长郡湘府中学2019年上学期高一数学竞赛初赛试卷
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
长郡湘府中学 2019 年上学期高一数学竞赛初赛试题
时量:90 分钟 满分:120 分 命题人:唐岳健
一、单选题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1.已知tan(������
+
������)
4
=
1,且−
2
������ 2
<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ������
<
0,则2sicno2s���(������+���−si���4n���)2������
18.如图,在三棱锥������ − ������������������中,������是棱������������的中点,������������ ⊥ ������������,且������������ = ������������ = ������������ = ������������ = 2,������������ = 1.
1,������
4
=
6,△
ABC的
面积为3√15,则sin������的值等于________.
14.三棱锥D − ABC中,平面DAC ⊥平面 ABC,△ ABC和△ ACD均为边长是√3的正三角形,
则三棱锥D − ABC的外接球的表面积为______.
15.已知函数������(������) = ������2 − 2������������ + ������2 − 1,������(������) = 2������ − ������,∀������1 ∈ [−1,1], ∃������2 ∈ [−1,1],使
9.已知数列{������������}的前������项和为������������ = ������2 + ������,将该数列按下列格式(第������行有2������−1个数)排成 一个数阵,则该数阵第8行从左向右第8个数字为( ).
A.142
B.270
������1 ������2 ������3 ������4 ������5 ������6 ������7
2
������ = 0恰有两个不同的实根,则实数������的取值范围为( )
A.[1, √3]
B.[1,2)
C.(−2,0) ∪ (0,2) D.[√3, 2)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.若集合{������, ������������, lg(������������)} = {0, |������|, ������},则(x,y)=_________.
C.526
D.1038
10.已知函数������(������) = sin������ + √3cos������,把函数������(������)的图象向右平移���6���个单位,再把图象上各点
的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数������(������)的图象,当x ∈ [0, ������]时,方程������(������) −
所以△MPQ 的周长为:PQ+PM+QM=PQ+PM1+QM2≥M1 M2,当且仅当 M1、P、Q、M2 四
点共线时等号成立,直线������������������ = −������ + 3,
������+0 = − ������+1 + 3
设������1(������, ������)根据对称性知道:{ 2
2
������−0 = 1
⇒ ������ = 3, ������ = 2
������−1
求得 M1(3,2),M2(﹣1,0)所以 M1M2= √(3 + 1)2 + (2 − 0)2 = 2√5
故选:C.
10.【详解】由题意,根据辅助角公式,可得函数������(������)
=
sin������
=
������2+������2−������2,
12
则������ =( )
A.2√3
B.4√3
C.2√3 3
D.4√3 3
7.在等差数列{������������}中,������100 < 0, ������101 > 0,且|������100| < |������101|,������������为其前������项和,则使������������ < 0的
最大正整数������为( )
A.202
B.201
C.200
8.已知点������(3,0), ������(0,3), ������(1,0),O 为坐标原点,P,Q 分别在线
段 AB,BO 上运动,则△MPQ 的周长的最小值为(
)
D.199
A.4
B.5
C.2√5
D.√34
试卷第 1 页,总 4 页
试卷第 4 页,总 4 页
长郡湘府中学 2019 年上学期高一数学竞赛初赛试题 参考答案
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.B
8、【详解】过 M(1,0)作直线 AB 的垂线,并延长到 M1,连接 PM1;过 M 作直线 OB 的
垂线,并延长到 M2,连接 QM2,则 PM=PM1,QM=QM2,
求出点������的坐标;若不存在,请说明理由.
20.已知 f ( x) = x2 + ax + b (a,b R) . (1)当 a = 2 时,若关于 x 的方程 f ( x) − 2 = 0 有且只有两个不同的实根,求实数 b 的取
值范围;
(2)对任意 x 1,5时,不等式 −2 f ( x) 2 恒成立,求 a + b 的值.
