模型参考自适应控制 PPT
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第5章 模型参考自适应控制
设n1 ( s ) nm ( s ) ( s) nm ( s ) ( s ) n1 ( s )n p ( s ) nm ( s ) ( s)n p ( s) a ( s ) ( s )n p ( s )
d p ( s )d1 ( s ) k p n p ( s )n2 ( s ) d m ( s ) ( s ) d p ( s )d1 ( s ) k p n p ( s )n2 ( s ) d m ( s ) ( s )n p ( s ) d1 ( s ) d m ( s ) ( s ) d p ( s ) k p n2 ( s ) n p (s) q( s)d p ( s) p( s) p( s) d1 ( s ) q ( s )n p ( s ), n2 ( s ) kp
例题
x p a p x p bp u y p cp xp c p bp 1 G p ( s) , Gm s - ap s 1
设 ( s ) s a d m ( s ) ( s ) ( s 1)( s a ) d p (s) s - ap s 1 a a p a a p (1 a a p ) 1 C0 c pbp n1 ( s ) d 2 ( s ) s a d1 ( s ) n p ( s ) q ( s ) s 1 a a p a a p (1 a a p ) n2 ( s ) p ( s ) / k p c pbp
未知或 者缓慢 变化
nm ( s) n p ( s) n( s) d m ( s) d p ( s) d ( s) 求C0
对象参数未知或者部分参数未知 lime(t)=0
《自适应控制》课件
软件实现
01
02
03
控制算法选择
根据被控对象的特性和控 制要求，选择合适的控制 算法，如PID控制、模糊 控制等。
软件开发环境
选择合适的软件开发环境 ，如MATLAB、Simulink 等，进行控制算法的实现 和仿真。
软件集成与调试
将各个软件模块集成在一 起，进行系统调试，确保 软件能够正常工作并满足 控制要求。
直接优化目标函数的自适应系统是一种通过直接优化系统目标函数，对系统参数 进行调整的自适应控制系统。
详细描述
直接优化目标函数的自适应系统根据系统目标函数和约束条件，通过优化算法寻 找最优的系统参数，以实现系统性能的最优。这种系统广泛应用于控制工程、航 空航天等领域。
自校正调节器
总结词
自校正调节器是一种通过实时校正系统参数，实现系统性能提升的自适应控制系统。
要点二
详细描述
在进行自适应控制系统设计时，首先需要对系统进行建模 ，即通过数学模型来描述系统的动态行为。这个模型可以 是线性或非线性的，取决于系统的复杂性和特性。在建立 模型后，需要对模型参数进行估计，这通常涉及到使用各 种算法和优化技术来不断调整和更新系统参数，以使系统 能够更好地适应外界环境的变化。
详细描述
最小均方误差算法基于最小化预测误差的平方和来调整控制参数，通过不断迭代计算，逐渐减小误差 ，使系统输出逐渐接近目标值。该算法具有较好的跟踪性能和鲁棒性，广泛应用于各种自适应控制系 统。
极点配置算法
总结词
极点配置算法是一种自适应控制算法，通过 调整系统参数使系统的极点配置在期望的位 置上，以达到系统稳定和性能优化的目的。
特点
自适应控制具有适应性、实时性和智 能性等特点，能够自动调整控制参数 和策略，以适应不同环境和条件下的 变化。
模型参考自适应控制建大资料精品PPT课件
p( s )
p( s )
其中: p(s) sn a1sn-1 an-1s an
q(s) b1sn-1 b2sn-2 bn
– Km为常数，根据系统希望的动态响应事先确定 – p(s)、q(s)已知
R
—kpm(—qs()—s)
ym +e
Kc
Kp
-pq-((-ss-))- -
yp
适应律
R
- 麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫MIT方法 - 最早提出、最早应用的一种方法 - 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现 - 实质是一个可调增益的系统
一. 单个参数的MIT方法
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
工作背景
设参考模型为 Kmq( s) ，对象模型为 K p(t)q(s)
一般来说，自适应控制系统在反馈控制的 基本回路上加上自适应机构构成。具有三 方面的功能：
（1）在线辨识。 （2）决策控制。 （3）在线修正。
自适应控制系统主要分为两大类： （1）模型参考自适应控制系统。 （2）自校正自适应控制系统
模型参考自适应控制
(Model Reference Adaptive Control) MRAC
(2.3)
Kc
p( D)
欲消去 q(D) / p(D),
ym Km q( D)
R
p( D)
即:
q( D) p( D)
ym R Km
Байду номын сангаас
代入(2.3)式，
e Kc
-
Kp Km
ym
(2.4)
e
Kp
Kc - Km ym
Kc
-
B2e
模型参考自适应控制ppt课件
kpDp (s)
(1)
kmNm (s)
又
P( s)
Yp (s) R(s)
a*(s)
(s)
1
Dm (s) kmNm (s)
b* (s)
Dm (s) (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p (s) Dp (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
23
2、假定
被辨识对象：
P(s) Yp (s) kpN p (s) R(s) Dp (s)
参考模型： 参考输入：
M (s) Ym (s) km Nm (s) U (s) Dm (s)
设r(t)是t的分段连续函数，且有界。 辨识的目的：根据可量测的r(t)和yp (t) 决定k p , N p (s), Dp (s)的系数。
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
16
前馈可调增益 反馈可调增益
u
t
使ymt
完全跟踪
ypt
p(s)
r(t)
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) km
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
17
其中：
模型的输入控制u t 为
过程位置互换。
