2020届江苏高考数学14个填空题专练
2020届高考数学选择题填空题专项练习(文理通用)15 比较大小(含解析)
2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）15比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·福建高三（理））设12a e-=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．c b d a >>>B ．c d a b >>> C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．【详解】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,p q r 为形式相同的表达式，由此判断出,,p q r 的大小关系.【详解】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b ==102019201820181c =>=，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C 。
2023届高考数学专项(充分、必要、充要问题)题型归纳与练习(附答案)
2023届高考数学专项（充分、必要、充要问题）题型归纳与练习【题型归纳】题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．例1、（1）【2021年理科数学甲卷】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（2）【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（3）【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三1、（2021∙天津高三二模）设x ∈R ，则“230x x -<”是“12x <<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三2、（2021∙山东济宁市高三二模）“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必安条件题型举一反三3、（2021∙河北张家口市高三三模）“0a >”是“点()0,1在圆222210x y ax y a +--++=外”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三4、（2021∙辽宁高三模拟）设1z ，2z 为复数，“120z z ->”是“12z z >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三5、（2021∙浙江高三二模）已知P 、A 、B 、C 、D 是空间内两两不重合的五个点，PAB △在平面α内，PCD 在平面β内，αβ⊥，则“AB β⊥”是“AB CD ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件题型举一反三6、（2021∙浙江温州市高三模拟）已知α∈R ，则“1sin 2cos 25αα+=”是“sin 2cos αα=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 题型举一反三7、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。
2020届江苏省盐城中学高考数学仿真试卷(5月份)(含解析)
2020届江苏省盐城中学高考数学仿真试卷(5月份)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1<x<3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=______．2.复数(1+2i)i的实部为______ ．3.上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》.根据如图所示的频率分布直方图，估计这507个画师中年龄不超过30岁的人数约______ 人(四舍五入精确到整数)．4.有如图所示的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在横线处应添加i的条件是______ ．5.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为______ ．6.已知函数f(x)=sinxx(1)判断下列三个命题的真假：①f(x)是偶函数；②f(x)<1；③当x=32π时，f(x)取得极小值.其中真命题有____________________；(写出所有真命题的序号)(2)满足f(nπ6)<f(nπ6+π6)的正整数n 的最小值为___________．7. 从集合{1,2，3，4，5}中随机取一个数a ，从集合{1,3，5}中随机取一个数b ，则“事件a ≥b ”发生的概率是______．8. 已知函数的图象如图所示，则点的坐标是__________．9. 底面直径和高都是4cm 的圆柱的体积为______ cm 3．10. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5= ______ ． 11. 16.如图2所示，在平行四边形ABCD 中，________．图212. 椭圆=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．13. 已知函数f(x)={2,x >mx 2+4x +2,x ≤m若函数g(x)=f(x)−x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．14. 已知M(3,4)，N(12,7)，点Q 在直线MN 上，且|QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1：3，则点Q 的坐标为______ ．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.已知平面α⊥平面β，交线为AB，C∈α，D∈β，AB=AC=BC=4√3，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=8．①求证：BD⊥平面α；②求证：平面AED⊥平面BCD；③求三棱锥A−DCE的体积．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a=2，c=√2，cosA=−√2．4求sin C和b的值．17.(本题8分)已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；(2)求二面角A−ED−B的正弦值；(3)求此几何体的体积V的大小。
江苏省普通2020届高考对口单招文化数学试卷 (含答案解析)
江苏省普通2020届高考对口单招文化数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合M ={−1,1}，N ={2,1，0}，则M ∪N =( )A. {0,−1,1}B. {0,−1,2}C. {1,−1,2}D. {1,−1,0，2} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )A. −5B. −10C. 149 D. −169 3. 已知向量a ⃗ =(−3,2，5)，b ⃗ =(1,x ，−1)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则x 的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 两条直线A 1x+B1y+C1=0，A 2x+B2y+C2=0，互相垂直的充分必要条件是( )A. A 1A2B 1B 2=−1 B. A 1A2B 1B 2=1 C. A 1A2+B1B2=0D. A 1A2−B1B2=05. 现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的派遣方法有( )A. 36种B. 54种C. 24种D. 60种6. 经过抛物线y 2=4x 的焦点且垂直于直线3x −2y =0的直线l 的方程是( )A. 3x −2y −3=0B. 6x −4y −3=0C. 2x +3y −2=0D. 2x +3y −1=07. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则异面直线AC 1与BB 1所成角的余弦值为( )A. 0B. １３C. √63D. √338. 下列说法正确的是( ) A. 合情推理是正确的推理 B. 合情推理是归纳推理C. 归纳推理是从一般到特殊的推理D. 类比推理是从特殊到特殊的推理9. 已知函数在(0,4π3)上单调递增，在(4π3,2π)上单调递减，则ω=( )A. 12B. 1C. 32 D. 4310. 已知函数f (x )={2x +1,x ≥0,|x|,x <0,且f (x 0)=3，则实数x 0=( )A. −3B. 1C. −3或1D. −3或1或3二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是______ ．12. 参数方程{x =−1+2cosθy =2+2sinθ(θ为参数0≤θ<2π)所表示的曲线的普通方程是______ ． 13. 在{a n }为等比数列，a 1=12，a 2=24，则a 3= ______ ． 14. 已知sin(α−π)=23，且α∈(−π2,0)，则tanα= ______ ．15. 已知函数f(x)=x 2−4x +alnx 在区间[1,4]上是单调函数，则实数a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90.0分） 16. 已知函数f(x)=ax 2+x −a ，a ∈．(1)若函数f(x)的最大值大于178，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f(x)>1(a ∈).17. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x +1)=f(−x +1)．(1)求证：函数f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)=x 2−2x(0<x ≤1)，求当x ∈[−5,−4]时，函数f(x)的解析式．18.有3张卡片，上面分别标有数字1，2，3.从中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片．(Ⅰ)写出这个实验的所有基本事件；(Ⅱ)求两次抽取的卡片上数字之和等于5的概率；(Ⅲ)求两次抽取的卡片上数字相同的概率．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A+B)a+b =sinA−sinBa−c，b=3．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若cosA=√63，求△ABC的面积．20.某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙.先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为(50m+100m2)元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元(总造价=立柱造价+玻璃造价)．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a=56时，怎样设计能使总造价最低？21.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a+√a}的前84项和．22.某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(−√3,12)，且点F(√3，0)为其右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B.已知点A 的坐标为(−a,0)，点Q(0,y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求y 0的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵M={−1,1}，N={2,1，0}；∴M∪N={−1,1，2，0}．故选：D．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查空间向量数量积运算，考查计算能力，属于基础题．利用空间向量坐标运算a⃗⋅b⃗ =−3+2x−5=2，建立方程求解即可．【解答】解：因为a⃗=(−3,2，5)，b⃗ =(1,x，−1)，所以a⃗⋅b⃗ =−3+2x−5=2，解得x=5．故选C．4.答案：C解析：两直线垂直满足斜率之积为−1.∴(−A1B1)(−A2B2)=−1，∴A1A2+B1B2=0．5.答案：A解析：【分析】本题考查排列组合的应用，属于较易题.组队情况有2，4型和3，3型．2，4型只能是1男1女和2男2女，；3，3型只能是2男1女和1男2女，分别求出派遣方法，相加即可．【解答】解：组队情况有2，4型和3，3型．2，4型只能是1男1女和2男2女，此时有C31C31种方法；3，3型只能是2男1女和1男2女，此时有C32C31种方法．综上，共有(C31C31+C32C31)A22=36(种)方法，故选A．6.答案：C解析：解：设垂直于直线3x−2y=0的直线l的方程为2x+3y+c=0，由于直线l经过抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，所以c=−2．故选C．设出垂线方程，求出焦点坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的基本性质，直线方程的应用，考查计算能力．7.答案：D解析：本题考查异面直线所成角，属于基础题，解决异面直线所成角关键是平移，将空间问题化为平面问题，解三角形可得．如图，由于BB1//CC1，所以异面直线AC1与BB1所成的角即为直线AC1与CC1所成角，所以在Rt△ACC1中，∠AC1C为所求角．如图，由于BB1//CC1，所以异面直线AC1与BB1所成的角即为直线AC1与CC1所成角，所以在Rt△ACC1中，∠AC1C为所求角，∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设棱长为1，则CC1=1，AC1=√3，，即异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为√3．3故选D．8.答案：D解析：本题主要考查推理定义的理解，理解推理的概念是解题的关键，属于基础题．类比推理是从特殊到特殊的推理过程．解：根据类比推理是从特殊到特殊的推理过程，正确，故选D.9.答案：A解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意可知函数在时，取最大值，得4π3×ω−π6=2kπ+π2，k∈Z，并且周期，从而求出ω的值即可．解：根据题意，函数在(0,4π3)上单调递增，在(4π3,2π)上单调递减，则f(x)在x=4π3处取得最大值，并且周期，则有4π3×ω−π6=2kπ+π2，k∈Z，且，变形可得ω=3k2+12，k∈Z，且ω≤34，当k=0时，ω=12，故选A．10.答案：C解析：本题考查分段函数求函数值，属于基础题．一般按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值即可．解：当x0≥0时，由f(x0)=2x0+1=3，得x0=1，符合要求；当x0<0时，由f(x0)=|x0|=3，得x0=−3(舍去x0=3)．综上所述，x0=1，或x0=−3．故选C．11.答案：4。
