一次函数与反比例函数的交点问题
北师大版九年级(上)数学第19讲：反比例函数与一次函数的交点问题(教师版)——王琪
反比例函数与一次函数的交点问题一、正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y ＝k 1x(k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．二、一次函数和反比例函数的交点问题1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 解：∵A 、B 是反比函数y=上的点，∴S △OBD =S △OAC =，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA=PB ，故②错误； ∵P 是y=的图象上一动点，∴S 矩形PDOC =4，∴S 四边形PAOB =S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC =4﹣﹣=3，故③正确；连接OP ，===4，∴AC=PC ，PA=PC ，∴=3，∴AC=AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C ．2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•（b﹣）=9，∴k=，故选C．3．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（）A．（6，﹣1） B．（﹣1，﹣6）C．（3，2）D．（﹣2，3.1）解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，四个选项中只有A：6×（﹣1）=﹣6．故选A．4．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1解：∵M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，∴M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都满足函数关系式（k＞0），∴y1=﹣2k，y2=﹣4k，y3=2k；∵k＞0，∴﹣4k＜﹣2k＜2k，即y3＞y1＞y2．故选C．5．已知点A（﹣1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．y=5x解：将P（﹣1，5）代入解析式y=得，k=（﹣1）×5=﹣5，解析式为：y=﹣．故选C．6．已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（）A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．∵该函数的图象过点M（﹣1，2），∴2=，得k=﹣2．∴反比例函数解析式为y=﹣．故选B．7．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2，实数x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜3C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3解：依照题意画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．故选A．8．已知点A（﹣2，1），B（1，4），若反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值范围是（）A．﹣≤k＜0或0＜k≤4 B．k≤﹣2或k≥4C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4解：①当k＞0时，如下图：将x=1代入反比例函数的解析式得y=k，∵y随x的增大而减小，∴当k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．∴当0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．②当k＜0时，如下图所示：设直线AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=3．所以直线AB所在直线为y=x+3．将y=x+3与y=联立，得：x+3=，整理得：x2+3x﹣k=0．∴32+4k≥0，解得：k≥﹣．综上所述，当﹣≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．故选：A．9．在平面直角坐标系中直线y=x+2与反比例函数 y=﹣的图象有唯一公共点，若直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2 D．m＞2或m＜﹣2解：根据反比例函数的对称性可知：直线y=x﹣2与反比例函数y=﹣的图象有唯一公共点，∴当直线y=x+m在直线y=x+2的上方或直线y=x+m在直线y=x﹣2的下方时，直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，∴m＞2或m＜﹣2．故选D．10．如图，直线y=kx与双曲线y=﹣交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣8x2y1的值为（）A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12解：将y=kx代入到y=﹣中得：kx=﹣，即kx2=﹣2，解得：x1=﹣，x2=，∴y1=kx1=，y2=kx2=﹣，∴2x1y2﹣8x2y1=2×（﹣）×（﹣）﹣8××=﹣12．故选B．11．如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（）A． B． C．3 D．6解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线y=﹣（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3．故选C．12．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD 的面积等于（）A．2 B．2 C．4 D．4解：设A（a，），可求出D（2a，），∵AB⊥CD，∴S四边形ACBD=AB•CD=×2a×=4，故选C．13．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，∴图象在一、三象限，如图1，∴k＞0，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，故选C．14．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0） B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y=，将B（3，1）代入y=，∴k=3，∴y=，∴把y=2代入y=，∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选（C）15．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k ≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）A．y= B．y= C．y= D．y=解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB==3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为y=．故选A．16．