韦达定理及其推广
韦达定理及其推广
设一元 n 次方程 a0 x 则有：
n
a1xn1 an1x an 0 的根为 xi (i 1,2,, n)
a1 xi (1) a 0
a1 xi (1) a 0
1 2
a2 xi x j (1) a 0
谢谢
请多多指正
有了上述方法，我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了。 （若用第一种方法需要求出根，而三次方程求根公式表示较复杂，故不采用该x3 是方程 ax3 bx2 cx d 0(a 0) 的根
a( x x1 )(x x2 )(3 ) x 2 a( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) x ax 1 x2 x3 0(a 0)
考虑到题目的特殊性，方程最高只有 7 次，再由有理根定理（或 韦达定理最后的求积式）可知方程的根必定是 an 的正约数，这对 题目的进一步优化铺平了道路。 先用有理根定理求出所有可能的方程的解，如果解的个数不到方 程的次数（根的个数定理），那么必定有重根，重根只需要用一 个数组存个数，然后枚举每一个个数，利用韦达定理前两个式子 进行检验即可。
所以 与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理。
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x1 x3 x2 x3 a d x1 x2 x3 a
先解方程，再检验韦达定理的正确性。
x 6 x 11x 6 0
3 2
韦达定理的推广：
韦达定理 及其推广
首先我们考虑一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
韦达定理的推广及应用论文
韦达定理的推广及应用论文韦达定理，又称为魏尔斯特拉斯定理，在数学中是一个重要的定理之一。
它描述了若一个函数在一个闭区间上连续，在开区间上可导，则在这段区间上存在某个点，使得该点的导数等于该函数在这个区间内的平均变化率。
韦达定理的推广是数学研究中一个重要的课题，研究者们在推广韦达定理的过程中，不仅仅证明了更一般的定理，而且也发现了一些新的定理和应用。
下面将详细讨论几个比较重要的推广及应用：1. 高阶韦达定理：高阶韦达定理给出了函数的高阶导数与函数在闭区间上的平均变化率之间的关系。
具体地说，对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上存在一个点c，使得f^{(n)}(c)等于函数f(x)在[a,b]上的平均变化率。
高阶韦达定理的推广证明相对复杂，但有很多应用，特别是在数学分析和物理学中。
2. 广义韦达定理：广义韦达定理对原定理的条件进行了一定的放宽，并得到了一般函数的连续性及可导性的推广。
具体地说，广义韦达定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，并且在开区间(a,b)上可导，则存在某个点c，使得f^\prime(c)等于f(x)在[a,b]上的平均变化率。
广义韦达定理的应用非常广泛，尤其在微积分、积分学和实际问题的研究中。
3. 韦达替代法则：韦达定理的推广还涉及到微积分中的一类重要的积分替代法则，即韦达替代法则。
韦达替代法则是一种可以将积分问题转化为求导问题的方法。
具体地说，如果我们要求解某个定积分，韦达替代法则告诉我们，可以通过找到一个合适的函数g(x)，使得该函数的导数g^\prime(x)等于被积函数f(x)，然后用g(x)替代原函数f(x)，从而将定积分转化为不定积分，从而更容易求解。
韦达定理的推广及应用在数学研究和应用中都起到了重要的作用。
通过推广韦达定理，使其适用于更一般的场景，并且发展出了许多新的定理和方法，为数学分析、微积分、实际问题的研究和解决提供了有力的工具。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围摘要：一、韦达定理简介1.韦达定理的概念2.韦达定理的历史背景二、韦达定理的适用范围1.多项式的系数2.复数域上的韦达定理3.实数域上的韦达定理三、韦达定理在数学中的应用1.在代数中的应用2.在几何中的应用四、韦达定理的限制和扩展1.韦达定理的限制条件2.韦达定理的扩展和推广正文：韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于16世纪提出的一个数学定理。
该定理为我们解决代数问题和几何问题提供了一个强大的工具，具有重要的理论和应用价值。
韦达定理的基本内容是：对于任意一个n次多项式方程，假设其根为x1, x2, ..., xn，那么这些根的和、积以及它们的和与积的关系都可以用系数表示。
具体来说，设多项式方程为a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ...+ a_1x + a_0 = 0，那么有：x1 + x2 + ...+ xn = -a_1/a_nx1x2 + x1x3 + ...+ x_(n-1)xn = a_2/a_nx1x2x3 + ...+ x_(n-2)x_(n-1)xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n...x1x2...xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n韦达定理的适用范围非常广泛，不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在实数域上，韦达定理可以帮助我们求解多项式的根，以及根与系数之间的关系；在复数域上，韦达定理也有类似的结论。
此外，韦达定理在代数和几何中都有重要的应用。
在代数中，韦达定理可以用于解决诸如因式分解、方程根的性质等问题。
例如，我们可以利用韦达定理求解二次方程的根，从而得到其因式分解形式。
同时，韦达定理还可以帮助我们研究方程根的性质，如根与系数之间的关系、根的判别式等。
在几何中，韦达定理可以用于解决诸如圆的性质、椭圆的性质等问题。
例如，对于椭圆的性质，我们可以利用韦达定理求解其长轴和短轴的比值，从而得到椭圆的离心率。
高等代数的笔记杂记——韦达定理和特征多项式和特征值
⾼等代数的笔记杂记——韦达定理和特征多项式和特征值
韦达定理的推⼴形式：
特征多项式|λI-A|⼀定是关于λ的n次多项式，λ^n的系数⼀定是1，由韦达定理和迹函数的性质：tr（A）=tr（P^-1*diag*P）=tr(diag*P^-1*P)=tr(diag)=所有特征值（包括重复的）之和
则有λ^(n-1)的系数⼀定是-tr（A），常数项就是a0就是（-1）^n * |A| (常数项就是令λ为零，那么就有常数项）
相抵类也是说本质上同样都是⼀个从U到V的映射只不过在两个空间中基的选择不同⽽使得其对应的矩阵不⼀样。
对⾓化中最好的⽅式：若A~diag｛……｝，则有T-1 A T = diag｛｝，其中T就是⼀个由特征向量所构成的矩阵。
三次韦达定理公式
三次韦达定理公式
韦达定理的三个公式是x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a，△=b^2-4ac，韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项），韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系；无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理；判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