2023届新高考数学复习：专项(唯一零点求值问题)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（唯一零点求值问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-26．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．17．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．188．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．210．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或111．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．112．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．213．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．314．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．1215．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－116．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．417．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232xf x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______. 21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【答案解析】设()(2)e e x xg x f x x a -=-=+++，定义域为R,∴()e e e e ()x x x xg x x a x a g x ---=-+++=+++=，故函数()g x 为偶函数，则函数(2)f x -的图象关于y 轴对称， 故函数()f x 的图象关于直线2x =-对称， ∵()f x 有唯一零点， ∴(2)0f -=，即2a =-． 故选：D ．2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．1【答案】C【答案解析】令()()ππ44sin cos 0x x f x e ea x x --=+-+=，则π44ππs in 4x x eex --⎛++=⎫ ⎪⎝⎭，记π4x t -=，则πsin cos 2t t e e t t -⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，令(),t t e t g e -=+则()(),()t t g t t e e t g g -=-∴=-+，所以()g t 是偶函数，图象关于y 轴对称，因为()f x 只有唯一的零点，所以零点只能是0,t =2,a =∴=故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xe x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1-【答案】A【答案解析】函数()()222212e222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点， 设2x t -=，则函数()212e 222t tt y a a -=-+-有唯一零点，则()212e 222t tt a a --+=设()()()()()112e 222e 2222t t t tt t g t a g t a g t ---=-+-=-+= ，，∴()g t 为偶函数，∵函数()f t 有唯一零点， ∴()y g t =与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ，∴-= 解得2a =- 或1a =（舍去），故选A ．5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-2【答案】C【答案解析】注意到直线1x =是13e x y -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得，所以 ()21320f a a =--=，又0a <,解得3a =-.选C.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【答案解析】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 7．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．18【答案】D【答案解析】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+， 因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++， 故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点， 结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+. 故选：D8．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C【答案解析】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ， ()f x \为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x \的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+， 又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， 12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【答案解析】由题设，()()()()()()e e xxg x h x x g x h x x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩，可得：()e e 2x xg x -+=，由()()12e12λλ-=+--x f x g x ，易知：()f x 关于1x =对称.当1x ≥时，1112()e (e e )22x x x f x λλ---=++-，则111()e (e e )02x x x f x λ---'=+->，所以()f x 单调递增，故1x <时()f x 单调递减，且当x 趋向于正负无穷大时()f x 都趋向于正无穷大， 所以()f x 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即()10f =，解得1λ=. 故选：C10．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或1【答案】C【答案解析】由题意，函数()g x ，()h x 分别是奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，可得()()()()()()33x x g x h x e x x g x h x g x h x e x x -⎧+=+-⎪⎨-+-=-+=-+⎪⎩，解得()2x xe e h x -+=， 则()()2x xe e h x h x -+-==，所以()h x 为偶函数，又由函数()()2022220226x f x h x λλ-=---关于直线2022x =对称，且函数()f x 有唯一零点，可得()20220f =，即00022602e e λλ+⨯-=-， 即2160λλ--=，解得13λ=或12λ=-.故选：C.11．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【答案解析】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭， 令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t t t tg t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点， 所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=， 解得12a =-，故选：B12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．2【答案】C【答案解析】函数()f x 的定义域为()1,a -，则1a >-，()1121f x x x x a'=--+-， 则()()()2211201f x x x a ''=++>+-，所以，函数()f x '在()1,a -上为增函数，当1x +→-时，()f x '→-∞，当x a -→时，()f x '→+∞， 则存在()01,x a ∈-，使得()000011201f x x x x a '=--=+-，则0001121x a x x =--+， 当01x x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当0x x a <<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，()()()()20000min ln 1ln f x f x x x a x ∴==-+--，由于函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则()()()()20000min ln 1ln 0f x f x x x a x ==-+--=，由0000112011x a x x x ⎧=->⎪-+⎨⎪>-⎩，解得01x -<<所以，()()()2220000000200002111ln 1ln ln 1ln 2ln 0111x x x x x x x a x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++-=+-=⎢⎥ ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()()2212ln 11x x x x x ϕ⎡⎤=+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，其中112x --<<， ()()()()()()()()()2432322212222482422122221122111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤++++++'=+⋅-=+=⎢⎥--+-++-++⎢⎥⎣⎦()()()()222241222211x x x xx x ++-=+-+，112x -<<，则22210x x +-<，10x +>，220x ->，则()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，且()00ϕ=，00x ∴=， 从而可得11a=，解得1a =. 故选：C.13．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】A【答案解析】由已知条件可知()()()()()()xxg x h x e xg x h x e x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩由函数奇偶性易知()2x x e e g x -+=令()()226xx g x ψλλ=+-，()x ψ为偶函数.当0x ≥时，()'2202x xxe e x ln ψλ--=+>，()x ψ单调递增，当0x <时，()x ψ单调递减，()x ψ仅有一个极小值点()0,f x ()x ψ图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，则函数只有1一个零点，即()10f =， 解得12λ=，故选：A14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．12 【答案】D【答案解析】因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2t t g t t a t -=+++-，因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a e e f x x --+=-+++--有唯一零点， 所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－1【答案】B【答案解析】设()(3)||x x g x f x x e e m -=+=+++，∴()||||()x x x x g x x e e m x e e m g x ---=-+++=+++=故函数()g x 为偶函数，则函数(3)f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线3x =对称， ∵()f x 有唯一零点∴(3)0f =，即2m =-，经检验，33()|3|2x x f x x e e --=-++-仅有1个零点3x =.故选：B.16．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．4【答案】B 【答案解析】22()(1)14f x b x x b =-+-+-，令1t x =-， 则有22()4g t bt t b =++-是偶函数，若只有唯一零点，则必过原点，即(0)0g =，从而2b =±.当2b =-时，有3个零点，舍去.故2b =，此时10t a =-=，则1a =，故3a b +=.故选：B17．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ） A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin x g x h e x x x ++=-，① 且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin x x g x e x x h -+---=++，得：()()sin x e x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=， 由于2021x -关于2021x =对称， 则20213x -关于2021x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2021g x -关于2021x =对称，由于()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则必有()20210f =，()01g =，即：()()0223022021120g f λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232x f x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.【答案】1±【答案解析】()2,32()x x R f x m x m f x -∈-=--+-=()f x ∴是偶函数 根据偶函数的性质，可得(0)0f =，02320m +-=，解得1m =±当1m =时，此时()31xf x x =--，有唯一零点； 当1m =-时，此时()31xf x x =+-，也有唯一零点； 故1m =±时有唯一零点.故答案为：1±19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.【答案】1-【答案解析】因为x R ∈，又||2()2||2()x f x a x a f x --=--+-=，所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得(0)0f =，所以02220a +-=，解得1a =±.当1a =，此时||()2||1x f x x =--，知1(2)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()f x 有零点(1x =)，不符合题意： 当1a =-，此时||()2||1x f x x =+-在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，根据偶函数对称性，符合题意；所以1a =-.故答案为：1-20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln 224--【答案解析】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当>4x 时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--，要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--.故答案为：16ln 224--．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 【答案】12【答案解析】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a =， 故答案为：12.三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.【答案】 1 1-或12【答案解析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有(0)0g =，因为()()2x f x g x x +=-，所以(0)(0)1f g +=，所以(0)1f =，令||2()2()2x F x f x λλ=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以||2||2()2()22()2()x x F x f x f x f x λλλλ--=---=--=，所以()F x 是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以|2021|2()2(2021)2(2021)x h x f x F x λλ-=---=-，所以()h x 的图象关于2021x =对称，因为()h x 有唯一零点，所以(2021)0h =，即21(0)20f λλ--=，即2120λλ--=，解得1λ=-或12．故答案为：1，1-或12． 23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的答案解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.【答案】 ()12x x e e -+ 12或1-【答案解析】∵()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴()()g x g x -=，()()h x h x -=-又∵()()sin x g x h x e x x +=+-①，∴()()()()e sin x g x h x g x h x x x --+-=-=-+②①+②：2()e e x x g x -=+，∴()1()e e 2x x g x -=+, 又∵()()2021202112(2022021)21()3202123e 22x x x x f x g x e λλλλ----⎡⎤=---=-⋅+-⎣⎦， 又∵()f x 有唯一零点，等价于()213202x x x e e λλ--⋅+-=有唯一解， 设()21()322x x x t x e e λλ-=-+-， ∵()t x 为偶函数，∴当且仅当0x =时为唯一零点，∴2120λλ--=，解得12λ=或1λ=-. 故答案为：()12x x e e -+；12或1-。
2020届高三数学过关题9 立体几何 含解析
