22ABC S bc A = 例3.(2022春·浙江·高二期中)在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B -=-+,②2cos 2b A a c +=,222sin B a c b =+-三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.(1)求角B 的大小;(2)如图所示,当sin sin A C +取得最大值时,若在ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧),使得线段2,1DC DA ==,求BCD △面积的最大值.【解析】(1)若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B -=-+,由正弦定理得,()()()c a c a b a b -=-+,整理得222a c b ac +-=,所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,又0πB <<,所以π3B =;若选②2cos 2b A a c +=,由余弦定理得222222b c a b a c bc+-+=,化简得222a c b ac+-=所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,又0πB <<,所以π3B =;222sin B a c b =+-,sin 2cos B ac B =,化简得tan B =0πB <<,所以π3B =;(2)由(1)得2π3AC +=,故2π03A <<,所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ππ5π666A <+<,所以当ππ62A +=即π3A =时,sin sin A C +令,ACD ADC θα∠=∠=,AB AC BC a ===,在ACD 中由正弦定理可得,1sin sin a θ=,所以sin sin a αθ=,由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+-⨯⨯⨯=-,所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=-=-()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=--=-+=-,因为1,2DA DC ==,可得π02θ<<,所以cos 2cos a θα=-,1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 1+23ααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当ππ=32α-即5π=6α时,等号成立,所以BCD △.核心考点二:数列【典型例题】例4.(2022春·广东·高三校联考阶段练习)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,再从条件①、条件②、条件③选择一个作为已知,求:(1)数列{}n a 的通项公式;(2)设()*241n nb n N a =∈-,求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①248,24S S ==;条件②2355,18a a a =+=;条件③163,48a S ==.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)设等差数列{}n a 首项1a ,公差d ,选条件①:由已知28S =,424S =得2121412341284624S a a a d S a a a a a d =+=+=⎧⎨=+++=+=⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩,故3(1)221n a n n =+-⨯=+,选条件②:由已知2355,18a a a =+=,得2135152618a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩,3(1)221n a n n =+-⨯=+,选条件③:由已知163,48a S ==,则1666()482a a S +==,所以1612516a a a d +=+=,解得2d =,即3(1)221n a n n =+-⨯=+,综上所述,数列{}n a 的通项公式为21n a n =+(2)由(1)问的结论代入22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ===--+-++,则12311111122311n n n T b b b b n n n =++++=-+-++-=++ ,所以数列{}n b 的前n 项和1n nT n =+.例5.(2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末)设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为.n S (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,求{}n a 的通项公式;①2n n S a =-;②23342161,=+=+S a S a ;(2)在(1)的条件下,若31n n b a -=,求数列{}n b 的前n 项和n T 【解析】(1)设等比数列的公比为q ,0q ≠,若选①,1112a S a ==-,11a =,2n ≥时,()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-,可得12n n a a -=,112n n a q a -==,所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;若选②,23342161,=+=+S a S a ,所以12312342161,+=+++=+a a a a a a a ,可得3342161++=+a a a ,所以12q =,11a =,112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)31311321122n n n n b a ----===,13112++=n n b ,所以311332112122n n n n b b ++-==,所以{}n b 是公比为312首项为12的等比数列,故131432331111114122 (112227212)n n n n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪⎝⎭-.例6.(2022春·福建·高三校联考阶段练习)从①n b =()()11nn n n b a a +=-+;③2n n nb a =三个选项中,任选一个填入下列空白处,并求解.已知数列{}n a ,{}n b 满足0n a >,且11a =,11n n n n a a a a ++-=,______,求数列{}n b 的前n 项和n S .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为11,1n n n n n a a a a a ++-=>,所以1111n na a +-=,又因为11a =,所以111a =,所以1n n a =,1n a n=.选①:nb===,所以...1n S =,选②:()()()111111nn n n nb a a n n +⎛⎫=-+=-+ ⎪+⎝⎭,所以()()11111111122311n n nS n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++-+=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,选③:22nn n nb n a ==⋅,所以32222...223n n S n ⨯++⨯+⋅=+,41232222232...n n S n +=+⨯+⨯++⋅,两式相减,可得()()()12112122222212212n n n n n n n n S n +++-=⋅-+++=⋅-=-+- 核心考点三:立体几何【典型例题】例7.(2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习)在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为棱PB 中点,2,3PA AD CD BC ====,PC =、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①:AB =条件②:BC 平面PAD .(1).求证:BC CD ⊥;(2).求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.【解析】(1)如图,连接AC ,因PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,则PA AC ⊥.又2PC PA ==,则AC =注意到2AD DC ==,则ADC △为等腰直角三角形,其中π4ACD ∠=,π2ADC ∠=.若选条件①,由余弦定理可得,22222cos AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅,结合ACB ∠为三角形内角,得4ACB π∠=,又π4ACD ∠=,则π2BCD ∠=,即BC CD ⊥.若选条件②,因BC 平面PAD ,BC ⊂平面ABCD ,平面ABCD ∩平面PAD AD =,则BC AD ∥,又π2ADC ∠=,则π2BCD ∠=,即BC CD ⊥.(2)若选条件①,由(1)可得BCD ∠=π2ADC ∠=,则BC AD ∥,故建立以A 为坐标原点,如下图所示空间直角坐标系(x 轴所在直线与DC 平行)又23,PA AD CD BC ====,AB =则()()()()000210220020,,,,,,,,,,,A B C D -,()1002112,,,,,P E ⎛⎫-⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()0,2,2DP =-,()2,0,0DC =uuu r .设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ,则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ .取()0,1,1n =,又设AE 与平面PCD 所成角为θ,则6sin cos ,n AEθn AEn AE⋅====⋅.即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为26若选条件②,由(1)可得BC AD ∥,故建立以A 为坐标原点,如下图所示空间直角坐标系(x 轴所在直线与DC 平行)因π2BCD ∠=,则4ACB π∠=,则由余弦定理可得222π2cos4AB AC CB AC CB =+-⋅⋅AB ⇒=又23,PA AD CD BC ====,则()()()()000210220020,,,,,,,,,,,A B C D -,()1002112,,,,,P E ⎛⎫-⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()0,2,2DP =-,()2,0,0DC =uuu r .设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ,则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩.取()0,1,1n =,又设AE 与平面PCD 所成角为θ,则sin cos ,n AEθn AEn AE⋅====⋅即直线AE 与平面PCD所成角的正弦值为6.例8.(2022春·新疆伊犁·高二校考期中)从①AB ⊥BC ;②直线SC 与平面ABCD 所成的角为60°;③△ACD 为锐角三角形且三棱锥S ﹣ACD 的体积为2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.如图,在四棱锥S ﹣ABCD 中,底面ABCD 是菱形,SA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为AB ,SC 的中点.(1)求证:直线EF ∥平面SAD ;(2)若SA ,AD =2,_______,求平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)取SD 的中点M ,连接MF ,AM ,∵F 为SC 的中点∴MF ∥CD ,MF =12CD ,∵四边形ABCD 是菱形,E 为AB 的中点,∴AE ∥CD ,AE =12CD ,∴MF ∥AE ,MF =AE ,∴四边形AEFM 为平行四边形,∴EF ∥AM ,∵EF ⊄平面SAD ,AM ⊂平面SAD ,∴EF ∥平面SAD .(2)选择条件①:∵SA ⊥平面ABCD ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AD ,因为,AD BC AB BC ⊥∥,所以AB ⊥AD ,故以A 为原点,AB ,AD ,AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),S (0,0,,∴BC =(0,2,0),SC =(2,2,﹣,CD=(﹣2,0,0),设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =,2002200y m BC m x y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩,同理可得,平面SCD的法向量为n =,11cos ,224m n m n m n ⋅〈〉===⨯⋅,故平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14.