n次韦达定理公式
n次韦达定理公式n次韦达定理是数学中的一个重要定理，它是韦达定理的推广。
韦达定理是指，对于一个n次多项式的根，可以通过对每个根取负并相乘，再除以最高次项的系数，得到一个n-1次多项式的系数之和。
而n次韦达定理则是将这个过程推广到n次多项式的系数之和。
n次韦达定理可以用一个公式来表示：假设有一个n次多项式P(x)，它的根为x1，x2，…，xn。
那么可以用下面的公式来表示n次韦达定理：P(x) = (x-x1)(x-x2)…(x-xn) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an其中，a1，a2，…，an-1，an分别是P(x)的系数。
根据n次韦达定理，a1，a2，…，an-1，an可以通过根x1，x2，…，xn来表示。
我们来看一下n次韦达定理的原理。
假设我们有一个n次多项式P(x)，它的根为x1，x2，…，xn。
那么根据因式定理，我们可以将P(x)表示为n个一次因式的乘积：P(x) = (x-x1)(x-x2)…(x-xn)接下来，我们将P(x)展开，得到一个n次多项式。
展开后，P(x)的最高次项系数为1，其他系数为各个根的和的相反数。
即：P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an其中，a1，a2，…，an-1，an分别是P(x)的系数。
那么，根据n次韦达定理的定义，我们可以得到以下结论：a1 = -(x1 + x2 + … + xn)a2 = x1x2 + x1x3 + … + xn-1xna3 = -(x1x2x3 + x1x2x4 + … + xn-2xn-1xn)…an-1 = -(x1x2x3…xn-2xn-1)an = (-1)^n * (x1x2x3…xn)通过以上推导，我们可以得出结论：n次多项式的系数之和可以通过根来表示，同时也可以通过根的组合来计算。
接下来，我们来看一下n次韦达定理的应用。
n次韦达定理可以用于求解多项式的根，或者通过根来计算多项式的系数之和。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围摘要：一、韦达定理简介1.韦达定理的定义2.韦达定理的发现者二、韦达定理的适用范围1.多项式的系数2.复数域上的韦达定理3.实数域上的韦达定理三、韦达定理的应用1.代数中的应用2.几何中的应用3.三角函数中的应用四、韦达定理与其他定理的关系1.笛卡尔定理与韦达定理的关系2.完全平方公式与韦达定理的关系正文：韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的。
这个定理在代数学中有着广泛的应用，它为我们解决代数问题提供了一个强有力的工具。
首先，让我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理是一个关于多项式系数的定理，它告诉我们，如果多项式方程的根已知，那么我们可以通过根与系数之间的关系，求得多项式的系数。
这个定理的表达式为：若ax^2 + bx + c = 0的两根为α、β，则有α + β = -b/a，αβ = c/a。
韦达定理不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在复数域上，韦达定理的形式略有不同，但本质相同。
复数域上的韦达定理可以推广到更高次的方程，例如三次方程和四次方程。
韦达定理在代数学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、二次方程、三次方程等。
此外，韦达定理还可以帮助我们理解几何图形，例如在求解椭圆、双曲线和抛物线的性质时，韦达定理可以发挥重要作用。
在三角函数中，韦达定理也有应用，例如求解正弦函数和余弦函数的性质。
韦达定理与其他一些著名定理也有密切关系。
例如，笛卡尔定理与韦达定理在某些情况下可以相互转化。
另外，韦达定理与完全平方公式也有联系，通过完全平方公式，我们可以将韦达定理推广到更高次的方程。
总之，韦达定理在代数学中具有重要地位，它的适用范围广泛，既可以应用于实数域，也可以应用于复数域。
韦达定理在解决代数问题和几何问题中都发挥着重要作用，同时它与其他一些著名定理也有着密切关系。
三次方韦达定理
三次方韦达定理
三次方韦达定理（Vieta's formulas for cubic equations）是一个用来计算三次方程根的公式。
它由法国数学家François Viète 于16世纪提出。
设三次方程为 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其根为x1, x2, x3。
根据韦达定理，可以得到以下关系式：
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1x2 + x2x3 + x1x3 = c/a
x1x2x3 = -d/a
这些关系式给出了根与系数之间的对应关系，可以通过这些关系式求解根。
韦达定理也可以推广到高次多项式方程。
需要注意的是，韦达定理只适用于一般形式的三次方程，如果方程有重根或复数根，则需要根据具体情况进行特殊处理。
此外，韦达定理还有一个拓展应用，可以用来计算三次方程的系数与根之间的关系。
如果已知三次方程的根为x1, x2, x3，根据韦达定理的逆推公式，可以得到如下关系：
a = -1/3 * (x1 + x2 + x3)
b = 1/3 * (x1x2 + x2x3 + x1x3)
c = -1/3 * (x1x2x3)
d = 1/3 * (x1x2x3)
通过这些关系式，可以从已知的根求出三次方程的系数。
韦达定理的推广及若干应用
摘要初等代数是研究数学的代数运算的理论和方法，比如，研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科.初等代数研究主要的内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学.高等代数在初等代数的基础上进一步扩充研究对象和研究范围，从最简单的一元二次方程开始，更深层的继续讨论三次、四次方程以及高次方程，探索一元高次方程的求解方法.韦达定理是初等代数中最重要的内容之一，它揭示了一元二次方程中根与系数的基本关系.本文将从韦达定理在一元二次方程中的简单应用，初步讨论一元二次方程根与系数的基本关系，然后利用高等代数中的多项式理论将其推广到一元高次方程中，重点讨论一元高次方程中根与系数的关系，并介绍它在数学中的若干应用.