上课用高中数学选修4-4-柱坐标系与球坐标系简介

解：如图，建立极坐标系，设点M(, )
为直线 l上异于A点的任意一点，连接OM，
在 MOA中，由正弦定理 得
M
即
a
﹚ ﹚
sin( ) sin( ) o A
x
化简得 sin( ) a sin
显然A点也满足上方程
例3：设点P的极坐标为(1,1 )，直线 l 过点P且
与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。
sin( ) 1 sin( 1 )
1 P
﹚1 ﹚
A
x
显然点P的坐标也是上式的解。
练习3
求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线l 的
方程。
sin( ) 2
6
直线的几种极坐标方程
l
1、过极点 0( R)
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
x cos
y
sin
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
tan
y x
z z
2.球坐标系
思考：
某市的经纬度： 北纬42°，东经119°.
地球的纬度
地球的纬度与经度：
球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设 P(x,y,z)是空间任意一点，记
|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j.
2、以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标
方程 r.........(2)
3.半径为a的圆的圆心坐标为 Ca,1 a>0)的
圆的方程
2a cos( 1)........(3)
4、以 1,1为 圆心，r为半径的圆的极坐标方
程 2 21 cos( 1) 12 r2 0........(4)
y
r
sin
j
sin
z r cosj
r 0
x
0j
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
0 2
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
为直线L上除点A外的任意一点， M
连接OM 在 RtMOA中有
2 ﹚
OM cos MOA OA o A x
即 cos 2
可以验证，点A的坐标也满足上式。
课堂练习2 设点A的极坐标为(a, 0)，直线l 过点
A且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )为直线上除点P外
的任意一点，连接OM，则 OM ,xOM
由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中
OMP ,OPM ( 1)
M
由正弦定理得 OM OP
即
sin
OPM
si1n OMP
sin[ ( 1 )] sin( ) o
点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按 逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小 正角为θ.则P的位置可用有序数组(r,
j, )表示， (r, j , )叫做点P的球坐标.
球坐标系
P(r, j , )
r 0
0j 0 2
z
P(r, j , )
j
r
y
o
θQ
x
将球坐标转化为直角坐标： z
x r sin j cos
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
1、半径为a,圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的
极坐标方程 ＝2a cos...........(1)
(2)当θ为常数时，点P的轨迹是_半__平面
(3)当z为常数时， z 点P的轨迹是_平_面___
P(ρ,θ, z)
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
小结
1.柱坐标系学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
2.柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
2 x2 y2
tan
y ( x x
0)
z z
练习
1.设P点的柱坐标为 求它的直角坐标.
(2, 6
, 7) ，
( 3,1, 7)
2.设M点的直角坐标为 (1, 3, 3)
求它的柱坐标.
(2, 4 , 3)
3
思考：
点P的柱坐标为(ρ,θ, z)， (1)当ρ为常数时，点P的轨迹是_圆__柱_ 面
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系， A M
设点M(, )为直线L上除点
﹚
A外的任意一点，连接OM o
x
在 RtMOA中有
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
练习2、求过点A(2,0)(a>0)，且垂直于极轴的 直线L的极坐标方程。
o ﹚
Fra Baidu bibliotek
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点(1,1 ) ，且与极轴成的角度a
sin( ) 1 sin( 1 )
M
1 P
﹚1 ﹚
o
Ax
空间直角坐标系下一点的坐标表示：
z P(Px , y , z)
o
y
x
Q (x,y)
柱坐标系与球坐标系
1.柱坐标系
思考：在一个圆形体育场内，如 何确定看台上某个座位的位置？
探究（一）：柱坐标系
思考1：有一个圆形体育场，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十二个扇形区 域，顺次记为一区，二区……十二区， 那么每个座位票是如何设定的？
第几区，第几排，第几座.
思考2：设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m，前后相邻两排的间距都 为1m，每层看台的高度为0.6m，那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m？从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少？位置A距地面的 高度为多少m？
Q，Q点的极坐标为(ρ,θ )，则P的位置可用
有序数组(ρ,θ, z)表示， (ρ,θ, z)叫做点P的
柱坐标.
z P(xρ,,θy, z,)z)
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x=ρcosθ
y=ρsinθ
z=z
柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标
302m，17 ，1.8m
12
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
柱坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)
是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为