选择条件②:连接AC ,∵SA ⊥平面ABCD ,∴∠SCA 为直线SC 与平面ABCD 所成的角,即∠SCA =60°,∵SA =,∴AC =2,∴△ABC 为等边三角形,取BC 的中点N ,连接AN ,以A 为原点,AN ,AD ,AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,A (0,0,0),B1,0),C1,0),D (0,2,0),S (0,0,,∴BC =(0,2,0),SC1,﹣,CD1,0),设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =,200(2,0,1)00y m BC m y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨+-=⋅=⎪⎩,同理可得,平面SCD的法向量为n =,3cos ,5m n m n m n⋅〈〉===⋅故平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为35.选择条件③:∵VS ﹣ACD =13SA •S △ACD =13SA •sin 2AD CD ADC ⋅∠=13⨯22sin 2ADC ⨯∠=2,∴sin ∠ADC=2,∵∠ADC ∈(0,π2),∴∠ADC =π3,∴AC =2,∴△ABC 为等边三角形,取BC 的中点N ,连接AN ,以A 为原点,AN ,AD ,AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,A (0,0,0),B1,0),C1,0),D (0,2,0),S (0,0,,∴BC =(0,2,0),SC1,﹣,CD1,0),设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =,200(2,0,1)00y m BC m y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨+-=⋅=⎪⎩ ,同理可得,平面SCD的法向量为n=,3cos,5m nm nm n⋅〈〉===⋅故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为35.例9.(2022春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中)从①2BG GC=,②G是PB的中点,③G 是PBC的内心.三个条件中任选一个条件,补充在下面问题中,并完成解答.在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,且1PD=,AB=2AD=,E,F分别为PC,BD的中点.(1)判断EF与平面PAD的位置关系,并证明你的结论;(2)若G是侧面PBC上的一点,且________,求三棱锥G DEC-的体积.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.【解析】(1)//EF平面PAD,理由如下:如下图所示,连接AC,因为四边形ABCD为矩形,且点F为BD的中点,则点F为AC的中点,又因为E为PC的中点,所以EF PA∥,∵EF⊂/平面PAD,PA⊂平面PAD,∴//EF平面PAD;(2)∵四边形ABCD为矩形,则BC CD⊥,∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴BC PD⊥,∵CD PD D=,∴BC⊥平面PCD.∵E为PC的中点,则11112444DEC PCDS S CD PD==⋅=⨯=△△.选①:∵2BG GC = ,则G BC ∈,∴GC ⊥平面PCD ,且1233GC BC ==,112334318G DEC DEC V S GC -=⋅=⨯⨯△;选②:∵G 、E 分别为PB 、PC 的中点,∴GE BC ∥,且112GE BC ==,∵BC ⊥平面PCD ,∴GE ⊥平面PCD ,11133G DEC DEC V S GE -=⋅=⨯=△选③:设PBC 的内切圆切PC 于点H ,连接GH ,则GH PC ⊥,∵BC ⊥平面PCD ,PC ⊂平面PCD ,∴BC PC ⊥,在平面PBC 内,BC PC ⊥,GH PC ⊥,则GH BC ∥,∴GH ⊥平面PCD ,2PC ==,PB ==由等面积法可得()1122PBC S BC PC PC BC PB GH =⋅=++⋅△,所以,2BC PC GH BC PC PB ⋅==++所以,(11233412G DEC DEC V S GH -=⋅=⨯⨯=△.核心考点四:函数与导数【典型例题】例10.(2022·浙江·模拟预测)已知函数ln ()e xxf x a x-=+.(1)若1x =是()f x 的极值点,求a ;(2)若0x ,1x 分别是()f x 的零点和极值点,证明下面①,②中的一个.①当0a >时,2100ln 1x x x <-+;②当a<0时,10ln 21x x <-.注:如果选择①,②分别解答,则按第一个解答计分.【解析】(1)因为ln ()e xx f x a x -=+,所以21ln ()e xx f x a x --'=-+,若1x =是函数()f x 的极值点,则()01f '=,121ln1(1)e 01f a --'=-+=,即e a =,此时2121e ln ()x x xf x x --'-=,设21()1e ln x g x x x ---=,则121()2e1e xx g x x x x--+--',(1)2g '=-,所以存在1m n <<,使得当(),x m n ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减,当(),1x m ∈时,22()(1)()0g x g f x x x '=>=,()f x 单调递增,当()1,x n ∈时,22()(1)()0g x g f x x x'=<=,()f x 单调递减,所以当e a =时,1x =是()f x 的极值点.(2)选择①:因为01,x x 分别为()f x 的零点和极值点,所以0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-,()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==,所以()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==.当0a >时,()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=<,则01ln 0,ln 1x x <<,即0101,0e,x x <<<<因为200314x x -+≥,所以当13ln 4x <,即3410e x <<时,2100ln 1x x x <-+成立,当341e e x ≤<时,若10e x x ≤,则只需证明2000ln x x x <-,设()2e ln 1()x x k x x -=,则()3e ln 2ln 3(),x x x x x k x x --+'=设1()ln 2ln 3k x x x x x =--+,则12()ln k x x x '=-为增函数,且112(1)20,(e)10,ek k ''=-<=->所以存在唯一2(1,e)x ∈,使得12222()ln 0k x x x '=-=,当2(1,)∈x x 时,1()0k x '<,1()k x 单调递减,当2(,)x x ∈+∞时,1()0k x '>,1()k x 单调递增,故112224()()5()0k x k x x x ≥=-+>,所以()0k x '>,()k x 单调递增,所以10e x x ≤,则()100e 100222100e ln 1e ln e ln e x x x x x x x x x -=≤,等价于02+(1e)010e x x --≥.设2+(1e)1()e x m x x -=-,则[]2+(1e)()(1e)1exm x x -'=-+,当3410e e e x x ≤≤<时,若14e 1x -≤<时,(1e)10x -+<,()0m x '<,()m x 单调递减,所以当14e 1x -≤<,3e ()(1)e 10,m x m ->=->所以当341e e x ≤<时,10e e x x ≤<成立,设2()ln n x x x x =-+,则1()21n x x x'=-+,当01x <<时,()0n x '>,()n x 单调递增所以当01x <<时,()(1)0n x n <=,即22000100ln ,ln 1x x x x x x <-<-+成立,综上,若0x ,1x 分别是()f x 的零点和极值点,当0a >时,2100ln 1x x x <-+.选择②:因为01,x x 分别为()f x 的零点和极值点,所以0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-,()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==,所以()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==.当0a <时,()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=>,则01ln 0,ln 1x x >>,即011,>e,x x >若10e x x ≤,即101ln ln x x ≤+则只需证明002ln 2x x <-,设2()ln 2x x x h =-+,则1()2h x x'=-,当1x >时,()0h x '<,()h x 单调递减,所以10()(1)0,ln 21h x h x x <=<-.若10e e x x >>,设2e ()(e)x x x x ϕ=>,则3(2)e ()0xx x xϕ-'=>,()ϕx 单调递增,所以()()10e x x ϕϕ>,所以()001e 101222010e ln 1e ln e (ln 1)e xx x x x x x x x --=>,02e 100ln e ln 1x x x x x +-<+,所以只需证明002e 000eln 121x x x x x +-+<-.设2e ()e ln 22x x u x x x x +-=-+,则[]2e ()ln (1e)ln 1e2x xu x x x x +-'=+-+-,当1x >时,[]2e ()(2e)ln 1e 2x x u x x +-'<-+-,当(2e)ln 10x -+≤时,即1e 2e x -≥时,()0u x '<,设[]2e ()(2e)ln 1e2x xv x x +-=-+-,则2e 2e ()(e 1)(e 2)ln 1e e x xv x x x +--⎡⎤'=+--+-⎢⎥⎣⎦,因为当1x >时,函数2e()(e 1)(e 2)ln 1e t x x x-=+--+-单调递增,所以当1e 21ex -<<时,11e 2e 211e 2e 22e 2e ()(e)(e 1)(e 2)ln e1e=0eet x t ------<=+--+-<,()0v x '<,()v x 单调递减,此时也有3e ()()(1)e 20u x v x v -'<<=-<,所以当1x >时,()u x 单调递减,()(1)0u x u <=,即当1e e x x >>时,10ln 21x x <-,综上,综上,若0x ,1x 分别是()f x 的零点和极值点,当0a <时,10ln 21x x <-.例11.(2022春·贵州铜仁·高三校考阶段练习)已知指数函数()f x 经过点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.求:(1)若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称,且与直线1y kx =+相切,求k 的值;(2)对于实数a ,b ,且a b ¹()()f a f b a b -<-;②()()()()2f a f b f a f b a b -+<-.在两个结论中任选一个,并证明.(注:如果选择多个结论分别证明,按第一个计分)【解析】(1)设函数()xf x a =(a<0且1a ≠),因为指数函数()f x 经过点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()111e f a --==,解得:e a =,则函数()e xf x =,又函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称,即函数()g x 与()f x 互为反函数,则()ln g x x =,设直线1y kx =+相切与函数()g x 的切点坐标为()00,ln x x ,由于()1g x x'=,则()()000001ln 1g x k x g x x kx ⎧==⎪⎨⎪==+⎩',解得20e x =,故21e k =.(2)若选择①:不妨设a b >,则0a b ->()()f a f b a b-<-,e e a ba b -<-,即222e e e e e a b b aa b a ba b a b --+--==-,令2a bt -=,则0t >,不等式等价于2e e t t t -<-,即e e 20t t t --->在0t >上成立.令()e e 2x xh x x -=--(0x >),则()e e 220x x h x -'=+-≥=,当且仅当0x =时取等号,故函数()h x 在()0,∞+为增函数,所以()()00h xh >=e e a ba b-<-成立.综上:结论①得证.若选择②:不妨设a b >,则0a b ->,要证不等式()()()()2f a f b f a f b a b -+<-,即e e e e 2a b a ba b -+<-,即要证不等式()()2e 2e 1e e e 1a b a b a ba b e a b ----->=++,令t a b =-,则0t >,不等式等价于()2e 1e 1t tt ->+,即()2e 10e 1t tt -->+在0t >上恒成立,令()()2e 1e 1x x x x ϕ-=-+(0x >),则()()()()222e 14e10e1e1x xxxx ϕ-'=-=>++,即()x ϕ在()0,∞+为增函数,所以()()00ϕϕ>=x ,故不等式e e e e 2a b a ba b -+<-成立,综上:结论②得证.例12.(2022春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习)已知三个函数①()ln 1f x x =-,②()lg ,0<10=1+3,>105x x g x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩,③()42xh x =-.