关键词：代数方程；初等数学；韦达定理的推广；根与系数的关系；韦达定理AbstractElementary algebra is the theory and method that studies the algebraic operation of mathematics. For example, it studies the real number and the complex number, as well as the mathematics branch discipline of the theory and method of the polynomial algebraic operation that takes the real number and complex number as the coefficient. The main content of the Elementary algebra research is to solve equation and thus algebra has been interpreted as the science of equations for a long time. Advanced algebra in the elementary algebra on the basis of the further expansion of the research object and research scope. Starting from quadratic equation that is the most simple, deeper continues to discuss three, four equations and equations of higher, and explores the solution method of high-order equations method with one unknown.Veda’s theorem is one of the most important elemen ts in the Elementary in the Elementary Algebra and it reveals the basic relations between the root and the coefficient in quadratic equation with one unknown. From the simple application of the Veda’s theorem in quadratic equation, this article will preliminarily discuss the relationship between the root and the coefficient of quadratic equation, and then promotes it high-order polynomial equation by using the polynomial theory in higher algebra. It focuses on the discussion of the relationship between the root and coefficient of equation with high-order polynomial equation, induction the general form of Veda’s theorem in the equation with one unknown, finally introduced several applications in some areas of mathematics.Keywords:Algebraic equation; Elementary Mathematics; The promotion of Veda’s theorem; R elationship between the roots and coefficients; Veda’s theorem;目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)第二章韦达定理概述及简单应用 (2)第一节韦达定理概述 (2)第二节韦达定理的简单应用 (2)第三章韦达定理的推广及其若干应用 (6)第一节韦达定理的推广 (6)第二节推广的韦达定理的若干应用 (9)致谢 (13)参考文献 (14)第一章前言一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，在方程论中有着重要的应用，利用它可以进一步讨论方程的根的性质，也可把一些数学问题转化为一元二次方程来讨论.前人研究的主要内容是对韦达定理的各种证明及证明方法，以及韦达定理在一些一元二次方程、一元三次方程中的简单应用，并对韦达定理作了一定的推广，并广泛应用于数学的某些分支学科，在方程论的研究中起到了积极的作用.本文研究的主要内容是韦达定理的推广，借鉴前人的一些研究经验和成果，进而用高等代学中的多项式理论进行研究，推广并证明韦达定理的推广.韦达定理说明了一元二次方程中根与系数之间的关系，本文第二章介绍韦达定理的基本理论及其在一元二次方程中的简单应用，第三章第一节进一步讨论韦达定理并将其推广到一元()1n n≥次方程中，进而推广证明一元高次方程中根与系数的关系，第二节主要介绍韦达定理的推广理论在一元高次方程中的若干应用，进一步拓展说明推广的韦达定理在解决一元高次方程问题中的作用和意义.第二章 韦达定理概述及简单应用第一节 韦达定理概述据历史记载，在韦达那个年代，有一个部落给数学家提出了一个45次方程，各国数学家互相挑战.法国国王便将这个充满挑战的问题交给了弗朗索瓦·韦达(Veda's formulas)，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息随即传开，让当时整个数学界都为之震惊.他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，不久以后并发现了伟大的韦达定理.韦达定理[]1：在一元二次方程20ax bx c ++=中，当240b ac -≥时，方程的两根12,x x 满足如下关系:12b x x a +=-,12cx x a⋅=.韦达定理的逆定理[]1：如果12,x x 满足12bx x a +=-,12c x x a⋅=，那么12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根.第二节 韦达定理的简单应用韦达定理在的应用非常广泛，主要体现在初等代数、解三角形、解析几何等方面，下面简单介绍几个例子.例1、若12,x x 是2540x x +-=的两个根，试求2212x x +.解析 因为12,x x 是方程2540x x +-=的两个根，由韦达定理可知12125,4.x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩ 因此()()()2222121212252425833.x x x x x x +=+-⋅=--⨯-=+=归纳 此类问题的关键是所求的代数式进行变形，化为含有12x x +与12x x ⋅的代数式，然后把12x x +与12x x ⋅的值作为一个整体代入该代数式计算即可.例2、已知△ABC 的边长分别为,,a b c 且a b c >>，2b a c =+，b 为正整数，若22284a b c ++=，求b 的值[]2.解析 根据题意得2,b a c =+○122284.a b c ++= ○2○2可变换为 ()22284a b ac b +-=- ○3将○1代入○3得25842b ac -= ○4由○1○4得22,584.2a cb b ac +=⎧⎪⎨-=⎪⎩根据韦达定理的逆定理可知，a c 、是关于x 的一元二次方程22584202b x bx ---=的两个不等的实根.