如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN 交于点E，若四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，设EF=h，OM=a，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a△AON中，MG∥ON，AM=OM，∴MG=ON=a，∵MG∥AB，∴==，∴BE=4EM，∵EF⊥AB，∴EF∥AM，∴==．∴FE=AM，即h=a，∵S△ABM=4a×a÷2=2a2，S△AON=2a×2a÷2=2a2，∴S△ABM=S△AON，∴S△AEB=S四边形EMON=2，S△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，ah=1，又有h=a，a=（长度为正数）∴OA=，OC=2，因此B的坐标为（﹣2，），经过B的双曲线的解析式就是y=﹣．17．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x=0代入y=x﹣6，∴y=﹣6，∴B（0，﹣6），∴OB=6，令y=0代入y=x﹣6，∴x=2，∴（2，0），∴OA=2，∴勾股定理可知：AB=4，∴sin∠OAB==，cos∠OAB==设M（x，y），∴CF=﹣y，ED=x，∴sin∠OAB=，∴AC=﹣y，∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴﹣y×2x=4，∴xy=﹣3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣3，故选A。
反比例函数与一次函数交点线段相等
反比例函数与一次函数交点线段相等是一个重要的数学问题，它涉及到两种不同类型的函数之间的关系，对于理解两种函数的特性和性质有着重要的指导作用。
本文将从反比例函数和一次函数的定义、性质以及它们的交点线段等长度三个方面展开论述，以期为读者提供全面、深入的理论解释和具体实例分析，帮助读者更好地理解这一数学问题。
一、反比例函数和一次函数的定义和性质反比例函数是指函数的定义域为实数集，值域为非零实数集，并且函数的图像在直角坐标系中呈现出双曲线的函数。
一次函数是指形式为y=kx+b的函数，其中k和b为常数，且k不为零，其图像在直角坐标系中呈现出直线的函数。
从函数的定义和性质上来看，反比例函数和一次函数是两种截然不同的函数类型，反比例函数的图像是双曲线，而一次函数的图像是直线。
二、反比例函数和一次函数的交点反比例函数与一次函数的交点是指当两种函数的图像在直角坐标系中相交时的交点，这个交点的横纵坐标就是两种函数的自变量和因变量相等的值。
具体来说，当反比例函数y=k/x和一次函数y=kx+b相交时，就产生了交点。
三、反比例函数与一次函数交点线段相等反比例函数与一次函数交点线段相等，意味着从两种函数的交点开始，到两条函数的横坐标值相等时，所对应的纵坐标的长度是相等的。
这个性质是从函数的定义和性质以及它们的交点出发所得出的。
针对这一数学问题，可以通过具体的例子来进一步说明。
假设反比例函数为y=1/x，一次函数为y=2x+3，求它们的交点线段相等。
我们来求两种函数的交点。
当y=1/x和y=2x+3相交时，即1/x=2x+3，求解得到x=-1和x=1。
将x代入y=1/x和y=2x+3中，得到两个交点为(-1,-1)和(1,5)。
接下来，根据交点线段相等的定义，计算两条函数的横坐标值相等时，纵坐标的长度。
当x=1时，反比例函数的纵坐标为1，一次函数的纵坐标为5；当x=-1时，反比例函数的纵坐标为-1，一次函数的纵坐标为1。
可以看出，从两种函数的交点开始，到它们的横坐标值相等时，所对应的纵坐标的长度是相等的。
北师版数学九年级一次函数图像和反比例函数图像相交型问题探解
北师版数学九年级一次函数图像与反比例函数图像相交型问题探解一、函数图像有一个交点，且交点只在第一象限，求线段的长度例1、如图1所示，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．分析：交点在第一象限的特点：点的横坐标、纵坐标都是正数。
设出交点的坐标是解题的关键的突破口。
解：设点A 的坐标是（a ，b ），因为，点A 在反比例函数y=x k 的图像上，所以，ab=k ， 且OB=a ，AB=b ，所以，三角形AOB 的面积等于：AB OB ⨯⨯21=21×a ×b=1， 解得：ab=2，即k=2，所以，反比例函数的解析式为：y=x 2， 令x+1=x2，整理，得：x 2+x-2=0，解得：x=1或x=-2（舍去） 当x=1时 ，y=2，所以，点A 的坐标是（1，2），即OB=1，AB=2，当y=0时，对于一次函数y=x+1来说，得：x= -1，所以，OC=1，因此，BC=2，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得： AC=222222+=+BC AB =22。
二、函数图像有两个交点，且交点只第三象限，求解析式和面积 例2、如图2所示，直线b kx y +=与反比例函数反比例函数y=x k （x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC 的面积。
分析：求出k 的值，就得到反比例函数的解析式了，所以，交点坐标的意义，就显得非常重要了。
灵活掌握求函数解析式的方法是解题的基础。
解：（1）因为，点A 的坐标为（－2，4），是直线b kx y +=与反比例函数反比例函数y=x k 的交点，所以，点的坐标一定同时满足两个函数的解析式，所以，-2=4k ，解得：k=-8， 所以，反比例函数的解析式是：y=-x8。
初中数学-反比例函数与一次函数的交点面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思精选全文
可编辑修改精选全文完整版《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。
能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。
情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。
教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。
教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动 一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k的值为________学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。
学生思考，导入课题。
学生自主完成相关内容。
yxy x y x y x yx y x4）如图,点P 是反比例函数图象上的一点,PD ⊥x轴于D.则△POD 的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的学生掌握公理的原则，并不是越多越好。
反比例函数与一次函数的交点问题
用数形结合的思想与方法分析、掌握函数图象交点问题的基本类型．
难点
分析、理解并掌握反比例函数与一次函数图象交点的基本图形．
教学过程
教学设计与师生行为
备注
复习回顾（一）函数图象的交点的意义
1、几何意义：分别在两个函数图象上，是它们的公共点。
2、代数意义：函数y=f(x),y=F(x)图象的交点P(a,b)满足方程组 是该方程组的一个解
探索研究（二）围绕交点做文章：与交点有关的常见题型
1．利用交点求函数解析式
例一、 （改编自07成都市）如图,已知一次函数y1=kx+b的图象与
反比例函数y2= 的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B
的纵坐标都是-2,求:(1)一次函数的解析式;
2．利用交点求图形面积
(2)△AOB的面积.