(1)请从上述三个函数中选择一个函数,根据你选择的函数画出该函数的图象(不用写作图过程),并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由);(2)把(1)中所选的函数记为函数()x ϕ,若关于x 的方程()0x k ϕ-=有且仅有两个不同的根,求实数k 的取值范围;(3)(请从下面三个选项中选一个作答)(i )若(1)中所选①的函数时,有1234()()()()f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,求1234x x x x +++的值;(ii )若(1)中所选②的函数时,有123()()()g x g x g x ==,且123x x x <<,求123x x x ⋅⋅的取值范围;(iii )若(1)中所选③的函数时,有12()()h x h x =,且12x x <,求1244x x +的值.【解析】(1)若选①,函数图象如下图所示:由图象可知函数的单调减区间为:(),0-∞和()1,2;若选②,函数图象如下图所示:由图象可知函数的单调减区间为:()0,1和()10,+∞;若选③,函数图象如下图所示:由图象可知函数的单调减区间为:1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭;(2)关于x 的方程()0x k ϕ-=有且仅有两个不同的根()y x ϕ⇔=与y k =的函数图象有两个不同的交点,若选①,根据函数()f x 图象可知,若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点,此时=0k ;若选②,根据函数()g x 图象可知,若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点,此时=0k 或=1k ;若选③,根据函数()h x 图象可知,若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点,此时02k <<;(3)(i )若选①,如图所示:设()()()()()12340f x f x f x f x m m ====>,因为()y x ϕ=的图象关于=1x 对称,所以14,x x 关于=1x 对称,23,x x 关于=1x 对称,所以()()12341423224x x x x x x x x +++=+++=+=;(ii )若选②,如图所示:设()()()()1230,1g x g x g x m ===∈,由图象可知:()1231lg lg 30,15x x x ==-+∈,123011015x x x <<<<<<,所以12lg lg x x -=,()310,15x ∈,所以12lg 0x x =,()310,15x ∈,所以121x x =,()310,15x ∈,所以123(10,15)x x x ∈;(iii )若选③,如图所示:设()12()()0,2h x h x m ==∈,由图象可知:124242x x-=-,且120.5x x <<,所以122442x x -=-,所以12444x x +=.核心考点五:圆锥曲线【典型例题】例13.(2022春·辽宁大连·高二育明高中校考期中)①过1F 且垂直于长轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3;②P 为椭圆C 上一点,12PF F △在上述两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为1F ,2F ,上下顶点分别为1B ,2B ,短轴长为______.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点2F 的直线l 与C 交于不同的两点M ,N ,若12MN B F ⊥,试求1F MN △内切圆的面积.【解析】(1)依题意2b b ==,若选①:由22242222221,1c y c b y b a b a a ⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭,2b y a =±,所以223b a =,所以222,13b a c ===,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.若选②:对于121212P F P F S F F y c y =⨯⨯=⨯△,当P y 最大,也即P 是椭圆的上下顶点时,三角形12PF F 的面积取得最大值为c b ⨯=所以1,2c a ==,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)得(()12120,1,0,01B F B F k ==-由于12MN B F ⊥,所以直线MN 的斜率为3,所以直线MN 的方程为)1y x =-,由()2213143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得2138320x x --=,644133217280∆=+⨯⨯=>,设()()1122,,,M x y N x y ,则1212832,1313x x x x +==-,所以4813MN =,()11,0F -到直线()13y x=-即10x -=的距离为10112d ---==,所以三角形1F MN 的面积为124213d MN ⨯⨯=,设三角形1F MN 的内切圆半径为r ,则124644,,21313a r r r ⨯⨯===,所以内切圆的面积为236ππ169r =.例14.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中)已知椭圆C :()22211x y a a+=>,,A B分别为椭圆的上下顶点,点Р为椭圆上异于点A 的任一点,若PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到,在下列三个条件中能满足要求的条件有____________.条件①:过焦点且与长轴垂直的弦长为12;条件②:点P 与点B 不重合时,直线PA 与PB 的斜率之积为12-;条件③:1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点,12F PF ∠的最大值是120°.(1)选出所有满足要求的条件,说明理由并求出此时的椭圆方程;(2)若过原点作与AP 平行的直线1l ,与BP 平行的直线2l ,1l ,2l 的斜率存在且分别与椭圆C 交于M N E G ,,,四点,则四边形MENG 的面积是否为定值?若为定值,求出该值;若非定值,求其取值范围.【解析】(1)由题知椭圆焦点在x 轴上,()()0,1,0,1A B -,因为点Р为椭圆上异于点A 的任一点,所以,设()000,,1P x y y ≠,即()2200211x y a a+=>,所以,PA ==选条件①,过焦点且与长轴垂直的弦长为12,所以,令x c =±得222221c b y a a=-=,所以,212a =,解得4a =,此时椭圆C 的方程为22116x y +=,因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到,即01y =-时PA 取到最大值,显然PA =,不满足点Р与点B 重合时PA 取到最大值,所以,条件①不满足;选条件②,点P 与点B 不重合时,直线PA 与PB 的斜率之积为12-,所以,000011,PAPB y y k k x x -+==,()2200002222000011111121PA PB y y y y k k x x x a a y -+--⋅=⋅===-=--,、所以,22a =,此时椭圆C 的方程为2212x y +=,因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到,即01y =-时PA 取到最大值,所以,PA ===,即01y =-时PA 取到最大值,满足点Р与点B 重合时PA 取到最大值,所以,条件②满足,此时椭圆C 的方程为2212x y +=.条件③,1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点,12F PF ∠的最大值是120°,因为12F PF ∠的最大值是120°,所以,1260F AF ∠=,2222a AF AO b ====,椭圆C 的方程为2214xy +=,因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到,即01y =-时PA 取到最大值,显然PA =Р与点B 重合时PA 取到最大值,所以,条件③不满足.(2)因为1l ,2l 的斜率存在,AP 平行的直线1l ,与BP 平行的直线2l ,所以,如图,不妨设直线1l 的斜率为()0k k >,则由(1)知2l 的斜率为12k-,所以,直线1l 的方程为y kx =,直线2l 的方程12y x k=-,。
2014高考数学 基础+方法全解 第04讲 四种命题及其相互关系的智能转化(含解析)
2014高考数学 基础+方法全解 第04讲 四种命题及其相互关系的智能转化(含解析)考纲要求:1、 了解命题的概念,会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系;2、 给出四种命题中的一种,能够写出其他的三种.基础知识回顾: 1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 原命题:若p 则q ;原命题的逆命题:若q 则p ;原命题的否命题:若p ⌝则q ⌝;原命题的逆否命题:若q ⌝则p ⌝。
【注】命题的否定:若p 则q ⌝。
(命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论,而命题的否定仅是否定命题的结论。
) (2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.应用举例:【2012高考某某(理)】命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是( ) A .若α≠4π,则tanα≠1 B .若α=4π,则tanα≠1C .若tanα≠1,则α≠4πD .若tanα≠1,则α=4π【2011高考某某(理)】设a ,b 是向量,命题“若a b =-,则||||a b =”的逆命题是( ) (A )若a b ≠-,则||||a b ≠ (B )若a b =-,则||||a b ≠ (C )若||||a b ≠,则a b ≠- (D )若||||a b =,则a b =-变式训练:【变式1】已知命题“若函数f(x)=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ).A.否命题是“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题【变式2】以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.方法、规律归纳:1、一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.2、两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假,故当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.实战演练:1、命题“如果b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为( ).A.0 B.1 C.2 D.32、下列有关命题的说法正确的是( ).A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”B.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题C.命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2-1<0”D.命题“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题3、命题“若ab=0,则a,b中至少有一个为零”的逆否命题是 ________.它是________命题(真、假).【答案】若a≠0且b≠0,则ab≠0;或“若a、b都不为零,则ab≠0”真【解析】“若p则q”的逆否命题为:“若非4、给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“矩形的对角线相等”的逆命题;④“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题.其中真命题的序号是________.【答案】①②④【解析】①∵当k>0时,Δ=4-4(-k)=4+4k>0,∴①是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④逆否命题为:“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”是真命题.5、写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.。
2024版高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第五节解三角形教学课件
三角形中的常见结论
+
π
(1)在 <
△ <
>
m
>中,
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
(2)在 <
△ <
>
m
>中,
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
(7)在 <
△ <
>
> = cos + cos <
m
>; <
/m
= cos + cos <
>
m
>; <
/m
= cos + cos <
>
m
>(射影定理).
/m
教材素材变式
多维变式,夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44:利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.