则必有2220,584=4425840.2a b c b b b ⎧⎪>>⎪-⎪∆-⨯>0,⎨⎪⎪->⎪⎩ 解得216b <<28，又b 为正整数，因此5b =.归纳 本题看似非方程问题，但是经过转化变形也就变成关于方程的数学问题了.巧妙地应用韦达定理，可以使问题简单化.例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，被直线21y x =+求此抛物线方程[]2.分析：根据题意得知，该问题与直线和抛物线方程都有关系，可以联立方程组解决问题.解 设抛物线方程为22y px =，由题意得22,2 1.y px y x ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得()242210.x p x +⨯-+=由韦达定理得12122,21.4p x x x x -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是有=解得2p =-或6p =.故抛物线方程为24y =-或212y =.归纳 本题由联立方程组，消去一个未知量，也就得到了一个一元二次方程，自然就联想到根与系数的关系了.例4、求所有实数k ，使一元二次方程()()2110kx k x k +++-=的根都是整数. 分析：本题是含有参数一元二次方程，所以要进行必要的讨论，根据一元二次方程根的情况可知，根与系数是有关系的，那么应用韦达定理也就可以解决问题了.解 ()1当0k =时，原方程为1x =，则0k =满足条件；()2当0k ≠时，根据方程的根的个数可知()()22=1413610.k k k k k ∆+-+=-++≥即11k -≤≤+ 设方程的两根为12,x x ，则由韦达定理可知1212111,111.k x x k kk x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪⋅==-⎪⎩由两式相减得12122,x x x x +-⋅=-那么我们可以得到()1212112 3.x x x x ⋅-++=+=即()()121113x x --=⨯，所以1112222111,13,13,13,1 3.1 1.1 1.1 1.x x x x x x x x -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩ 126x x +=或12x x +=-2.讨论,当126x x +=时，116k --=，此时1;7k =- 当122x x +=-时，112k--=-，此时 1.k =因为k 的值满足题意，即11117<-<<+ 因此17k =-或1k =综上所述，k 的值为0、17-或1.第三章 韦达定理的推广及其若干应用第一节 韦达定理的推广代数基本定理[3]：在复数域里，一元()1n n ≥次方程至少有一个根.多项式定理[3]：在复数域中，任何()1n n ≥次多项式恰有n 个根（重根按重数计）.设()f x 是一元()1n n ≥多项式，那么()0f x =叫做一元n 次方程，一元n 次方程的一般形式是()1201210nn n n n f x a x a xa x a x a ---=+++++=(其中00,a n N ≠∈).当3n ≥时,称为一元高次方程[]3.根据代数基本定理可知，任何一元()1n n ≥次方程，在复数集中至少有一个根.由多项式定理可知，在复数域中,任何()1n n ≥次多项式必有n 个根.根据第二章所述韦达定理在一元二次方程中的基本形式，先作以下猜想： 在一元n 次方程()1201210n n n n n f x a x a x a x a x a ---=+++++=（其中00,3,a n n N ≠≥∈）中，方程的n 个根1231,,,,,n n x x x x x -有如下关系：（3.1） ()()112310212233421103123234345321210111231234012310,,,1,1.n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x x x x x a a x x x x x x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x a a x x x x x x x x a a x x x x x a -------------⎧+++++=-⎪⎪⎪+++++=⎪⎪⎪+++++=-⎪⎨⎪⎪⎪+=-⎪⎪⎪=-⎪⎩那我们接下来就试着用多项式的相关理论推导证明，在一元高次方程中根与系数的关系（3.1）是否存在.设有一元()1n n ≥次多项式()12121nn n n n f x x a xa x a x a ---=+++++ （3.2），在复数域上，()f x 必有n 个根（重根按重数计），设12,,n x x x 为()f x 的n 个根，由多项式定理可知，在复数域中，()f x 一定可以分解成有n 个一次因式的乘积，即()()()()()()1231n n f x x x x x x x x x x x -=-----.[]2 （3.3）将（3.3）的右端展开并合并同类项，然后将其各次项的系数与（3.2）右端的各项系数相比较，得出如下关系：()112;n a x x x =-+++ 212131;n n a x x x x x x -=+++()312312421;n n n a x x x x x x x x x --=-+++()()11121231;n n n n a x x x x x x ---=-⋅+⋅()121.n n n a x x x =-其中第m ()1,2,,m n =个等式的右端是一切可能的m 个根的乘积之和再乘以(1)m -.[]3由以上结论可得，若在多项式()120121n n n n n f x a x a x a x a x a ---=+++++ （3.4）中，首项系数01a ≠（且00a ≠），与（3.2）的各项系数相比可知，只要把（3.4）中各项的系数都乘以1a 就变成了（3.2）的形式了，根据多项式的有关性质可知，变化之后多项式的根是不会改变，这时多项式的根与系数的关系变化成如下形式：()1120;n a x x x a =-+++2121310;n n a x x x x x x a -=+++()3123124210;n n n a x x x x x x x x x a --=-+++()()11121231;n n n n a x x x x x x a ---=-+()1201.nn n a x x x a =-在一元n ()n ≥3次方程中，设1231,,,,n n x x x x x -方程122012210n n n n n n a x a x a x a x a x a ----++++++= ()00a ≠ （3.5）的n 个根，根据上述推导结论，可得出如下结论：11230;n a x x x x a ++++=-2122310;n n a x x x x x x a -+++=3123233345210;n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-()11121231;n n n n a x x x x x x a ---+=- ()123101.nnn n a x x x x x a -=- 因此，（3.1）成立.这就是韦达定理在一元高次方程中的基本形式，因此韦达定理同样适用于一元高次方程.