=(
)
A.−
2√5 5
B.−
3√5 10
C.−
3√10 10
D.2√5 5
2.已知非零单位向量���⃑���, ���⃑⃑���满足|���⃑��� + ���⃑⃑���| = |���⃑��� − ���⃑⃑���|,则���⃑���与���⃑⃑��� − ���⃑���的夹角是( )
A.���6���
B.���3���
C.���4���
D.34������
3.已知圆 C 方程为(x-2)2+(y-1)2=9,直线 l 的方程为 3x-4y-12=0,在圆 C 上到直线
l 的距离为 1 的点有几个 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
4.设函数������(������)是定义在 R 上的奇函数,且对任意x ∈ R都有������(������) = ������(������ + 4),当x ∈ (0,2)时,
������(������) = ������2 − 2������������ + ������2 − 1,x ∈ [−1,1]
当 a≤-1 时,f(x)∈[������2 + 2������, ������2 − 2������],即������2 + 2������≤−2 − ������,2 − ������ ≤ ������2 − 2������,解得 a∈ [−2, −1]
������(������) = 2������,则������(2019) + ������(2020)的值为( )
A.0
B.1
C.32
D.-2
5.在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=
3,则 V 的最大值是( )
A.4π
B.92������
2
=
2|������������|.
(1)求曲线������的方程;
(2)设曲线������与������轴交于������、������两点,点������是曲线������上异于������、������的任意一点,直线������������、������������分
别交直线������: ������ = 3于点������、������.试问在������轴上是否存在一个定点������,使得���⃑⃑���⃑���⃑⃑��� • ���⃑⃑���⃑⃑���⃑⃑��� = 0?若存在,
+
√3cos������
=
2sin(������
+
������),
3
把函数������(������)的图象向右平移���6���个单位,得到������1(������)
=
2sin(������
+
������),
6
再把函数������1(������)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,得到函数������(������)
6
62
6
6
令������ ≤ 2������ + ������ ≤ 7������,解得������ ≤ ������ ≤ ������,即函数������(������)在[������ , ������]上单调递减,
2
66
6
2
62
且������(0) = 2sin ������ = 1, ������(������) = 2sin ������ = 2, ������(������) = 2sin 7������ = −1,
������(������2) = ������(������1),则实数������的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分) 16.在△������������������中,内角������,������,������的对边分别为������,������,������,������ + ������ = 5,(2������ + ������) ⋅ cos������ + ������ ⋅ cos������ = 0.
=
2sin(2������
+
������),
6
因为������ ∈ [0, ������],则2������ + ������ ∈ [������ , 7������],
2
6 66
令������ ≤ 2������ + ������ ≤ ������,解得0 ≤ ������ ≤ ������,即函数������(������)在[0, ������]上单调递增,
12.记直线 l : 2x − y +1 = 0 的倾斜角为 ,则 1 + tan2 的值为________. sin2
13.已知������,������,������分别为△
������������������三个内角������,������,������的对边,若cos������
=
−
(1)求证:直线������������ ⊥平面������������������; (2)求二面角������ − ������������ − ������的正弦值.
试卷第 3 页,总 4 页
19.已知点������(0,2),������
(0,
1),点������为曲线������上任意一点且满足|������������|
6
6
2
2
6
答案第 1 页,总 4 页
要使得方程������(������) − ������ = 0恰好有两个不同的实数解,即������ = ������(������)与������ = ������有两个不同的交点,
结合图象,可得实数������的取值范围是1 ≤ ������ < 2,即[1,2).
(1)若△������������������的面积为√23,求������; (2)若点������为线段������������的中点,∠������������������ = 30∘,求������, ������.
试卷第 2 页,总 4 页
17.已知数列{������������}的前������项和为������������,且 2,������������,������������成等差数列. (1)求数列{������������}的通项公式; (2)若������������=������ · ������������,求数列{������������}的前������项和������������;
11.(−1, −1) 12. − 1 12
13.3√1615
14.5π
15.[−2, −1]
15、【详解】∀������1 ∈ [−1,1], ∃������2 ∈ [−1,1],使������(������2) = ������(������1),即 g(x)的值域是������(������)的子集 g(x)∈[−2 − ������, 2 − ������]
C.6π
D.323������
6.在������������������������中,������,
������,
������分别为角������,
������,
������的对边,若������
=
2������ 3
,
������
=
2√10,且������������������������的面积������
时量:90 分钟 满分:120 分 命题人:唐岳健
一、单选题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1.已知tan(������
+
������)
4
=
1,且−
2
������ 2
<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ������
<
0,则2sicno2s���(������+���−si���4n���)2������
18.如图,在三棱锥������ − ������������������中,������是棱������������的中点,������������ ⊥ ������������,且������������ = ������������ = ������������ = ������������ = 2,������������ = 1.
