(哈工大)数学物理方程复习

X T '' a X " T 0 X '(0 ) T ( t ) 0 X '( l ) T ( t ) 0
2
引入参数 得
' '
X'' a2T X
T''
X ( 0 ) X ( l ) 0
分离变量：
' ' 2 T a T 0
'' X X 0 ' ' X ( 0 ) X (l) 0
u M , t | f M . t 0


泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意： 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。
一些典型方程和定解条件的推导（III）
u 2 x y u u 1 例如，方程 y x x y y
是一个二阶线性偏微分方程， 而方程
u u 1 , x y
2 2
u ux u 0 x
都是非线性偏微分方程。
本书主要研究对象：
n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为
n n
i , j 1
a u u b u f u g( 2 )
u a u u u f x , y , z , t
t t 2 x x y y z z
2 u a u u x ,, y t t t x x y y f
热方程
若物体内部有热源
u ( x , t )2 a u ( x , t ) f ( x , t ) , x , t 0 t


n x ( x ) C cos n 0 , 1 , 特征函数 X 1 l
T ( t ) A B t 0 0 0
n at n at T ( t ) A cos B sin n 1 , 2 , n n n l l


u ( x , t ) A B t 0 0 0 n at n at n x u ( x , t ) ( A cos B sin ) cos n 1 , 2 , n n n l l l
u u ( t ) ;u u ( t ) 1 2 x 0 x l
热传导问题：若物体边界上的温度为 f(M,t)，边 界条件为
uS f(Mt ,)
第二类边界条件
弦振动问题：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 轴 的直线上自由上下滑动，称这种端点为“自由端”。
u u 0或 ul (,) t 0 x x n x l x l


例如
u u u x y x y
1 u u x y
2 2
u u 0 x x y y
都是偏微分方程,Leabharlann Baidu
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
f x , y ,, u ,,,, u u , u , 0 ( 1 ) x y u x x x y


方程中，未知函数的偏导的最高阶数称为偏微分 方程的阶。 例如，方程
一些典型方程和定解条件的推导
要求： 1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、 初始条件、边界条件等基本概念。 2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界 条件的要求。 3）基本方程的建立（推导过程）不要求。 但是根据问题的描述，要会写出定解问题。
一些典型方程和定解条件的推导 （I）
要求： 1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、 初始条件、边界条件等基本概念。
Laplace方程, 泊松方程
u ( x )0 , x
稳定的热场
u ( xf ) ( x ) , x
有源的稳定热场
第一类边界条件直接给出 u 在边界 S 上的值，即
u S f1 .
第二类边界条件是给出 u 沿 S 的外法线方向的 方向导数，即 u f2 n S
描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边 界条件.只附加边界条件的定解问题称为边值问 题.
描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始 条件。只附加初值条件的定解问题称为初值问题
（Cauchy 问题）
包含初值条件和边界条件的定解问题称为混 合问题(初边值问题)
初值条件、边界条件统称为定解条件 . 初值问题、边值问题、混合问题统称为定 解问题.
x x （ 1 ） 0 ， X ( x ) C e C e 1 2
由边值条件
( C C ) 0 1 2 l l ( C e C e ) 0 1 2
得C1 =C 2=0 从而 X ， 0 无意义 ( x ) 0
要求： 1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、 初始条件、边界条件等基本概念。 2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界 条件的要求。 3）基本方程的建立（推导过程）不要求。 但是根据问题的描述，要会写出定解问题。
例：
假设弦在 x=0 端按照规律 u 1 ( t ) 运动，在 x=l 端 ( x ), ( x )，弦 自由，初始位移、初始速度为 振动满足的定解问题为：

i
满足线性方程（或
L u f i 1 , 2 ,, n , i i ,
则它们的线性组合 u
cu
i1 i
i
必满足方程（或定解条件） Lu
c
i 1

i
fi
分离变量法
要求： 1. 掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分 离变量解法；
2. 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量
基本概念
微分方程: 含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分 的方程叫微分方程. 常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程. n d u du Fxu , n 0 ,, d x d x 偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
f x , y ,, u ,,,, u u , u , 0 ( 1 ) x y u x x x y
一些典型方程和定解条件的推导 （II）
要求： 1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、 初始条件、边界条件等基本概念。 2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界 条件的要求。
波方程
2 u ( x , t ) 2 a u ( x , t ) f ( x , t ) , x , t 0 2 t
特征值