[]2前面所讲的内容知道，韦达定理在一元二次方程和一元高次方程中是同样适用的，那么在一元一次方程中是否也同样适用呢？设有一元一次方程01=0a x a +（其中00a ≠），则方程的根x 满足如下关系：1a x a =-这就是一元一次方程中根与系数的关系，即韦达定理在一元一次方程中的形式，因此韦达定理同样适用于一元一次方程.综合韦达定理在一元一、二次方程的形式及其推广到一元高次方程中的基本形式，可以得出韦达定理在一元()1,n n n N ≥∈方程中的一般形式.韦达定理的推广：在一元()1n n ≥次方程122012210n n n n n n a x a x a x a x a x a ----++++++= (00a ≠)中，一般情况下，方程的n 个根1231,,,,,n n x x x x x -满足如下关系：11230;n a x x x x a ++++=-212233410;n n a x x x x x x x x a -++++=3123234345210;n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-()11121231;n n n n a x x x x x x a ---+=- ()123101.nnn n a x x x x x a -=- 这就是韦达定理的推广,即一元()1n n ≥次方程中根与系数的关系.第二节 推广的韦达定理的若干应用推广的韦达定理主要应用于求一元高次方程中根与系数的关系，巧妙地运用这种代数关系可以为乏味的数学学习带来很多兴趣，同时也为解题提供许多方便，广泛应用于高等代数、解析几何、方程论和多项式等数学的诸多领域.下面仅举一些例子以示说明，更多的应用还有很多.例5、已知方程3214131890x x x --+=的三个根的倒数成等差数列，解这个方程[]5.解析 根据题意可知方程()3291813140f x x x x =--+=的三个根成等差数列，不妨设这三个根分别是,123,,x x x （其中12x x a =-，32x x a =+），由推广的韦达定理可得123232x x x x ++==，解得223x =.由()()()()232347137f x x x x x x ÷-=--=+-，可知()0f x =的另外两个根是11x =-，37.3x =因此，原方程的根是23，1-与73. 例6、解方程()()()267341=6x x x +++.解析 原方程可化为()()()267686672x x x +++=. 设()267a x =+，()()()26866671b x x x =++=+-，显然有()()1,72.a b a b +-=⎧⎪⎨⋅-=-⎪⎩ 应用韦达定理的逆定理，可构造一元二次方程2720y y --=，则a ，b -为该方程的两个根.解得8y =-或9y =，由于()2670a x =+≥，所以9a =，8b -=-.即()2679x +=，即()()32350x x ++=，解得123x =-，253x =-.因此原方程的根为25,.33--例7、已知方程54322782650x x x x x -+-++=有两个根是2i -，i ，解此方程[]4. 分析：该题为已知两个根，求方程的余下的根，因此可应用韦达定理求解.解 由于实系数方程的非实复根成对出现且有相同的重数，故2i +，i -也是此方程的根.由根的个数定理可知此方程有5个根，不妨设第5个根为5x ，则有()()()()()()522.f x x i x i x i x i x x =---+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由韦达定理可知()()()()5551222i i i i x =-⋅-⋅+⋅⋅-⋅ 解得51.2x =-故原方程的5个根分别为12,,2i i ±±-.例8、若方程()65432175735162417640f x x ax x x x x c =++-+-+=的6个根分别为1,2,3,4,5,6，求a 和c 的值.解析 设123456,,,,,x x x x x x 为方程()0f x =的6个根，由推广的韦达定理得12345612345612345621,123456720.x x x x x x a x x x x x x c +++++=-=+++++=⋅⋅⋅⋅⋅==⨯⨯⨯⨯⨯=因此，21a =-和=720c .归纳 本题为6次方程，系数也很大，初看好像只有一种办法，那就是将()()()()()()()1234560f x x x x x x x x x x x x x =------=展开然后比较系数得出答案，这是一个非常巨大的体力工作，如果巧妙地运用推广的韦达定理，便能很快求出所需答案.例9、已知()31f x x x =++为一个三次多项式，()g x 也是一个三次多项式，满足()01g =-，且()0g x =得三个根恰好是()0f x =的三个根的平方，求()9g 的大小.解析 设123,,x x x 为方程32+010x x x ++=的三个根，由韦达定理知1231223311230,1,1.x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 则有()()()()()()()22221231231223312222222122331122331123123212320212,212101,1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧++=++-++=-⨯-=-⎪⎪++=++-++=-⨯-⨯=⎨⎪=⎪⎩ 因此，原方程为()3221g x x x x =++-，故()32992991899g =+⨯+-=. 例10、求有单根1、2-和有重根3的四次方程.解析 由题意可得，设四次多项式()()()()2123f x a x x x =-+-，由推广的韦达定理可得()()()()()()()()()1233512131323331,12131323331,12312313323321,123318.--++=-⨯-+⨯+⨯+-⨯+⨯=⎧⎪⨯-+⨯+⨯+-⨯+⨯=⎪⎨-⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯+-⨯⨯=⎡⎤⎪⎣⎦⎪⨯-⨯⨯=-⎩ 故()432521180f x x x x x =-++-=，即所求四次方程为432521180x x x x -++-=. 归纳 此类型题目为已知根求一元高次方程，根据推广的韦达定理，可以反推得出一元高次方程的各项系数，进而推得一元高次方程.例11、(2011湖北孝感)已知关于x 方程()22210x k x k --+=有两个实根12,.x x（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.解析 （1）由题意可知，可得22244(1)40b ac k k ∆=-=--≥，解得12k ≤.（2）由12121x x x x +=-可得，()12=21x x k +-，又12k ≤，因此()21k -，()2211k k --=-，解得11k =（舍），2 3.k =- 所以，k 的值是3-.归纳 巧妙地将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种学习数学解题方法.同时应该注意考虑方程的根的个数问题，即根式判别式的取值范围.例12、已知一元二次方程24510x x ++=，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程.