2020届苏州市高三数学过关题9 立体几何一.填空题 1. 给出下列命题：①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行． 上面命题中，真命题的序号__________.2. 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.其中正确命题的序号是__________.3. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ；②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ；④若γαβα//,⊥，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是__________.4. 如图，圆柱内有一个内接长方体1AC ，长方体的对角线为210，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为π100，圆柱的体积__________.5. 一个长方体的三条棱长分别为3，8，9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为__________.6. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 __________.7. 如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为__________cm 3．8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________.9. 如图，已知正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为__________cm.10. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为__________.11. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为__________.12. 如图，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为__________.13. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的 动点，设1,AE x B F y ==，若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围为__________.14. 一个封闭的正三棱柱容器，高为2a ，内装水若干（如 图甲，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点为11,,,E F F E ,分别为所在棱的中点，则图甲中水面高度为__________. 二.解答题15. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E 、分别是棱1BC CC 、上的点（点D 不同于点C ），且AD DE ⊥，F 为棱11B C 上的点，且111A F B C ⊥．F E 1EF 图乙A 1B 1CB图甲A B 11CB A求证：（1）平面ADE 平面BCC B；11（2）A F∥平面ADE．1FA B CPDE16. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证：（1）EF ∥平面PAD ；（2）EF ⊥平面PDC .17.如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是△ABC 的中心． (1)若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；(2)若AD 上存在点N ，使MN ∥平面BCD ，求ANND的值．18.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥ 平面BCE ，BE EC ⊥．DB（1）求证：平面AEC ABE ⊥；（2）若点F 在BE 上，且//DE 平面//ACF ，求BFBE的值．19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点．（1）求证：//MN 平面11AA C C ；（2）若11CC CB =，CA CB =，平面11CC B B ⊥ 平面ABC ，求证：AB ⊥ 平面CMN ．NC 1B 1BA 1MCA20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，若4,43,28AD BD AB CD ====．（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥ 平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，//PA 平面MBD ？ （3）求四棱锥P ABCD -的体积．2020届苏州市高三数学过关题9 立体几何立体几何是江苏高考的必考知识点，一般考查填空题一题（中间位置左右），解答题一题（第15题或第16题）。
2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习
专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】 令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】 －2【解析】 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】 要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立， 所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析
2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。
2020年高考卷理科数学（江苏卷）附答案
2. 3. 4.已知集合如｛一顷封如｛M3｝则刀口=已知i是虚数单位，贝愎数z=（E）（2t）的实部是已知一组数据4,2a.3・a ,5,6的平均数为4,则a的值是.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次观察向上的点数，则点数和为5的概率是o4. S.右图是一个算法流程图,若输出y的值为2则输入x的值为ago6.2在平面宜角坐标系xOy中若以仙线/5=l(a>0)的一条渐近线方w程为'一2二则该双曲线的离心率是—o27.已知y=f（x>是奇函数，当x>0时，/⑴二F，则，（一8）的值是。
sin2（—+«）=—.8.已知43,则sm2a的值是_。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，己知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm\* = 3sin 2x + —10.将函数 I 4的图像向右平移M 个单位长度，则T 移后的图像与*轴最近的对称轴方程是—0U.设｛■｝是公差为〃的等差数列，｛如｝是公比为q 的等比数列，己知数列 ｛"心的前项和&顼-"1*^),则d+g 的值是—。
12.已知5xy +/=l(W e/e)t 则x 2+/的最小值是。
13.在△此中，t !B = 4, 4C=3.匕助C=90。
，。
在边AC 延长血坦炉，使得如=9,若是一 O后=血而专_』无(S 为常数),则co 的於度«㈣■14 .在平面直角坐标系H 夕中尸修。
已知I z 4、B 是圆 2)=36上的两个动点，满足PA=PB ,则△ "8的面积的最大值是15.在三棱柱如C —44G 中，ABLAC. B X CL 平面"分别是AC> %7的中点<1)求证：£少〃平面"MG ：< 2)求证：平面^C±平面“时16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=3,c=旧,B=45。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
高考数学填空中高档题专练
江苏高考数学填空中高档题专练2018.5.221. 等比数列{a n }的公比大于1， a 5－a 1＝15， a 4－a 2＝6， 则a 3＝____________．2. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后， 得到函数f(x)的图象， 若函数f(x)是偶函数， 则φ的值等于________．3.已知函数f(x)＝ax ＋bx(a ，b∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直， 且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．4.已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0， 1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．5. △ABC 中， 角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ， 若tanA ＝2tanB ， a 2－b 2＝13c ，则c ＝____________．6. 已知x ＋y ＝1， y ＞0， x ＞0， 则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．7. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数， 若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立， 则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx在开区间(a ， b)(a ＞0)上单调性相反， 则b －a 的最大值等于____________． 8. 在等比数列{a n }中， 若a 1＝1， a 3a 5＝4(a 4－1)， 则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1， |b|＝2， a ＋b ＝(1， 2)， 则向量a ， b 的夹角为____________． 10.直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ， 则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位， 若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中， AB ＝2， AC ＝3， 角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ， 若AO →＝xAB →＋yAC →(x ， y ∈R )， 则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)， g(x)＝x 2－ax －a ＋3， 若存在实数x 1， x 2， 使得f(x 1)＝g(x 2)＝0， 且|x 1－x 2|≤1， 则实数a 的取值范围是____________． 15. 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1， 2， 3， 4， 5， 6)， 则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为__________．16.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1， r 2， r 3， 则r 1＋r 2＋r 3＝____________．17. 已知θ是第三象限角， 且sin θ－2cosθ＝－25， 则sinθ＋cosθ＝____________．18. 已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ， 则|T n |取得最小值时的n 的值为____________．19.若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝____________．20.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x ≥0，k∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0， 则＝____________．21. 已知ab ＝14， a ， b ∈(0， 1)， 则11－a ＋21－b 的最小值为____________．22.在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为__________．23.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为____________．24. 对于数列{a n }， 定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)， 且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)， a 3＝1， a 4＝－1， 则a 1＝__________．25.已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为__________．26. 过曲线y ＝x －1x (x ＞0)上一点P(x 0， y 0)处的切线分别与x 轴， y 轴交于点A ， B ，O 是坐标原点， 若△OAB 的面积为13， 则x 0＝____________．27.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动， 点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA→·PB→≤0，则线段EF 长度的最大值是____________．28. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－|x3－2x2＋x|，x ＜1，lnx ，x ≥1，若对于t ∈R ， f(t)≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是____________．29.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥MPAD 的体积为__________．30. 已知实数x ， y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y≤10，4x ＋3y≤20，x≥0，y≥0，则2x ＋y 的最大值为____________．31.已知平面向量a ＝(4x ，2x )，b ＝⎝⎛⎭⎫1，2x －22x ，x∈R .若a ⊥b，则|a －b|＝__________．32. 已知等比数列{a n }的各项均为正数， 且a 1＋a 2＝49， a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40， 则a7＋a8＋a99的值为__________．(第12题)33. 如图， 直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ， ∠DAB ＝90°， AD ＝AB ＝4， CD ＝1， 动点P 在边BC 上， 且满足AP →＝m AB →＋n AD →(m ， n 均为正实数)， 则1m ＋1n 的最小值为____________．34.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上， 过P 分别作圆O ， O 1的切线， 切点分别为A ， B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个， 则实数b 的取值范围是____________．35. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－3x ，x≤0，ex ＋e2，x ＞0.若不等式f(x)≥kx 对x ∈R 恒成立， 则实数k 的取值范围是____________．答案1. 4 解析：由a 5－a 1＝15， a 4－a 2＝6(q>1)， 得q ＝2， a 1＝1， 则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．2. π3解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后， 得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象， 函数f(x)是偶函数， π6－2φ＝π2＋k π， 而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．3. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋bx(a ， b ∈R ， b ＞0)的图象在点P(1， f(1))处的切线斜率为2, f′(1)＝2， 得a －b ＝2， 由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， f′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立， 得a 4≥b ， 又a ＝2＋b ， 则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．4. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ， 当3a －2＝0时， 即a ＝23， 则有b －a ≤1， 即b ≤a ＋1， 所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0， 即a ＞23时，函数f(m)在[0， 1]上单调递增， f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1， 则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a ＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0， 即a ＜23时， 函数f(m)在[0， 1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a ≤1， 则b ≤a ＋1， 所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．5. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinBcosB， 结合正、余弦定理转化为边的关系，有2abc b2＋c2－a2＝2×2abc a2＋c2－b2， 化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．6. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中， 得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x， 设y x＝t ＞0， 则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t ＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54， 当且仅当t ＝12时， 即x ＝23， y ＝13时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形， 以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．7. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ， b)上为单调增函数， 所以f(x)＝13x 3－2ax 在区间(a ， b)上单调减， 故x ∈(a ， b)， f ′(x)＝x 2－2a ≤0， 即a ≥b22， 而b ＞a ，所以b ∈(0， 2)， b －a ≤b －b22＝－12(b －1)2＋12， 当b ＝1时， b －a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题. 8. 4 解析：由a 1＝1， a 3a 5＝4(a 4－1)， 得q 3＝2， 则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式， 以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1， 2)， 得(a ＋b )2＝3， 则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cosθ， cosθ＝－12， 则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ， 0)， 半径的平方为a 2－a ， 圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0， 1)∪(4， ＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴ f(0)＝f(2)， 结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2， 解得0<x<1或x>4， ∴ 解集为(0， 1)∪(4， ＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质， 以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)， 即y ＝sin(2x ＋2φ)， ∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32， ∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π， k ∈Z ， 即φ＝k π或φ＝π6＋k π， k ∈Z .∵ φ>0， ∴φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线， ∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB →＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →， ∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ， 则AO →＝2xAD→＋y AC →.∵ C 、O 、D 三点共线， ∴ 2x ＋y ＝1 ②， 由①②得x ＝38， y ＝14， ∴x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2， 3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0， ∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2， ∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0， 2]上有解， ∴ a ＝x2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1， 3]， 则x ＝t －1， a ＝（t －1）2＋3t ， 即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减， 在[2， 3]上递增， 则当t ＝2时a 的最小值为2， 当t ＝1时a 的最大值为3， ∴ a 的取值范围为[2， 3]．本题考查了函数的单调性， 分离参数构造新函数， 对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15.16解析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件， 则事件“两次向上的数字之和等于7”共有6种，则其发生的概率为16.本题考查用列举法解决古典概型问题， 属于容易题．16. 5 解析：三个圆锥的底面周长分别为53π， 103π， 5π， 则它们的半径r 1， r 2，r 3依次为56， 53， 52，则r 1＋r 2＋r 3＝5.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系．本题属于容易题．17. －3125 解析：由sinθ－2cosθ＝－25， sin 2θ＋cos 2θ＝1， θ是第三象限角，得sinθ＝－2425， cosθ＝－725，则sinθ＋cosθ＝－3125.本题考查同角的三角函数关系．本题属于容易题．18. 5或6 解析：由a 5＝15， a 10＝－10， 得d ＝－5， 则a n ＝40－5n ， T n ＝3(a n ＋ a n ＋5)＝15(11－2n),则|T n |取得最小值时的n 的值为5或6.本题考查了等差数列的通项公式以及性质．本题属于中等题．19. 18 解析：由直线l 1和直线l 2将圆分成长度相等的四段弧， r ＝22， 知：直线l 1和直线l 2之间的距离为4， 圆心到直线l 1、直线l 2的距离都为2， 可得a ＝22＋1， b ＝1－22， 则a 2＋b 2＝18.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式．本题属于中等题．20. 12解析：由|sinx|－kx ＝0有且只有三个根， 又0为其中一个根，即y ＝kx 与y ＝|sinx|相切， 设切点为(x 0， y 0)， 由导数的几何意义和斜率公式得－cosx 0＝y0x0，即得tanx 0＝x 0，.本题综合考查了函数的图象变换， 导数的几何意义和斜率公式， 三角变换等内容．本题综合性强， 属于难题．21. 4＋423 解析：将b ＝14a 代入y ＝11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1， 其中14<a<1，求导得y′＝1（1－a ）2－8（4a －1）2＝0， 则a ＝－12＋342， 代入y ＝11－a ＋21－b，得y 的最小值为4＋423.本题综合考查了代数式变形，以及利用导数求最值．本题属于难题．23. 1＋32解析：设AB ＝BC ＝2， 由题意知2c ＝2， 23－2＝2a ， 则c ＝1， a ＝3－1，则双曲线的离心率为1＋32.本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题．22.33 解析：设O 到平面VAB 的距离为h ， 由V VOAB ＝V OVAB 得13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×32×h ， 则h ＝33.本题考查了等积法求点到平面的距离， 属于容易题．24. 8 解析：b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2， 由b 3－b 2＝1， 则b 2＝－3， 而b 2＝a 3－a 2＝－3， 得a 2＝4.又b 2－b 1＝1， 则b 1＝－4， 而b 1＝a 2－a 1＝4－a 1＝－4， 则a 1＝8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项， 属于容易题．25. ⎝⎛⎦⎤0，233 解析：设△ABC 中， a ＝|β|＝1， A ＝60°， |α|＝c ， 由正弦定理得a sinA ＝c sinC ， 则asinC sinA ＝c ， 即c ＝233sinC.又0<sinC ≤1， 即c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，233， 则α的模的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，233.本题考查了利用正弦定理将向量问题转化成解三角形问题，属于中等题．26. 5 解析：题考查了导数的几何意义、直线方程， 属于中等题．27. 14 解析：因为圆心C 到直线l 的距离d ＝322>2，所以直线l 与圆C 相离．因为点P 在直线l 上， 两点A ， B 在圆C 上， 所以|PA →|>0， |PB→|>0.因为PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cosθ≤0， 所以cosθ≤0， 所以PA →与PB→的夹角∠APB 为钝角或直角．因为圆C 上存在两点A ， B ， 使得PA →·PB →≤0， 所以只要PA ， PB 分别与圆C 都相切时使得∠APB 为钝角或直角，此时点P 所在的线段长即为线段EF 长度的最大值．当PA ， PB 分别与圆C 都相切时， 在Rt △CAP 中， 当∠APB 为直角时， ∠CPA ＝45°， CA ＝2， 则PC ＝22.所以，线段EF 长度的最大值为2PC2－d2＝2（22）2－⎝⎛⎭⎫3222＝14.本题考查了直线与圆的位置关系、向量数量积等内容．本题属于难题．28. ⎣⎡⎦⎤1e ，1 解析：① 当t ≥1时， f(t)＝lnt ， 即lnt ≤kt 对于t ∈[1， ＋∞)恒成立，所以k ≥lnt t ， t ∈[1， ＋∞)．令g(t)＝lnt t ， 则g′(t)＝1－lntt2， 当t ∈(1， e)时， g′(t)>0，则g(t)＝lnt t 在t ∈(1， e)时为增函数；当t ∈(e ， ＋∞)时， g′(t)<0， 则g(t)＝lntt在t ∈(e ，＋∞)时为减函数．所以g(t)max ＝g(e)＝1e ， 所以k ≥1e.② 当0<t<1时， f(t)＝－t(t －1)2，即－t(t －1)2≤kt 对于t ∈(0， 1)恒成立， 所以k ≥－(t －1)2， t ∈(0， 1)， 所以k ≥0.③ 当t ≤0时， f(t)＝t(t －1)2， 即t(t －1)2≤kt 对于t ∈(－∞， 0]恒成立， 所以k ≤(t －1)2， t ∈(－∞， 0]， 所以k ≤1.综上， 1e≤k ≤ 1.本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容， 借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．29. 3 解析：三棱锥MPAD 的底面MAD 的面积为3， 高PA ＝3， 则体积为3， 本题主要考查锥体的体积公式， 属于容易题．30. 7.5 解析：作出可行域发现最优解为⎝⎛⎭⎫54，5， 则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为2.5＋5＝7.5.本题考查线性规划解决最值问题， 属于容易题．31. 2 解析：由4x ＋2x －2＝0， 得2x ＝1， 所以x ＝0， 则a －b ＝(0， 2)， |a －b|＝2.本题考查了指数方程， 向量数量积的坐标运算及模的求法．本题属于容易题．32. 117 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 1＋a 2＝49， a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40， 则49q 2＋49q 4＝40， 则q ＝3， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝49＋40， a 1＋a 2＋a 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝49＋40， 得a 1＋a 2＋a 3＝139， 则a7＋a8＋a99＝19(a 1＋a 2＋a 3)q 6＝19×139×93＝117.本题考查了等比数列中的整体思想求和， 属于中等题．33. 7＋434 解析：(解法1)设AB →＝a ， AD →＝b ， 则BC →＝－34a ＋b ， 设BP →＝λBC →， 则AP→＝AB →＋BP →＝⎝⎛⎭⎫1－34λa ＋λb .因为AP →＝m a ＋n b ， 所以有 1－34λ＝m ， λ＝n ， 消去λ得m ＋34n ＝1， 1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫m ＋34n ⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝1＋3n 4m ＋m n ＋34≥74＋23n 4m ·m n＝7＋434.(解法2)以A 为原点， AB 为x 轴， AD 为y 轴建系， 则A(0， 0)， B(4， 0)， C(1，4)， 设BP →＝λBC →＝(－3λ， 4λ)， 则AP →＝AB →＋BP →＝(4－3λ， 4λ)．因为AP →＝mAB →＋nAD→＝(4m ， 4n), 所以有 4－3λ＝4m ， 4λ＝4n ， 消去λ得m ＋34n ＝1(下同解法1)．本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算， 利用基本不等式， 运用“1”的代换求最值．本题属于中等题．34. ⎝⎛⎭⎫－203，4 解析：设P 点坐标为(x ， y)， ∵ PB ＝2PA ， ∴ PB 2＝4PA 2， 即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)， 整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0， r ＝83.因为P 点有且只有两个， 所以直线和圆相交， 故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83， 解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上， 所以3y ＝－x ＋b ， 代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0， 得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个， 所以方程有两个不相等的根， 即Δ>0， 整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系， 以及一元二次不等式的解法， 突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题．35. [－3， e 2] 解析：① 当x ＝0时， 0≥0， 所以k ∈R .② 当x<0时， 2x 2－3x ≥kx ， 同除以x ， 即k ≥2x －3恒成立， 所以k ≥－3.③ 当x>0时， e x ＋e 2≥kx ， 同除以x ， 即k ≤ex ＋e2x 恒成立， 令g(x)＝ex ＋e2x， 下面只需求出g(x)的最小值．g′(x)＝（x －1）ex －e2x2， 令g′(x)＝0， 即(x －1)e x －e 2＝0.令h(x)＝(x －1)e x －e 2， h ′(x)＝xe x >0，所以h(x)在x ∈(0， ＋∞)上是单调递增函数．显然x ＝2是方程(x －1)e x －e 2＝0的根， 由单调性可知x ＝2是唯一实数根．当x ∈(0， 2)时g(x)单调递减， 当x ∈(2， ＋∞)时， g(x)单调递增， 所以g(2)是函数g(x)的最小值， 且g(2)＝e 2， 所以k ≤e 2.综上， 实数k 的取值范围是[－3， e 2]．本题突出了函数思想和分类讨思想， 考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．。
2020届高考数学专题复习-集合及其表示方法(解析版)
