人教版八年级下册数学 16.2二次根式的乘除法例题与训练(无答案)
人教八年级数学下册-二次根式的乘除(附习题)
例 计算：
(1) 14 7
解：(1)
开得尽方的因 式可以开方后
移到根号外
14 7 14 7 72 2 72 2 7 2
（2）3 5 2 10
解： 3 5 2 10 =3 2 5 10
化简时根号外的因 数可先相乘：
m a·n b mn ab
=6 510
=6 52 2 =6 5 2
(2) 3 12 312 36 6
(3)2
6
1
2
6 1 2
3
2
2
(4) 288
1
72
288 1
72
4 2
知识点 2 二次根式乘法法则的逆运用
由 a· b ab(a 0, b 0) 变形可得
ab a· b (a≥0，b≥0)
例 化简：
在本章中，如果没有特别说 明，所有的字母都表示正数.
课堂小结
今二天次你根学式到的了除哪法些运知算识法？则是？
a a (a 0，b 0) bb
二次根式化简后的结果有什么特征？
(1) 被开方数必须是整数(式)， (2) 被开方数不含可开方的因数或因式， (3) 分母不含二次根式.
拓展延伸
计算：( 1 1 1 L 1 ) ( 11 1)
bb
bb
（2）会运用公式
a b
a b
(a≥0,b＞0)和
a a bb
(a≥0, b＞0)进行二次根式的除法运算和化简.
探索新知
知识点 1 二次根式除法的运算法则
∵
4 ( 2 )； 4 =
(
2
)2
2
(
)
9 (3 ) 9 3
3
∴4= 4
99
16_2_2二次根式的除法同步作业 解析版【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。
人教版八年级下册二次根式的乘除
16.2 二次根式的乘除
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
考场对接
第十六章 二次根式
考场对接
题型一 二次根式的乘法
例题 1 计算：(1) 5× 3；(2) 5× 20；(3) 5ab· 1
b>0)；(4)-4 27×(-3 3)
b 125a
(a>0,
第十六章 二次根式
第十六章 二次根式
锦囊妙计 判断最简二次根式的方法
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法：看被开方数中是否含有能开 得尽方的因数或因式, 且被开方数是否含有分母, 若被开方数是多项式, 则 需要先进行因式分解, 再做判断.
第十六章 二次根式
题型四 二次根式的化简
例题 4 把下列各式化为最简二次根式：
(3)法 1： a+3= a+3 =
a+3
= a-3.
法 2： aa-+93=((aa-+93))(( aa--33))=(a-9)a(-9a-3) = a-3.
第十六章 二次根式
锦囊妙计 化去分母中根号的技巧
(1)在化去分母中的根号之前, 应先把分子、分母中的二次根式进行化简, 以 使后面的计算简便. (2)化去分母中的根号常有两种方法：一是分子、分母都 乘适当的二次根式；二是根据题目的特点, 把分母或分子适当地分解因数 (式), 再约分．
第十六章 二次根式
题型三 最简二次根式
例题 3 下列二次根式中, 是最简二次根式的是( C ).
A． 3a2
B．
1 3
C． a2-b2
D． 2.5
第十六章 二次根式
分析 直接利用最简二次根式的定义得出答案. A． 3a2= 3|a|, 故此选项错误；
人教版2020年八年级下册数学试题：16.2二次根式的乘除
二次根式的乘除1.计算：（1（2（3（4； （5） （6； （7（8（9（10；（11（12）⎛ ⎝（13）⎛ ⎝；（14⎛ ⎝；（15）+；（16）))2233-+。
2.计算： （1；（2÷（3（4；（5（6；（7；（8（9（10（11（12）÷；（13÷（14（15⎛÷ ⎝（163、巩固练习： 1.比较大小（1）（2+（3；（4）--（5）（6）2.=成立的条件是；=成立的条件是 ；5.计算：=；=；= 。
6.中最简二次根式有哪些？ 7.计算：（1）（2（3）（4）⎛÷ ⎝（5（6（7()⎛÷⨯- ⎝ （8）⎛÷ ⎝8.先化简，再求值：2112x x x x x ⎛⎫++÷-⎪⎝⎭，其中，1x =+。
1、在最软入的时候，你会想起谁。
20.8.98.9.202016:2416:24:33Aug-2016:242、人心是不待风吹儿自落得花。
二〇二〇年八月九日2020年8月9日星期日3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
16:248.9.202016:248.9.202016:2416:24:338.9.202016:248.9.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。
8.9.20208.9.202016:2416:2416:24:3316:24:335、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。
Sunday, August 9, 2020August 20Sunday, August 9, 20208/9/20206、生的光荣，活着重要。
4时24分4时24分9-Aug-208.9.20207、永远叫不醒一个装睡的人。
20.8.920.8.920.8.9。
2020年8月9日星期日二〇二〇年八月九日 8、人生能有几回搏。
16:2416:24:338.9.2020Sunday, August 9, 2020亲爱的用户：相识是花结成蕾。
人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除
1、化简的结果是A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分子、分母同时乘以即可：。
故选D。
2、下列运算正确的是【】A．B．C．D．【答案】D。
【解析】根据合并同类项，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A、，本选项错误；B、x8和x4不是同类项，不能合并，本选项错误；C、=|﹣2|=2，本选项错误；D、，本选项正确。
故选D。
3、计算的结果为【】C．3 D．5A．B．【答案】C。
【解析】针对二次根式化简，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：。
故选C。
4、下列各数中，与的积为有理数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断：A、，是无理数，故本选项错误；B、，是无理数，故本选项错误；C、，是有理数，故本选项正确；D、，是无理数，故本选项错误。
故选C。