解析 由题意可设24510x x ++=的两根为12,x x ，那么所求的方程的根为11x 和21x .由推广的韦达定理可知12125,41.4x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以1212121212115,111 4.x x x x x x x x x x +⎧+==-⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 因此，根据韦达定理可得，所求方程为2540x x ++=.归纳 本题巧妙地运用根与系数的关系，把两个方程的根与系数联系起来，为解题提供便道.总结 推广的韦达定理在初等代数、解析几何、方程论、多项式及其他数学领域应用极为广泛，巧妙地运用推广的韦达定理解决一些数学问题，不但可以为解题提供便利之道，还有利于激发学习数学的积极兴趣，并养成严谨的解题习惯.致谢本毕业论文得以顺利完成，首先应当归功于王琪教授的精心指导.无论是选题、资料整理还是在论文撰写等各方面，他都给予大量的指导和帮助，使我不但按时完成了论文，而且还从许多书刊中学到许多课堂上无法学到的知识，真的是受益匪浅，特致以深深的感谢.其次，感谢数学与信息科学学院的领导和教师给予大量的支持，以及贵阳学院有关领导和工作人员的支持与配合.然后，感谢邹兴文先生和周万琼女士的积极支持和大力帮助，在我们共同完成论文的同时，也从各自的身上学到许多以前没有学到的优点，可以说是互相受益成长了.最后要衷心感谢生我养我的父母，您们辛苦了，为了使我能上一个大学，您们付出太多的汗水与操劳，感谢您们对我的养育之恩，感谢您们一直以来对我的支持！感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文.由于本人的学术水平有限，对本文的写作难免有不足之处，恳请各位老师和学者批评指正！参考文献[1] 人民教育出版社中学数学室. 全日制普通高级中学教科书( 必修). 《数学》第二册(上)[M].北京:人民教育出版社,2011.[2] 杨艳丽,王广福. 韦达定理及其推广应用[J]. 云南保山学院学报,2011(5): 86-88.[3]北京大学数学系几何与代数教研室. 高等数学. 第三版[M].北京: 高等教育出版社,2003.[4] 付兴宏,罗雨滋. 浅谈多项式理论在初等代数中的运用[J], 辽宁师专学报, 199(3):12-15.[5] 余元希,田万海,毛宏德. 初等代数研究(下册)[M]. 北京:高等教育出版社,1988.2.。
韦达定理记忆口诀
韦达定理记忆口诀韦达定理（Vieta's formulas）是代数学中的一组公式，由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出。
它是关于多项式的根与系数之间的关系，是代数方程学中非常重要的理论基础。
韦达定理是学习代数的基础，掌握了韦达定理可以更好地理解多项式的根和系数之间的关系。
韦达定理可以表示为以下两个公式：首先，对于一个n次多项式：P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀它的n个复数根记为x₁, x₂, ..., xₙ（包括重根），则有以下关系式：x₁ + x₂ + ... + xₙ = - aₙ₋₁ / aₙ其中，aₙ和a₀分别表示多项式P(x)中的最高和最低项的系数。
第二个公式是关于根的乘积的关系：x₁x₂...xₙ = (-1)^n * a₀ / aₙ这个关系式表明多项式的各个根之积等于常数项a₀与最高次项系数aₙ相除再乘以(-1)的n次幂。
根据韦达定理，我们可以通过已知多项式的根来求解多项式的系数，或者通过已知多项式的系数来推测多项式的根的性质。
这在代数方程的求解和理论研究中都是非常有用的。
此外，韦达定理还可以推广到关于多项式的各个系数之间的关系。
通过将多项式按照系数依次相乘的方式展开，我们可以得到以下公式：aₙ₋₁ = - (x₁ + x₂ + ... + xₙ) * aₙaₙ₋₂ = (x₁x₂ + x₁x₃ + ... + xₙ₋₁xₙ) * aₙ...a₁ = (-1)^(n-1) * (x₁x₂...xₙ₋₁ + x₁x₂...xₙ₋₂ + ... +x₂x₃...xₙ) * aₙ根据这些公式，我们可以通过已知多项式的根来推测多项式的各个系数之间的关系，或者通过已知多项式的系数来推测多项式的根的性质。
总之，韦达定理是代数方程学中非常重要的理论基础，它描述了多项式的根与系数之间的关系。
n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理是一个关于多项式根及系数之间的关系。
根据韦达定理，设一个n次多项式P(x)的根为r1, r2, ..., rn，其中r1, r2, ..., rn可能重复或复数根，那么该多项式的系数与根
之间有如下关系：
1. 一阶系数和：c1 = -(r1 + r2 + ... + rn)，即该多项式的常数项
与根的和取负数相等。
2. 二阶系数和：c2 = r1*r2 + r1*r3 + ... + (n-1)rn-1*rn，即该多
项式的一次项系数与两两相乘的根的和相等。
3. 三阶系数和：c3 = -(r1*r2*r3 + r1*r2*r4 + ... + (n-2)rn-2*rn-
1*rn)，即该多项式的二次项系数与三两相乘的根的和取负数
相等。
依次类推，韦达定理可以推广到任意阶系数和与根之间的关系。
韦达定理的一个重要应用是求解多项式的系数。
通过已知根与系数和的关系，可列立方程组来求解多项式的系数。
韦达定理
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。
他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
给出三次方程不可约情形的三角解法。
著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理
【原创实用版】
目录
1.高次方程的韦达定理的概念和背景
2.韦达定理在高次方程中的推广
3.高次方程的韦达定理的实际应用
正文
一、高次方程的韦达定理的概念和背景
韦达定理，又称维达定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在 16 世纪提出的一个数学定理。
它主要应用于一元二次方程的求解，即在已知一元二次方程的两个根 x1 和 x2 的情况下，可以通过韦达定理求出这两个根的和与积分。
随着数学的发展，韦达定理逐渐被推广到高次方程中，并成为解决高次方程的重要工具之一。
二、韦达定理在高次方程中的推广
在高次方程中，韦达定理的推广形式如下：
对于一个 n 次方程 AiXi0，它的根记作 X1, X2,..., Xn，我们有Xi(-1)1A(n-1)/A(n) XiXj(-1)2A(n-2)/A(n)...Xi(-1)nA(0)/A(n)。
其中，求和和求积的符号分别表示求和和求积。
这个推广形式的韦达定理在高次方程的求解中具有重要意义，它可以帮助我们更快地求出高次方程的根。
三、高次方程的韦达定理的实际应用
高次方程的韦达定理在实际应用中有广泛的应用，尤其在物理、工程和计算机科学等领域。
例如，在求解弹簧振动的周期、计算电路的电流和电压等过程中，都需要用到韦达定理。
此外，韦达定理还可以用来判断高次方程的根是否为实数，以及根的重数等。