1,������
4
=
6,△
ABC的
面积为3√15,则sin������的值等于________.
14.三棱锥D − ABC中,平面DAC ⊥平面 ABC,△ ABC和△ ACD均为边长是√3的正三角形,
则三棱锥D − ABC的外接球的表面积为______.
15.已知函数������(������) = ������2 − 2������������ + ������2 − 1,������(������) = 2������ − ������,∀������1 ∈ [−1,1], ∃������2 ∈ [−1,1],使
9.已知数列{������������}的前������项和为������������ = ������2 + ������,将该数列按下列格式(第������行有2������−1个数)排成 一个数阵,则该数阵第8行从左向右第8个数字为( ).
A.142
B.270
������1 ������2 ������3 ������4 ������5 ������6 ������7
2
������ = 0恰有两个不同的实根,则实数������的取值范围为( )
A.[1, √3]
B.[1,2)
C.(−2,0) ∪ (0,2) D.[√3, 2)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.若集合{������, ������������, lg(������������)} = {0, |������|, ������},则(x,y)=_________.
C.526
D.1038
10.已知函数������(������) = sin������ + √3cos������,把函数������(������)的图象向右平移���6���个单位,再把图象上各点
的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数������(������)的图象,当x ∈ [0, ������]时,方程������(������) −
所以△MPQ 的周长为:PQ+PM+QM=PQ+PM1+QM2≥M1 M2,当且仅当 M1、P、Q、M2 四
点共线时等号成立,直线������������������ = −������ + 3,
������+0 = − ������+1 + 3
设������1(������, ������)根据对称性知道:{ 2
2
������−0 = 1
⇒ ������ = 3, ������ = 2
������−1
求得 M1(3,2),M2(﹣1,0)所以 M1M2= √(3 + 1)2 + (2 − 0)2 = 2√5
故选:C.
10.【详解】由题意,根据辅助角公式,可得函数������(������)
=
sin������
=
������2+������2−������2,
12
则������ =( )
A.2√3
B.4√3
C.2√3 3
D.4√3 3
7.在等差数列{������������}中,������100 < 0, ������101 > 0,且|������100| < |������101|,������������为其前������项和,则使������������ < 0的
最大正整数������为( )
A.202
B.201
C.200
8.已知点������(3,0), ������(0,3), ������(1,0),O 为坐标原点,P,Q 分别在线
段 AB,BO 上运动,则△MPQ 的周长的最小值为(
)
D.199
A.4
B.5
C.2√5
D.√34
试卷第 1 页,总 4 页
试卷第 4 页,总 4 页
长郡湘府中学 2019 年上学期高一数学竞赛初赛试题 参考答案
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.B
8、【详解】过 M(1,0)作直线 AB 的垂线,并延长到 M1,连接 PM1;过 M 作直线 OB 的
垂线,并延长到 M2,连接 QM2,则 PM=PM1,QM=QM2,
求出点������的坐标;若不存在,请说明理由.
20.已知 f ( x) = x2 + ax + b (a,b R) . (1)当 a = 2 时,若关于 x 的方程 f ( x) − 2 = 0 有且只有两个不同的实根,求实数 b 的取
值范围;
(2)对任意 x 1,5时,不等式 −2 f ( x) 2 恒成立,求 a + b 的值.