高考数学专题训练 (4)
专题训练41.在复平面内,复数2)1(i -对应的点位于A .一、三象限的角平分线上B .二、四象限的角平分线上C .实轴上D .虚轴上 2.设全集U=I ,}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ,则右图中阴影部分表示的集合为A .{|1}x x ≥B .{|12}x x ≤<C .{|01}x x <≤D .{|1}x x ≤ 3.已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列,则xyz = A .—4B .±4C .22-D .22±4.已知),0(,,+∞∈c b a ,023=+-c b a ,则bac 的 A .最大值是3B .最小值是3C .最大值是33 D .最小值是33 5.一个简单多面体的三视图如图所示,其主视图与左视图是边长为 2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则其体积是A .324B .334 C.38 D.346.在ABC ∆中,若2sin sin CA B +=,则=B sin ( )(A ) 23 (B ) 22 (C ) 21(D ) 17.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分 的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A .62B .63C .64D .658.在ABC ∆中,已知向量)72cos ,18(cos=,)27cos 2,63cos 2(=,则ABC ∆的面积等于 A .22 B .42 C .23 D .29.下列有关命题的说法正确的是A .命题“若21x =,则1=x ”的否命题为:“若21x =,则1x ≠”;B .命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“x R ∀∈, 均有210x x ++<”;C .在ABC∆中,“B A >”是“B A 22cos cos <”的充要条件; D .“2x ≠或1y ≠”是“3x y +≠”的非充分非必要条件.俯视图10. 已知两点(1,0)M -,(1,0)N ,若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=,则实数m 的取值范围是A.(,5][5,)-∞-+∞B. (,25][25,)-∞-+∞C.[25,25]-D.[5,5]- 11.如图,已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为40°,侧棱长为a , 动点E 、F 分别在侧棱AC 、AD 上,则以线段BE 、EF 、FB 长度和 的最小值为半径的球的体积为 A .334a π B .3332a π C .334a πD .34a π12.若],2,2[ππβα-∈、且0sin sin >-ββαα,则下面结论正确的是 A.βα> B.0>+βα C.βα< D.22βα>13.对任意非零实数a b 、,若a b ⊗的运算原理如图所 示,则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___ ___.14.设O 为坐标原点,抛物线x y 22=与过焦点的直线交 于B A 、两点,则=⋅OB OA k k . 15.已知数列}{n a 满足*),2(113121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==- . 若1005=n a ,则=n _____________.16.已知点P 在直线012=-+y x 上,点Q 在直线032=++y x 上,PQ 中点为),(00y x M ,且200+>x y ,则00x y的取值范围为 .1.D2.B3. C4.C5.B6.A7.C8.A9.C 10.D 11.A 12.D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.1 14.4- 15.2010 16. 512100-<<-x y(第13题。
2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练04一元二次不等式及其解法(含解析)
课下层级训练(四) 一元二次不等式及其解法[A 级 基础强化训练]1.(2019·山东济南检测)已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( )A .A ∩B =∅B .A ∪B =RC .B ⊆AD .A ⊆B 【答案】B [集合A ={x |x >2或x <0},所以A ∪B ={x |x >2或x <0}∪{x |-5<x <5}=R .]2.(2019·广东汕头联考)已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x -2x ≤0,B ={0,1,2,3},则A ∩B =( ) A .{1,2}B .{0,1,2}C .{1}D .{1,2,3} 【答案】A [∵A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x -2x ≤0={x |0<x ≤2},∴A ∩B ={1,2}.] 3.(2019·山东淄博检测)已知不等式x 2-3x <0的解集是A ,不等式x 2+x -6<0的解集是B ,不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∩B ,那么a =( )A .-2B .1C .-1D .2 【答案】A [解不等式x 2-3x <0,得A ={x |0<x <3},解不等式x 2+x -6<0,得B ={x |-3<x <2},又不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∩B ={x |0<x <2},由根与系数的关系得-a =0+2,解得a =-2.]4.若不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为( )【答案】B [由根与系数的关系得1a =-2+1,-c a=-2,解得a =-1,c =-2,∴f (x )=-x 2-x +2(经检验知满足题意),∴f (-x )=-x 2+x +2,其图象开口向下,顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,94,结合图象知选B .] 5.在关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中恰有两个整数,则a 的取值范围是( )A .(3,4)B .(-2,-1)∪(3,4)C .(3,4]D .[-2,-1)∪(3,4] 【答案】D [由题意得,原不等式化为(x -1)(x -a )<0,当a >1时,解得1<x <a ,此时解集中的整数为2,3,则3<a ≤4;当a <1时,解得a <x <1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a <-1,故a ∈[-2,-1)∪(3,4].]6.(2019·江西九江模拟)若关于x 的不等式x 2-4x -2-a >0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)B .(-2,+∞)C .(-6,+∞)D .(-∞,-6) 【答案】A [不等式x 2-4x -2-a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2-4x -2)max ,令g (x )=x 2-4x -2,x ∈(1,4),∴g (x )<g (4)=-2,∴a <-2.]7.(2019·山东潍坊检测)在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ),若不等式(x -a )⊗(x -b )>0的解集是(2,3),则a +b 的值为( )A .1B .2C .4D .8【答案】C [∵x ⊗y =x (1-y ),∴(x -a )⊗(x -b )=(x -a )[1-(x -b )]>0,即(x -a )(x -b -1)<0.∵不等式(x -a )⊗(x -b )>0的解集是(2,3),∴x =2和x =3是方程(x -a )(x -b -1)=0的根,即x 1=a 或x 2=1+b ,∴x 1+x 2=a +b +1=2+3,∴a +b =4.] 8.若0<a <1,则不等式(a -x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0的解集是________. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a [原不等式可化为(x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0,由0<a <1,得a <1a ,∴a <x <1a .] 9.(2019·山东泰安模拟)若关于x 的不等式x -a x -b >0(a ,b ∈R )的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),则a +b =__________.【答案】5 [若关于x 的不等式x -a x -b>0(a ,b ∈R )的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),则a =1,b =4,或a =4,b =1,则a +b =5.] 10.若不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________.【答案】(-∞,-4)∪(4,+∞) [∵不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,∴Δ=a 2-4×4>0,即a 2>16. ∴a >4或a <-4.][B 级 能力提升训练]11.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )A .12元B .16元C .12元到16元之间D .10元到14元之间 【答案】C [设销售价定为每件x 元,利润为y ,则y =(x -8)[100-10(x -10)],依题意有,(x -8)[100-10(x -10)]>320,即x 2-28x +192<0,解得12<x <16,所以每件销售价应为12元到16元之间.]12.若不等式x 2-(a +1)x +a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是( )A .[-4,1]B .[-4,3]C .[1,3]D .[-1,3] 【答案】B [原不等式可化为(x -a )(x -1) ≤0,当a <1时,不等式的解集为[a ,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a <1;当a =1时,不等式的解为x =1,此时符合要求;当a >1时,不等式的解集为[1,a ],此时只要a ≤3即可,即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3.]13.(2019·山东东营月考)已知定义域为R 的函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(1,7),则实数c 的值为________.【答案】9 [∵函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),∴函数f (x )的最小值为0,即Δ=a 2-4b =0,∴b =14a 2. 又∵关于x 的不等式f (x )<c 可化成x 2+ax +b -c <0,即x 2+ax +14a 2-c <0, 且不等式f (x )<c 的解集为(1,7),∴方程x 2+ax +14a 2-c =0的两根分别为x 1=1,x 2=7, ∴⎩⎪⎨⎪⎧1+7=-a ,1×7=14a 2-c ,解得c =9.] 14.已知f (x )=-3x 2+a (6-a )x +6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0;(2)若不等式f (x )>b 的解集为(-1,3),求实数a ,b 的值.【答案】解 (1)∵f (x )=-3x 2+a (6-a )x +6,∴f (1)=-3+a (6-a )+6=-a 2+6a +3,∴原不等式可化为a 2-6a -3<0,解得3-23<a <3+2 3.∴原不等式的解集为{a |3-23<a <3+23}.(2)f (x )>b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x 2+a (6-a )x +6-b =0的两根为-1,3,等价于⎩⎪⎨⎪⎧ -1+3=a 6-a 3,-1×3=-6-b 3,解得⎩⎨⎧ a =3±3,b =-3.15.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R .(1)求a 的取值范围; (2)若函数f (x )的最小值为22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0.【答案】解 (1)∵函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R , ∴ax 2+2ax +1≥0恒成立,当a =0时,1≥0恒成立. 当a ≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1, 综上,a 的取值范围是[0,1].(2)∵f (x )=ax 2+2ax +1=a x +12+1-a , ∵a >0,∴当x =-1时,f (x )min =1-a , 由题意,得1-a =22,∴a =12.∴x 2-x -⎝ ⎛⎭⎪⎫122-12<0,即(2x +1)(2x -3)<0,-12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12, 32.。
【每日一练】经典高考数学基础训练(4)(含参考答案)