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器
来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我
们要辨识的结果。
“对偶性质”设计MRAC的方法用于辨识； 将模型参考辨识方法用于设计MARC。
自适应控制第4章
4
4.1.3 模型参考自适应控制的应用 电力传动领域:模型易获得,时间常数小 时间常数小,系统的大多数物 电力传动领域 模型易获得 时间常数小 系统的大多数物
理量易测得,模型阶数较低。 理量易测得 模型阶数较低。 模型阶数较低
伺服系统
当被控过程的会外部环境影响而导致参数变化,以及由于系 当被控过程的会外部环境影响而导致参数变化 以及由于系 统本身的非线性影响参数不准确时,采用 采用MRAC方案能够达 统本身的非线性影响参数不准确时 采用 方案能够达 到常规PID控制所不能达到的性能指标。 控制所不能达到的性能指标。 到常规 控制所不能达到的性能指标 MRAC常将复杂的非线性模型简化为一阶或二阶线性模型 常将复杂的非线性模型简化为一阶或二阶线性模型, 常将复杂的非线性模型简化为一阶或二阶线性模型 很少应用三阶以上,主要是当 主要是当MARC超过三阶时 复杂程度会 超过三阶时,复杂程度会 很少应用三阶以上 主要是当 超过三阶时 成倍增加,较难实现 较难实现。 成倍增加 较难实现。
21
（1）具有可调增益的一阶线性系统 ）具有可调增益的一阶线性系统
系统仍用图4.2.实际被控过程受干扰后 增益 实际被控过程受干扰后,增益 要偏离理想的km ,表现在输出的广 系统仍用图 实际被控过程受干扰后 增益Kckv要偏离理想的 要偏离理想的 表现在输出的广 义误差e上 义误差 上。
(4.3.5)
(2)具有可调增益的二阶线性系统 具有可调增益的二阶线性系统
数学模型: 数学模型
(4.3.15)
类似一阶, 类似一阶
(4.3.16)
试取
(4.3.17) (4.3.18) (4.3.19)
(4.3.2)
考虑线性定常系统: 考虑线性定常系统
自适应控制讲义(模型参考部分)2013-v1
第4章模型参考自适应控制系统4.1 概述⏹MRAC系统具有多种结构形式，互相之间可以互相转换。
最典型的一类MRAC系统结构框图如图4.1.1所示，由参考模型、被控对象、参数可调控制器和自适应机构组成。
⏹其中参数可调控制器由一个前馈调节器和一个反馈调节器组成，它与被控对象形成一个常规的反馈控制系统，这个系统相对于MRAC系统来说是一个“内环”。
⏹另外，MRAC系统还有一个由自适应机构组成的自适应反馈回路，称为“外环”，用来调节内环参数可调控制器中的相关参数。
⏹MRAC系统的参考模型体现了人们对闭环控制系统的性能要求。
也就是说，这个参考模型反映了人们期望闭环控制系统如何响应指令信号。
图4.1.1 典型MRAC系统的结构框图到目前为止，已有许多种类型的MRAC系统，并且采用不同分类标准就有不同的分类方法。
⏹如按结构特征来分类，可将MRAC系统分为并联MRAC系统、串联MRAC系统以及串并联MRAC系统。
一般，这三种结构是从不同的观点来讨论的，但是用统一的方法对它们进行分析和综合也是可能的。
⏹根据自适应机构对系统的影响方式可以分为参数自适应方式和信号综合自适应控制方式。
前者表示自适应机构根据参考模型与被控对象之间的误差直接修改控制器的参数，如图4.1.1中从自适应机构出发的实线所代表的方式；后者是由自适应机构产生一个辅助输入信号来修改加在被控对象的信号，如图4.1.1中从自适应机构出发的虚线所代表的方式。
根据MRAC系统的设计方法可以分为如下三类：基于局部参数最优化的方法、基于Lyapunov稳定性理论的方法以及基于Popov超稳定性理论的方法。
⏹基于局部参数最优化的方法是最早采用的MRAC系统设计方法，通常称为MIT律。
⏹基于Lyapunov稳定性理论的方法是Butcharty及Parks于六十年代中期相继提出的，这种方法与局部参数最优化方法相比，不仅可保证系统的稳定性，还具有自适应速度快的优点。
⏹由法国学者Landau于1969年提出的基于Popov超稳定性理论的方法，主要是以Popov超稳定性理论为基础，由于不需要选择Lyapunov函数，并且能给出一族自适应规律，从而该方法有利于设计者结合实际系统灵活地选择合适的自适应规律。
第十七部分模型参考自适应控制教学课件
再进一步探讨当et 0时，在什么条件下能同时达到参数误差的 渐近稳定，即同时能满足 AtAM，BtBM的问题。由状态广义 误差方程(17-45)可得，当 et 0 时
A M A t x s B M B t r 0
(17-51)
以上恒等式成立说明有三种可能情况：
⑴ x s 和 r 线性相关，并有 A M A t及 B M B t；
KoB12e1tK KM o yMt
(17-11) (17-12) (17-13)
(17-14)
令
B
2 B1
Ks KM
，则得
K oB e1tyM t
(17-15)
这就是可调整参数K o 的自适应律。于是M.I.T.自适应控制系统的 数学模型可归结为
输出误差： D s e 1 s K M K o K s N s r s 模型输出： D s y M s K M N s r s
数的充要条件是存在正定矩阵 P、Q ，并满足式(17-36)、式(17-37)。
下面来讨论受控对象全部状态可直接获取的情况下，基于李雅普 诺夫稳定性理论进行自适应控制系统设计的方法。
设可调系统数学模型为
给定参考模型为
x s A tx s B tr
x M A M x M B M r
(17-42) (17-43)
线性时不变系统的稳定性定理
线性时不变自治系统xA x在平衡点 x 0 是渐近稳定的，当且仅 当对任意给定的正定对称矩阵Q ，都存在一个正定对称矩阵 P ，并 满足如下李雅普诺夫方程：
ATPPAQ
(17-33)
则标量函数VxxTPx即为该系统的李雅谱诺夫函数。
函数的正实性
凡满足以下两个条件的实有理函数W s ，称为正实函数： ⑴ W s 只能含有s 左半平面的极点及虚轴上的其留数为正的一
模型参考MRAC自适应控制
注：参数 mˆ 的校正是基于系统的信号，自适应控制系统具有非线性本质，从而控制器（1.3）也是非线性的。
仿真分析：设物体的真实质量是 m 2 ，选择零作为 mˆ 的初值，这表明预先不知道真实质量。自适应增
益为 0.5 ，分别选择其他设计参数为 1 10 ， 2 25 ， 6 。
图 1.3 跟踪性能和未知质量参数的估计， r(t) 0
例如，简单模型 x x u ，控制器是非线性非自治的（例如 u x2 sin t )。
线性时不变装臵的自适应控制器往往使闭环系统变为非线性和非自治的。
自治系统和非自治系统的基本区别在于：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非自治系统一般不是这 样。