5、化简后得到的正确结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查了二次根式的化简. 根据二次根式的性质化简解：原式= -=故选D6、把化简的结果应是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要考查了二次根式的化简.根据二次根式的乘除法法则进行化简.解：==故选B7、化简：= ；【答案】，【解析】本题主要考查了二次根式的化简.根据二次根式的乘除法法则进行化简.解：===8、下列各式不是最简二次根式的是（）A．B．D．C．【答案】D【解析】本题主要考查了最简二次根式的概念. 最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．解：=，因此该选项不是最简二次根式．故选D．9、下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查了二次根式的乘法. 根据二次根式的乘法法则计算解：A、,故此项错误；B、，故此项错误；C、，故此项错误；D、，正确故选D10、化简： = ．【答案】－6【解析】试题分析：根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可：11、计算： .【答案】【解析】试题分析：针对负整数指数幂，二次根式化简2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：。
〖人教版〗八年级数学下册练习《16.2 二次根式的乘除》
〖人教版〗八年级数学下册练习《16.2 二次根式的乘除》创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校◆基础知识作业1．计算： =2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥24．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．5．化简的结果是（）A．B．C．D．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A． B．C．﹣D．﹣7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m=，n=．10．化简﹣÷=．11．比较大小：﹣﹣．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．13．下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．14．计算：等于（）A．B．C．D．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣16．化简：（1）（2）（x＞0）17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）18．把根号外的因式移到根号内：（1）（2）．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2B．（x+y）2=x2+y2C．D．20．化简：a（a＞b＞0）21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》解析◆基础知识作业1．计算： =【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的除法法则对二次根式化简即可．【解答】解：原式==．【点评】主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．除法法则=（a＞0，b≥0）．2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 2.83 （精确到0.01）．【考点】二次根式的应用．【分析】根据二次根式的相关概念解答．【解答】解：设长方形的长为a，则2=a，a==2≈2.83．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：•=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b＞0）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．【解答】解：由题意可得，，解之得x＞2．故本题选C．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、=|a|，可化简；B、==，可化简；C、==3，可化简；因此只有D： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．5．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】原式被开方数利用平方差公式化简，约分后化简即可得到结果．【解答】解：原式====．故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A． B．C．﹣D．﹣【考点】二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：根据题意，xy＞0，得x和y同号，又x中，≥0，得y＜0，故x＜0，y＜0，所以原式====﹣．故答案选D．【点评】主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数．7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【考点】分母有理化．【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵=， ==，；∴＜＜．故本题选C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）直接进行化简即可；（2）直接进行化简即可；（3）先进行加法运算，然后进行化简即可；（4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（6）先进行除法运算，然后进行化简；（7）先进行除法运算，然后进行化简．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==；（4）原式==；（5）原=；（6）原式==2；（7）原式==3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握运算法则以及二次根式的化简．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m= 1 ，n= 2 ．【考点】最简二次根式．【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n 的方程组，可求出m、n的值．【解答】解：由题意，知：，解得：；因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．10．化简﹣÷=．【考点】二次根式的乘除法．【分析】运用二次根式的运算性质，结合最简二次根式的概念，对二次根式进行化简．注意约分的运用．【解答】解：原式=﹣•=﹣•=﹣••=﹣2a．【点评】在二次根式的化简中，准确运用二次根式的性质，二次根式的除法法则和最简二次根式的概念，把结果化成最简的形式．11．比较大小：﹣＜﹣．【考点】实数大小比较．【分析】首先把两个数平方，再根据分母大的反而小即可比较两数的大小．【解答】解：∵（﹣）2=，（﹣）2=，又∵＞，∴﹣＜﹣，即﹣＜﹣．故填空答案：＜【点评】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；B、，被开方数里含有能开得尽方的因式x2；故本选项错误；C、被开方数里含有分母；故本选项错误．D、被开方数里含有能开得尽方的因式a2；故本选项错误；故选；B．