=(
)
A.−
2√5 5
B.−
3√5 10
C.−
3√10 10
D.2√5 5
2.已知非零单位向量���⃑���, ���⃑⃑���满足|���⃑��� + ���⃑⃑���| = |���⃑��� − ���⃑⃑���|,则���⃑���与���⃑⃑��� − ���⃑���的夹角是( )
A.���6���
B.���3���
C.���4���
D.34������
3.已知圆 C 方程为(x-2)2+(y-1)2=9,直线 l 的方程为 3x-4y-12=0,在圆 C 上到直线
l 的距离为 1 的点有几个 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
4.设函数������(������)是定义在 R 上的奇函数,且对任意x ∈ R都有������(������) = ������(������ + 4),当x ∈ (0,2)时,
������(������) = ������2 − 2������������ + ������2 − 1,x ∈ [−1,1]
当 a≤-1 时,f(x)∈[������2 + 2������, ������2 − 2������],即������2 + 2������≤−2 − ������,2 − ������ ≤ ������2 − 2������,解得 a∈ [−2, −1]
������(������) = 2������,则������(2019) + ������(2020)的值为( )
A.0
B.1
C.32
D.-2
5.在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=
3,则 V 的最大值是( )
A.4π
B.92������
2
=
2|������������|.
(1)求曲线������的方程;
(2)设曲线������与������轴交于������、������两点,点������是曲线������上异于������、������的任意一点,直线������������、������������分
别交直线������: ������ = 3于点������、������.试问在������轴上是否存在一个定点������,使得���⃑⃑���⃑���⃑⃑��� • ���⃑⃑���⃑⃑���⃑⃑��� = 0?若存在,
+
√3cos������
=
2sin(������
+
������),
3
把函数������(������)的图象向右平移���6���个单位,得到������1(������)
=
2sin(������
+
������),
6
再把函数������1(������)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,得到函数������(������)
6
62
6
6
令������ ≤ 2������ + ������ ≤ 7������,解得������ ≤ ������ ≤ ������,即函数������(������)在[������ , ������]上单调递减,
2
66
6
2
62
且������(0) = 2sin ������ = 1, ������(������) = 2sin ������ = 2, ������(������) = 2sin 7������ = −1,
������(������2) = ������(������1),则实数������的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分) 16.在△������������������中,内角������,������,������的对边分别为������,������,������,������ + ������ = 5,(2������ + ������) ⋅ cos������ + ������ ⋅ cos������ = 0.
=
2sin(2������
+
������),
6
因为������ ∈ [0, ������],则2������ + ������ ∈ [������ , 7������],
2
6 66
令������ ≤ 2������ + ������ ≤ ������,解得0 ≤ ������ ≤ ������,即函数������(������)在[0, ������]上单调递增,
12.记直线 l : 2x − y +1 = 0 的倾斜角为 ,则 1 + tan2 的值为________. sin2
13.已知������,������,������分别为△
������������������三个内角������,������,������的对边,若cos������
=
−
(1)求证:直线������������ ⊥平面������������������; (2)求二面角������ − ������������ − ������的正弦值.
试卷第 3 页,总 4 页
19.已知点������(0,2),������
(0,
1),点������为曲线������上任意一点且满足|������������|
6
6
2
2
6
答案第 1 页,总 4 页
要使得方程������(������) − ������ = 0恰好有两个不同的实数解,即������ = ������(������)与������ = ������有两个不同的交点,
结合图象,可得实数������的取值范围是1 ≤ ������ < 2,即[1,2).
(1)若△������������������的面积为√23,求������; (2)若点������为线段������������的中点,∠������������������ = 30∘,求������, ������.
试卷第 2 页,总 4 页
17.已知数列{������������}的前������项和为������������,且 2,������������,������������成等差数列. (1)求数列{������������}的通项公式; (2)若������������=������ · ������������,求数列{������������}的前������项和������������;
11.(−1, −1) 12. − 1 12
13.3√1615
14.5π
15.[−2, −1]
15、【详解】∀������1 ∈ [−1,1], ∃������2 ∈ [−1,1],使������(������2) = ������(������1),即 g(x)的值域是������(������)的子集 g(x)∈[−2 − ������, 2 − ������]
C.6π
D.323������
6.在������������������������中,������,
������,
������分别为角������,
������,
������的对边,若������
=
2������ 3
,
������
=
2√10,且������������������������的面积������