上课用高中数学选修4-4-柱坐标系与球坐标系简介
人教版高中数学选修4-4(1.4)柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
解析：点 C1 的空间直角坐标为(6 ,6,12)，点 C1 的柱坐 π π 标为(12， ，12)，点 C1 的球坐标为(12 ， ， )． 6 6
设点M的直角坐标公式．
解析：由变换公式，得 ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，ρ＝ 2， y 1 π tan θ＝ ＝ ＝1，θ＝ (点 M 在第 1 卦限)． x 1 4 π 因此点 M 的柱坐标为 2，4，3 . 点评：要注意点 M 所在的卦限，从而确定 θ 角的范围．
2 设点M的直角坐标为(1,1， )，求它的球坐标．
分析：利用球坐标公式求解．
解析：由坐标变换公式，可得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2， 2 2 π 由 rcos φ＝z，得 cos φ＝ ＝ ，φ＝ . r 2 4 y π 又∵tan θ＝ ＝1，θ＝ (点 M 在第 1 卦限)， x 4 π π ∴点 M 的球坐标为2，4，4 . 点评：要注意 φ 角和 θ 角的取值范围．
1．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐 标是( C ) π 2π A.2，3，3 B.2， 3 ，3 4π 5π C.2， 3 ，3 D.2， 3 ，3 2．设点 M 的直角坐标为(－1，－1， 2)，则它的球坐 标为( B ) π π π 5π A.2，4，4 B.2，4， 4 5π π 3π π C.2， 4 ，4 D.2， 4 ，4
π 5π 3 y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝4×1×－ ＝－2 3， 2 3 2 π z＝rcos φ＝4×cos ＝0. 2 ∴点 A 的直角坐标为(2，－2 3，0)．
3π 2 点 B：x＝8sin cos π＝8× ×(－1)＝－4 2， 4 2 3π y＝8sin sin π＝0， 4 3π 2 z＝8cos ＝8×－ ＝－4 2. 4 2 ∴点 B 的直角坐标为(－4 2，0，－4 2)． 点 C：∵r＝0， ∴x＝0，y＝0，z＝0，即点 C 的直角坐标为(0,0,0)．
高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介
四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
人教A版高中数学选修4-4课件 1.4柱坐标系与球坐标系简介课件1
22×(－1)＝－4
2，
y＝8sin
3π 4 sin
π＝0，
z＝8cos 34π＝8×－ 22＝－4 2. ∴点 B 的直角坐标为(－4 2，0，－4 2)．
点 C：∵r＝0，
∴x＝0，y＝0，z＝0，即点 C 的直角坐标为(0,0,0)．
8．将下列各点的柱坐标化为直角坐标． P2，π6，1，Q4，23π，－3.
解析：点 P：x＝ρcos θ＝2cos π6＝2× 23＝ 3， y＝ρsin θ＝2sin π6＝2×12＝1，z＝1， ∴点 P 的直角坐标为( 3，1,1)． 所以点 Q：x＝4cos 23π＝－2，y＝4sin 23π＝2 3，z＝－3， ∴点 Q 的直角坐标为(－2,2 3，－3)．
9．已知点 P 的柱坐标为 2，4π，5，点 B 的球坐标为
设点M的直角坐标为(1,1，2 )，求它的球坐标．
分析：利用球坐标公式求解．
解析：由坐标变换公式，可得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2， 由 rcos φ＝z，得 cos φ＝ r2＝ 22，φ＝4π. 又∵tan θ＝xy＝1，θ＝π4(点 M 在第 1 卦限)， ∴点 M 的球坐标为2，π4，4π. 点评：要注意 φ 角和 θ 角的取值范围．
球坐标P(r， ，θ)，其中r≥0,0≤ ≤π，0≤θ<2π.
4．柱坐标、球坐标与空间直角坐标的变换关系.