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．13．（秋•阆中市期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、=；B、=2；D、=|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．14．计算：等于（）A．B．C．D．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘除法法则计算．【解答】解： ==．故选A．【点评】二次根式的乘除法法则：（a≥0，b≥0）；（a≥0，b＞0）．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二次根式的乘除法．【分析】由于被开方数为非负数，可确定1﹣a的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：由已知可得，1﹣a＞0，即a﹣1＜0，所以， =﹣=﹣．故本题选B．【点评】由已知得出1﹣a的取值范围是解答此题的关键．16．化简：（1）（2）（x＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解；（2）直接进行二次根式的化简即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．【解答】解：（1）原式=﹣4×=﹣；（2）原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．18．把根号外的因式移到根号内：（1）（2）．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】（1）先变形得到原式=﹣5×，然后利用二次根式的性质化简后约分即可；（2）先变形得到原式=（1﹣x）•，然后利用二次根式的性质化简后约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣5×=﹣5×=﹣；（2）原式=（1﹣x）•=（1﹣x）•=﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2B．（x+y）2=x2+y2C．D．【考点】二次根式的乘除法；同底数幂的除法；完全平方公式；分式的基本性质．【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；C、===﹣，错误；D、正确．故选D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：①a m÷a n=a m﹣n，②÷=（a≥0，b＞0）．20．化简：a（a＞b＞0）【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a•|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．【解答】解：原式=a=a•|﹣|，∵a＞b＞0，∴原式=a•[﹣（﹣）]=．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．【考点】二次根式的乘除法．【分析】已知长方体的宽与高，根据二次根式的乘法，即可求得这个长方体的长．【解答】解：长方体的高为=2cm，宽为1cm，则长方体的长为： =9cm，答：长方体的长是9cm．【点评】此题考查了二次根式的乘法．此题比较简单，注意÷=（a＞0，b＞0）创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除-同步精讲精练.docx
初中数学试卷桑水出品一、基础知识(一)、二次根式的乘法法则 )0,0(≥≥=•b a ab b a把)0,0(≥≥=•b a ab b a 反过来，就得到)0,0(≥≥•=b a b a ab ，利用它可以进行二次根式的化简。
注意a ，b 都是非负数，如94)9()4(-⨯-≠-⨯-（二）、二次根式的除法法则)0,0(>≥=b a b aba 把)0,0(>≥=b a b a ba 反过来，就得到)0,0(>≥=b a ba b a ，利用它可以进行二次根式的化简。
（三）、分母有理化把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。
分母有理化的关键是把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
（四）、最简二次根式最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 二、重难点分析例题精析 1．重点：（1）二次根式的乘除法则 )0,0(≥≥=•b a ab b a)0,0(>≥=b a baba （2）二次根式的化简利用)0,0(≥≥•=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 对二次根式进行化简2．难点：（1）二次根式的化简学生掌握根据利用)0,0(≥≥•=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a b a b a 对二次根式进行化简，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 （2）分母有理化在二次根式的运算中，最后结果中分母不能含有二次根式，因此需要将二次根式进行分母有理化。
分母有理化分为两类： ①22222121=⨯⨯=②()()121121212)12(1121+=+=+-+⨯=- 三、典例精析1、化简40的结果是（ ）A 、 10B 、102C 、54D 、20 【考点】二次根式的性质与化简【点评】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目常常是先将根号内的数拆成两个相乘的数再开方2、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A 、21B 、4C 、8D 、6 【考点】最简二次根式【解析】A 、2222221=⨯=可化简；B 、2242==可化简；C 、222282=⨯=可化简；因此只有D 符合最简二次根式的条件． 故选D 【答案】D【点评】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断3、计算：82•=________【考点】二次根式的乘除法【点评】本题考查学生掌握二次根式乘法的运算能力，是一个基础题，比较简单，注意结果要化为最简形式．4、34316÷⨯【考点】二次根式的乘除法【点评】本题主要考查了二次根式的乘除运算． 二次根式的运算法则：乘法法则：)0,0(≥≥=•b a ab b a除法法则：)0,0(>≥=b a b ab a5、计算： （1）32（2）2420（3）yx y【考点】二次根式的性质与化简；分母有理化【点评】本题考查的是二次根式的性质，运用分母有理化的方法，根据二次根式的性质，对代数式进行计算．四、专项训练。
八年级数学下册二次根式16.2二次根式的乘除精讲精练含解析新版新人教版