3．平衡点
定义 2.2 状态 x* 称为系统的一个平衡态（或平衡点），如果一旦 x(t) x* ，则此后状态永远停留在 x* 。
2
1.2 模型参考自适应控制方法(MRAC)和自校正控制方法（STC）的关系
STC 更新参数是为了使得输入—输出之间 的拟合误差最小 具有更高的灵活性，可以将不同的估计 器和控制器耦合起来（即估计和控制分 离） 一般很难保证自校正控制器的稳定性 和收敛性。通常要求系统的信号足够丰 富，才能使得参数估计值收敛到真实 值，才能保证系统的稳定性和收敛性。 从随机调节问题的研究中演化而来
（1.4）
其中， s 是组合跟踪误差，定义为
s ~x ~x
（1.5）
信号量 v 定义为 参数估计误差 m~ 定义为
v xm 2~x 2~x m~ mˆ m
方程(1.4)表明组合跟踪误差 s 与参数误差通过一个稳定滤波器相关联。
mˆ 的参数更新规律
mˆ vs
（1.6）
其中正常数 称为自适应增益。
跟踪控制ppt
D(1) ( N ))T
(1) DN (D(1) (1)D(1) (2)
将累加值还原，可得估计模型为
ˆ (k ) V ˆ x (k ) V ˆ x (k ) V ˆ x (k ) fˆ D 1 1 2 2 n n
(2)采用灰色PID控制：加入控制补偿
u u p uc ˆ] ˆx f uc [V i i
考虑连续单输入单输出系统
x Ax(t ) bu(t ) bD( x, t )
bD(x,t)代表系统满足匹配条件的不确定
部分，主要包括参数不确定与外干扰等。
D( x, t ) V1x1 V2 x2 Vn xn f (t )
设Vi(i=1,2,...n)及f(t)均为慢时间变量，可 视为Vi及f(t)为常数。
外加干扰参数为 V [5 5] 干扰参数估计结果 V [4.7117 5.0109 5.2018]
指令信号为一个幅值为0.50，频 率信号为1.0的正弦信号。取M=1，不 采用灰色预估补偿，即uc=0,取M=2， 采用灰色预估补偿。
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.51Βιβλιοθήκη 1.522.5
3
x (k ) x (i) 记为1－AGO
(1) (0) i
k
累加的数列包含更多的信息，有较强 的规律性。
累减生成是指将原始数列前后两 个数据相减所得的数据，是累加生成 的逆运算。
x (k ) x (k ) x (k 1) ( r 1) (r ) (r ) x (k ) x (k ) x (k 1)
T m
T r
1 yr 2 Gain 4 Step 1 s Integrator -5 Gain 5 -10 K 1 s Product 4 Product 6 Gain 2 2 u -KGain 11 Add 2 1 s Integrator 3 -25 Gain 10 0 Gain 9 xp2 Gain 7 1 Gain 8 e2 6 Gain xm2 Gain 3 1 Gain 1
(1) DN (D(1) (1)D(1) (2)
将累加值还原，可得估计模型为
ˆ (k ) V ˆ x (k ) V ˆ x (k ) V ˆ x (k ) fˆ D 1 1 2 2 n n
(2)采用灰色PID控制：加入控制补偿
u u p uc ˆ] ˆx f uc [V i i
考虑连续单输入单输出系统
x Ax(t ) bu(t ) bD( x, t )
bD(x,t)代表系统满足匹配条件的不确定
部分，主要包括参数不确定与外干扰等。
D( x, t ) V1x1 V2 x2 Vn xn f (t )
设Vi(i=1,2,...n)及f(t)均为慢时间变量，可 视为Vi及f(t)为常数。
外加干扰参数为 V [5 5] 干扰参数估计结果 V [4.7117 5.0109 5.2018]
指令信号为一个幅值为0.50，频 率信号为1.0的正弦信号。取M=1，不 采用灰色预估补偿，即uc=0,取M=2， 采用灰色预估补偿。
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.51Βιβλιοθήκη 1.522.5
3
x (k ) x (i) 记为1－AGO
(1) (0) i
k
累加的数列包含更多的信息，有较强 的规律性。
累减生成是指将原始数列前后两 个数据相减所得的数据，是累加生成 的逆运算。
x (k ) x (k ) x (k 1) ( r 1) (r ) (r ) x (k ) x (k ) x (k 1)
T m
T r
1 yr 2 Gain 4 Step 1 s Integrator -5 Gain 5 -10 K 1 s Product 4 Product 6 Gain 2 2 u -KGain 11 Add 2 1 s Integrator 3 -25 Gain 10 0 Gain 9 xp2 Gain 7 1 Gain 8 e2 6 Gain xm2 Gain 3 1 Gain 1
智能控制第7章 模糊神经网络控制与自适应神经网络PPT课件
fj(4)=max(u1(4),u2(4),...,up(4)), aj(4)=fj(4) 且第三、四层节点之间的连接系数wji(4)=1
第五层
❖有两种模式
❖从上到下的信号传输方式 ，同第一层。
❖从下到上是精确化计算，如果采用重心法， 有
fj(5 ) w ( j5 )iu i(5 ) (m ( j5 )i (j5 )i)u i(5 ), i
E fj(4)
E fj(5)
fj(5) fj(4)
E fj(5)
fj(5) u(j5)
u(j5) fj(4)
E fj(5)
m(5) ji
u (5) (5)
ji i
u(j5)
i
u (5) (5) (5) jj jj
(j5i)ui(5))(
m u ) (5) (5) (5) (5)
图7-2 :规则节点合并示例
2. 有导师学习阶段
❖可采用BP学习
E1(y(t)ˆy(t))2min 2
w(t1)w(t)(E w)
E w ( n E )e ( n w t)e tE f w f E f fa w a
第五层
m E (j5)i a E (j5) a fj((j5 5))
wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感34如果被控系统yk1fykyk1uk1gukwwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感351tdltdltdltdl神经网络n神经网络n331基于神经网络的模型参考自适应控制结构图参考模型wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感3671wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感37则控制系统的误差方程为其中wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感383233wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感393233wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感40对于yk1fykyk1uk1guk可得如果存在可用神经网络逼近之
第五层
❖有两种模式
❖从上到下的信号传输方式 ，同第一层。
❖从下到上是精确化计算，如果采用重心法， 有
fj(5 ) w ( j5 )iu i(5 ) (m ( j5 )i (j5 )i)u i(5 ), i
E fj(4)
E fj(5)
fj(5) fj(4)
E fj(5)
fj(5) u(j5)
u(j5) fj(4)
E fj(5)
m(5) ji
u (5) (5)
ji i
u(j5)
i
u (5) (5) (5) jj jj
(j5i)ui(5))(
m u ) (5) (5) (5) (5)
图7-2 :规则节点合并示例
2. 有导师学习阶段
❖可采用BP学习
E1(y(t)ˆy(t))2min 2
w(t1)w(t)(E w)
E w ( n E )e ( n w t)e tE f w f E f fa w a
第五层
m E (j5)i a E (j5) a fj((j5 5))
wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感34如果被控系统yk1fykyk1uk1gukwwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感351tdltdltdltdl神经网络n神经网络n331基于神经网络的模型参考自适应控制结构图参考模型wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感3671wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感37则控制系统的误差方程为其中wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感383233wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感393233wwwthemegallerycom用一个半导体功率器件作为开关该器件不断地重复开启和关断使得输入的直流电压在通过这个开关器件后变成了方波该方波经过电感40对于yk1fykyk1uk1guk可得如果存在可用神经网络逼近之
自适应控制课件——多模型自适应控制
3.5046 0.0148 d 1 1.6729 7 . 7000 0.1543
0.0096 6.8978 B1 0.2652 0.0131 0.0556
，
0.0193 0.3138 0.1649 18.7269 1.4760
A2 B2 r r
三、多模型自适应飞行控制律重构
假设操纵面故障只影响系统的控制矩阵B，而正常模态和故障模态下的
A, d都相同。事实上，操纵面故障主要影响操纵效率. 当飞机发生故障时采用相应的重构控制律， 是一种典型的多模态切换控制。 采用多模型自适应控制可以自动监测 飞机状态的变化，并选择相应的控制律 飞行高度为3000米、速度0.5马赫 双引擎喷气式飞机线性化模型
1 q M Iy
令 f ( X ) q f q ( X ) 得到扩展线性化方程：
f ( X ) A f q ( X ) f ( X ) f ( X ) U q B f q ( X ) f q ( X ) q U
三、多模型自适应飞行控制律重构
对线性化系统采用线性反馈
u u K ( x x ) G(w w)
通过选择合适的K使系统具有与平衡点无关的常值稳定闭环极点， 通过选择合适的G可以使系统跟踪期望指令w
三、多模型自适应飞行控制律重构
纵向运动的控制
纵向短周期运动的状态变量 简化的速度方程： V
X [ q]T
u u1
重构控制器1
。 。 。
固定模型N
。 。 。
yN
eN
固定模型1
y1 y
e1
飞机
0.0096 6.8978 B1 0.2652 0.0131 0.0556
，
0.0193 0.3138 0.1649 18.7269 1.4760
A2 B2 r r
三、多模型自适应飞行控制律重构
假设操纵面故障只影响系统的控制矩阵B，而正常模态和故障模态下的
A, d都相同。事实上，操纵面故障主要影响操纵效率. 当飞机发生故障时采用相应的重构控制律， 是一种典型的多模态切换控制。 采用多模型自适应控制可以自动监测 飞机状态的变化，并选择相应的控制律 飞行高度为3000米、速度0.5马赫 双引擎喷气式飞机线性化模型
1 q M Iy
令 f ( X ) q f q ( X ) 得到扩展线性化方程：
f ( X ) A f q ( X ) f ( X ) f ( X ) U q B f q ( X ) f q ( X ) q U
三、多模型自适应飞行控制律重构
对线性化系统采用线性反馈
u u K ( x x ) G(w w)
通过选择合适的K使系统具有与平衡点无关的常值稳定闭环极点， 通过选择合适的G可以使系统跟踪期望指令w
三、多模型自适应飞行控制律重构
纵向运动的控制
纵向短周期运动的状态变量 简化的速度方程： V
X [ q]T
u u1
重构控制器1
。 。 。
固定模型N
。 。 。
yN
eN
固定模型1
y1 y
e1
飞机
模型参考自适应控制
调整策略
针对不同的被控对象和工况，需要设计相应的调整策略，以快速响应系统变化并保持控制性能。这需 要对被控系统的特性和动态行为有深入了解。
模型参考自适应控制在复杂系统中的应用拓展
复杂系统控制
模型参考自适应控制适用于具有非线性、时变和不确定性的复杂系统。通过设计合适的 自适应律和控制器，可以实现对复杂系统的有效控制。
2
在模型参考自适应控制中，滑模控制可以用于设 计自适应控制器，使得被控系统的状态跟踪误差 收敛到零。
3
滑模控制具有鲁棒性强、对系统参数变化不敏感 等优点，因此在模型参考自适应控制中具有广泛 的应用前景。
基于模糊逻辑的模型参考自适应控制
模糊逻辑是一种处理不确定性和模糊信息的智能控制方法，通过将模糊集合和模糊推理规则应用于控 制系统，可以实现模型参考自适应控制。
系统稳定性
系统稳定性是确保控制过程平稳、可靠的关键因素。在模型参考自适应控制中，需要权衡控制精度和系统稳定在线优化