3．利用交点确定取值范围
1、若 ,无交点2、 ，有两个不同交点，且在不同的象限
二、反比例函数： 与一次函数： 若有两个不同交点，则
1、两个交点在不同的象限： ，即 时
（y轴分割）
或 （x轴分割）
即先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，再用坐标轴分割求面积
2、两个交点在同一象限内： ，即 时
仍须先求交点A,B的坐标，再求梯形AMNB的面积,最后转化为△AOB的面积。
2、交点坐标的求法
3、反比例函数与一次函数的交点的几种基本图形
新都一中实验学校数学教研组：徐强
2008、10、5
（3）并利用图像指出，当x为何值时有y1＞y2；当x为何值时有y1＜y2
（4）并利用图像指出，当-2＜x＜2时y1的取值范围。
4、利用交点确定图形形状
（5）双曲线上是否存在点C,使得三角形ABC为直角三角形（其中AB为直角边）？
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题1．阅读材料：已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝4x（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.（1）方方给出了下列解答：﹣x+b＝4 xx2﹣bx+4＝0∵两个函数有交点∴△＝b2﹣16≥0但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；此时，圆圆提供了另一种解题思路；第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝▲ ；第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是▲ .应用：如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12.（2）求y关于x的函数表达式；（3）设x+y＝m，求m的取值范围.2．若反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式.3．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD△x轴于D．（1）求这两个函数的解析式：（2）求△ADC的面积．4．如图，直线y=45x−45交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，EA的延长线交直线y=45x−45于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+5的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为52.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB 向下平移了几个单位长度？6．如图，点A在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB=3．（1）求反比例函数y=k x(x>0)和一次函数y=32x+b的表达式：（2）求DE的长．7．在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x（k>0，x>0）图象上的两点（n，3n）、(n+1，2n).（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y=x的图象，点A在反比例函数y= kx（k>0,x>0）图象上，过点A作AB△l于点B，过点B作BC△x轴于点C，过点A作AD△BC于点D，记△△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1-S2的值.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+1(m≠0)与反比例函数y=nx(x<0)的图象交于点A(−1,2)，与x轴交于点B.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C是反比例函数图象上一点，过点C作x轴的平行线CD交直线AB于点D，作直线AC交x轴于点E，若S△ACD:S△AEB=1:4，求点E的坐标.9．如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y= 14x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较△PAQ与△PBQ的大小，并说明理由．10．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=k x(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.11．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= k x（k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S△AOE=3S△OBE．（1）求k的值；（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= 12x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= kx（x＜0）的图象于点N，求N点坐标．12．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=k x(x>0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(−2,0) .（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标.13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b(k＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝mx(x＞0)的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．14．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.（2）画出函数图象函数y=4x(x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=−x.（3）平移直线y=−x，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为▲ ；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.15．如图，直线y=−x+3与反比例函数y=2x(x>0)的图象交于A，B两点.