【每日一练】经典高考数学基础训练(4)(含参考答案)一、选择题1.函数x x f 21)(-=的定义域为A .]0,(-∞B .),0[+∞C .)0,(-∞D .),(+∞-∞2.已知集合{}{}032,422<--=<=x x x N x x M ,则集合=N MA .{}2-<x xB .{}3>x x C .{}32<<x xD .{}21<<-x x3.函数lg ||x y x=的图象大致是A .B .C .D .4.已知定义域为)1,1(-的奇函数)(x f y =又是减函数,且0)9()3(2<-+-a f a f ,则a 的取值范围是A .)3,22(B .)10,3(C .)4,22(D .)3,2(-5.m 、n 是不同的直线,γβα,,是不同的平面,有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎩⎨⎧ ②βαβα⊥⇒⎩⎨⎧⊥m m //③βαβα⊥⇒⎩⎨⎧⊥//m m④αα////m n nm ⇒⎩⎨⎧⊂其中为真命题的是A .①④B .①③C .②③D .②④6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是A .34000cm 3B.38000cm 3C .32000cmD .34000cm正视图侧视图 俯视图7.已知点(2,3),(3,2)A B --,若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是A .34k ≥B .324k ≤≤ C .324k k ≥≤或 D .2k ≤8.下列说法的正确的是 A .经过定点()P x y 000,的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B .经过定点()b A ,0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C .不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示D .经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ,、,的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 9.下列说法错误的是A .在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体B .一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C .平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D .一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大10.从装有2个红球和2个黒球的袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A .至少有一个黒球与都是黒球 B .至多有一个黒球与都是黒球 C .至少有一个黒球与至少有1个红球 D .恰有1个黒球与恰有2个黒球二、填空题:11.函数)34(log 221+-=x x y 的递减区间为______________.12.如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ,方差为S 2 ,则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的平均值为 ,方差为 .13.有3张奖券,其中2张可中奖,现3个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,则他抽到中奖券的概率是 . 14.在圆x 2+y 2-5x=0内,过点(23,25)有n 条长度成等到差数列的弦,最小弦长为a 1,最大弦长为a n.若公差d ]31,61[∈,那么n 的取值集合是 三、解答题:已知圆C :()2219x y -+=内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1) 当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2) 当弦AB 被点P 平分时,写出直线l 的方程; (3) 当直线l 的倾斜角为45º时,求弦AB 的长.答案一、选择题:二、填空题答案:11.(3,+∞) .12.3x +5,9S 2 13.3214.{4,5,6,7}三、解答题: 17.解:(1)已知圆C :()2219x y -+=的圆心为C (1,0),因直线过点P 、C ,所以直线l 的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0. 4分(2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即x+2y-6=0 8分 (3)当直线l 的倾斜角为45º时,斜率为1,直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l3,弦AB 12分。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 4 基本不等式
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值为5分,中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1.若0<a<12,则a(1-2a)的最大值是()A.18B.14C.12D.1答案 A解析由0<a<12,得1-2a>0,则a(1-2a)=12·2a(1-2a)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a+(1-2a)22=18,当且仅当a=14时取等号.故选A.2.已知m>0,n>0,2m+n=1,则14m+2n的最小值为()A.4 B.22C.92D.16答案 C解析 由于m >0,n >0,2m +n =1,则14m +2n =(2m +n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m +2n =52+n 4m +4m n ≥52+2n 4m ·4m n =92,当且仅当n =23,m =16时取等号.故选C. 3.设x >0,则函数y =x +22x +1-32的最小值为( ) A .0 B .12 C .1 D .32 答案 A解析 由于x >0,则y =x +22x +1-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12+1x +12-2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12·1x +12-2=0,当且仅当x +12=1x +12,即x =12时等号成立.所以函数y 的最小值为0.故选A.4.已知a >0,b >0,若不等式2a +1b ≥n2a +b 恒成立,则n 的最大值为( )A .9B .12C .16D .20 答案 A解析 因为a >0,b >0,所以2a +b >0,2a +1b ≥n 2a +b⇒(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ≥n ,(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =5+2a b +2b a ≥5+22a b ·2b a =9(当且仅当a =b 时,取等号),要想不等式2a +1b≥n2a +b恒成立,只需n ≤9,即n 的最大值为9.故选A. 5.若3x +2y =2,则8x +4y 的最小值为( ) A .4 B .42 C .2 D .2 2解析∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥223x·22y=223x+2y=4,当且仅当3x=2y,即x=13,y=12时等号成立,∴8x+4y的最小值为4.故选A.6.已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),其中x>0,y>0.若a⊥b,则xy的最大值为()A.14B.12C.1 D.2答案 B解析因为a=(1,x-1),b=(y,2),a⊥b,所以a·b=y+2(x-1)=0,即2x+y=2.又因为x>0,y>0,所以2x+y≥22xy,当且仅当x=12,y=1时等号成立,即22xy≤2,所以xy≤12,所以当且仅当x=12,y=1时,xy取到最大值,最大值为12.故选B.7.若a>0,b>0,且1a+1b=ab,则a2+b2的最小值为()A.2 B.22C.4 D.4 2 答案 C解析∵a>0,b>0,∴1a +1b=ab≥21ab,∴ab≥2,当且仅当a=b=2时等号成立,∴a2+b2≥2ab≥4,当且仅当a=b=2时等号成立.综上,a2+b2的最小值为4.故选C.8.已知函数f(x)=cosπx(0<x<2),若a≠b,且f(a)=f(b),则1a+4b的最小值为()A.92B.9 C.18 D.36解析函数f(x)=cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x=1.因为a≠b,且f(a)=f(b),所以a+b=2,所以1a +4b=⎝⎛⎭⎪⎫1a+4b(a+b)×12=12⎝⎛⎭⎪⎫5+ba+4ab≥12×⎝⎛⎭⎪⎫5+2ba·4ab=92,当且仅当a=23,b=43时取等号,故1a+4b的最小值为92.故选A.9.(多选)设x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),S=x+y,P=xy,以下四个命题中正确的是()A.若P=1,则S有最小值2 B.若S+P=3,则P有最大值1C.若S=2P,则S有最小值4 D.若S+P=3,则S有最大值2答案AB解析对于A,若xy=1,则S=x+y≥2xy=2(当且仅当x=y=1时取等号),故A 正确;对于B,若x+y+xy=3,则3=x+y+xy≥2xy+xy,解得0<xy≤1(当且仅当x=y=1时取等号),故B正确;对于C,若x+y=2xy,则x+y=2xy≤(x+y)22,可得x+y≥2(当且仅当x=y=1时取等号),故C错误;对于D,若x+y+xy=3,则3=x+y+xy≤x+y+(x+y)24,解得x+y≥2(当且仅当x=y=1时取等号),故D错误.10.(多选)下列说法正确的是()A.x+1x(x>0)的最小值是2 B.x2+2x2+2的最小值是 2C.x2+5x2+4的最小值是2 D.2-3x-4x的最大值是2-4 3解析 当x >0时,x +1x ≥2x ·1x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x =1x ,即x =1时取等号,A 正确;∵x 2≥0,∴x 2+2x 2+2=x 2+2≥2,B 正确;x 2+5x 2+4=x 2+4+1x 2+4=x 2+4+1x 2+4,令t =x 2+4,则t ∈[2,+∞),∵y =t +1t 在[2,+∞)上单调递增,∴t +1t ≥2+12=52,即x 2+5x 2+4≥52,C 错误;当x <0时,2-3x -4x 无最大值,D 错误.故选AB.11.若正实数x ,y 满足x +2y +2xy -8=0,则x +2y 的最小值为________. 答案 4解析 ∵正实数x ,y 满足x +2y +2xy -8=0,∴x +2y +⎝⎛⎭⎪⎫x +2y 22-8≥0.设x +2y =t >0,∴t +14t 2-8≥0,∴t 2+4t -32≥0,即(t +8)(t -4)≥0,∴t ≥4,即x +2y ≥4,当且仅当x =2,y =1时取等号,故x +2y 的最小值为4.12.正项等比数列{a n }中,存在两项a m ,a n ,使得a m a n =2a 1,且a 6=a 5+2a 4,则m +n =________,1m +9n 的最小值是________.答案 4 4解析 由于数列{a n }是正项等比数列,由a 6=a 5+2a 4得q 2=q +2,解得q =2(负根舍去).由a m a n =2a 1,得2m +n -2=22,m +n =4.故1m +9n =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +9n (m +n )=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+9+n m +9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10+2n m ·9m n =14×(10+6)=4,当且仅当m =1,n =3时,1m +9n取得最小值4.二、高考小题13.(2022·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+4 |sin x|C.y=2x+22-x D.y=ln x+4 ln x答案 C解析对于A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1时,y取得最小值,且y min=3,所以A不符合题意;对于B,因为y=|sin x|+4|sin x|≥2|sin x|·4|sin x|=4,所以y≥4,当且仅当|sin x|=4|sin x|,即|sin x|=2时取等号,但是根据正弦函数的性质可知|sin x|=2不可能成立,因此可知y>4,所以B不符合题意;对于C,因为y=2x+22-x ≥22x·22-x=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,x=1时取等号,所以y min=4,所以C符合题意;对于D,当0<x<1时,ln x<0,y=ln x+4ln x<0,所以D不符合题意.14.(2022·浙江高考)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,大于12的个数的最大值是()A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析因为α,β,γ是互不相同的锐角,所以sinα,cos β,sin β,cos γ,sin γ,cosα均为正数.由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α+cos2β2,sinβcos γ≤sin2β+cos2γ2,sinγcosα≤sin 2γ+cos 2α2.三式相加可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤32,当且仅当sin α=cos β,sin β=cos γ,sin γ=cos α,即α=β=γ=π4时取等号,因为α,β,γ是互不相同的锐角,所以sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α<32,所以这三个值不会都大于12.若取α=π6,β=π3,γ=π4,则sin π6cos π3=12×12=14<12,sin π3cos π4=32×22=64>24=12,sin π4cos π6=22×32=64>12,所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15.(2022·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A .a 2+b 2≤2ab B .a 2+b 2≥-2ab C .a +b ≥2|ab | D .a 2+b 2≤-2ab 答案 B解析 显然当a <0,b >0时,不等式a 2+b 2≤2ab 不成立,故A 错误;∵(a +b )2≥0,∴a 2+b 2+2ab ≥0,∴a 2+b 2≥-2ab ,故B 正确;显然当a <0,b <0时,不等式a +b ≥2|ab |不成立,故C 错误;显然当a >0,b >0时,不等式a 2+b 2≤-2ab 不成立,故D 错误.故选B.16.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知a >0,b >0,且a +b =1,则( ) A .a 2+b 2≥12 B .2a -b >12 C .log 2a +log 2b ≥-2 D .a +b ≤ 2 答案 ABD解析 对于A ,a 2+b 2=a 2+(1-a )2=2a 2-2a +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+12≥12,当且仅当a =b =12时,等号成立,故A 正确;对于B ,a -b =2a -1>-1,所以2a -b >2-1=12,故B 正确;对于C ,log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=log 214=-2,当且仅当a =b =12时,等号成立,故C 不正确;对于D ,因为(a +b )2=1+2ab ≤1+a +b =2,所以a +b ≤2,当且仅当a =b =12时,等号成立,故D 正确.故选ABD.17.(2022·天津高考)若a >0,b >0,则1a +ab 2+b 的最小值为________. 答案 2 2解析 ∵a >0,b >0,∴1a +a b 2+b ≥21a ·a b 2+b =2b+b ≥22b ·b =22,当且仅当1a =a b 2且2b =b ,即a =b =2时等号成立,∴1a +ab2+b 的最小值为2 2. 三、模拟小题18.(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a ,b 满足1a +9b =6,则(a +1)(b +9)的最小值是( )A .8B .16C .32D .36 答案 B解析 因为正实数a ,b 满足1a +9b =6,所以6=1a +9b ≥29ab ,即ab ≥1,当且仅当1a =9b 时,即a =13,b =3时取等号.因为1a +9b =6,所以b +9a =6ab ,所以(a +1)(b +9)=9a +b +ab +9=7ab +9≥7+9=16.故(a +1)(b +9)的最小值是16.故选B.19.