混合策略纳什均衡

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§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
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政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示：
•流浪汉
•寻找工作
游闲
•政府
•救济 （3，2） （-1，3） •不救济 （-1，1） （0，0）
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§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢 ，如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
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§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜
测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好 ，预先猜测对手策略，从而采用针对性策略 赢得这个博弈。
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讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说，一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的，而是由他的对手的支付决定的。
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策 略之间是无差异的，他的行为才难以预测 ，混合策略纳什均衡才会存在。
混合策略纳什均衡
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2020年4月11日星期六
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏.
• 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
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§剪刀、石头、布的游戏
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• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：
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解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
• 政府选择不救济策略
•如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
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纳什均衡的存在性
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈
中
，如果n是有限的，且 都是有限集(对
)，则该博
弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。
• 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理 。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析 核心概念的根本原因之一。
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博
弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们 的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法，这个博 弈没有纳什均衡。
• 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随 意选择，结果都一样呢？
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§剪刀、石头、布的游戏
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• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：
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政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
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讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
• 答案是否定的。
• 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的， 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。
• 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略 组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。
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求解混合策略纳什均衡
•1、假定政府采用混合策略： •2、流浪汉的混合策略为：
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•பைடு நூலகம்
•解一:支付最大化 •那么，政府的期望效用函数为：
•对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件 为：
•就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略— —流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率选择 游闲。
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§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均，也就是
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政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？
• ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直 采用纯策略吗？
• 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？
• ——使自己的预期支付最大化。
• ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针 对性的策略，使自己的支付增加。