（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE=45°，求AEEC的值；（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y=2x(x>0)的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值.16．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于A(−2，b)，B两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.答案解析部分1．【答案】（1）解：4；函数图象如图1所示：；b≥4（2）解：∵Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC 的长为x ，AC 的长为y ，且 S △ABC =12 ， ∴12⋅x ⋅y =12 ， ∴y =24x(x >0) （3）解：∵x+y=m ， ∴m =x +24x， ∴x 2-mx+24=0 ∴m 2-96≥0 ∵m ＞0 ∴m ≥4√62．【答案】（1）解：∵反比例函数y= m x 的图象经过点（-2，-1）， ∴-1= m−2 ，解得：m=2，∴反比例函数的解析式：y= 2x ；（2）解：当x=1时，y= 21=2，∴一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，2）（-2，-1）， ∴{−2k +b =−1k +b =2 ，解得 {k =1b =1 ，∴一次函数的解析式：y=x+1.3．【答案】（1）解：∵反比例函数y= k x的图象过B （4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣ 8x；∵反比例函数y= k x 的图象过点A （﹣2，m ），∴m=﹣ 8−2=4，即A （﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b 的图象过A （﹣2，4），B （4，﹣2）两点， ∴{−2a +b =44a +b =−2 ， 解得 {a =−1b =2∴一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）解：∵直线AB ：y=﹣x+2交x 轴于点C ， ∴C （2，0）．∵AD△x 轴于D ，A （﹣2，4）， ∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4， ∴S △ADC = 12 •CD•AD= 12×4×4=8．4．【答案】（1）解：求得直线 y =45x −45与 x 轴交点坐标为M （1，0），则OM ＝1， 而S 矩形OMAE ＝4，即OM·AM ＝4， ∴AM ＝4， ∴A （1，4）；∵反比例函数的图象过点A （1，4）， ∴k =4 ，∴所求函数为 y =4x(x >0) ；（2）解：∵点D在EA延长线上，∴直线AD：y=4，求得直线y=45x−45与直线y=4的交点坐标为D（6，4），∴AD＝5；设B（x，0），则BM＝|x−1|，Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，∴BM＝3，即|x−1|＝3，则x1=−2，x2=4，∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．5．【答案】（1）解：作BF⊥OC令y=0，−x+5=0，x=5∴C(5，0)，即OC=5∵S△OBC=52∴12BF⋅OC=52∴BF=1∴B点的纵坐标为1令y=1，−x+5=1，x=4∴B(4，1)将B点坐标代入y=kx(k>0)中，得k=4×1=1∴反比例函数表达式：y=4 x（2）解：设平移a个单位长度则平移后直线解析式为y =−x +5−a ∵两个图象只有1个交点 ∴{y =−x +5−a y =4x， 整理，得−x 2+(5−a)x −4=0，此方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0∴(5−a)2−4×(−1)×(−4)=025−10a +a 2−16=0a 2−10a +9=0 (a −1)(a −9)=0∴a −1=0，a −9=0 a =1或a =96．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ k x（x ＞0）的图象上，AB△x 轴，∴S △AOB ＝ 12 |k|＝3，∴k ＝6，∴反比例函数为y ＝ 6x，∵一次函数y ＝ 32x+b 的图象过点B （3，0），∴32 ×3+b ＝0，解得b ＝ −92 ， ∴一次函数为 y =32x −92；（2）解：∵过C （5，0）作CD△x 轴，交过B 点的一次函数y ＝ 32x+b 的图象于D 点，∴当x ＝5时y ＝ 6x ＝ 65 ； y =32x −92=3 ，∴E （5， 65），D （5，3），∴DE ＝3﹣65=95． 7．【答案】（1）解：将（n ，3n)和（n+1,2n)代入y= k x 得：3n= k n，2n= k n+1∴3n 2=2n(n +1)解得n=2或n=0（舍去）， ∴n=2（2）解：由（1）得：点（2，6）在反比例函数y= kx（k>0，x>0)的图象上，将点（2，6）代入y= kx，得k=12.反比例函数为y= 12 x设OC=a，又点B在直线y=x，.点B(a，a).又BC△x轴，∴△BOC为等腰直角三角形。
26.1.2反比例函数与一次函数的交点问题
∟
y1＞y2
o
x
③当X=-3 或X =1时， y1=y2
（ N -3，-1）
例2:：(2011台州)如图，反比例函数 （m≠0） 的图象与一次函数y2=x+2的图象交于点M，N，已 点M的坐标为M（1，3），点N的纵坐标为－1，回 答下列问题： （3）求△MON的面积。
y
y
M
A B
自学指导
例1:：(2011台州)如图，反比例函数 （m≠0） 的图象与一次函数y2=x+2的图象交于点M，N，已 点M的坐标为M（1，3），点N的纵坐标为－1，回 答下列问题： X=-3 X=0X=1
(1)m= 3 ,
y
（-3，-1） 点N的坐标为 ；
（ 2 ）直接写出不等式 (2) （ 2 直接写出一次函数值大于 ）直接写出不等式 m m 反比例函数时 x 的取值范围。 x+2x+2＞ ＞0的解集 的解集
例1. 如图，正比例函数 y=k x 与反比例函数 1 k y 2 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标 x 为（2，4） y （1）分别写出这两个函数的表达式； A （2）你能求出点B的坐标吗？ o 你是怎样求的？ x B 解后思考： 1.如果正比例函数与反比例函数图象有交点， 则交点坐标有什么特点？ 2.正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交 点，则k1和k2应满足什么条件？
k 变式：如图，已知，A,B是双曲线 y (k 0) x 上的两点，