2020届高考数学专题复习-1.1 集合及其表示方法一、选择题1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程的实数根【答案】D【解析】选项，，中给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；选项中方程的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．故选．2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}={0，1，2，3}．即集合A 中的元素个数是4．故选：B ．3．用列举法表示集合{}2|40A x x =-=正确的是（ ）A. −2,2B. {−2}C. {2}D. {−2,2}【答案】D【解析】由x 2−4=0，解得：x=±2，故A={−2,2}，本题选择D 选项.4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A ．9B ．5C ．3D ．1 【答案】B【解析】因为集合A ＝{0,1,2}，所以集合{2,1,0,1,2}B =--,所以集合B 中共有5个元素，故选B. 5．下列说法正确的是（ ）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】C【解析】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误故选C6．集合{x|x≥2}表示成区间是A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，2]【答案】B【解析】集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．点睛：(1)用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为()A．4 B．5 C．10 D．12【答案】D【解析】由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足x是正整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．8．不等式的解集用区间可表示为A ．（–∞，）B ．（–∞，]C ．（，+∞）D ．[，+∞）【答案】D【解析】解不等式2x –1≥0，得x ≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）．故选D ． 9．下列说法正确的是（ ）A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素， {}0是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当x N ∈时， y N ∈，故集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是无限集；由于方程2210x x ++=可化为方程()210x +=，所以1x =-（只有一个实数根），即方程2210x x ++=的解集只有一个元素，应选答案D 。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
高考数学_选择填空理科(十四)
小题专练理科（十四）一、选择题1．设i 是虚数单位，若复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，则0z z ⋅=( )A ．5B ．3-C ．14i +D ．14i - 2．已知集合{}(){}224,ln 2M y y x N x y x x ==-==-，则( ) A ．M N ⊂ B ．N M ⊂ C ．MN =∅ D ．M N R ≠3．在20-到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．704．我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率p 的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是( )A ．n m B ．2n m C ．3n m D ．2mn5．已知直线3y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A ．(3 B ．()1,2 C ．)3,+∞ D ．()2,+∞6．若命题“2,10x R x px ∃∈++<”的否定是真命题，则化简224444p p p p -++++( )A ．4B ．4-C ．2pD ．2p -7．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是( )A ．12B ．35C ．34D ．328．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43833π+ B 43833π+ C ．83433π+D ．4383π+ 9．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若12,cos 3a A ==，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．2B 2C ．12D 3 10．设函数()()()1,ln 1x f x e g x x =+=-．若点P 、Q 分别是()f x 和()g x 图象上的点，则PQ 的最小值为( ) A ．22 B 2 C 322D ．2 11．执行如图所示的程序框图，其中符号“[]x ”表示不超过x 的最大整数，则输出的n =( )A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是( )A ．[]2,2-B ．[][)2,24,-+∞C ．2,22⎡-+⎣D ．[)2,224,⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．13．已知5a x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项为20，其中0a >，则a =______．14．实数,x y 满足2421y x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤--⎩≤，则22x y xy +的取值范围是______．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______．16．已知圆22:1O x y +=．若对于点(),M x y ，在圆O 上总存在点N ，使6OMN π∠=，则全体M 点组成的集合D 的面积为______．小题专练理科（十四）答案及解析一、 选择题二、填空题1314．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．6π或56π 16．4π。
2020届江苏高考数学原卷版含附加题
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{0,2,3}B =，则A B = __________.2.已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是__________.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是__________.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________.5.右图是一个算法流程图.若输出y 值为2-，则输入x 的值是__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为y x =则该双曲线的离心率是__________.7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，23()f x x =，则(8)f -的值是__________.8.已知22sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是__________.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm 3.10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________.11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知{}n n a b +的前n 项和()2*21n n S n n n =-+-∈ ，则d q +的值是__________.12.已知()22451,x y y x y +=∈ ，则22x y +的最小值是__________.13.在ABC △中，4AB =，3AC =，90BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =.若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(m 为常数)，则CD 的长度是__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知2P ⎫⎪⎪⎝⎭，A B 、是圆221:362C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭上的两个动点，满足PA PB =，则PAB △面积的最大值是__________.二、解答题15.在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点.（1）求证：//EF 平面11AB C ；（2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB .16.在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.已知3a =，c =45B = .（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，'OO 为铅垂线('O 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到'OO 的距离a (米)之间满足关系式21140h a =;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到'OO 的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到'OO 的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于'OO 的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(0k >)，问'O E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F 点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .(1)求12AF F △的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(),h x kx b k b =+∈ 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.(1)若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(),D =-∞+∞，求()h x 的表达式；(2)若2()1f x x x =-+，()ln g x k x =，()h x kx k =-，()0,D =+∞，求k 的取值范围；(3)42()2f x x x =-，2()48g x x =-，()(342()4320||h x t t x t t t =--+<≤，[,][D m n =⊆，求证：n m -≤20.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为"~"k λ数列.（1）若等差数列{}n a 是"~1"λ数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是~2"数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为"~3"λ数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】A.[选修4-2：矩阵与变换]平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -.（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1-M .B.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点1,3A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）.（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.C.[选修4-5：不等式选讲]设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<.22.在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 的中点.（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值.23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q .（1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）.。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。
2020年高考数学专题+二++第二关++以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题
2020年高考数学专题二 压轴填空题第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C. D ．【答案】A【解析】当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答R ()f x 0x ≥()3f x x =()()242f t f m mt ->+tm (,-∞()()),0-∞⋃+∞(),-∞⋃+∞0x <()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒R 242t m mt ⇒->+t 2442t mt t m ⇒->++t 201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞案[]1,1-.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()21112x n x ax ax++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题可设()()()21112f x x n x ax ax =++--则问题转化为()0f x <在()0+∞，上恒成立，则'12211f x ln x ax a x =+--+>-（）（），（ⅰ） 当0a ≤时'11210f x ln x a x =++-+，（）（）（）＞， 则()f x 在()0+∞，上单调递增，所以00f x f =（）＞（） 在()0+∞，上恒成立，与已知不符， 故0a ≤不符合题意．（ⅱ）当0a ＞时，令()1''21x f x x a x ϕϕ=-+（）（），＝，且()1011x ∈+，， 21a ≥， 即12a ≥时， ()1'201x a x ϕ-<+＝，于是x ϕ（）在0x ∈+∞（，） 上单调递减， 所以0120x a ϕϕ=-≤（）＜（）， 即'0f x （）＜ 在0x ∈+∞（，）上成立． 则()f x 在0x ∈+∞（，）上单调递减， 故00f x f =（）＜（）在()0+∞，上成立，符合题意．021a ＜＜，即102a ＜＜ 时，()12121110'2211a x a x a a x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--++＞，＝＝， 若1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＞，（）在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增； 若在112x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭，， 则'0x x ϕϕ（）＜，（）在112x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，又0120a ϕ=-（）＞， 则0x ϕ（）＞在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上成立，即'0f x （）＞ 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()f x 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，则00f x f =（）＞（）在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上恒成立．与已知不符，故102a ＜＜不符合题意．综上所述， a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.即答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立，记()()()G x f x g x =-，则max ()0G x ≤，本题中由于()G x 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值． 