2 2 n
n x ( x ) C cos n 0 , 1 , 特征函数 X 1 l
T 的方程
' ' 2 T a T 0
l2
n0 , 1 ,2 ,
' ' T0 0
' ' T n
2 2 2 n a 2 l
T 0n 0 n
其解为
T ( t ) A B t 0 0 0
u 第三类边界条件是给出 u 以及 n
的线性组合在
边界的值，即
u u f , 0 . 3 n S
第一类边界条件
弦振动问题：若弦的两端是固定的，边界条件为
u 0 ; u 0 x 0 xl
t), u t) 若弦的两端按照规律u 运动, 边界条件为 1( 2(
n at n at T ( t ) A cos B sin n 1 , 2 , n n n l l


u ( x , t ) A B t 0 0 0 n at n at n x u ( x , t ) ( A cos B sin ) cos n 1 , 2 , n n n l l l
u u 0 x x y y
是二阶偏微分方程，而方程
u x u 3 u 7 y x x y y y
是一个三阶偏微分方程.
如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导 数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于 自变量（或者为常数），则称为线性偏微分方程。 一个偏微分方程若不是线性的，则称为非线性偏 微分方程。
热传导问题：物体和周围介质处于绝热状态，即 在表面上热量的流速始终为0，
u n
0
S
初始条件
( x ), ( x ) 弦振动问题：设初始位移、初始速度为 , 则波动方程的初值条件为
u ( x ), u ( x ) t t 0 t 0
热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M 的温度，则热传导问题的初始条件为
u(x,y,z,t) ：物体在空间位置 x 以及时刻 t 的温度。
三维齐次热传导方程
2 2 2 u 2 u u u a 2 2 2 t x y z
三维非齐次热传导方程
2 2 2 u 2 u u u a f ( x ,y , z ,) t 2 2 2 t x y z
i j x i x j i 1 i x i
可假设 aij a ji ，这里 a ij , bi , f 和 g 都是关于自变 量 x i 的实值函数。如果 g 0 ，则称方程为齐次的； 否则就称为非齐次的。
方程的通解
求解常微分方程时，常用方法是先求出方程的通 解,然后根据给定的条件确定特解.其中 n 阶常 微分方程的通解依赖于n个常数,它可以表示成n 个线性无关函数的线性组合。 然而对偏微分方程来说，这样的结论一般不成立， 这是由于每一个线性齐次偏微分方程的解空间都 是无限维的函数空间。
( x ) C D x （） 2 ＝， 0 X 0 0
由边值条件
' ' X ( 0 ) X ( l ) 0 X ( x ) C 0
（） 3 0 ，X ( x ) C cos x C sin x 1 2


C2 0 由边值条件 C1sin l 0 C1 0 sin l 0 l n ( n 1 , 2 , ...),


从而
n 2 2 2 l nx X ( x ) C 1 cos l
特征值

2 2 n
n x ( x ) C cos n 0 , 1 , 特征函数 X 1 l
l2
n0 , 1 ,2 ,
（） 2 ＝， 0 X(x) C 0
n 2 2 （） 3 0 ， 2 l nx X ( x ) C 1 cos l
法解法； 3. 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题 4. 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件 的定解问题。
分离变量法（I）
要求： 1. 掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分 离变量解法；
例：两端自由的杆的自由纵振动问题. u a2u 0 xx tt u x x0 0 u x xl 0 u t t0 (x) t0 (x) u 解：令 u ( x , t ) X ( x ) T ( t )
2 u au t t x x u (x ) ,u ( x ) t t t 0 0 u u ( t) ,u 0 1 xx x 0 l
( 0 xl,t 0 ) ( 0xl) ( t 0 )
叠加原理
设 L 是线性微分算子，若 u 线性定解条件）
2 2u u 2 a , 2 2 t x
2 2 u 2 u a 2 f(xt ,) 2 t x
弦的自由横振动方程： 弦的强迫横振动方程：
均匀杆的纵向振动问题：以 u(x,t) 表示杆上各点 的纵向位移，则 u(x,t) 满足波方程。
二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程 （例如电磁波和声波的传播）：
例：考虑二阶方程：
u 0 x y
( 3 )
解：分别对 x 和 y 积分，可以知道方程的解形如：
u x , y g xh y
其中，g(x) 和 h(y) 都是任意可微函数。
方程(3)有无限多个线性无关的解。
一般来说，偏微分方程的解很难用通解的形式给出。 而在应用问题中，重要的不是求出方程的通解，而 是求出满足给定条件的方程特解。