高中数学知识点精讲精析 二阶行列式与逆矩阵

3 二阶行列式与逆矩阵
1．如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
是可逆的，则ad bc -≠0.
其中ab cd -称为二阶行列式，记作
a b c d ，即a b
c d
＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a b
c d
的展开式。

符号记为：detA 或|A| 2．定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1
det det det det d
b A A A
c a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
3．行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等 即T
D D = 转置行列式定义参见P11
性质2：用数k 乘行列式D 的某一行（或列）的所有元素所得到行列式等于kD ，
即行列式可以按行和按列提出公因数
如2 4 6 1 2 31 4 5231 4 56(1220624610)126 6 9
2 2 3
=⨯=⨯++---=-
性质3：互换行列式的任意两行（列），行列式值改变符号 推证：如果行列式中两行（列）相同，则此行列式值为零
性质4：如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 性
质
5
：
行
列
式
可
以
按
行
（
列
）
拆
开
，
即
1112111212221122123
a a a a
a
=
n n
i i i i in in n n n a a b c b c b c a a a ++⋯+12
1n 11121n 21222n 21222n i1 21212
12
a a a a a a a a a a a
b i in i i in n n nn
n n nn
b b
c c c a a a a a a +
性质6：把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素，所得行列式仍为D
应用证明 1 1 0 0
1 k 1 0
==00 0 k 20 0 2 k
D 的充要条件是k=1或k=±2
证明：因为
221 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 k 1 00 k-1 1 0
-10 k 2
0 0 k 20 0 k 2
0 2 k
0 0 2 k 0 0 2 k -2(1)
(1)(4)
2 k
(1)(4)012
k D k k k k k k k k -==-=----=⇔==±第一行乘加到第二行按第一列展开或
4、行列式的计算 两种基本方法：
①把原行列式化为上三角（下三角）行列式再求值
②把原行列式利用性质6在某一行（列）产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行（列）展开
5、克拉默法则 只适用于方程个数与未知量个数相同的方程组
如果n 个方程的一元线性方程组11112211211222
221122 n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪++
+=⎩的系数行列式
0ij D a =≠，则此方程组必有唯一解
11
1,111,1121
2,122,1
2n-1,1,1(1,2),,,,
a ,,j ij j j n j j n
j n j n n j nn
D x j n D
a a
b a a a a b a a D a b a a -+-+-+=
==
其中
齐次线性方程组：当n 元线性方程组中的常数项120n b b b ====时，即
11112212112222112200 1.15 0
n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x
a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪++
+=⎩
齐次线性方程组（1.15）的系数行列式0D ≠，则它只有零解 齐次线性方程组（1.15）的系数行列式D=0，则它有非零解
例1
44 1 0 2 1
2 -1 1 01 2 0 30
3 2 1
1 0
2 1
1 0
2 1 1 -
3 -2 1 3 22 -1 1 00 -1 -3 2 2 -2 21*21 -1 11 2 0 30 2 -2 2 3 2 1
3 2 1
0 3 2 10 3 2 11 3 220 -4 -10 -7D D =
-=
===-=-计算行列式解 4 -12
220726
-7 -5
-5
-=-=--=-（）
例2 求解
1231231
2323527222544
x x x x x x x x x +-=-⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩
21
12 1 1 -2 1 1 -2
7 17
5 -2 70 -7 1756(119)63
-7 8
2 -5 40 -7 8
-3 1 -20 1 016 3
22 -2 716 -2 31(1)(9633)63
-11 -6
4 -
5 4-11 -5 -61 -3 -2
5 22 72 4 D D D +-====---====⨯-=--+==33121231 0 0
37 17
5 37 17296170126
10 8
4 2 10 81 1 -3
1 0 0
7 375 -2 22 5 -7 3770259189
-7 10
2 -5 4 2 -7 101 x 2 x 3D D D D
x D D D ===-=-====-+==
=====
例3.当k 为何值时14124
12412340
20(2)40230
kx x x x x k x x x x x x kx +=⎧⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩只有零解
【解析】系数行列式
4+3
0 0 1
0 1 0 1
1 2 0 -1 3-1 1 2 -132k+5 0 7
k+2 -1 0 4
k+2 -1 4k+2 -1 4
2 1
3 k
1
2 -3-1-132k+5 7
k k k D k =⨯=-⨯=-3+2
按第3列展开（）按第列展开（）（）
(725)3(55)15(1)
0k k k k D --=--=--≠≠即k 1时，此齐次线性方程组只有零解。