【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】【解析】令，则（ⅰ）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即（ⅱ）若 方程的正根为此时，若则，故在该区间为减函数．所以， 时， 即与题设相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是． 类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．()xxf x e e-=-0x ≥()f x ax ≥a (],2-∞g x f x ax =-（）（）''x x g x f x a e e a -=-=+-（）（），2a ≤0x ＞'20x xg x e e a a -=+--≥（）＞，g x （）0+∞（，）0x ≥00g x g ≥=（）（），f x ax ≥（）．2a ＞，'0g x =（）12lna x +=10x x ∈（，），'0g x （）＜g x （）10x x ∈（，）00g x g =（）＜（），f x ax （）＜，f x ax ≥（）a (],2-∞【答案】[4，＋∞)【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a≥331x x -，设g(x)＝331x x-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()32641633132x x x x x x⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．故答案为[4，＋∞)【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式，则只要求出()h x 的最大值M ，然后解()g a M >即可． 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e -=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 类型四 利用图像法求恒成立问题典例 3 【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={3,0l n x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内，函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．【举一反三】已知函数()f x =,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】[2,0]-. 【解析】试题分析：当0x >时，由|()|f x ax ≥，得|()|0f x ax -≥，即|ln(1)|0x ax +-≥，因为当0x >时，ln(1)0x +>，所以ln(1)0x ax +-≥，令ln(1)y x ax =+-，要使ln(1)0x ax +-≥，(0)x >成立，0a ≤；当0x =时，恒成立；当0x <时，由|()|f x ax ≥，得|()|f x a x≤，即2|2|x x a x -+≤，化简得|2|x a --≤，而|2|x --最大为2-，故2a ≥-，综上可得20a -≤≤. 【精选名校模拟】1．已知函数()()221f x ax a x =-+， ()1xg x e x =--，若对于任意的()10,x ∈+∞，2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1xg x e x =--（），则'1xg x e =-（），令'0g x （）＞，解得0x ＞；令'0g x （）＜，解得0x ＜． ()g x ∴在0-∞（，）是减函数，在0+∞（，） 是增函数，即min 00g x g==（）（）． 对于任意的()10,x ∈+∞， 2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则有10f x g ≤（）（） 即可．即不等式0f x ≤（）对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立， ()'221f x ax a =-+（），当0a =时， '10f x =-<（）， f x ∴（）在0+∞（，）是减函数， 00max f x f ∴==（）（） ， 0a ∴= 符合题意．当0a ＜时， ()'221f x ax a =-+（），， 令'0f x （）＞ ，解得212a x a +> ；令'0f x （）＜，解得212a x a+<． 当2102a a +< 即12a <-时， f x （）在0+∞（，） 是减函数， 00max f x f ∴==（）（） ， 0a ∴= （舍去）． 当2102a a +≥ 即102a -≤<时， f x （）在2102a a +（，）是增函数，在21,2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数，()()22121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） ，恒成立．得102a -≤< 102a ∴-≤<符合题意． 当0a ＞ 时，当x →+∞时， f x →+∞（），这与对于任意的0x ∈+∞（，） 时0f x ≤（） 矛盾．故不成立综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 即答案为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．【华大新高考联盟2018届高三】设函数()222(3x f x x e mx m e =-+为自然对数的底数），当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[]0,6e【解析】由题意可得： 2223x x e mx m ≥-恒成立， 令21222,3x y x e y mx m ==-，则()'2214224x x x y xe x e e x x =+=+， 令()2240x e x x +=可得： 120,2x x ==-，绘制函数21222,3x y x e y mx m ==-的图像如图所示， 满足题意时， 212xy x e =的图像不在223y mx m =-的图像的下方，设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为： ()00y y k x x -=-，即： ()()0022000224x x y x e e x x x x -=+-，切线过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，则： ()0022000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解方程可得： 00x =或01x =或043x =-， 结合函数图像可得： ()024m e ≤≤+，即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]0,6e .3．已知函数2()ln f x x x =，若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】 ∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.4．已知函数()2xf x e x =--，若任意的[]1,1a ∈-，总存在[]1,1x ∈-，使得()224f x t at ≤--恒成立，则t 的取值范围是__________．【答案】][(),33,-∞-⋃+∞ 【解析】∵()2xf x e x =--，∴()1xf x e '=-，∴当()1,0x ∈-时， ()()0,f x f x '<单调递减； 当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '>单调递增。
2020届高考数学填空题秒杀1-30
第一局2019江苏高考数学卷10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC的值是________．第12题图13.已知tan α＝－23，则sin α________．14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－(x －1)2，g (x )(x ＋2)，0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________．第二局2018江苏高考数学卷10.如图所示，已知正方体的棱长为2，则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．11.若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．12.在平面直角坐标系xOy中，已知A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，点B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．13.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1,则4a＋c的最小值为________．14.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，将A∪B中的所有元素按从小到大的顺序依次排列构成数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n，则使S n≥12a n＋1成立的n的最小值为________．第三局2017江苏高考数学卷10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11.已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．12.如图，在同一个平面内，已知向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tanα＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．13.设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )2，x ∈D ，，x ∉D ，其中集合D ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=*,1N n n n x x ，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．第四局2016江苏高考数学卷10.如图，在平面直角坐标系xO y 中，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．11.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＋a ，－1≤x ＜0，|25－x |，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f f 则f (5a )的值是________．12.已知实数x ，y －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．13.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．14.在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．第五局2015江苏高考数学卷10.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．11.已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，10项和为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．13.已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )，0＜x ≤1，2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．14.设向量a k cos k π6，sin k π6＋k ＝0,1,2，…，12)，则)(1110+=⋅∑k k k a a的值为________．第六局2014江苏高考数学卷10.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．11.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．12.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．12.已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．14.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．第七局2013江苏高考数学卷10.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．11.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．12.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，点F到l的距离为d2.若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为________．14.在正项等比数列{a n}中，已知a5＝12，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为________．第八局2012江苏高考数学卷10.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝－1≤x ＜0，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若a ＋3b 的值为________．11.设α为锐角，若＝45，则sin α________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．13.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．14.已知正数a ，b ，c 满足5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________.2011江苏高考数学卷10.已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2,若a ·b ＝0，则k 的值为________．11.已知实数a ≠0，函数f (x )x ＋a ，x <1，x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．13.设1≤a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．14.设集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤R y x m y x m y x ,,)2(2),222（，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．2010江苏高考数学卷10.y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P 作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．11.已知函数f(x)2＋1，x≥0，，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．13.在锐角三角形ABC中，已知A、B、C的对边分别为a、b、c，ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.14.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是________．10.已知偶函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f (3x )>f (x 2＋2)的解集为________．11.过直线l ：y ＝x －2上任意点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12.已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．13.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14.已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围为________．tan xα，10.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin2x与y＝18则sin2α的值为________．11.如图，正六边形ABCDEF中，若AD→＝λAC→＋μAE→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．第11题图12.如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m．若从离地高2m 的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．第12题图13.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝2.