模型参考自适应控制需要在线优化控制参数，以适应系统状态的变化和外部扰动。优化算法的选择和 应用对于提高控制性能和系统适应性至关重要。
化工过程控制
在化工生产过程中，模型参考自适应控制用于实现反应过程的优化 和稳定控制，提高生产效率和产品质量。
智能制造系统
在智能制造领域，模型参考自适应控制用于自动化流水线和智能机 器人的精确控制，提高生产效率和降低能耗。
机器人领域的应用
移动机器人导航
模型参考自适应控制用于移动机器人的路径规划和避障，提高机 器人在复杂环境下的自主导航能力。
应用领域
模型参考自适应控制的应用领域广泛，包括航空航天、机器人、电力系统和化工过程等。 随着技术的不断发展，其在智能制造、新能源和生物医学等领域的应用前景也日益广阔。
针对不同的被控对象和工况，需要设计相应的调整策略，以快速响应系统变化并保持控制性能。这需 要对被控系统的特性和动态行为有深入了解。
模型参考自适应控制在复杂系统中的应用拓展
复杂系统控制
模型参考自适应控制适用于具有非线性、时变和不确定性的复杂系统。通过设计合适的 自适应律和控制器，可以实现对复杂系统的有效控制。
2
在模型参考自适应控制中，滑模控制可以用于设 计自适应控制器，使得被控系统的状态跟踪误差 收敛到零。
3
滑模控制具有鲁棒性强、对系统参数变化不敏感 等优点，因此在模型参考自适应控制中具有广泛 的应用前景。
基于模糊逻辑的模型参考自适应控制
模糊逻辑是一种处理不确定性和模糊信息的智能控制方法，通过将模糊集合和模糊推理规则应用于控 制系统，可以实现模型参考自适应控制。
系统稳定性
系统稳定性是确保控制过程平稳、可靠的关键因素。在模型参考自适应控制中，需要权衡控制精度和系统稳定在线优化
模型参考自适应控制需要在线优化控制参数，以适应系统状态的变化和外部扰动。优化算法的选择和 应用对于提高控制性能和系统适应性至关重要。
化工过程控制
在化工生产过程中，模型参考自适应控制用于实现反应过程的优化 和稳定控制，提高生产效率和产品质量。
智能制造系统
在智能制造领域，模型参考自适应控制用于自动化流水线和智能机 器人的精确控制，提高生产效率和降低能耗。
机器人领域的应用
移动机器人导航
模型参考自适应控制用于移动机器人的路径规划和避障，提高机 器人在复杂环境下的自主导航能力。
应用领域
模型参考自适应控制的应用领域广泛，包括航空航天、机器人、电力系统和化工过程等。 随着技术的不断发展，其在智能制造、新能源和生物医学等领域的应用前景也日益广阔。
第八章模型参考自适应控制(ModelReferenceAdaptiveControl)简称MRAC
第九章模型参考自适应控制(Model Reference AdaptiveControl )简称MRAC介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应用成果(驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等) 。
§ 9—1 MRAC的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。
与STR不同之处是MRAC没有明显的辨识部分，而是通过与参考模型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。
设参考模型的方程为*X m~ A m X m Br式(9-1-1)y m = CX m 式(9-1-2)被控系统的方程为■X s A s B s r式(9-1-3)y s - CX s 式(9-1-4) 两者动态响应的比较结果称为广义误差，定义输出广义误差为e = y m -y s 式(9-1-5)；状态广义误差为:=X m — s 式(9-1-6)。
自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指标J达到最小。
J可有不同的定义，例如单输出系统的J —；e2( )d式(9-1-7)或多输出系统的t TJ 二e T( )e( )d式(9-1-8) MRAC的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差与被控系统可调参数间关系的算式。
有两类设计方法：一类是“局部参数最优化设计方法”，目标是使得性能指标J达到最优化；另一类是使得自适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。
§ 9 —2局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法梯度法(Gradient Method )。
1. 梯度法考虑一元函数f(x)，当：汀(x)/= 0，且f2 (x) / ；x2> 0时f(x)存在极小值。
问题是怎样调整x使得f (x)能达到极小值？x有两个调整方向：当rf(x)/：：x > 0时应减小x ;当rf(x)/：：x < 0时应增加x。
模型参考自适应控制
r=2,g=2时，振荡明显
•
如何改进？
•
为了克服系统可能不稳定这一缺陷，采用 Lyapunov第二方法保证系统具有全局渐进稳定性。
依据Lyapunov第二方法推得自适应增益：
Kc(t ) = g * yr (t ) * e(t )
对于同样的例子：
•
1 KpG ( s) = 2 , Kp = 1 s + 2s + 3
自适应机构
同样的被控对象和输入。
红色实线为理想输出，蓝色虚线为实际输出。
• 对比以下输出情形：R(5)不变
g= 0.1
g =0.3
g =0.5
• 再看看自适应增益g(0.5)不改变的情形： • • •
r可看出：MIT方法在设计过程中并 未考虑稳定性问题，不能保证所设计的自 适应控制系统总是稳定的(缺点)。
• 应用Lyapunov法得到的图形：
MIT与Lyapunov仿真比较： 同样的系统，同样的输入(r=5)和自适应增益(g=0.5)
MIT方法
Lyapunov方法
• MIT归一法与Lyapunov方法比较： • 同样的，g=2,r=2
MIT归一法
Lyapunov方法
• Lyapunov第二方法设计自适应增益只能是 部分程度上解决设计系统不稳定问题： • 当g,r过大(g=5,r=5): • 所以后来者又不断 开发新的设计方法， 诸如“超稳定理论” “Narendra稳定自适应控制”等。还待进一 步发展。
(注：我们主要分析二阶系统，高阶系统容易导致不稳定)
常用负反馈控制：
干扰 yr e kv kpG(S) yp
Yr为方波输入信号，kv=2 ：
红色实线表示理想输出，蓝色虚线表示实际输出。
模型参考自适应控制.ppt
e -
y
图 1 增益可调的参考模型自适应 控制系统
即e(t)所满足的微分方程为：P(D)e (Km KcK p )Q(D)r
微分算子：D
d dt
,
D
2
d2 dt 2
....