（1）若A(2,3)，求K的值 （2）在(1)的条件下，若点B的 D 横坐标为3，连OA,OB,AB，求 △OAB的面积。
o
y
A
E
B
C
x
一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用
一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用当一次函数与反比例函数的图象相交时(如图1)，学生通过各种方法的探究与演练，可熟练地计算AOB S ∆.接下来，我们继续观察图象，不难发现，只要一次函数与反比例函数的图象有交点，无论这条直线怎么变化，AOC ∆和BOD ∆的面积大小看似相当，分不出大小.那么，AOC S ∆和BOD S ∆是否相等呢?一、探求结论我们要证明AOC BOD S S ∆∆=，只需证明AC BD =即可.如图2，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AH x ⊥轴于点H .过点B 作BG y ⊥轴于点G ，交AH 于点I ，BF x ⊥轴于点F ，连结,,AG BH GH .由反比例系数的几何意义，可知AHOEBGOF S S =矩形矩形， ∴AIGE BIHF S S =矩形矩形，∴AIG BIH S S ∆∆=，∴AHG BGH S S ∆∆=.又AHG ∆和BGH ∆同底GH ，∴//GH AB .∵//,//BH DH AH CG∴四边形ACGH 和四边形BGHD 均为平行四边形，∴AC GH BD ==.通过以上探究，我们得到以下结论:设直线l 与抛物线c 相交于,A B 两点，与x 轴和y 轴分别交于点D 和C (如图2)，则AC BD =.二、应用举例例1 (2019年长沙中考题)如图3，函数k y x=( k 为常数，0k >)的图象与过原点O 的直线相交于,A B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，连结BM 分别交x 轴，y 轴于点,E F .现有以下四个结论:①ODM ∆与OCA ∆的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+④若25MF MB =，则2MD MA =. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号)本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识.其中，序号①在本题中相对较难判断，但利用本文所得结论，问题就迎刃而解了.例 2 如图4，反比例函数k y x=( 0k >)与矩形OABC 相交于D ,D G 两点，则AD CG BD BG=. 证明 连结DG 交x 轴，y 轴于,E F 两点.∵//,//AB OE OA BC ，∴FADGBD GCE ∆∆∆， ∴AD FD BD GD =，CG GE BG GD=，又∵FD GE=，∴AD CG BD BG=.可见，利用本文得到的结论，我们可有效地解决反比例函数与一元函数或矩形相交的有关问题.。
一次函数与反比例函数交点取值范围
一、题目一次函数与反比例函数交点取值范围二、概述在数学中，一次函数和反比例函数是两种常见的函数类型。
它们在图像上有着不同的特点，而当这两种函数相交时，交点的取值范围则是一个有意义的数学问题。
本文将通过分析一次函数与反比例函数的交点，探讨其取值范围。
三、一次函数与反比例函数简介1. 一次函数一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数且a 不等于0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
2. 反比例函数反比例函数是指具有形如f(x) = k/x的函数，其中k是常数且k不等于0。
反比例函数的图像是一条开口向下的抛物线。
四、一次函数与反比例函数的交点一次函数和反比例函数的交点是指它们在坐标平面上的图像相交的点。
具体来说就是通过求解方程f(x) = g(x)，其中f(x)是一次函数，g(x)是反比例函数。
五、求解交点的一般步骤1. 设定f(x) = ax + b和g(x) = k/x。
2. 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
3. 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
六、交点的取值范围一次函数和反比例函数的交点的取值范围可以通过以下步骤来确定：1. 确定一次函数和反比例函数的交点的x坐标的取值范围(1) 一次函数的定义域是全部实数，即一次函数的x可以取任意实数。
(2) 反比例函数的定义域是x不等于0的实数，即反比例函数的x不能为0。
2. 求解交点的x坐标(1) 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
(2) 讨论方程f(x) = g(x)的解的情况，即交点的x坐标。
3. 确定交点的y坐标的取值范围(1) 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
(2) 结合一次函数和反比例函数在x坐标取值范围的情况，确定交点的y坐标的取值范围。
七、总结一次函数与反比例函数的交点取值范围是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
通过本文的分析，我们对这一问题有了一定的了解。
反比例函数与一次函数交点问题-习题及详解
反比例函数与一次函数交点问题1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；S△PAC=S△AOB？（3）在y轴上是否存在一点P，使若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．2018年05月16日157****9624的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）的图象1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；K3：三角形的面积．【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）当0＜x＜1或x＞3时，；（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD所以S△AOB=×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点∴，∴∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D∵S△OBM=2，∴，∴∴n=4（5分）∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，∴m=3∵M（3，4）在双曲线上，∴，∴k2=12∴反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=；如图，作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×2×+×2×3=；（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x＜﹣4或0＜x＜2．（4）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx为≥2x，根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC，设C（t，）（t＜0），∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时AC=，AC≠AO，∴不存在符合条件的点C．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t，t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．。
