第二章 轴对称小结与复习

第二章 轴对称小结与复习轴对称是图形的重要变换方式之一，它是一种全等变换，也是探索一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系的必要手段之一.考点呈现考点1 轴对称图形的识别例1 （2013年日照市）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 （ ）解析：根据轴对称图形的定义，可知选项B,C,D 的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，而选项A 中的图形沿底边中线所在的直线折叠，直线两旁的部分能够重合.故选A.点评：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，若沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形.考点2 确定轴对称图形的对称轴例2（2013年绵阳市）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是 （ ）解析：由轴对称图形的概念，可以判断四个选项中，选项B 的数字不是轴对称图形，而选项C,D 的数字的对称轴都有两条，只有数字3的对称轴仅有一条.故选A.点评：确定轴对称图形的条数，可依据轴对称图形的概念，画出直线，然后动手折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么所画的直线就是一条对称轴，在数轴对称图形的条数时，要特别注意不要遗漏.考点3 轴对称的性质例3（2013年成都市）如图1，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C'重合，若AB=2，则C'D 的长为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：由题意可知△BCD 与△B C'D 关于直线BD 成 轴对称，根据轴对称的性质，可得C'D=CD=AB=2.图1故选B.点评：与图形的折叠有关的问题，一般都可以转化为轴对称 问题，再利用轴对称的性质，借助已知条件，综合分析解决.考点4 等腰三角形的性质例4 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 试说明：BE=CE.解析：由等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAE=∠CAE.在△ABE 与△ACE 中，AB=AC ，∠BAE=∠CAE ，AE=AE ，所以△ABE ≌△ACE ，所以BE=CE. 点评：“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，要能熟练应用.点评：当三角形中给出两边相等时，要充分利用等腰三角形的两个底角相等的性质，进行综合分析.考点5 线段垂直平分线的性质例5 （2013年十堰市）如图3，将△ABC 沿直线DE 折叠后， 使得点B 与点A 重合，已知AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ， 则BC 的长为（ ）A ．7 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．22 cm解析：由题意可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AD=BD,所以BC=BD+CD=AD+CD.又因为AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，所以AD+CD=17-5=12(cm),所以BC=12 cm.故选C.点评：条件中如果出现线段垂直平分线，那么常常要利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来解决问题.考点6 角平分线的性质例6（2013年丽水市）如图4，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是__________解析：如图5，过点D 作DE ⊥BC,垂足为E.因为BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，DE ⊥BC,所以DE=DA=3.因为BC=10，所以S △BDC =21BC ·DE= 21×10×3=15. 故填15.点评：条件中如果给出角平分线，常常过角平分线上一点，向角的两边作垂线，然后利用角平分线的性质解题. 考点7 利用轴对称设计图案例7 （2013年平顶山模拟）如图6所示，在3×3的正方图5形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 （ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 解析: 利用轴对称的性质以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴得到不同的图案即可．如图7所示，将标有数字的小正方形分别涂黑，均可得到轴对称图形.故选C ．点评：本题考查利用轴对称设计图案，先找出对称轴，依据对称轴考虑设计办法.误区点拨误区1 混淆轴对称图形与轴对称的概念例1 轴对称图形与轴对称是同一个概念，你认为这种说法正确吗？ 错解：正确.剖析：错解的原因是基本概念掌握不牢固，轴对称图形与轴对称是两个概念，它们有着本质的区别，轴对称图形描述的是一个图形的特性，而轴对称描述的是两个图形之间的特殊位置关系.