线代习题答案(1)

线性代数习题及答案

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=

(1)

2

n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式4512312123122x x x D x x x

=的展开式中包含3x 和4

x 的项.

解： 设 123412341234

()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=

-∑

，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3

x 项有

(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-

4D 展开式中含4x 项有

(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

20000103000000

4； (2)12

30002030450001

. 【解】(1) D =(-1)τ

(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

(1)

2141

3121

1232

5062

-----； (2) ab

ac ae bd cd de bf

cf ef

-------； (3)100110011001a b c d

---； (4)

12342341341241

23

. 【解】(1) 12

50623121

0123250

6

2

r r D

+---=--; (2) 111

4111111

D abcdef abcdef --==------;

210110

111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d d

abcd ab ad cd --⎡--⎤

=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++

32122113314214

41

210

2341023410234

1034101130113

(4)160.104120222004410

1

2301110004

r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

==

=-------

7. 证明下列各式.

(1) 2

2222()1

1

1

a a

b b a

a b b a b +=-；

(2)

222222222

2

2

2

22

22

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)

(2)

(3)

(1)(2)(3)a a a a b b b b c

c c c

d d d d ++++++=++++++；

(3) 2

3

2

2

322

32

111()111a a a a b

b ab b

c ca b b c c c c =++

(4) 2000

0()

0000n n a b a b D ad bc c d c d

=

=-；

(5)

1

2

11

11

1111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)

13

23

2

23()()()2()2001

()()()()()2()21

c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b

a b a b a b a b --+--=--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 32

21

3142

41

222

2-2-2

232

2

21

446921262144692126

0214469212621

4469

2126

c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c

d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

23232

3

23

11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b

c

c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

2

22

1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c c ++---=++

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

2

3112

32

3

1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得