1．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间 直角坐标系中的一部分建立起来的．
2．球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用，在测量实
践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r， ，θ)的方位角，90°－
称为高低角．
3．注意柱坐标P(ρ，θ，z)中各坐标分量的取值范 围．ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
人教版高中数学选修4-4《1.4柱坐标系与球坐标系简介》
φ r o θ
P(r,φ,θ) y Q
x OP与Oz轴正向所夹的角为φ
转过的最小正角为θ
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所
点P的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示 我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标
其中 r 0, 0 , 0 2
5 5 3 点M的直角坐标为（－ ， ） 2 2
如图，建立空间直角坐标系Oxyz, z 设P是空间任意一点, P(ρ,θ,Z) p在平面Oxy的射影为Q o θ Q x 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy上的极坐标,
y
点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示
把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
3、已知点 N的球坐标是（2， ， ）， 3 4 求它的直角坐标。
3
1、通过这节课的学习， 我们知道， 为了表示空间中所有的 点，我们可 以建立 _______________________ 、 ______________ 和 ______________ 来表示这些点。
2、这节课我们需要了解 的内容有：
谢谢
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标.
其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z＜+∞
注：柱坐标系又称半极坐标系,它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立z)与柱坐标
(ρ,θ,Z)之间的变换关系为
x cos y sin zz
最新人教版高中数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介1
【做一做 1-2】 柱坐标满足方程 ρ=2 的点所构成的图形是 答案:以 z 轴所在直线为轴,以 2 为底面半径的圆柱侧面
-4-
学习目标导航 1.1 DNA重组技术的基本工具
基础知识梳理 首 页
随堂练习 重点难点突破 典型例题剖析 S 随堂练习巩固 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
������ 2 + ������ 2 ,θ=∠POA,其中
������ 2 + ������ 2 + ������ 2 ,φ=∠ROB,θ=∠POA,其中 θ 与
柱坐标中的 θ 相同,x,y,z 的值与直角坐标中的相同. 几种三维坐标互不相同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点 的位置,只是描述的角度不同.
3π ,2 4
π 3π 4 4
,则它的直角坐标
. 2
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学习目标导航 1.1 DNA重组技术的基本工具
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析:它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标系的 基础上建立的. 在直角坐标中,我们需要三个长度 x,y,z,而在柱坐标与球坐标中,我们需 要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个 点的位置,需要 ρ,θ,z 或者 r,φ,θ. 空间直角坐标:设点 M 为空间一已知点.我们过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,它们与 x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为 P,Q,R,这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x,y,z.于是空间的一点 M 就唯 一地确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).
高中数学选修4-4-柱坐标系与球坐标系简介
P(ρ,θ, z)
o
x
θ
y
Q (ρ,θ)
16
小结
1.柱坐标系学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
17
2.柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x cos
y
sin
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
ta
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
44
求它的直角坐标.
(1,1, 2)
26
练习
2.设M点的直角坐标为 (1, 1, 2)， 那么它的球坐标是
A.(2, , )
44
B.(2, , 5 )
44
C.(2,
5
,
)
44
D.(2,
3
,
)
44
27
思考：
点P的球坐标为(r, j , ) ，
l
1、过极点 0(R)
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
o ﹚
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点( 1 , 1 ) ，且与极轴成的角度a
s in ( ) 1 s in ( 1 )
M
1 P ﹚ 1 ﹚
o
Ax
3
4
空间直角坐标系下一点的坐标表示：
z P(P x , y , z)
o
y
x
Q (x,y)
5
柱坐标系与球坐标系
6
1.柱坐标系
7
思考：在一个圆形体育场内，如 何确定看台上某个座位的位置？
2014年人教A版选修4-4课件 4.柱坐标系与球坐标系简介
如: 一个圆形体育场, 自正东方向起, 按逆时针 方向等分为 12 个扇形区域, 项次记为一区, 二区, …, 十二区. 设圆形体育场的第一排与体育场中心 O 相距 300 m, 每相邻两排的间距为 1 m, 每层看台的高度为 0.6 m. 如何确定第九区第三排正中 A 的位置? 以正东方向为极轴, 以极轴为始边, 第九 O x 区的正中位置为终边 9区 17p . A 的角为 12 从中心到第三排的 水平距离为 300+2=302(m). 第三排的高度为 0.63=1.8(m). 所以点 A 的柱坐标为 A(302, 17p , 1.8). 12
P(r, j, q) r j y
j
O x = r sinj cosq , q A y = r sinj sinq , Q z = r cosj . x 在测量中, q 称为被测点的方位角, 90-j 称为高低角.