若对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[2,3]，使得x－1|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．14.在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若AB→·AC→＋BA→·BC→＝4CA→·CB→，则3 CD的最小值为________．CB＋1210.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11.有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b,1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为________．13.在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是________．14.已知函数f(x)＝12x2－a ln x＋x－12，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是________．10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)，B(5,0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．12.已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB→＋PC→)·AD→＝4 2.若AD＝2，则PB→·PC→的值为________．13.已知函数f(x)＋3，x≤0，3－12x＋3，x>0.设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为________．14.在△ABC中，若sin C＝2cos A cos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．10.已知点A (－1,0)，B (1,0)，若圆(x －a ＋1)2＋(y －a －2)2＝1上存在点M 满足MA →·MB →＝3，则实数a 的取值范围是________．11.对于函数y ＝f (x )，若f (x )≥x ，≥－x 内，则称该函数为“V 型函数”．下列函数：①y ＝x ＋1x；②y ＝|x －1x |；③y ＝e |x |；④y ＝|tan x |x －π2，其中是“V 型函数”的是________(填序号)．12.如图所示，矩形ABCD 的边AB ＝4，AD ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB (含端点B 、E )上的一点，则PA →·PB →的取值范围是________．第12题图14.已知函数f (x )＝32cos x (cos x ＋sin x )－322(x ∈R )，设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…都在函数y ＝f (x )图象上，且满足x 1＝π6，x n ＋1－x n ＝π4(n ∈N *)，则y 1＋y 2＋…＋y 2019的值为________．14.已知函数f (x )－1，1≤x <2，x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________．11.已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP→·CQ→＝________.12.已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．12.设a，b是非零实数，且满足a sinπ7＋b cosπ7a cosπ7－b sinπ7＝tan10π21，则ba＝________.13.已知函数f(x)＝a＋3＋4x－|x＋a|有且仅有三个零点，且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为________．14.若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且ln x－ln z＝e yz，则xy的最小值为________．10.已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2，若f (a ＋3)>f (a －1)，则实数a 的取值范围为________．11.在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k )2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝________.12.已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________.13.已知函数f (x )3－3x ＋2a ，x ≥a ，3＋3x －4a ，x <a ，若存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14.在△ABC 中，已知sin A sin B sin(C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θθ若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________.10.已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n＋1}是等比数列；③④数列{lg a2n}是等比数列．其中正确的命题有________个．11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为________．12.在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB→·AC→＝3，AC→·AD→＝2，则|AC→＋2AD→|的最小值为________．13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m,0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．14.已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x的值为________．10.已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1a，则b 的最大值为________．11.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．12.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2,3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．14.已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为________．10.若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________.11.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．12.平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB的平分线交线段AB 于点D .若|OC →|＝32，则|OD →|＝________.13.过原点的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为__________________________________．14.数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列{b n }的前n 项和为n 2.已知数列{a n －n }的前2018项和为1，那么数列{a n }的首项a 1＝________.10.设公差不为零的等差数列{a n}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________.11.已知θ是第四象限角，则cosθ＝45，那么________．12.已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1<x2<x3<x4，则x4＋1tan x4＝________.13.已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2＋(y－4)2＝4上两动点，且AB＝23，则PA→·PB→的最小值是________．14.在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,3)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．11.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝________.12.设函数f (x )x 2＋2x ，x ≥0，2x ，x ＜0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是________．第13题图13.设函数f (x )＝|2x －ax 2|，若对任意的x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是________．10.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．11.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n }也为公差为d 的等差数列，则d ＝________.12.已知x >0，y >0，x ＋y ＝1x ＋4y，则x ＋y 的最小值为________．13.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则b ＋c a的取值范围为________．10.设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PA，PB.若∠APB的最大值为π3，则r的值为________．11.设函数f(x)＝ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12.若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．13.设函数f(x)＝x3－a2x(a>0，x≥0)，O为坐标原点，A(3，－1)，C(a,0)．若对此函数图象上的任意一点B，都满足OA→·OB→≤OA→·OC→成立，则a的值为________．14.若数列{a n}满足a1＝0，a4n－1－a4n－2＝a4n－2－a4n－3＝3，a4na4n－1＝a4n＋1a4n＝12，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n<m成立，则m的最小值为________．10已知函数x e e x f x x sin 2)(--=-，则不等式0)()12(2≤+-x f x f 的解集为.11.在平面四边形ABCD 中，若E 为BC 的中点，,3,2==DE AE 则=+⋅)(DC AB AD .12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.0,2.0,lg )(x x x x f x 若函数1)(2--=a x f y 存在5个零点，则实数a 的取值范围为.13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点C B A ,),1,1(为圆4:22=+y x O 上的两动点，且,32=BC 若圆O 上存在点,P 使得,0,>=+m OP m AC AB 则正数m 的取值范围为.14.在ABC ∆中，设角C B A ,,的对边分别是,,,c b a 若c b a ,,2成等差数列，则C A sin 2sin 3+的最小值为.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a =▲．11．如图，已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，有相同的焦点F ，双曲线的焦距为2c ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为▲．12．在平面凸四边形ABCD中，AB =，3CD =，点E 满足，且AE=BE=2．若的值为▲．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为▲．14．已知函数22e ()ln 0x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，．若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，求实数a 的取值集合为▲．y x O AB F 第11题10．若向量a ，b 满足1a = ，2b = ，且a ，b 的夹角为3π，则a b + ＝．11．在△ABC 中，若a ＝2，∠B ＝60°，b =，则c ＝．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴相交于A(1，0)、B(3，0)两点，且与直线10x y -+=相切，则圆C 的标准方程为．13．在△ABC 中，BC ＝6，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅ 的最小值为．14．函数32()f x x bx cx d =+++在区间[﹣1，2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为．10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm 的半圆，则该圆锥的体积为cm 3．11．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 过点A(0，﹣8)，且与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆C 的方程为．12．在△ABC 中，D，E 分别是AC，AB 的中点，BA BC 6⋅= ，CA CB 3⋅= ，BD CE ⋅= 4-，则BA CA ⋅ 的值是．13．己知实数x ，y ，z ∈[0，4]，如果222,,z y x 是公差为2的等差数列，则x y y z -+-的最小值为．14．已知函数()33x x f x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是．10．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝3π，AB ＝2，AD ＝1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是．11．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，其中∠BAC ＝90°，且AB ＝2，光线从AB 边上的中点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （反射点分别为Q ，R ），则光线经过的路径总长PQ ＋QR ＋RP ＝．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+= ，则实数k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=，过点P(1，1)的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且AP ＝2PB ，则满足上述条件的所有直线斜率之和为．14．已知P ，Q 为曲线C ：21y x =-+上在y 轴两侧的点，过P ，Q 分别作曲线C 的切线，则两条切线与x 轴围成的三角形面积的最小值为．第三十局10.已知函数()2sin x x f x e e x -=--，则不等式2(32)()0f x f x -+≤的解集为11.在ABC ∆中，0150ABC ∠=，D 在线段AC 上，030DBC ∠=，若ABC ∆，当BD 取最大值是，AC =12.已知周期为4的函数()1|2|f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩(1,1](1,3]x x ∈-∈，(0)m >，若方程1()03f x x -=恰好有5个实数根，则实数m 的取值范围是13.已知1||||1,,(,1),(,1),2a b a b c m m d n n ==⋅==-=- 存在,a b 对于任意实数,m n ，不等式||||a c b d T -+-≥ ，则实数T 的取值范围是14.已知0,0,2,a b c >>>且1a b +=，则362ac c b ab c ++-的最小值是。
2020届高考数学查缺补漏填空题专练