两边对Kc求导： P(D) e Kc
K pQ(D)r
ym
KmQ(s) P(s)
r
P(D) ym KmQ(D)r
比较可得：e Kc
• 由图4,参考模型和参数可调被控系统的s域表达式分别为
Ym (s)
KmN (s) D(s)
r(s)
(1)
Y (s) KcKpN (s) r(s)
(2)
D(s)
其中D(s)和N(s)分别为如下已知的n阶的稳定首一多项式和n-1阶
多项式
n-1
D(s) sn aisi
n-1
N (s) bisi
iT -eP ri ,i 1,2,, m
则 V -eTQe为负定，从而广义误差系统为渐近稳定。
这种方法要求所有状态可测，这对许多实际对象往往不 现实，为此可采用按对象输入输出来直接设计自适应控制系 统。其中一种为直接法，它根据对象的输入输出来设计自适 应控制器，从而来调节可调参数，使可调系统与给定参考模 型匹配，另一种为间接法，利用对象的输入输出设计一个自 适应观测器，实时地给出对象未知参数和状态的估计，然后 利用这些估计值再来设计自适应控制器，使对象输出能跟踪 模型输出，或使其某一性能指标最优。
a2 s 2
Kp a1s
1
参考模型：Gm
(s)
a2 s 2
Km a1s
1
这时闭环自适应控制系统为：
P(D)e (Km Kc K p )Q(D)r
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当 *时，“可调系统” 与模 “型 对象”模型完
“匹配”。 将a*(s) , b*(s) 代入“可调系统” 模， 型则 参数辨时
(s) (s)
的结构图P2（ 9图）变F为ig2.（ 7 P37书）
km 再求 a*(s):知b*(s)，使 (3)式满足。
3、 证明上面a*所 (s)， 求 b*(s的 )是唯一的。
4、滤波器 a*((ss)),b*((ss))的描述：设系统矩阵
R(n1)(n1),控制向b量 Rn1为能控标准型。
*A为 系 统 的 系 统 矩 阵 ， 为 滤 波 器 的 系 统 矩 阵 ， 勿 混 淆 。
e1(t) ym(t) yp (t) 代入(1)、(4)得：
e1(t) ame1(t) kmT (t)w(t)(5)
任务：基于Lyapuno稳v 定理论，设计参a数0(t)、b0(t) 的自适应调整律，使分微方程(5)渐近稳定。
即：当t ,e1(t) 0,(t) 0
构 Ly 造 函 aV p ( e 1 , 数 ) u 1 2 e 1 2 ( n t ) ： k 2 m o T ( t ) v ( t ) 0 计算：V (e1, ) e1(t)e1(t) km (t)(t) 代入（5） ame12 (t) kme1 (t)T w(t) km (t)T 如果选择：(t) e1(t)w(t)作为的自适应律
(1)
km N m (s)
又
P(s)
Y p (s) R(s)
a*(s) (s)
1
Dm (s) km N m (s)
b*(s)
Dm (s) (s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p(s) D p(s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
－
yp
自适应控制
e
基本思路：根据系统的等效误差运动方程 ，找出 (构造)一个适当的Lyapunov函数，确定 自适应律，以保证
V dvt,x0
dt
优点：可保证全局稳定，自适应速度快。 缺点：难以同时保证动态特性，V(x,t)难构造，常
用试探法寻找。
第二节 模型参考自适应辨识
3.2.1 概述 3.2.2 一阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.3 一般高阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.4 线性误差方程及其参数辨识算法
p(s)
r (t )
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) k m
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
其中：
模型的输入控制u t为
u t a0 t r t b0 t y p t
3
可调系统状态方程为
ymt am ymt kma0 t r t kmb0 t y p t 4
则 ： G C sI -1 B D
0
0
b
0
1 n 11
a、传递函数描述：
前馈滤波器：
a*(s)
(s)
a
* 0
a
*T
(sI
) 1b
w (1) (s) R(s)
反馈滤波器：
b*(s)
(s)
b0*
b *T
(sI
)1b
w (2) (s) y p (s)
b、状态方程描述： w (1) w (1) b r
yp Cxp
模 型 匹 配 的 条 件 自适应律 lim e t 0 t
或 J e2 t dt m in
状 态 误 差 向 量 ： e t xm t xp t
定义
状 态 广 义 误 差 ： e
输
出
广
义
误
差
：
e
xm ym
首1多项式：复变量 s的最高次项的系数1的多项式。 Hurwitz多项式：稳定多项式，其根都在开左半 s平面
内。 稳定的：有理传递函数分母为Hurwitz多项式。 最小相位或逆稳的：有理传递函数为分子是Hurwitz 多 项式。 非最小相位的或逆稳的：有理传递函数为分子不是 Hurwitz多项式。 相对阶次：传递函数分母多项式的阶次与分子多项式 阶次之差。
＊MRAC的结构具有对偶特点，它们既可用于自适应 模型跟随控制，也能用于自适应状态观测与辨识。
3.2.2 一阶系统的模型参考自适应 辨识
一、问题的提出
假设需要辨识的对象和参考模型分别由以下传递
函数和一阶微分方程来描述：
对象：p s
Yps
Rs
s
kp ap
y pt a p y pt k p r t
使J下降的方向为它的度负方梯向。
则 k c
B ' J kc
B'
t 0
2 e1
e1 kc
d
B
t
0 e1
e1 kc
d
k c
Be 1
e1 kc
而开环传函：
e(s)
(km
kck p )
z(s) R (s)
e1 (s ) r(s)
(1)
对应的微分方程为：
R ( p )e1 (k m k ck p ) z ( p )r
两边对 k c 求导： 又参考模型输出：
R ( p ) e1 kc
k pz( p)r
ym r
km
z( p) R ( p)
(2) (3)
比较 (2)(3) 式得：
e1 kc
kp km
ym
将 ( 4 ) 式代入
(1) 式，得：
k c
Be
1
kp km
ym
B e1 y m
即得自适应律
(4) (5)
小 结 ： 汇总公式.
