余式定理及因式定理的应用

初二数学竞赛培训专题：

余式定理及因式定理的应用

初二（ ）班 姓名： 学号： _

一、知识要点：

1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r

3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a b f 。

4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；

b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a

b f 。

二、余式定理应用：

1、（1）已知132)(3

-+=x x x f ， 求f (x )除以)1(-x 、()12+x 所得的余式； （2）设f (x )=2x 2

+kx +10除以2x –1余5，求k 的值；

（3）以x 2–3x –4除多项式f (x )与g (x )，分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f (x )+g (x ) 所得的余式。

2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ，求f (7)。

3、计算：（1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；

（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。

4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么？

（2）)(x f 除以12

-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么？

三、因式定理应用：

1、设x –2为f (x )=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。

2、已知x +1与x –2都是4324++-bx ax x 的因式，试求a 与b 的值。

3、设k 为负整数，若f (x ) = x 4 - 2x 3 + x 2 + kx - 3有整系数一次因式，求k 之值。

4、设αx 3 +βx 2 – 47x –15 有因式 3x +1 与 2x –3，则第三个因式是什么？

5、试证明：

(1)1-x 是的19-x 因式。

(2)a x -是的n n a x -因式。(n 是正整数)

(3)f (x )=(x +6)n –1可被x +5整除。(n 是正整数)

四、整系数一次因式检验法：

设f (x )＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f (x )之因式(其中a , b

为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则

（1）0,

c b c a n （2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f

例1、设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？ (1)2x –1 ，(2) x –2，

(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4

例2、把下列多项式分解因式：

(1)453+-x x (2)6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x

（5）3

1212165234--++

x x x x

五、用待定系数法求多项式：

技巧：若)(x f 除以)(x g 之余式为)(x r ，若)(x g 的次数为n ，则可设：011222211)(a x a x a x a x a x r n n n n +++++=---- 。

1、已知多项式()x f ，且()51=f ，()62=f ，则()x f 除以232

+-x x 的余式是什么？

2、)(x f 除以1-x 得余式5，)(x f 除以2-x 得余式7，则)(x f 除以)2)(1(--x x 的余式是什么？

3、设)3(≥n n 次多项式f (x )除以1-x ，2-x ，3-x 的余式分别是3, 7, 13,试求f (x )除以)3)(2)(1(---x x x 的余式？

4、)(x f 除以232+-x x 得余式3，除以342+-x x 得余式x 3，则)(x f 除以652

+-x x 的余式为何？

5、设多项式f (x )为三次多项式式，若f (1)= f (2)=f (3)= 0，f (4)=12，试求()x f ？

6、设多项式f (x )为二次多项式式，且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，求f (2002)。

7、设实系数f (x )= x 3+ax 2+bx +c 且 f (x ) 除以x +1 的余式为9 ，除以x 2–x +1 的余式为5x +2，试求a ,b ,c 的值。

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