(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a >0,b >0且a +b =1,若不等式1a +1b >m 恒成立,m ∈N *,则m 的最大值为( )A .3B .4C .5D .6 答案 A解析 ∵不等式1a +1b >m 恒成立,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b min >m ,又a +b =1,a >0,b >0∴1a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b (a +b )=1+b a +a b +1≥2+2b a ·a b =4,当且仅当a =b =12时等号成立,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b min=4,∴m <4,又m ∈N *,∴m =3.故选A.20.(2022·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0,y >0,且x +4y -xy =0,若不等式a ≤x +y 恒成立,则a 的取值范围是( )A .(-∞,6]B .(-∞,7]C .(-∞,8]D .(-∞,9] 答案 D解析 ∵x >0,y >0,x +4y -xy =0,∴4x +1y =1,∴x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +1y =5+x y +4y x .∵x y+4yx≥2x y ·4y x =4(当且仅当x y =4yx,即x =2y =6时取等号),∴x +y ≥5+4=9.又不等式a ≤x +y 恒成立,∴a ≤9.21.(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )=|x -m +1|-2,若正实数a ,b 满足f (a )+f (2b )=m ,则2a +3b 的最小值为( )A .85B .8+435 C .835D .2105 答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数,∴f (-x )=f (x ),即|-x -m +1|-2=|x -m +1|-2,即(-x -m +1)2=(x -m +1)2,整理得2(m -1)x =-2(m -1)x ,∴m =1,∴f (x )=|x |-2.∴f (a )+f (2b )=a -2+2b -2=1,即a +2b =5.∴2a +3b =15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b (a +2b )=15⎝ ⎛⎭⎪⎫8+4b a +3a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫8+24b a ·3a b =8+435(当且仅当4b a =3a b ,即2b =3a 时取等号),∴2a +3b 的最小值为8+435.故选B.22.(多选)(2022·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a <b ),其全程的平均速度为v ,则( )A .a <v < abB .v =abC .ab <v <a +b 2D .v =2ab a +b答案 AD解析 设甲、乙两地之间的距离为s ,则全程所需的时间为s a +s b ,∴v =2ss a +s b =2ab a +b .∵b >a >0,∴v =2ab a +b <2ab 2ab =ab ;另一方面,v =2ab a +b <2⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22a +b=a +b 2,v -a =2ab a +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b=0,∴v >a ,则a <v <ab .故选AD. 23.(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A .x 2+1x 2≥2B .x 2+3+1x 2+3的最小值为2 C .若a 2+2b 2=1,则1a 2+1b 2≥3+2 2 D .若a +b =1,则1a +1b≥4 答案 AC解析 对于A ,x 2+1x 2≥2x 2·1x 2=2,当且仅当x 2=1时等号成立,故A 正确;对于B ,x 2+3+1x 2+3≥2x 2+3·1x 2+3=2,当且仅当x 2+3=1时等号成立,但x 2+3≥3≠1,故B 错误;对于C ,1a 2+1b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2+1b 2·(a 2+2b 2)=3+2b 2a 2+a 2b 2≥3+22,当且仅当a 2=2-1,b 2=2-22时等号成立,故C 正确;对于D ,当a >0,b >0,a +b =1时,1a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b (a +b )=2+a b +b a ≥4,但当a +b =1时,不一定有a >0,b >0,故D 错误.故选AC.24.(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中,最小值为9的是( )A .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x B .y =1sin 2x +4cos 2xC .y =lg x +4lg x -5D .y =(2x 2+1)(4x 2+8)(x 2+1)2答案 AB解析 y =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x =5+x 2+4x 2≥5+24=9,当且仅当x 2=2时,等号成立.y =1sin 2x +4cos 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x +4cos 2x (sin 2x +cos 2x )=5+cos 2x sin 2x +4sin 2x cos 2x ≥5+24=9,当且仅当tan 2x =12时,等号成立.当lg x -5小于0时,y =lg x +4lg x -5无最小值.y =(2x 2+1)(4x 2+8)(x 2+1)2=4(2x 2+1)(x 2+2)(x 2+1)2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x 2+1)+(x 2+2)22(x 2+1)2=9,当且仅当x 2=1时,等号成立,则y =(2x 2+1)(4x 2+8)(x 2+1)2的最大值为9.故选AB. 25.(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x +lg y =0,则4x +9y 的最小值为________.答案 12解析 因为lg x +lg y =0,所以xy =1(x >0,y >0),所以4x +9y ≥24x ·9y =12.等号成立的条件为4x =9y ,即x =32,y =23时取得最小值.26.(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ,y >0,且1x +3+1y =12,则x +y 的最小值为________.答案 5解析x +y =2[(x +3)+y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +3+1y -3=2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+y x +3+x +3y -3≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+2y x +3·x +3y -3=5,当且仅当y x +3=x +3y ,即x =1,y =4时,等号成立,所以x +y 的最小值为5.一、高考大题1.(2022·全国Ⅲ卷)设a ,b ,c ∈R ,a +b +c =0,abc =1.(1)证明:ab +bc +ca <0;(2)用max{a ,b ,c }表示a ,b ,c 中的最大值,证明:max{a ,b ,c }≥34.证明 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =0,∴ab +bc +ca =-12(a 2+b 2+c 2). 由abc =1得a ,b ,c 均不为0,则a 2+b 2+c 2>0,∴ab +bc +ca =-12(a 2+b 2+c 2)<0.(2)不妨设max{a ,b ,c }=a ,由a +b +c =0,abc =1可知,a >0,b <0,c <0.∵a =-b -c ,a =1bc ,∴a 3=a 2·a =(b +c )2bc =b 2+c 2+2bc bc≥2bc +2bc bc =4. 当且仅当b =c 时,取等号,∴a≥34,即max{a,b,c}≥34.2.(2022·全国Ⅰ卷)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.证明(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc =1a+1b+1c.当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以1a +1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(c+a)3=3(a+b)(b+c)(c+a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)=24.当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.二、模拟大题3.(2022·福建龙岩高三检测)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.(1)求1x +1y 的最小值;(2)是否存在x ,y 满足(x +1)(y +1)=5?并说明理由.解 (1)因为1x +1y =x +y xy =x 2+y 2xy ≥2xy xy =2,当且仅当x =y =1时,等号成立,所以1x+1y 的最小值为2.(2)不存在.理由如下:因为x 2+y 2≥2xy ,所以(x +y )2≤2(x 2+y 2)=2(x +y ).又x ,y ∈(0,+∞),所以0<x +y ≤2.从而有(x +1)(y +1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x +1)+(y +1)22≤4,当且仅当x =y =1时,等号成立. 因此不存在x ,y 满足(x +1)(y +1)=5.4.(2022·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台,其中每台价值2000元,每批购入的台数相同,且每批均需付运费400元,储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比,比例系数为k ,若每批购入400台,则全年需要支付运费和保管费共43600元.(1)求k 的值;(2)请问如何安排每批进货的数量,使支付运费与保管费的和最少?并求出相应的最少费用.解 (1)由题意,当每批购入400台时,全年的运费为400×3600400=3600(元),每批购入的电视机的总价值为400×2000=800000(元),所以保管费为k·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元,所以3600+k·800000=43600,解得k=0.05.(2)设每批进货x台,则运费为400×3600x =1440000x,保管费为0.05×2000x=100x.所以支付运费与保管费的和为1440000x+100x,因为1440000x +100x≥21440000x×100x=24000,当且仅当1440000x=100x,即x=120时取到等号,所以每批进货120台,支付运费与保管费的和最少,最少费用为24000元.5.(2022·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且点P在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为12kS元(k为正常数).(1)试用x 表示S ,并求S 的取值范围;(2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式;(3)如何选取|AM |,才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中,显然|MC |=30-x ,∠PCM =60°,|PM |=|MC |tan ∠PCM =3(30-x ),∴矩形AMPN 的面积S =|PM |·|AM |=3x (30-x ),x ∈[10,20],由x (30-x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +30-x 22=225, 可知当x =15时,S 取得最大值,为2253,当x =10或20时,S 取得最小值,为2003,∴2003≤S ≤2253,即S 的取值范围为[2003,2253].(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1=37k S ,又△ABC 的面积为12×30×303=4503,∴草坪造价T 2=12k S(4503-S ). ∴总造价T =T 1+T 2=25k ⎝⎛⎭⎪⎫S +2163S , 2003≤S ≤225 3.(3)∵S +2163S≥1263,当且仅当S=2163,S即S=2163时等号成立,此时3x(30-x)=2163,解得x=12或x=18.∴选取|AM|为12米或18米时,能使总造价T最低.。
2014高考理科数学必得分训练(4)
2014届高考数学(理科)必得分训练(4)一、选择题:1.计算复数2⎫⎪⎪⎭的结果为( ). A.i B.-i C .1 D.-1 2.数列223211,1+2,1+2+21+2+2+21+2+2++2,n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,的前n 项和1020n S >,那么n的最小值是( )A .7B .8C .9D .103.已知集合{}20A x x x =-<,{}2(10B x x a x a =+--<),则“1a >”是“A B ⋂≠∅”的( )A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有如下对应数据:在求回归直线方程y bx a =+时得 6.5b =,则预测广告费支出为10万元时销售额为 A .110 B .90 C .47.5D .82.55. 下面给出四个命题:①若平面α//平面β,,AB CD 是夹在,αβ间的线段,若AB //CD ,则AB CD =; ②,a b 是异面直线,,b c 是异面直线,则,a c 一定是异面直线; ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面α垂直; ④平面α//平面β,P α∈,PQ //β,则PQ α⊂; 其中正确的命题是( ) A .①② B .①②③C .①②④D .①④6. 已知向量a =168(4cos(),sin )x x ππ+,168(sin(),sin )b x x ππ=+,定义函数()f x =2cos a b x ⋅+.若()f α=2,且14≤α≤18,则tan()απ的值为( )AB.CD. 7.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为( )A .0.2B .0.4C .0.6D .0.88.X 大学2014年自主招生报名刚结束,某考生想知道这次报考的人数,他随机记录了50个考生的考号;已知考生的考号是从0001,0002,0003,……这样从小到大依次顺序排列.经计算,这50个考号的和是24966(其中0001+0002视为3),据此,估计2014年参加X 大学自主招生的考生数约为( )A.500人 B.1000人 C.1500人 D.2000人 9.已知1()(sin lg )(1)xf x t t dt x =->⎰函数,则()f x 的极大值点的个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11.