正解：这种说法是不正确的.误区2 没有理解、掌握对称轴的概念例2 下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②角的对称轴为角平分线；③正方形的对角线所在的直线是正方形的一条对称轴；④线段的对称轴为线段的垂直平分线.其中正确的有_____________.错解：①②③④ 剖析：由轴对称图形的对称轴的概念可知，对称轴是一条直线.而①中顶角的平分线为线段；②中的角平分线是射线.所以①②都是错误的.正解：③④误区3 忽略分类讨论例3 若等腰三角形的两边长为3和4，则该三角形的周长为 （ ） A.10 B.11 C.10或11 D.10或12 错解：选A 或B.剖析：对于等腰三角形，若条件中没有给定底边和腰时，要确定三角形的周长，此时应结合三角形的三边关系，采用分类讨论的方法进行解决.当腰长为3，底边长为4时，三角形的周长为3+3+4=10； 当腰长为4，底边长为3时，三角形的周长为4+4+3=11. 所以三角形的周长为10或11. 正解：选C.误区4 不理解“三线合一”的内涵例4 在等腰三角形中，角平分线、中线和高三线合一，这种说法正确吗？ 错解：正确.剖析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这样的三条线段重合，并不是所有的这样三条线段都重合.正解：这种说法不正确.图6图7方法点击方法1 排除法例1 下列图形不是轴对称图形的是 （ ）解析：根据轴对称图形的定义，选项A,B,C 三个图形沿一条直线折叠，两旁的部分都能重合，所以它们都是轴对称图形.故选D.点击：排除法是指当所给的四个选项中仅有一个是正确的（或错误的）的时候，若排除了三个是错误的（或正确的），则余下的一个选项就是正确的答案. 方法2 构造法例2 如图，在△ABC中，AB=AC,BD ⊥AC,试说明∠DBC=21∠BAC. 解析：由要说明的问题，我们易想到构造等腰三角形的顶角平分线，这样可以把问题转化为说明两个角相等.如图，作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC,AE ⊥BC,所以∠CAE=21∠BAC. 因为BD ⊥AC,AE ⊥BC ，所以∠AEC=∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C,∠CAE=90°-∠C ，所以∠DBC=∠CAE=21∠BAC. 点击：构造法就是根据题意的要求，在解决问题时通过作辅助线，使其出现所需要的图形，从而使条件与结论紧密地联系起来.巧妙地使用构造法，可使问题简化.中考链接1.（2013年咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）2.（2013年广安）等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 193. （2013年南充） 如图，△ABC 中，AB=AC,∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）A.70°B. 55°C. 50°D. 40° 参考答案：1. C 2. C 3. D跟踪训练1.下列图形不是轴对称图形的是 （ ）2.下列轴对称图形中对称轴条数最多的是 （ ） A.正方形 B.线段 C.等边三角形 D.长方形3.下列说法正确的是 （ ） A.全等的两个图形一定成轴对称 B.钝角三角形一定不是轴对称图形C.角平分线上的点与角两边上的点所连的线段相等D.等边三角形每个角的平分线、对边的中线、高都互相重合 4.如图1，在△ABC 中，△ACD 的周长为8 cm ，BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，则AB+AC 的长度为_____cm.5.如图2，△ABC 内有一点O ，且D ，E ，F 是O 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=________°.6.如图3，已知线段AB.（1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留ABC图1 图 3图2作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中所作的直线l 上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN ，试说明∠MAN=∠MBN.7. 如图4，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上.连接BE 并延长，交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，若AF=BF ，则△AEF 与△BCF 全等吗？简单说明理由.跟踪训练参考答案1.B2.A3.D4.85.3606.解：（1）作图如图1所示. （2）根据题意作图如图2所示.因为点M ，N 在线段AB 的垂直平分线上，所以AM=BM ，AN=BN. 又因为MN=MN ，所以△AMN ≌△BMN ，所以∠MAN=∠MBN ．7.解：因为AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠EAF+∠C=90°.因为BF ⊥AC ，所以∠AFE=∠BFC=90°，所以∠CBF+∠C=90°.所以∠EAF=∠CBF. 在△AEF 与△BCF 中，因为∠AFE=∠BFC ，AF=BF ，∠EAF=∠CBF ，所以△AEF ≌△BCF.图1图 2图4。