x
1. 柱坐标系 问题1. 在空间直角坐标系中, 一个点的位置是由 哪几个坐标组成? 若将空间直角坐标系的 y 轴取消, 将 xOy 平面用极坐标表示, 请你设计一下, 空间一个 点 P 的位置怎标表示? z x, y P(r q,, z z) ) 如图, 在空间直角坐标系中, 点 P 的位置由坐标 P(x, y, z) 确定. PQ⊥平面xOy, QA⊥Ox, B O y QB⊥Oy. q r A OA=x, OB=y, QP=z. Q 在 xOy 平面内, 以 x 轴为 x 极轴, 去掉 y 轴, 建立极坐标系. 则点 Q 的坐标为 Q(r, q ). 于是点 P 的位置可用坐标 P(r, q, z) 确定.
苏教版数学高二人教A选修4-4素材 柱坐标系与球坐标系简介
平面直角坐标系与伸缩变换 1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x λ>0，y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P ′(x ′，y ′)是变换后的点的坐标，P (x ，y )是变换前的点的坐标．1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】 ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x 轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】 如图，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则M 的横坐标x 与N 的纵坐标y 对应的有序实数对(x ，y )即为点P 的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.。
高中数学人教A版选修4-4课件：1-4柱坐标系与球坐标系简介
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间直 角坐标系的基础上建立的. 在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标 中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一 个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ. 在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交 点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空 间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做 点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如 图所示).
������ 2 + ������ 2 + ������ 2 , ������ =∠ROM,θ=∠ POA,其中 θ 与柱坐标中的 θ 相 同 ,x,y,z 的值与直角坐标中的相同 .
几种三维坐标互不相同,互有联系,互相能够转化,都用来刻画空 间一点的位置,只是描述的角度不同.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
在柱坐标 M(ρ,θ,z)中 ,结合上图知,ρ=|OA|=
|������������ |2 + |������������ |2 =
������ 2 + ������ 2 , ������ =∠POA,其中 x,y,z 的值与直角坐标中的相同.在球坐标 M(r,φ,θ)中 ,结合上图知 ,r=|OM|= |������������ |2 + |������������ |2 =1-
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2sin （ 4 4 2 2 3 sin 3 2 2 2 1 y 2sin 4 4 2 2 2 3 2 ( z 2 cos － ）－ 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2sin （ 4 4 2 2 3 sin 3 2 2 2 1 y 2sin 4 4 2 2 2 3 2 ( z 2 cos － ）－ 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .Fra biblioteko θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0, 0 , 0 2
阅读课本P16---17
高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_42
3．求下列各点的直角坐标：
π π 3π 7π (1)M2，6，3 ；(2)N2， 4 ， 6 .
解：(1)由变换公式得： π π 1 x＝rsin φcos θ＝2sin cos ＝ ， 6 3 2 π π 3 y＝rsin φsin θ＝2sin sin ＝ ， 6 3 2 π z＝rcos φ＝2cos ＝ 3. 6
由直角坐标化为球坐标时， 可设点的球坐标为(r， φ， θ)， x＝rsin φcos θ， 利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
2 2 2 2
求出 r，φ，θ 即可；也可
y z 以利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝x，cos φ＝r来求．要特别注 意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 φ 和 θ 所在的位置.
r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π 其中_______________________.
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的
变换关系为
cos θ， x＝rsin φ· sin θ， y＝rsin φ· z＝rcos φ.
柱坐标与直角坐标的互相转化
[例 1]
＜2π，z∈R. _____________
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 的变换公式为 z＝z.