如图,圆O :222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记 为M (图中阴影部分),随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域 M 内的概率是 .12.已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7,最小值为1,则=++ac b a .13.已知某几何体的三视图如右,则该几何体的外接球面积是.14.已知真命题:过抛物线()220y px p =>的顶点O 作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于另外两点M 、N ,则直线MN 过定点()2,0P p .类比此命题,写出关于椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个真命题: . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)如图,将边长为2,有一个锐角为60°的菱形ABCD ,沿着较短的对角线BD 对折,使得AC =6,O 为BD 的中点. (Ⅰ)求证:;平面BCD AO ⊥ (Ⅱ)求三棱锥BCD A -的体积; (Ⅲ)求二面角D BC A --的余弦值.正视图侧视图俯视图4 33OBCDA17、(本小题满分13分)袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记ξ为摸出两球中白球的个数,求ξ的期望和方差.18.已知向)sin ,sin ( B A m =→,)cos ,cos ( A B n =→,C n m 2sin =⋅→→ ,且A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角,(I)求角C 的大小;(II)若C B A sin ,sin ,sin 成等差数列,且18)(=-⋅,求c 边的长及△ABC 的面积. 21.(1)选修4-2:矩阵与变换曲线x 2+4xy +2y 2=1在二阶矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换为曲线x 2-2y 2=1. (I) 求实数a ,b 的值;(II) 求M 的逆矩阵.(2)选修4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=,曲线1C 的参数方程为4cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),点00(,)M x y 在曲线1C 上,动点(,)P x y 其坐标满足001,4.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)记动点(,)P x y 的轨迹为曲线2C ,试判断直线l 与曲线2C 的交点个数.(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知正实数a 、b 、c 满足22243a b c ++=.(I )求2a b c ++的最大值;(II)若不等式512x x a b c ---≥++恒成立,求实数x 的取值范围.19.已知定点A (-3,0),M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点(M 、N 不重合),且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上,32NP MP =. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程; 20.(本小题满分14分)已知函数()2ln pf x px x x=--.(I)若2p =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;19.(本题满分13分)已知定点A (-3,0),M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点(M 、N 不重合),且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上,32NP MP =. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设点Q 是曲线228150x y x +-+=上任一点,试探究在轨迹C 上是否存在点T ,使得点T 到点Q 的距离最小?若存在,求出该最小距离和点T 的坐标,若不存在,说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数()2ln pf x px x x=--.(I)若2p =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;(II)若函数()f x 在其定义域内为增函数,求正实数p 的取值范围;(III)设函数2()e g x x=,若在[]1,e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数p 的取值范围.必得分训练4参考答案一、选择题:二、填空题: 11、3π12、-213、136π14、填写以下四个答案之一①过椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴右端点A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于另外两点M 、N ,则直线MN 过定点())0,(2222b a b a a P +-②过椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴左端点A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于另外两点M 、N ,则直线MN 过定点())0,(2222ba b a a P +-- ③过椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴上端点A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于另外两点M 、N ,则直线MN 过定点()),0(2222b a b a b P +--④过椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴下端点A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于另外两点M 、N ,则直线MN 过定点()),0(2222b a b a b P +-三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、解:(II )060;(III )中点,最大角03017、解:(Ⅰ)记“摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件A ,摸出一球得白球的概率为25,摸出一球得黑球的概率为35, ∴ P (A )=25×35+35×25=12.25∴两球颜色不同的概率是12.25(Ⅱ)由题知ξ可取0,1,2,32332233211(0),(1),(2)5410545455410P P P ξξξ==⨯===⨯+⨯===⨯=, ∴ξ的分布列为则3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=, 22243434190125105551025.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴摸出白球个数ξ的期望和方差分别是45,925.18、解:(Ⅰ)设点M 、N 的坐标分别为(,0),(0,)a b ,(0,0a b ≠≠)点P 的坐标为(,)x y , 则(3,),(,)AN b NM a b ==-,(,),(,)MP x a y NP x y b =-=-, 由MN AN ⊥得230a b -=,------------------(※)由32NP MP =得33(),22x x a y b y =--=∴11,32a x b y ==-代入(※)得24y x =∵0,0a b ≠≠∴0,0x y ≠≠∴动点P 的轨迹C 的方程为24y x =(0x ≠)...7分(Ⅱ)曲线228150x y x +-+=即22(4)1x y -+=,是以B (4,0) 为圆心,以1为半径的圆,设 T 为轨迹C 上任意一点,连结TB,则||||||TQ QB TB +≥⇒||||1TQ TB ≥-∴当||TB 最小时,||TQ ∵点T 在轨迹C 上,设点2(,)4m T m (0m ≠)∴||TB == 当28m =,即m =±||TB有最小值,min ||TB =,当28m =时,224m =∴在轨迹C 上存在点T,其坐标为(2,±,使得||TQ最小,min ||1TQ =-.19、解:(1)sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又 ∵ sin 2m n C ⋅=,∴ sin sin 22sin cos C C C C ∴== ∴ 1cos ,2C ∴=又0,C π<< ∴.3C π∴=(2)由已知得sin sin 2sin A B C +=,由正弦定理可知2a b c +=, 又∵()18CA AB AC ⋅-=,∴18CA CB ⋅=,36ab =即由余弦定理得:2222cos 36c a b ab C =+-= ∴ 6.c =∴ 39233621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC 20、 I )当2p =时,函数2()22ln f x x x x=--,(1)222ln10f =--=. 222()2f x x x'=+-, …………………… 3分 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=. 从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-,即22y x =-. …………………… 5分(II)22222()p px x pf x p x x x -+'=+-=.令2()2h x px x p =-+,要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数,只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立. …………………… 7分由题意0p >,2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为1(0,)x p =∈+∞,∴min 1()h x p p=-,只需10p p-≥,即1p ≥时,()0,()0h x f x '≥≥∴()f x 在(0,)+∞内为增函数,正实数p 的取值范围是[1,)+∞. ……………… 10分(III)∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数,∴x e =时,min ()2g x =;1x =时,max ()2g x e =,即[]()2,2g x e ∈, ①当0p <时,2()2h x px x p =-+,其图象为开口向下的抛物线,对称轴1x p=在y 轴的左侧,且(0)0h <,所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数.当0p =时,()2h x x =-,因为x ∈[]1,e ,所以()0h x <,22()0xf x x '=-<, 此时,()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数.故当0p ≤时,()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<,不合题意; ②当01p <<时,由[]11,0x e x x∈⇒-≥,所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭≤.又由⑵知当1p =时,()f x 在[]1,e 上是增函数,∴1112ln 2ln 22x x e e e x e e----=--<≤,不合题意; ③当1p ≥时,由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数,(1)02f =<,又()g x 在[]1,e 上是减函数, 故只需max min ()()f x g x >,[]1,x e ∈,而max 1()()2ln f x f e p e e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭,min ()2g x =,即12ln 2p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,解得241e p e >-,所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. …………………14分21(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换解: (I) 设P (x ,y )为曲线x 2-2y 2=1上任意一点,P ′(x ′,y ′)为曲线x 2+4xy +2y 2=1上与P对应的点,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′+ay ′y =bx ′+y ′,代入得(x ′+ay ′)2-2(bx ′+y ′)2=1,即(1-2b 2)x ′2+(2a -4b )x ′y ′+(a 2-2)y ′2=1,又方程x 2+4xy +2y 2=1, 从而⎩⎪⎨⎪⎧1-2b 2=12a -4b =4,a 2-2=2解得a =2,b =0.(II)因为|M |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 201=1≠0, 故M -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 -2101 11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)依题意有,004cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩001,4,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩则cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ 所以动点P 的轨迹方程为221x y +=.(Ⅱ)依题意,直线l 的直角坐标方程为20x y -+=,由(Ⅰ)知,P 的轨迹是以(0,0)为圆心,1为半径的圆, 因为圆心到直线20x y -+=1=>所以,直线l 与曲线2C 没有交点.(3) 解:(I )由柯西不等式得:2222(4)(111)(2)a b c a b c ++++≥++. 又a 、b 、c 为正实数∴23a b c ++≤ 当且仅当2a b c ==即11,2a cb ===时取等号. max (2)3a b c ∴++=.(II)若对于满足条件的正实数a 、b 、c 不等式512x x a b c ---≥++恒成立. 则max 51(2)x x a b c ---≥++,即513x x ---≥记4,1,()5126,15,4, 5.x f x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩作函数的图像如图所示:由3263,,2x x -+==得 由图像知,实数x 满足的区间为3(,]2-∞.。
高考数学总复习专题训练:专题四 数列的综合应用
∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0, ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+nn- 2 1×2=n2+2n.