16.2 二次根式的乘除知识点解读知识点1：二次根式的乘除法法则1.二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a将上面的公式逆向运用可得：)0,0(≥≥•=b a b a ab积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则baba =).0,0(>≥b a 3. 乘除法对比列表记忆要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则,如=. （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. 知识点2：分母有理化1.定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2.关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子,化去分母中的根号。
3.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
对点例题解析【例题1】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．√13 B ．√12C ．√a 3D ．√53【答案】A【解析】A 、√13是最简二次根式,符合题意；B 、√12=2√3,不是最简二次根式,不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ,不是最简二次根式,不符合题意；D 、√53=√153,不是最简二次根式,不符合题意． 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．【例题2】（2020•聊城）计算√45÷3√3×√35的结果正确的是（ ） A ．1 B ．53C ．5D ．9【答案】A【解析】原式=3√5÷3√3×√155=3√5×√39×√155=√5×3×1515=1515＝1．【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后,再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【例题3】计算32123212++-+-【答案】见解析。
【解析】先通分,找准分子公因数。
原式22)2()31(3213212-+-+-++⨯=26)13(21322-=-=+=达标训练题 一、选择题1．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．√13 B ．√12C ．√a 3D ．√53【答案】A【解析】A 、√13是最简二次根式,符合题意；B 、√12=2√3,不是最简二次根式,不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ,不是最简二次根式,不符合题意；D 、√53=√153,不是最简二次根式,不符合题意． 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可． 2.（2019•湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣【答案】B ．【解析】根据倒数,平方的定义以及二次根式的性质化简即可． ﹣的倒数的平方为：．3.下列等式不一定成立的是（ ） A ．=（b ≠0） B ． a 3•a ﹣5=（a ≠0）C ． a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ） D ． （﹣2a 3）2=4a 6【答案】A【解析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出即可． A ．=（a ≥0,b ＞0）,故此选项错误,符合题意；B．a3•a﹣5=（a≠0）,正确,不合题意；C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）,正确,不合题意；D．（﹣2a3）2=4a6,正确,不合题意．4.下列二次根式中的最简二次根式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是．A．符合最简二次根式的定义,故本选项正确；B．原式=,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误；C．原式=,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误；D．被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误。
(完整版),新人教版八年级下《16.2二次根式的乘除》课时练习含答案,推荐文档
．化简的结果是A. B. C. D.．等式成立的条件是A. B. C. D.解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是，解得.故答案应选择A. B. C. D.选项中的被开方数含开得尽方的因式；分析：充分掌握最简二次根式的内涵与外延，用于具体题目的具体分析．9．下列根式中，最简二次根式是( )A. B. C. D.答案：D知识点：最简二次根式解析：解答：最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式.只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.分析：理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．10．等式成立的条件是( ).A.a、b同号B.C.D.答案：B知识点：二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法解析：解答：由二次根式的非负性可知，，由于b是分母，故.答案应选择B．分析：由二次根式的双重非负性判断字母的正负性，并能排除分母为0的部分，是数学逻辑性很强的一个体现．11．.若则等式成立的条件是( ).A. B. C. D.答案：B知识点：最简二次根式解答：由知由知，于是.故答案应选择）；）.）根据二次根式的概念，若有意义，则有，于是，.）易知，于是识的学习奠定良好的基础。
4．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.答案：cm知识点：二次根式的乘除法解析：解答：因为长方形面积为，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是，所以.分析：能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的。
5．（1）试比较与的大小；（2）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.答案：（1）＜；（2）＜.知识点：二次根式的乘除法分母有理化解析：解答：（1），，故＜.（2），，分析：此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想．。
16.2 二次根式的乘除 课件2024-2025学年人教版数学八年级下册
D．20
（2） 12b ∙
93
4
.
课堂引入
问题1．一个长方形的长为 6，宽为 3 ，请求长方形的面积.