输出误差方程： 参数误差方程： 自适应律：
e1 y m y p e1 a m e1 k m T
t t *
e1
a0 t e1 t r t b0 t e1 t y p t
4式 5 、 6 式 由 6式 来
三、自适应系统的结构 Fig2.2:自适应律的实现(1，2 ：自适应调整回路的增益) Fig2.3:自适应律的实现(整定 a0*, b0* ,使正常时e(t)=0，自
1
模 型 ：M
s
Ym s
U s
s
km am
ymt am ymt kmu t
2
控制目的：辨识对象的参数
a
，
p
k
p
,并
使
ymt与y pt相一致。
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
反 前 馈 馈 可 可 调 调 增 增 益 益 u t 使 y m t 完 全 跟 踪 y p t
被控对象
组成
常规反馈控制器
自适应控制回路
控制要求：以参考模型的方式给出，表明被控对象的
理想输出应如反对输入信号作出响应。
自适应调整过程：直到et ym y 0为止。
r(t) ＋
＋
(xm ) 参考模型
干扰
控制器 u 被控对象
－
内环
ym (t)
＋ e(t)ymy
－ y p (t)
(xp)
外环 自适应律
0(s)Dm (s)
kmb*(s)
km kp
D p(s)
a*(s) D p(s)
(3)
先b求 *(s):设 0(s)D m(s)被 D p(s)除， q(s)表 用示商，
令余km 式 b*(s)为
则 0(s)Dm(s)q(s)Dp(s)kmb*(s) b*(s)0(s)Dm(s)q(s)Dp(s) (4)
xp yp
二、MRAC的几类设计方法
1、基于局部参数最优化理论的设计方法
u
参考模型
＋ ym (t)
e(t)
－
kp
对象
y p (t)
自适应机构
rr
z(s)
km R(s)
z(s)
kc
k p R(s)
ym
＋ e1
－
自适应律
yp
“MIT”方案
基本思想：采数 用优 局化 部参
优化方法：梯速 度下 法降 ，法 最， 拉牛普顿森法
u
被辨识过程
yp
－e
＋
可调模型 y m
自适应辨识器
结构特点：MRAC的对偶系统，即将参考模型与可调 过程位置互换。
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器 来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我 们要辨识的结果。
“对偶性 设质 计 M” RA 的C方法用于辨识 将模型参考辨 于识 设方 M计A 法R 。 用 C
为 使 ymt与 y pt完 全 一 致 ，
要
求
：
am kma0
kmb0 t t kp
a
p
设 计 自 适 应 律 ， 调 整 a 0 t ， b0 t ,使 上 式 满 足 ，
并 当 t 时 ， et 0.
二、 自适应律的推导
令：e1(t) ym(t) yp(t) 两边对时间求导：
0
1
0
0
0
0
1
0
1 2
0
0
n 1 n-1 n 1
其 中 ： 1
，
，
n
分
1
别
为
特
征
多
项
式
s
的
系
数
。
s det
sI
s n1
sn2 n 1
2 s 1
1
则 有 ： sI
-1 b
“匹配”。 将a*(s) , b*(s) 代入“可调系统” 模， 型则 参数辨时
(s) (s)
的结构图P2（ 9图）变F为ig2.（ 7 P37书）
km 再求 a*(s):知b*(s)，使 (3)式满足。
3、 证明上面a*所 (s)， 求 b*(s的 )是唯一的。
4、滤波器 a*((ss)),b*((ss))的描述：设系统矩阵
R(n1)(n1),控制向b量 Rn1为能控标准型。
*A为 系 统 的 系 统 矩 阵 ， 为 滤 波 器 的 系 统 矩 阵 ， 勿 混 淆 。
e1(t) ym(t) yp (t) 代入(1)、(4)得：
e1(t) ame1(t) kmT (t)w(t)(5)
任务：基于Lyapuno稳v 定理论，设计参a数0(t)、b0(t) 的自适应调整律，使分微方程(5)渐近稳定。
即：当t ,e1(t) 0,(t) 0
构 Ly 造 函 aV p ( e 1 , 数 ) u 1 2 e 1 2 ( n t ) ： k 2 m o T ( t ) v ( t ) 0 计算：V (e1, ) e1(t)e1(t) km (t)(t) 代入（5） ame12 (t) kme1 (t)T w(t) km (t)T 如果选择：(t) e1(t)w(t)作为的自适应律
(1)
km N m (s)
又
P(s)
Y p (s) R(s)
a*(s) (s)
1
Dm (s) km N m (s)
b*(s)
Dm (s) (s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p(s) D p(s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
－
yp
自适应控制
e
基本思路：根据系统的等效误差运动方程 ，找出 (构造)一个适当的Lyapunov函数，确定 自适应律，以保证
V dvt,x0
dt
优点：可保证全局稳定，自适应速度快。 缺点：难以同时保证动态特性，V(x,t)难构造，常
用试探法寻找。
第二节 模型参考自适应辨识
3.2.1 概述 3.2.2 一阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.3 一般高阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.4 线性误差方程及其参数辨识算法
p(s)
r (t )
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) k m
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
其中：
模型的输入控制u t为
u t a0 t r t b0 t y p t
3
可调系统状态方程为
ymt am ymt kma0 t r t kmb0 t y p t 4