反比例函数与一次函数的交点及相关面积问题
与交点有关的常见题型-三、利用交点确定取值范围-例4、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反-比例函数的值小于一次函数的值的 的取值范围是（·-A.X<-1-B.X>2-C.-1<x<0,或x>2-③-D.x<-1,或0<x<2
练习：如图，一次函数y1=kx十b的图象与反比例函数-相交舌9、B两点且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，直线AB与x轴-交于点M。-1求一次函 的解析式：-y=-X+2-2求△AOB的面积-S△AOB=6-3根据图象写出使一次函数-的值大于反比例函数的值的-x的取值范围.-........ ......-x<-2或0<X<4
思考：两个反比例函数在第一象限的图像如图所示，点P在-的图像上，PC业轴于-点C,交-的图像于点A,PD⊥y轴于点D,=交-的图像于点B,当点P在 上运动一以下结论：-①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；-③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是 D的中点。-其中一定正确的有：①②④
与交点有关的常见题型-二、利用交点求图形面积-2求△AOB的面积；-解：过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E-⊙A-2,±2，B1,4-.A =2,BE=1-在y=2x+2中，令x=0,则y=2-.C0,2-..0C=2-分割法：-'.S△AOB=S△AOc+S△BOC-×2×2+×25 8SAA0c+5△B0c
製完竟-虚龙-谢谢反比例函数与一次函数的交点及相关面积问题
与交点有关的常见题型-二、利用交点求图形面积-例2、如图，点Am,m+1,Bm+3,m-1都在反比例函数-图像上。-y=-1求m,k的值，-2求∠ OB的面积-转化法：-S△AOB=S直角梯形ACDB
反比例函数与一次函数交点线段相等
05
交点线段相等的拓展研究
更一般的函数交点线段相等问题
01 对于任意两个函数，探讨其交点所构成的线段是 否相等的问题。
02 研究交点线段相等条件下，函数的性质与特征。 03 探究不同类型的函数（如二次函数、三角函数等
）之间的交点线段相等问题。
与其他数学概念的关联
与方程组的解的关
系
交点即为两个函数对应的方程组 的解，探讨交点线段相等与方程 组解的性质之间数与一次函数的图象交于两点，这两点连线的中 点恰好是两函数图象的另一个交点。这意味着两函数图象在这一点的切线斜率相 等，具有特殊的对称性和美学价值。
02
反比例函数与一次函数的基本知识
反比例函数的定义和性质
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
求解三角形面积
在三角形中，若已知两边长及其夹角 ，可利用交点线段相等性质，通过求 解反比例函数与一次函数的交点，得 到三角形的高，进而求得面积。
证明线段相等
在几何图形中，若需证明两条线段相 等，可通过构造反比例函数和一次函 数，利用交点线段相等的性质进行证 明。
在实际问题中的应用
分配问题
在实际分配问题中，如资源分配、时间分配等，可利用反比例函数与一次函数交点线段相等的性质，找到最合理 的分配方案。
反比例函数与一次函 数交点线段相等
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 引言 • 反比例函数与一次函数的基本知识 • 交点线段相等的证明方法 • 交点线段相等的应用举例 • 交点线段相等的拓展研究 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
研究反比例函数与一 次函数交点线段相等 的性质
中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题
2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题1．如图，反比例函数y=k x(k≠0)与直线l：y=23x−1相交于A，B两点，过点A作AC⊥x 轴，垂足为点C，且AC=1 .（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，求出不等式23x−kx>1的解集.2．在平面直角坐标系xOy中，函数y=k x（x>0）的图象G经过点A（4，1），直线l∶y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．3．如图，反比例函数y= k x（x＞0）的图象与一次函数y=3x的图象相交于点A，其横坐标为2．（1）求k的值；（2）点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3．过点B作CB∥OA，交x轴于点C，直接写出线段OC的长．4．如图，已知反比例函数y=k x与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，3），点B（－3，3），过点A的直线y=12x+m（m为常数）与直线x＝1交于点P，与x轴交于点C，直线BP与x轴交于点D。
（1）求点P的坐标；（2）求直线BP的解析式，并直接写出△PCD与△PAB的面积比；（3）若反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象与线段BD有公共点时，请直接写出k的最大值或最小值。