2．球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点， 连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最
1 故其直角坐标是 2， 3 ， 3 . 2
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π ,角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
o θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0, 0 , 0 2
6 ,7), 求它的直角坐标。
2、设点 M的柱坐标为 (2,
最新人教版高中数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介2
①
由①2+②2 得 ρ2=2,即 ρ= 2. ρ = 2, ∴ θ = ������ , 故点 M 的柱坐标为 4 z = 1.
由②÷ ①得 tan θ=1,又点 M 在第Ⅰ卦限,所以 θ= . 2, ,1 .
-6-
������ 4
1.1 DNA重组技术的基本工具
-4-
1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 直角坐标与柱坐标的互化
x = ρ������������������θ, 由柱坐标求直角坐标,只需代入公式 y = ρ������������������θ, 计算即可;由直角坐标 z=z y 求柱坐标,可先设出点 M 的柱坐标为(ρ,θ,z),利用 ρ2=x2+y2 求 ρ,利用 tan θ=
四
柱坐标系与球坐标系简介
-1-
1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
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ICHU ZHISHI
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S 随堂练习
UITANG LIANXI
课程目标
学习脉络
1.借助具体实例了解柱坐标系、 球坐标系中刻画空间中点 的位置的方法. 2.与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较,体会它 们的区别与联系.
-2-
1.1 DNA重组技术的基本工具
1 2
首 页
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
高中数学 第一章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系课件 北师大版选修4-4.ppt
及xy＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ.
ρ＝ x2＋y2，
x＝ x2＋y2＋z2，
得 tan
θ＝xyx≠0
及 cos
φ＝zr
(x≠0)．
又yx＝＝11，， z＝1，
所以ρ＝ tan
2， θ＝1
r＝ 3，
及 cos
φ＝
33，
结合图形得 θ＝π4，
由 cos φ＝ 33得 tan φ＝ 2
将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标
[例 1] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为 1，如图所示建立空间直角坐标系，以 Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及 球坐标．
[思路点拨] 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标 系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一： 结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点 C1 的直角坐标， 再分别化为柱坐标、球坐标即可．
(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， 间的变换关系为 z＝rcos φ. .
[合作探究]
1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？ 提示：设空间中点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r， θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同， 直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐 标分别表示距离、角、角．
所以点
C1
的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为
2，π4，1，球
坐标为
3，φ，π4(其中 tan φ＝
2，0≤φ≤π)．
1．在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定
人教A版高中数学选修4-4课件文科第一讲坐标系·四、柱坐标系与球坐标系简介.pptx
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第一讲 坐标系
四 柱坐标系与球坐标系简介
问题探究
在航空领域，人们怎样确定航天器 的准确位置呢学科网 zxxk ？
问题探究
如何建立坐标系，才能方便地的得
出r,,的值，并由有序实数组(r,,)找
到航天器的具体位置呢？
问题探究
如何建立坐标系，才能方便地的得
设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|
＝r.OP与Oz正向所夹的角为.设P在Oxy
平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向
旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样
点P的位置就可以用
有序数组(r,,)表示.
这样，空间的点与
z P
r
有序数组(r,,)之
间建立了一种对应 关系.
x
O
Q
y
球坐标系
北
z
OM与z轴负向的夹
角为(90 )度，则 西
称此地的纬度是
O 赤道
y东
南纬度 .
x
南
课后作业 《学案》第一讲 单元检测卷.
把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系（或空间极坐标系），
z P
r
O
y
x Q
球坐标系
把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系（或空间极坐标系），有序组
(r,, )叫做点P的球坐标，记做P(r,, )， 其中r≥0，0≤≤，0≤＜2.
z
P(r,,)
r
O
y
x Q
球坐标系
Байду номын сангаас
纬度是 北纬度 . 本初
若地处南半球，设
子午 线
北
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解：如图，建立极坐标系，设点M(, )
为直线 l上异于A点的任意一点，连接OM，
在 MOA中，由正弦定理 得
M
即
a
﹚ ﹚
sin( ) sin( ) o A
x
化简得 sin( ) a sin
显然A点也满足上方程
例3：设点P的极坐标为(1,1 )，直线 l 过点P且
与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。
探究（一）：柱坐标系
思考1：有一个圆形体育场，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十二个扇形区 域，顺次记为一区，二区……十二区， 那么每个座位票是如何设定的？
第几区，第几排，第几座.