则 ： G C sI -1 B D
0
0
b
0
1 n 11
a、传递函数描述：
前馈滤波器：
a*(s)
(s)
a
* 0
a
*T
(sI
) 1b
w (1) (s) R(s)
反馈滤波器：
b*(s)
(s)
b0*
b *T
(sI
)1b
w (2) (s) y p (s)
b、状态方程描述： w (1) w (1) b r
yp Cxp
模 型 匹 配 的 条 件 自适应律 lim e t 0 t
或 J e2 t dt m in
状 态 误 差 向 量 ： e t xm t xp t
定义
状 态 广 义 误 差 ： e
输
出
广
义
误
差
：
e
xm ym
首1多项式：复变量 s的最高次项的系数1的多项式。 Hurwitz多项式：稳定多项式，其根都在开左半 s平面
内。 稳定的：有理传递函数分母为Hurwitz多项式。 最小相位或逆稳的：有理传递函数为分子是Hurwitz 多 项式。 非最小相位的或逆稳的：有理传递函数为分子不是 Hurwitz多项式。 相对阶次：传递函数分母多项式的阶次与分子多项式 阶次之差。
＊MRAC的结构具有对偶特点，它们既可用于自适应 模型跟随控制，也能用于自适应状态观测与辨识。
3.2.2 一阶系统的模型参考自适应 辨识
一、问题的提出
假设需要辨识的对象和参考模型分别由以下传递
函数和一阶微分方程来描述：
对象：p s
Yps
Rs
s
kp ap
y pt a p y pt k p r t
使J下降的方向为它的度负方梯向。
则 k c
B ' J kc
B'
t 0
2 e1
e1 kc
d
B
t
0 e1
e1 kc
d
k c
Be 1
e1 kc
而开环传函：
e(s)
(km
kck p )
z(s) R (s)
e1 (s ) r(s)
(1)
对应的微分方程为：
R ( p )e1 (k m k ck p ) z ( p )r
两边对 k c 求导： 又参考模型输出：
R ( p ) e1 kc
k pz( p)r
ym r
km
z( p) R ( p)
(2) (3)
比较 (2)(3) 式得：
e1 kc
kp km
ym
将 ( 4 ) 式代入
(1) 式，得：
k c
Be
1
kp km
ym
B e1 y m
即得自适应律
(4) (5)
小 结 ： 汇总公式.
输出误差方程： 参数误差方程： 自适应律：
e1 y m y p e1 a m e1 k m T
t t *
e1
a0 t e1 t r t b0 t e1 t y p t
4式 5 、 6 式 由 6式 来
三、自适应系统的结构 Fig2.2:自适应律的实现(1，2 ：自适应调整回路的增益) Fig2.3:自适应律的实现(整定 a0*, b0* ,使正常时e(t)=0，自
1
模 型 ：M
s
Ym s
U s
s
km am
ymt am ymt kmu t
2
控制目的：辨识对象的参数
a
，
p
k
p
,并
使
ymt与y pt相一致。
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
反 前 馈 馈 可 可 调 调 增 增 益 益 u t 使 y m t 完 全 跟 踪 y p t
被控对象
组成
常规反馈控制器
自适应控制回路
控制要求：以参考模型的方式给出，表明被控对象的
理想输出应如反对输入信号作出响应。
自适应调整过程：直到et ym y 0为止。
r(t) ＋
＋
(xm ) 参考模型
干扰
控制器 u 被控对象
－
内环
ym (t)
＋ e(t)ymy
－ y p (t)
(xp)
外环 自适应律
0(s)Dm (s)
kmb*(s)
km kp
D p(s)
a*(s) D p(s)
(3)
先b求 *(s):设 0(s)D m(s)被 D p(s)除， q(s)表 用示商，
令余km 式 b*(s)为
则 0(s)Dm(s)q(s)Dp(s)kmb*(s) b*(s)0(s)Dm(s)q(s)Dp(s) (4)
xp yp
二、MRAC的几类设计方法
1、基于局部参数最优化理论的设计方法
u
参考模型
＋ ym (t)
e(t)
－
kp
对象
y p (t)
自适应机构
rr
z(s)
km R(s)
z(s)
kc
k p R(s)
ym
＋ e1
－
自适应律
yp
“MIT”方案
基本思想：采数 用优 局化 部参
优化方法：梯速 度下 法降 ，法 最， 拉牛普顿森法
u
被辨识过程
yp
－e
＋
可调模型 y m
自适应辨识器
结构特点：MRAC的对偶系统，即将参考模型与可调 过程位置互换。
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器 来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我 们要辨识的结果。
“对偶性 设质 计 M” RA 的C方法用于辨识 将模型参考辨 于识 设方 M计A 法R 。 用 C
为 使 ymt与 y pt完 全 一 致 ，
要
求
：
am kma0
kmb0 t t kp
a
p
设 计 自 适 应 律 ， 调 整 a 0 t ， b0 t ,使 上 式 满 足 ，
并 当 t 时 ， et 0.
二、 自适应律的推导
令：e1(t) ym(t) yp(t) 两边对时间求导：
0
1
0
0
0
0
1
0
1 2
0
0
n 1 n-1 n 1
其 中 ： 1
，
，
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分
1
别
为
特
征
多
项
式
s
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系
数
。
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sI
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1
则 有 ： sI
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