综上所述，高次方程的韦达定理是解决高次方程的重要工具，它在数学、物理等学科领域有着广泛的应用。
韦达定理推广的证明
证明：当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,则：x1+x2=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]=[(-b)^2-Δ]/4a^2=4ac/4a^2=c/ a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0 则方程没有实数解韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数X围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须射影定理图掌握的.韦达定理推广的证明设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
高次方程和韦达定理的推广
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积
程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开
始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，
他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。
卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，
将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。
然而，这种失信大大激怒了塔塔利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。
1548年在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里.
他后来成为了四次方程求根公式的发现者
由p=-3ab可知
27a6 +p^3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。
在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到
结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方
直到他去世的时候才把这个公式传给了他的女婿和一个学生菲奥尔.
然而在15世纪近中.
非奥尔很不服气 于是约塔塔里亚进行比试
二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，
约定谁解出的题目多就获胜。
塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。
韦达定理的应用及推广
韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。
在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−bax 1x 2=ca 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−ba x 1x 2=c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1.求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=−b±√b 2−4ac2a可得x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−bax 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=ca2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−ba ，x 1×x 2=c a与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|三、 韦达定理的应用1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，1A2+1B 2，A −B（2）求以1A、1B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程解(1)：由韦达定理知{A +B =−b aA ×B =c a∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =b 2a2−2c a=b 2−2ac a 2A ３+B ３=(A +B)3−3AB (A +B )=−b 3a 3+3bc a 2=−b 3+3abca 31A 2+1B 2=A 2+B 2A 2B 2=b 2−2ac a 2÷c 2a 2=b 2−2acc 2A −B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√b 2−2ac a 2−2ca|=√b 2−4ac a 2=√b 2−4ac|a |解(2)：由韦达定理知{A +B =−ba A ×B =c a⟹ A 2+A +1+B 2+B +1=b 2−2ac a 2−ba+2=b 2−2ac−ab+2a 2a 2(A 2+A +1)(B 2+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −caa 2∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=02. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n)− x 1x 2(x 1n−1+x 2n−1)3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于54 ○2求使A 2B2+B 2A 2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0由韦达定理知{A +B =−1A ×B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54⟹9×a+44a−2=54⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a解○2 原式=(A+B )3−3AB (A+B )AB=1a+44a−3=4a a+4−3a+12a+4=1−16a+4所以a+4被16整除 所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0都有两个整数根。
高阶韦达定理公式(一)
高阶韦达定理公式(一)高阶韦达定理公式1. 韦达定理概述韦达定理是代数学中一项重要的理论定理，它描述了多项式函数在某点处的导数与多项式在该点处的值之间的关系。
高阶韦达定理是韦达定理的推广形式，用于求解多项式函数的高阶导数。