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x−1与双曲线y=k x相交于点A(2，m) .（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；（2）若直线l与x轴交于点B，点P在反比例函数的图象上，当△OPB的面积为1时，求点P的坐标.7．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= k x（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH= 43，点B的坐标为（m，﹣2）．求：（1）反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．9．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= mx图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣ mx ＞0的解集．10．如图，已知一次函数y ＝ax + b （a ，b 为常数，a≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数 y =kx（k 为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C ，作CD ⊥x 轴于点D ，若OA＝OD ＝ 34OB ＝3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax + b≤ k x的解集．11．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数y 1=x+m 与反比例函数y 2= k x的图象相交于A（2，1），B （n ，﹣2）两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数解析式和点B 坐标；（2）当x 的取值范围是 时，有y 1＞y 2．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： y =x +b 与x 轴交于点A （-2，0），与y 轴交于点B ．双曲线 y =kx与直线l 交于P ，Q 两点，其中点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 的横坐标为2时，求k 的值；（3）连接PO ，记△POB 的面积为S ，若 13≤S ≤1 ，直接写出k 的取值范围．13．已知一次函数y=k 1x+b 与反比例函数y= k2x的图象交于第一象限内的P （ 12 ，8），Q （4，m ）两点，与x 轴交于A 点.（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）直接写出不等式k 1x+b≥ k2x的解集；（3）M 为线段PQ 上一点，且MN ⊥x 轴于N ，求△MON 的面积最大值及对应的M 点坐标.14．如图，反比例函数 y =4x(x >0) 的图像与一次函数 y =kx −3 的图像在第一象限内相交于点 A(4，n) ．（1）求 n 的值及一次函数的解析式；（2）直线 x =2 与反比例函数和一次函数的图象分别交于点 B ， C ，求 △ABC 的面积．15．已知，如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y=x+b 的图象交于点A （1，4），点B （m ，-1），（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式x+b＞kx的解．16．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x(x>0)的图象与直线y=x−1交于点A(3,m)（1）求k的值；（2）已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x−1于点B，交函数y=k x(x>0)于点C．①当n=4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；②若PC⩽BC，结合图象，直接写出n的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵ AC=1 ，∴点A的纵坐标为1，则23x−1=1，解得x=3，故点 A（3，1） .将点A的坐标代入y=k x得，1=k3，解得 k=3，故反比例函数的表达式为y=3 x .联立{y=3xy=23x−1，解得： x1=3 ， y1=1；x2=−32，y2=-2，∴点B的坐标为（−32，-2）.（2）解：观察函数图象知，不等式23x−kx>1的解集为−32<x<0或x>3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】对于（1），首先根据AC的值得到点A的纵坐标，然后代入直线解析式中求出x 的值，进而可得点A的坐标，接下来将点A坐标代入反比例函数解析式中可得其解析式，最后联立直线与反比例函数解析式即可求出点B的坐标；对于（2），找出直线在反比例函数图象上方部分对应的x的范围即可.2．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在y=k x（x>0）的图象上．∴k4=1，∴k=4．（2）解：① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②a．当直线过（4，0）时：14×4+b=0，解得b=−1b．当直线过（5，0）时：14×5+b=0，解得b=−54c ．当直线过（1，2）时： 14×1+b =2 ，解得 b =74d ．当直线过（1，3）时： 14×1+b =3 ，解得 b =114∴综上所述： −54≤b <−1 或 74<b ≤114【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入y =kx即可求出k 的值，（2）①当 b = − 1 时直线的解析式为y =14x −1，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出其与坐标轴轴交点的坐标为（4.0）（0，-1），与双曲线的交点为（2+2√5，√52-1），从而得出区域 W 内的整点为（1，0），（2，0），（3，0）；② a .当直线过（4，0）时： 14× 4 + b = 0 ，解得 b = − 1 b.当直线过（5，0）时： 14×5+b =0 ，解得 b =−54；c .当直线过（1，2）时：14 × 1 + b = 2 ，解得 b = 74；d .当直线过（1，3）时：14 ×1 + b = 3 ，解得 b = 114；又双曲线不会与坐标轴相交综上所述即可得出b 的取值范围为： − 54≤ b < − 1 或 74 < b ≤114。
反比例函数与一次函数的交点问题
【知识回顾】 比较一次函数和反比例函数的区别
y= kx-1 ( k≠0) xy=k (k≠0)
函数 解析式
图象
k>0
性 质
k<0
一次函数
y=kx+b ( k≠0 )
直线
y （k>0,b>0时)
ox 增减性：
y随x的增大而增大
y
（k>0,b>0时) 增减性：
ox
y随x的增大而减小
（2）看到求交点坐标， 想到联立两个函数解析式解方程组. （3）看到求面积， 想到三角形面积公式，不规则图形的面积要转化为 和它有关的规则图形的面积来求解. （4）看到比较函数值的大小，想到函数值大的图象在上方，函数值小的
图象在下方.