题型分类·深度剖析
题型二
数列与函数的综合应用
思维启迪
解析
探究提高
【 例 2 】 已 知 函 数 f(x) = log2x - logx2(0<x<1),数列{an}满足 f( 2an ) =2n (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.
题型分类·深度剖析
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
5
10
11
2n-1 2-n+2n 2 C
解析
题型分类·深度剖析
题型一
等差数列与等比数列的综合应用
【例 1】 在等差数列{an}中,a10=30, 思维启迪
解析
a20=50.
(1)求数列{an}的通项 an;
(2)令 bn=2an 10,证明:数列{bn}为
高考数学总复习专题训练:专题四 数列的综合应用
2021/4/23 星期五
1
数学 R A(理)
专题四 数列的综合应用
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理 1.等比数列与等差数列比较表
等差 数列
等比 数列
不同点
相同点
(1)强调从第二项起每一
(1)都强调从第二项
项与前一项的差;
起每一项与前一项
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(四)
课时作业(四) 空间直角坐标系[练基础]1.空间两点A ,B 的坐标分别为(a ,b ,c ),(-a ,-b ,c ),则A ,B 两点的位置关系是( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于z 轴对称D .关于原点对称2.空间直角坐标系下,点M (2,-1,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A .(-2,1,3)B .(-2,-1,-3)C .(2,1,-3)D .(-2,1,-3)3.在空间直角坐标系中,点P (1,2,-3)关于坐标平面xOy 的对称点为( )A .(-1,-2,3)B .(-1,-2,-3)C .(-1,2,-3)D .(1,2,3)4.在空间直角坐标系中,记点M (-1,1,2)关于x 轴的对称点为N ,关于yOz 平面的对称点为P ,则线段NP 中点坐标为( )A .(1,0,0)B .(-1,-1,0)C .(1,0,1)D .(0,0,0)5.以棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AD ,AA 1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A .(0,12 ,12 )B .(12 ,0,12) C .(12 ,12 ,0) D .(12 ,12 ,12) 6.如图,正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为2,则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________.7.在空间直角坐标系中,已知点A (-1,2,-3),则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________.8.已知点A (-4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1,A 1关于xOz 平面的对称点为A 2,A 2关于z 轴的对称点为A 3,求线段AA 3的中点M 的坐标.[提能力]9.如图,正方体OABC O 1A 1B 1C 1的棱长为2,E 是B 1B 上的点,且EB =2EB 1,则点E 的坐标为( )A .(2,2,1)B .(2,2,2)C .(2,2,23 )D .(2,2,43) 10.(多选)如图,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB =5,AD =4,AA 1=3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A .点B 1的坐标为(4,5,3)B .点C 1关于点B 对称的点为(5,8,-3)C .点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3)D .点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0)11.在空间直角坐标系Oxyz 中,若点M (a 2-4a ,b +3,2c +1)关于y 轴的对称点M ′的坐标为(4,-2,15),则a +b +c 的值为________.12.如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 在线段BC 1上,且|BM |=2|MC 1|,N 是线段D 1M 的中点,求点M ,N 的坐标.[培优生]13.如图是从一个正方体中截下的一个三棱锥P ABC,|P A|=a,|PB|=b,|PC|=c,则△ABC的重心G的坐标为________.。
2021届数学基础第四章第3讲平面向量的数量积含解析
2021届高考数学一轮基础反馈训练:第四章第3讲平面向量的数量积含解析基础知识反馈卡·4。
3时间:20分钟分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016年新课标Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a +b)⊥b,则m=()A.-8 B.-6 C.6 D.82.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,(a-b)·a=7,则a与b 的夹角为()A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|=() A.4 B。
错误!C。
错误!D.134.(2019年山东济宁模拟)平面四边形ABCD中,错误!+错误!=0,(错误!-错误!)·错误!=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形5.(2015年重庆)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a +b),则a与b的夹角为()A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!6.(2018年贵州贵阳摸底)如图J4-3-1,在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,请找出D 的位置,计算错误!·错误!的值为()图J4-3。
1A.10 B.11 C.12 D.13二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2017年新课标Ⅲ)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=________。
8.(2016年山东)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(t a+b),则实数t的值为________.9.(2016年北京)已知向量a=(1,错误!),b=(错误!,1),则a 与b夹角的大小为________.三、解答题(共15分)10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|。
基础知识反馈卡·4.31.D 解析:a +b =(4,m -2),由(a +b )⊥b ,得4×3+(m -2)×(-2)=0,解得m =8。
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备考高考数学基础知识训练(4)班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题(每题5分,共70分)1.若{}21A x x ==,{}2230B x x x =--=,则A B =___________2.若a>2,则函数在区间(0,2)上恰好有_______个零点3.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是4.若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是=5.若(0)()ln (0)x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(()2g g =6.设奇函数()f x 在(0)+∞,上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为__ _____7.若31)sin(,21)sin(=-=+ββαa ,则=βαtan tan _______________.8.已知31)4sin(=+πθ,),2(ππθ∈,则=θ2sin _______________.131)(23+-=ax x x f ()x f ()x f9.=︒︒︒40cos 20cos 10sin _______________.10.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 _______________.11.若παπ223<<,则=+-α2cos 21212121_______________.12.在ABC ∆中,已知53sin =A ,135cos =B ,则=C cos _______________.13.设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为_______________.14.已知α 、β为一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中错误..的是__________. ①1tan tan <βα; ②2sin sin <+βα;③1cos cos >+βα; ④2tan)tan(21βαβα+<+. 二、解答题(共90分,写出详细的解题步骤)15.(14分)已知παπ<<43,103cos sin -=αα;(1)求αtan 的值; (2)求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++.16.(14分)求下列直线的方程:(1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2x y =过点P(3,5)的切线.17.(15分) 已知函数,当时,有极大值;(1)求的值; (2)求函数的极小值.18.(15分) 设命题:p 函数3()()2x f x a =-是R 上的减函数,命题:q 函数2()43f x x x =-+在[]0,a 的值域为[]1,3-.若“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,求a 的取值范围.19. (16分 )统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米;23bx ax y +=1x =3,a b y(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?20. (16分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3(1)求)(x f 的单调区间和极值;(2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围; (3)已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立,求实数k 的取值范围.参考答案:1.}1{- 2.1 3.2y x =-4.5.126、(10)(01)-,,7、5; 8、97-; 9、81; 10、]3,3[-;1x11、2sin α;12、651613、x ≤-2或0≤x ≤10 14、④15.(1)因为παπ<<43所以0tan 1<<-α又103cos sin -=αα 所以103tan 1tan cos sin cos sin 222-=+=+αααααα即03tan 10tan 32=++αα 解得:3tan -=α或31tan -=α,又0tan 1<<-α,所以31tan -=α.(2)原式αααααcos 282cos 6sin 4)2cos 52sin 5(222--+++=αααcos 282cos 6sin 452--++=αααcos 232cos 6sin 42--+=αααcos 2cos 3sin 4-+=625223tan 22-=--=α16.解:(1) 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即,(2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则200x y =①又函数的导数为x y 2/=,所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有352000--=x y x ②,由①②联立方程组得,⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为;2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,或17.解:(1)当时,,即'232,y ax bx =+1x ='11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩(2),令,得18、 P 真2523)1,0()23(<<⇔∈-⇔a a 1)2()(2--=x x f 的值域为[—1,3]42≤≤∴a429≤≤⇔a 真由题意知p 、q 中有一个为真命题,一个为假命题1°p 真q 假⎪⎩⎪⎨⎧><<<422523a a a 或223<<∴a 2°p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤422523a a a 或425≤≤∴a ∴综上所述a 的取值范围为]4,25[)2,23(19、解:(1)当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时, 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=(升)。
(2)当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x-=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数; 当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数。
∴当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值。
32'269,1818y x x y x x =-+=-+'0y =0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
20、解:(1)2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令∴当0)(,22,0)(22<'<<->'>-<x f x x f x x 时当时或,∴)(x f 的单调递增区间是),2()2,(+∞--∞及,单调递减区间是)2,2(- 当245)(,2+-=有极大值x f x ;当245)(,2-=有极小值x f x(2)由(1)的分析可知)(x f y =图象的大致形状及走向(图略)∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点, 即方程α=)(x f 有三解((3))1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立令5)(2-+=x x x g ,由二次函数的性质,),1()(+∞在x g 上是增函数, ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k。