2. 高阶韦达定理公式高阶韦达定理公式如下：假设有一个n次多项式函数f(x)=a n x n+a n−1x n−1+...+a1x+ a0，其中a n≠0，则f(x)的k阶导数可以表示为：f(k)(x)=n!(n−k)!⋅a n x n−k+(n−1)!(n−1−k)!⋅a n−1x n−1−k+...+(n−k+1)!(n−k+1−k)!⋅a n−k+1其中，f(k)(x)表示f(x)的k阶导数，n!(n−k)!表示n的阶乘除以(n-k)的阶乘。
3. 解释和例子通过高阶韦达定理，我们可以方便地求解多项式函数的高阶导数。
下面通过一个例子来说明。
例子：考虑一个4次多项式函数f(x)=2x4−5x3+3x2+7x+ 1，我们想要求解它的3阶导数。
根据高阶韦达定理公式，我们可以得到：f(3)(x)=4!(4−3)!⋅2x4−3+3!(3−3)!⋅(−5)x3−3+2!(2−3)!⋅3x2−3+1!(1−3)!⋅7x1−3化简上述公式，得到：f(3)(x)=24x+60因此，原多项式函数f(x)的3阶导数为f(3)(x)=24x+60。
通过高阶韦达定理，我们可以轻松地求解多项式函数在任意阶数下的导数，这在数学和科学领域中具有重要的应用价值。
韦达定理推导公式6个
韦达定理推导公式6个韦达定理是中学数学中非常重要的一个定理，它在解决一元二次方程的问题时，作用可大啦！今天咱们就来好好聊聊韦达定理的 6 个推导公式。
先来说说韦达定理到底是啥。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a\neq 0$），它的两个根$x_1$和$x_2$有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
这就是韦达定理的基本内容。
咱们来推导第一个公式。
由$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$两边平方可得：$(x_1 + x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2$$x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2}$$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - 2\frac{c}{a} = \frac{b^2 -2ac}{a^2}$这就是第一个推导公式啦。
再来看第二个。
由$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 =\frac{c}{a}$，可得：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$所以$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$，这就是第二个推导公式。
接着第三个。
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$把前面推导出的$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$和$x_1^2 + x_2^2 =\frac{b^2 - 2ac}{a^2}$代入：$x_1^3 + x_2^3 = -\frac{b}{a}\left(\frac{b^2 - 2ac}{a^2} -\frac{c}{a}\right) = -\frac{b}{a}\frac{b^2 - 3ac}{a^2} = \frac{3abc -b^3}{a^3}$这就是第三个公式。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
韦达定理推广
韦达定理推广
韦达定理是数学中一个重要的定理，它指出三角形中三边长度的平方之和等于三角形内切圆半径的平方与三条角平分线长度的乘积。
但事实上，这个定理还可以推广到四边形、五边形和更高维度的图形中。
具体来说，对于一个$n$边形，我们可以将其分为$n-2$个三角形，然后根据韦达定理依次计算每个三角形的三条边长度平方之和与内切圆半径平方两者之比，再将这些数值相乘即可得到$n$边形的总面积。
这个推广过程在许多实际应用中非常有用，例如在土木工程中测量不规则形状的土地面积时，就可以通过将其划分为多边形，并利用韦达定理推广来得到准确的面积计算结果。
总之，韦达定理的推广为数学和实际应用提供了更多的可能性和工具，让我们能更好地理解和应用这个重要的定理。
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有了上述方法，我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了。 （若用第一种方法需要求出根，而三次方程求根公式表示较复杂，故不采用该x3 是方程 ax3 bx2 cx d 0(a 0) 的根
a( x x1 )(x x2 )(x x3 ) 0(a 0) 展开得 ax3 ( x1 x2 x3 ) x 2 a( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) x ax 1 x2 x3 0(a 0)
1 2
a2 xi x j (1) a 0 3 a3 xi x j xk (1) a 0 an xi (1) a 0
n
一元 n 次方程的韦达定理！
……
当然我们知道，二次方程韦达定理可以逆用，那么同样的，一元 n 次方程 的韦达定理也可以逆用，那么就可以解决方程式这道题目了。
考虑到题目的特殊性，方程最高只有 7 次，再由有理根定理（或 韦达定理最后的求积式）可知方程的根必定是 an 的正约数，这对 题目的进一步优化铺平了道路。 先用有理根定理求出所有可能的方程的解，如果解的个数不到方 程的次数（根的个数定理），那么必定有重根，重根只需要用一 个数组存个数，然后枚举每一个个数，利用韦达定理前两个式子 进行检验即可。
由于 x1 , x2 是方程 所以
ax2 bx c 0(a 0) 的根
a( x x1 )(x x2 ) 0(a 0) 展开得 ax2 a( x1 x2 ) x ax1 x2 0(a 0)
与原方程比较对应系数即可得到韦达定理。
b x1 x2 a c x1 x2 a
所以 与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理。
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x1 x3 x2 x3 a d x1 x2 x3 a
先解方程，再检验韦达定理的正确性。
x 6 x 11x 6 0
3 2
韦达定理的推广：
韦达定理 及其推广
首先我们考虑一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
b b 2 4ac x 2a
2b b x1 x2 2a a 4ac c x1 x2 2a 2a a
韦达定理！
一定要用求根公式推韦达定理吗？
我们不妨看看下面这种方法：
有了上面二次方程和三次方程的韦达定理，我们可以 推广到 n 次方程的韦达定理：（当然也可以用上面的方法进行证明，在此不多赘述）
设一元 n 次方程 a0 x 则有：
n
a1xn1 an1x an 0 的根为 xi (i 1,2,, n)
a1 xi (1) a 0
a1 xi (1) a 0
1 2
a2 xi x j (1) a 0
谢谢
请多多指正