真题演练
【真题演练•层层推进】
1、(2014贵港T10•3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B 两点．若y1＜y2，则x的取值范围
举例讲解
【对应精练】
例题
如图，已知反比例函数
y1
2 x
与一次函数y2=kx+1的图象相交于P、Q两点，
并且点P的坐标是(1, 2)，直线y2=kx+1与x轴、y轴分别交于M、N两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求点Q的坐标；
解： （1）把P( 1，2)代入y=kx+1，得 k = 1
所以，这个一次函数的解析式为 y=x+1 .
（3）求ΔPOQ的面积.
（4）若y1<y2, 根据图象，直接写出自变量x的取值范围.
解：（3）直线y=x+1与y轴交于点N，则点N为(0，1)，
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数交点问题:
1、定义：反比例函数是指把某个变量和其倒数的函数，一次函数指的
是y=ax+b这种型式的函数；
2、形式：反比例函数的形式为 y= k/x，其中k为常数; 一次函数的形式一般为 y= ax+b，其中a和b为常数；
3、求解：求反比例函数与一次函数的交点时，要把它们同时为相等，
用法则两边同乘以x，得到：k=ax+b，即k=b(1-a/x)，此时，可以求出
x的值为b/(1-a/k)，由此可求出交点的坐标；
4、特殊情况：当a=0时，反比例函数与一次函数的交点就是原点，
x=0，另外如果k=0时，则反比例函数与一次函数的交点坐标就是（b/a, 0）；
5、案例：求y=1/x 与 y=2x+5的交点，把它们同时等于相等，同乘以x，所以1=2x+5，得出x=-3，把x=-3带入反比例函数可得到y=1/-3，即交点坐标为（-3，-1）。
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一次函数之间的交点；
如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点
说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。
因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标
所以可通过解方程来解决
即：kx+b=ax+c
解得x 的值，再代入可求得y 的值
即为交点坐标。
当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。
一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。
真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。
一次函数与反比例函数的交点；
函数y=ax+b,y=x k 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=
x k 的图像的交点坐标。
即ax+b=x
k ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；
△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；
△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。
具体情况可有下图表示：
例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x
2的图象在第一象限交于B （4，n ） ，求n ，k 的值。
变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）
（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。
例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点
变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=
x
1 有两个公共交点A 和B 。
求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积
例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=
x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。
求这两个函数的表达式。
变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=x
m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。
（1）求反比例函数的表达式及A 点坐标。
（2）如果他们没有交点，求m 的取值范围。
练习题
1某一次函数的图象与直线y=6-x 交于点A （5，k ），且与直线y=2x-3无交点，求此函数的关系式。
2已知直线m 与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线m 的函
数关系式
3一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式.
4已知函数y y1y2且y1为x的反比例函数y2为x的正比例函数且23x和x1时y的值都是1求y关于x的函数关系式
5反比例函数xky的图象与直线y x2交于点A且A点纵坐标为1求该反比例函数的解析式
6如图，直线1l的解析表达式为33yx，且1l与x轴交于点D，直线2l经过点AB，，直线1l、2l交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线2l的解析表达式；（3）求ADC△的面积；（4）在直线2l上存在异于点C的另一点P，使得ADP△与ADC△的面积相等，请直接．．写出点P的坐标．。