第二章 轴对称小结与复习

第二章 轴对称小结与复习

轴对称是图形的重要变换方式之一，它是一种全等变换，也是探索一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系的必要手段之一.

考点呈现

考点1 轴对称图形的识别

例1 （2013年日照市）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 （ ）

解析：根据轴对称图形的定义，可知选项B,C,D 的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，而选项A 中的图形沿底边中线所在的直线折叠，直线两旁的部分能够重合.

故选A.

点评：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，若沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形.

考点2 确定轴对称图形的对称轴

例2（2013年绵阳市）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是 （ ）

解析：由轴对称图形的概念，可以判断四个选项中，选项B 的数字不是轴对称图形，而选项C,D 的数字的对称轴都有两条，只有数字3的对称轴仅有一条.

故选A.

点评：确定轴对称图形的条数，可依据轴对称图形的概念，画出直线，然后动手折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么所画的直线就是一条对称轴，在数轴对称图形的条数时，要特别注意不要遗漏.

考点3 轴对称的性质

例3（2013年成都市）如图1，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，

使点C 和点

C'重合，若AB=2，则C'D 的长为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由题意可知△BCD 与△B C'D 关于直线BD 成 轴对称，根据轴对称的性质，可得C'

D=CD=AB=2.

图

1

故选B.

点评：与图形的折叠有关的问题，一般都可以转化为轴对称 问题，再利用轴对称的性质，借助已知条件，综合分析解决.

考点4 等腰三角形的性质

例4 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 试说明：BE=CE.

解析：由等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAE=∠CAE.在△ABE 与△ACE 中，AB=AC ，∠BAE=∠CAE ，AE=AE ，所以△ABE ≌△ACE ，所以BE=CE. 点评：“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，要能熟练应用.

点评：当三角形中给出两边相等时，要充分利用等腰三角形的两个底角相等的性质，进行综合分析.

考点5 线段垂直平分线的性质

例5 （2013年十堰市）如图3，将△ABC 沿直线DE 折叠后， 使得点B 与点A 重合，已知AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ， 则BC 的长为（ ）

A ．7 cm

B ．10 cm

C ．12 cm

D ．22 cm

解析：由题意可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AD=BD,所以BC=BD+CD=AD+CD.又因为AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，所以AD+CD=17-5=12(cm),所以BC=12 cm.

故选C.

点评：条件中如果出现线段垂直平分线，那么常常要利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来解决问题.

考点6 角平分线的性质

例6（2013年丽水市）如图4，在Rt △ABC 中，∠A=90°，

∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是__________

解析：如图5，过点D 作DE ⊥BC,垂足为E.因为BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，DE ⊥BC,所以DE=DA=3.因为BC=10，所以S △BDC =2

1

BC ·DE= 2

1

×10×3=15. 故填15.

点评：条件中如果给出角平分线，常常过角平分线上一点，

向角的两边作垂线，然后利用角平分线的性质解题. 考点7 利用轴对称设计图案

例7 （2013年平顶山模拟）如图6所示，在3×3的正方

图5

形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 （ ）

A ．3种

B ．4种

C ．5种

D ．6种 解析: 利用轴对称的性质以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴得到不同的图案即可．如图7所示，将标有数字的小正方形分别涂黑，均可得到轴对称图形.

故选C ．

点评：本题考查利用轴对称设计图案，先找出对称轴，依据对称轴考虑设计办法.

误区点拨

误区1 混淆轴对称图形与轴对称的概念

例1 轴对称图形与轴对称是同一个概念，你认为这种说法正确吗？ 错解：正确.

剖析：错解的原因是基本概念掌握不牢固，轴对称图形与轴对称是两个概念，它们有着本质的区别，轴对称图形描述的是一个图形的特性，而轴对称描述的是两个图形之间的特殊位置关系.

正解：这种说法是不正确的.

误区2 没有理解、掌握对称轴的概念

例2 下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②角的对称轴为角平分线；③正方形的对角线所在的直线是正方形的一条对称轴；④线段的对称轴为线段的垂直平分线.其中正确的有_____________.

错解：①②③④ 剖析：由轴对称图形的对称轴的概念可知，对称轴是一条直线.而①中顶角的平分线为线段；②中的角平分线是射线.所以①②都是错误的.

正解：③④

误区3 忽略分类讨论

例3 若等腰三角形的两边长为3和4，则该三角形的周长为 （ ） A.10 B.11 C.10或11 D.10或12 错解：选A 或B.

剖析：对于等腰三角形，若条件中没有给定底边和腰时，要确定三角形的周长，此时应结合三角形的三边关系，采用分类讨论的方法进行解决.

当腰长为3，底边长为4时，三角形的周长为3+3+4=10； 当腰长为4，底边长为3时，三角形的周长为4+4+3=11. 所以三角形的周长为10或11. 正解：选C.

误区4 不理解“三线合一”的内涵

例4 在等腰三角形中，角平分线、中线和高三线合一，这种说法正确吗？ 错解：正确.

剖析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这样的三条线段重合，并不是所有的这样三条线段都重合.

正解：这种说法不正确

.

图6

图7