思考2：设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m，前后相邻两排的间距都 为1m，每层看台的高度为0.6m，那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m？从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少？位置A距地面的 高度为多少m？
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
1、半径为a,圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的
极坐标方程 ＝2a cos...........(1)
点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按 逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小 正角为θ.则P的位置可用有序数组(r,
j, )表示， (r, j , )叫做点P的球坐标.
球坐标系
P(r, j , )
r 0
0j 0 2
z
P(r, j , )
j
r
y
o
θQ
x
将球坐标转化为直角坐标： z
x r sin j cos
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系， A M
设点M(, )为直线L上除点
﹚
A外的任意一点，连接OM o
x
在 RtMOA中有
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
练习2、求过点A(2,0)(a>0)，且垂直于极轴的 直线L的极坐标方程。
(2)当θ为常数时，点P的轨迹是_半__平面
(3)当z为常数时， z 点P的轨迹是_平_面___
P(ρ,θ, z)
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
小结
1.柱坐标系学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
2.柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
o ﹚
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点(1,1 ) ，且与极轴成的角度a
sin( ) 1 sin( 1 )
M
1 P
﹚1 ﹚
o
Ax
空间直角坐标系下一点的坐标表示：
z P(Px , y , z)
o
y
x
Q (x,y)
柱坐标系与球坐标系
1.柱坐标系
思考：在一个圆形体育场内，如 何确定看台上某个座位的位置？
2 x2 y2
tan y ( x x源自0)z z练习
1.设P点的柱坐标为 求它的直角坐标.
(2, 6
, 7) ，
( 3,1, 7)
2.设M点的直角坐标为 (1, 3, 3)
求它的柱坐标.
(2, 4 , 3)
3
思考：
点P的柱坐标为(ρ,θ, z)， (1)当ρ为常数时，点P的轨迹是_圆__柱_ 面
2、以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标
方程 r.........(2)
3.半径为a的圆的圆心坐标为 Ca,1 a>0)的
圆的方程
2a cos( 1)........(3)
4、以 1,1为 圆心，r为半径的圆的极坐标方
程 2 21 cos( 1) 12 r2 0........(4)
sin( ) 1 sin( 1 )
1 P
﹚1 ﹚
A
x
显然点P的坐标也是上式的解。
练习3
求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线l 的
方程。
sin( ) 2
6
直线的几种极坐标方程
l
1、过极点 0( R)
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
y
r
sin
j
sin
z r cosj
r 0
x
0j
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
0 2
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
解：如图，设点M(, )为直线上除点P外
的任意一点，连接OM，则 OM ,xOM
由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中
OMP ,OPM ( 1)
M
由正弦定理得 OM OP
即
sin
OPM
si1n OMP
sin[ ( 1 )] sin( ) o
x cos
y
sin
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
tan
y x
z z
2.球坐标系
思考：
某市的经纬度： 北纬42°，东经119°.
地球的纬度
地球的纬度与经度：
球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设 P(x,y,z)是空间任意一点，记
|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j.
302m，17 ，1.8m
12
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
柱坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)
是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为
Q，Q点的极坐标为(ρ,θ )，则P的位置可用
有序数组(ρ,θ, z)表示， (ρ,θ, z)叫做点P的
柱坐标.
z P(xρ,,θy, z,)z)
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x=ρcosθ
y=ρsinθ
z=z
柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
为直线L上除点A外的任意一点， M
连接OM 在 RtMOA中有
2 ﹚
OM cos MOA OA o A x
即 cos 2
可以验证，点A的坐标也满足上式。
课堂练习2 设点A的极坐标为(a, 0)，直线l 过点
A且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。