追问1：像 6， 3这样表示一个数的算术平方根的数字是实数吗？
如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？运算的过程中要遵循怎样的
运算法则？
一、二次根式的乘法
问题2．像 6 × 3这样，是两个二次根式的积，怎样计算？
因式的二次根式.
化简时通常要求最终结果中的分母不含根号，而且各个二次根式都是最简二次
根式.
特别注意：（1）分母中含根号的要化简成没根号；
（2）根号中有分数的也要化简；
（3）根号中有小数的也要化简.
合作学习
2．说出二次根式的乘除法则，并用字母表示.
二次根式的乘法法则公式： × = ( ≥ 0, ≥ 0)；
(
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)的值．
例题精析
(
1
2+1
+
1
1
+
3+ 2
4+ 3
+⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)
解：
原式= (
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除练习 新人教版(2021年整理)
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16。
2二次根式的乘除一、夯实基础1．下列计算正确的是（)A．3×4=12 B．＝×＝（−3)×(−5）＝15C．—3 = =6 D．＝=52．一个矩形的长和宽分别是3、2,则它的面积是（）A．20 B．18 C．17 D．163．计算（+3）2010（-3）2009的结果是( ）A. —3 B。
3 C. -3 D。
+34．下列二次根式是最简二次根式的是（）A。
B. C。
D.5．若=，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≤3C．0≤x＜3D．x≥06．化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：==，以下判断正确的是（）A。
甲的解法正确，乙的解法不正确B。
甲的解法不正确，乙的解法正确C。
甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确二、能力提升7．等式=•一定成立吗？8．现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大丢，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好?为什么？.9．如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为,求它的另一条直角边．。
10．王聪学习了二次根式性质公式= 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题: = == =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.三、课外拓展11．观察下列各等式：=×，=×，=×，=×…，请用含n的等式表示你所观察到的规律。
人教版八年级下册162二次根式的乘除练习(无答案)
16.2二次根式的乘除练习一、选择题 1.√2×√3的值为 ( ) A .√5B .√6C .2√3D .3√22.化简√52×8的结果是 ( ) A .10√2B .±10√2C .5√8D .±5√8 3.化简-√2√7的结果是( ) A .-√27B .-√7C .-√147D .-√24.在化简3√23时,有以下两种方法: 甲:原式=3×√2√3=3×√2×√3√3×√3=√6; 乙:原式=3×√2×33×3=3×√63=√6.下列说法正确是( )A .甲、乙两种方法均正确B .甲方法正确,乙方法错误C .甲方法错误,乙方法正确C .甲、乙两种方法均错误 5.下列计算正确的是( )A. √−9−4=√−9√−4=32B. √−9−4=−3−2=32C. √−9−4=√94=√9√4=32D. √−9−4=±√94=±32 6.已知长方形的面积为12,其中一边长为2√2,则其邻边长为( ) A.2√2 B.3√3 C.3√2 D.2√37．如果，，那么下面各式不正确的是（ ） ABCD8．把） A B ．C ．D二、填空题9.计算：5÷√5√5所得的结果是______． 10.计算，√6×√8√2= ．0ab >0a b +<a -1=b =-=11.化简:(1)√45= ;(2)√25x2y3z= .12.不等式2√2x-√6>0的解集是.13.一个长方体的底面是正方形,体积是V cm3,高是h cm,则底面的边长是cm.14.观察下列各式:√1+13=2√13,√2+14=3√14,√3+15=4√15,…….请你找出其中的规律,并写出第n(n为正整数)个等式: .三、解答题15.化简或计算:(1)√0.9×121100×0.36;(2)√12÷√27×(-√18);(3)√27×√12√3;(4)√12x÷(25√y);16．已知长方体的体积V=h=S．17求这个三角形的面积．18.古希腊的几何学家海伦,在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量》一书中,给出了一个公式:如图一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+b+c2,那么三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),此公式称为海伦公式.思考运用:已知李大爷家有一块三角形的菜地,如图,测得AB=7 m,AC=5 m,BC=4 m,你能求出李大爷家这块菜地的面积吗?试试看!。
八年级数学下册16.2二次根式的乘除最新
八年级数学下册16.2二次根式的乘除最新1、动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．设儿童票售出答案A 解析2、如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B 答案C 解析3、下列函数关系中，可以看做二次函数y="ax2" +bx +c(a≠0)模型的是( 答案C 解析4、若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+ 答案A 解析考点：概率公式．专题：新定义．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：当n=0时，0+1=1，0+2=2，n+（n+1）+（n+2）=0+1+2=3，不是连加进位数；当n=1时，1+1=2，1+2=3，n+（n+1）+（n+2）=1+2+3=6，不是连加进位数；当n=2时，2+1=3，2+2=4，n+（n+1）+（n+2）=2+3+4=9，不是连加进位数；当n=3时，3+1=4，3+2=5，n+（n+1）+（n+2）=3+4+5=12，是连加进位数；当n=4时，4+1=5，4+2=6，n+（n+1）+（n+2）=4+5+6=15，是连加进位数；故从0，1，2，…，9这10个自然数共有连加进位数10-3=7个，由于10+11+12=33个位不进位，所以不算．又因为13+14+15=42，个位进了一，所以也是进位．按照规律，可知0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32不是，其他都是．所以一共有88个数是连加进位数．概率为0.88．故选A．点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m/" n ．易错点的得到连加进位数的个数．5、有下列说法：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等。
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二次根式的乘法计算
例1．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号里面
（1） （2） （3）
（4） （5） （6） 例2．计算题 （1） （2） （3） （4） 例3．化简
（1） （2） （3）
例4.计算、化简 （4） （5） （6）（7）（） （8）（） 例5．求值
（1）当时，求的值； （2）当时，求的值. 针对性训练：
1.选择题：
（1）若，则化简的结果得
（A ） （B ） （C ） （D ）0
（2）等式成立的条件是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（3）若，则等于
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．将根号外的数移到根号内
（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8） 3．化简
（1） （2） （3） （4）（）
（5） （6） （8） （9） 53-3.01018326162142-2912-2712⋅)33(44-⋅4548⋅)212(10-⋅-226061-9000025.016.0⨯⨯2
2)71()731(-84252.0b a 610
364b
a b b 42-b a 3250<b 2211b a -b a <2
11=x 2244x x x +--3-=a 4152+-⋅-a a a 1<a 2)1(1---a a a 22-2a 2-a a a a -⋅+=-⋅+11)1()1(1-≥a 1≤a 11≤<-a 11≤≤-a 42)9(+=a A A 32+a 22)3(+a 22)9(+a 92+a 33717x 2x x 2a
a --11)1(331x x x
y x 22211b a ab +22ab 2327bc a 2)(n m +2)2(-x 2≥x 3223y x y x +246b a a +ab a 102⋅x
z z y y x ⋅⋅
4．已知长方形是，宽是，求与长方形的面积相等的圆的半径.
5．求值，其中.
6．比较大小（1）和； （2）和. 7.计算：
（1）；（2）. 二次根式的除法：
例1.计算题 （1） （2） （3） （4） （5）（7） （8） （9）（）
例2．化简求值
（1），其中，； （2），其中，，. 例3．求值：已知实数、满足，求的值. 针对性训练：
1．化去根号内的分母 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 2．计算题
（1） （2）（3） （4） cm 140πcm 35π22)2()1(+--b a 3,14==b a 3131-
7121-563-653-5433112785⋅⋅-)2())((a
x ab bx x a b a x -⋅--862123÷⋅)63
1(205315-÷⋅5221)1581(3223÷-⨯32632x xy x ⋅÷)22()21
(3x x y xy -⋅-÷)1843(3211233xy
xy x -÷⋅)()5(3232a
b b a a b ⋅-⋅22111n m n m n m -÷-⋅+n m >b a b a ab b 31)32(2
332÷-⋅2
1=a 3=b n
m a a n m a n m -⨯+÷--2
22222323334=m 3=n 2-=a a b 0343114=--+
+-a b b a )1(2b
a b b a a -÷⋅733255137437n m 250x a
b 362
x y 9a b 72532547y x 26
2139922112+-x x 184336482-⋅412234819÷32)3423(÷-222230
34125-+
（5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） 3．化简（1）
（2）（3） （4） 4.计算：
（1）； （2）（3） （4） （5） （6）（） 5．求值（1）已知，求的值；（2）已知，求的值
6.观察下列各式：
请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来 7
．求和： 2
35417.053.11114512÷-216941÷b ab 8163÷y
x xy 55÷-).4(74a b b c a c -÷⋅78444184252.0b a a 2827n m 983262432+-75357535++-x y y x y xy x -+-21
23123-++-mn 89)
(725y x x -y x >2,5==b a b
a b a +-25=a 531a a a ++===1
1431321211+++++++++n n。