2020届高考数学查漏补缺之填空题题型专练（二）1、已知平面向量,,a b r r ||1a =r ,||2b =r ,1a b ⋅=r r .若e r为平面单位向量,则||||a e b e ⋅+⋅r r r r 的最大值是__________.2、设R x ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________.3、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为种.（用数字作答） 4、在等差数列{}n a 中,若12324a a a ++=-,18192078a a a ++= ,则此数列前20项的和等于__________5、已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是__________.6、已知向量a r ,b r 的夹角为60o ,2a =r ,1b =r ,则2a b +=r r __________.7、直线:10l mx y m +--=过定点___________，过此定点倾斜角为π2的直线方程为___________.8、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是__________2cm ,体积是__________3cm .9、如图,扇形AOB 的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为__________.10、已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调,则t 的取值范围是__________ 11、已知两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为__________.12、已知数列{}n a 满足，111,131n n n a a a a --==⋅+，则该数列的通项n a =______.答案以及解析1答案及解析：解析：由题意,||||||||a eb ea eb e e e ⋅⋅⋅+⋅=+r r r rr r r r r r ,即向量a r 在e r 上的投影的模与向量b r 在e r 上的投影的模的和,所以当e r 与a b +r r平行,||||a e b e ⋅+⋅r r r r 取得最大值.所以()max||||||a e b e a b ⋅+⋅=+=r r r r r r2答案及解析： 答案：21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：2320x x +-<变形为(1)(32)0x x +-<,解得213x -<<,故使不等式成立的x 的取值范围为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.3答案及解析： 答案：150解析：根据题意，分2步进行分析： ①、先将甲、乙等5位同学分成3组：若分成1−2−2的三组,有1225422215C C C A =种分组方法， 若分成1−1−3的三组,有1235432210C C C A =种分组方法， 则将5人分成3组，有151025+=种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学,有336A =种情况，则每所大学至少保送一人的不同保送方法256150⨯=种； 故选：C.4答案及解析： 答案：180解析：∵1231819201202193181203()782454a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+=-=, ∴12018a a +=. ∴12020()2018101802a a S +⨯==⨯=.5答案及解析： 答案：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：不等式组所标示的平面区域是以(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图由图知原点到直线 220x y +-=距离平方为22x y +最小值,为2455= ⎪⎝⎭,原点到点()2,3距离平方为22x y +最大值,为13,因此22x y +取值范围为4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6答案及解析： 答案：23解析：()2222a b a b +=+r r r r()2222cos602a a b b =+⋅⋅⋅︒+r r r r221222222=+⨯⨯⨯+44412=++=,∴2a b +==u ur r7答案及解析： 答案：()1,1；1x =解析：直线:10l mx y m +--=化为：()110x m y -+-=， ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，∴直线:10l mx y m +--=过定点()1,1， 过此定点()1,1倾斜角为π2的直线方程为1x =. 故答案为：()1,1，1x =.8答案及解析： 答案：80; 40解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,222=62+24+42422=80S ⨯⨯⨯⨯-⨯表.3244240V =+⨯⨯=.9答案及解析： 答案：2解析：由扇形面积公式211222l l S lr l αα==⋅=，知412α=，所以2α=.10答案及解析： 答案：(0,1)(2,3)U解析：由题意知()()()2133434x x x x f x x x x x---+-'=-+-＝＝- 由()0f x '＝得函数()f x 的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间()1t t ，＋内， 函数()f x 在区间[]1t t ，＋上就不单调，由11t t <<＋或31t t <<＋，得01t <<或23t <<.11答案及解析：解析：把330x y +-=变化为6260x y +-=,则d =12答案及解析： 答案：132n a n =- 解析：()113112n n n a n a a --+=≥则1113n n a a --=，且111a =∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1n a 为首项，以3为公差的等差数列，则()1131n n a =+-，∴132n a n =-综上所述，答案：132n a n =-。
2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）
保密★启用前2020年江苏省高考数学试卷—.■总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分1.已知集合A=(—l,0,l,2},g=(0,2,3},则AC\B=.2.己知i是虚数单位，则复数Z=(l+i)(2-i)的实部.3.己知一组数据4.2劣3—",5,6的平均数为4,则。
的值是______.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______.5.如图是一个算法流程图.若输出)'的值为-2,则输入.1的值是•6.在平而直角坐标系X。
)，中，若双曲线竺-22=l(a>0)的一条渐近线方程为y=2^/52 x,则该双曲线的离心率是—・7.己知.汽心)是奇函数，当官时，门刁=指，则直罚的值是8.已知sin'U+a)=二.则sin2tz的值是____.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半轻为0.5cm.则此六角螺帽右坯的体枳是—cm.10,将函数y=3sin(2wf)的图象向右平移兰个单位长度，则平移后的图象中与y轴最46近的对称轴的方程是—.11.设｛叫｝是公差为，的等差数列，(加J是公比为g的等比数列.已知数列｛”〃+“｝的前〃项和/一〃+2〃一1(〃£FT),则d+q的值是12.已知5亍八寸=1(矽苗),则J2的最小值是________.13.在△ABC中，仙=4AC=3,ZBAC=90°,D在边8C上，延长AO到F,使得AP=9.14.在平而直角坐标系xOy中.己知,0),1△是圆G”+。
-或)・=36上的两个动点，满足PA=PB，则△用8而积的最大值是二、解答题评卷人得分15.在三棱柱ABC-A\B\C｝中，AB1AC.&C1平而ABC,E,F分别是AC,3C的中点......O...........O.....I-.....O.....滨......O............O ※※寒※※即※※田※※s?I※※II※※堞※※I※※群※※点※※军浓※（1）求证：段〃平而/IF i C i：（2）求证：平面AB.CL平而ABB,.16.在△ABC中,角A. B.C的对边分别为〃，b,c,己知”=3.c=JI b=45Q.1）⑴求sinC的值:4（2）在边8C上取一点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届江苏高考数学14个填空题专练小题分层练(一) (建议用时：50分钟)1．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝________．2．设i 是虚数单位，复数i 3＋2i 1＋i ＝________． 3．(2019·徐州调研)高三(3)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是________．4．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________． 5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于________．6．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．7．阅读如下流程图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为________．8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列说法正确的序号是________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ；③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α.9．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ()x ≤0，ln ()x ＋1（x >0），若||f ()x ≥ax 恒成立，则a 的取值范围为__________．10．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2＝c 2＋ab ，4sinA sinB ＝3，则tan A 2＋tan B 2＋tanC 2＝________． 11．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．12．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为23的正三角形，该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________．13．已知公比不为1的等比数列{a n }的前5项积为243，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项．若数列{b n }满足b n ＝b n －1·log 3a n ＋2(n ≥2且n ∈N *)，且b 1＝1，则b n ＝________．14．若f (x )＝x 3－3x ＋m 有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是________．小题分层练(一)1．解析：根据并集的概念可知A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |0<x <3}＝{x |－1<x <3}＝(－1，3)．答案：(－1，3)2．解析：i 3＋2i 1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1. 答案：13．解析：抽取容量为4的样本，则要将总体分为4组，每组有14人，由题意可知抽取的座号分别为3，17，31，45.答案：314．解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13. 答案：135．解析：掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19. 答案：196．解析：因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝07．解析：初始值，S ＝0，i ＝1，接下来按如下运算进行：第一次循环，S ＝lg 13>－1，再次进入循环，此时i ＝3； 第二次循环，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，再次进入循环，此时i ＝5； 第三次循环，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，再次进入循环，此时i ＝7； 第四次循环，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，再次进入循环，此时i ＝9；第五次循环，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，退出循环，此时i ＝9. 答案：98．解析：由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以①错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故②正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故③错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交，故④错误．答案：②9．解析：由题意可作出函数y ＝||f ()x 的图象和函数y ＝ax的图象，由图象可知，函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，直线l为曲线的切线，当直线介于l 和x 轴之间时符合题意，且此时函数y ＝||f ()x 在第二象限的部分解析式为y ＝x 2－2x ，求其导数可得y ′＝2x －2，因为x ＝0，故y ′＝－2，故直线l 的斜率为－2，故只需直线y ＝ax 的斜率a 介于－2与0之间即可，即a ∈[]－2，0，故答案为[]－2，0.答案：[－2，0]10．解析：由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又a 2＋b 2＝c 2＋ab ，则2ab cos C ＝ab ，cos C ＝12，sin C ＝32，又4sin A ·sin B ＝3，因此sin A sin B ＝sin 2C ，ab ＝c 2，a 2＋b 2－ab ＝ab ，a ＝b ＝c ，A ＝B ＝C ＝60°，故tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＝ 3. 答案： 311.解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值，所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.答案：3712．解析：由题意知，三棱柱的内切球的半径r 等于底面内切圆的半径，即r ＝36×23＝1，此时三棱柱的高为2r ＝2，底面外接圆的半径为23×33＝2，所以三棱柱的外接球的半径R ＝22＋12＝ 5.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为R r ＝5∶1. 答案：5∶113．解析：由前5项积为243得a 3＝3.设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3×3q＋3q ＝4×3，由公比不为1，解得q ＝3，所以a n ＝3n －2.由b n ＝b n －1·log 3a n ＋2＝b n －1·n (n ≥2)，得b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1·b 1＝n ×(n －1)×…×2×1＝n ！(n ≥2)，n ＝1时也满足，则b n ＝n ！.答案：n !14．解析：记g (x )＝x 3－3x ，则g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，当x ＜－1或x ＞1时，g ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，g ′(x )＜0.因此函数g (x )＝x 3－3x 在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减，且g (－1)＝2，g (1)＝－2，所以当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→＋∞.在坐标平面内画出直线y ＝－m 与函数g (x )＝x 3－3x 的大致图象(图略)，结合图象可知，当且仅当－m ＜－2或－m ＞2，即m ＞2或m ＜－2时，直线y ＝－m 与函数g (x )＝x 3－3x 的图象有唯一公共点．因此，当函数f (x )有且只有一个零点时，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)小题分层练(二) (建议用时：50分钟)1．若集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝________．2．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z ＝________. 3．执行如图所示的流程图，输出的S 值为________．4.100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80)中的学生人数是________．5．(2019·盐城模拟)在平面四边形ABCD 中，若AB ＝1，BC ＝2，∠B ＝60°，∠C ＝45°，∠D ＝120°，则AD ＝________．6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．7．(2019·武汉调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ＜0，x 2，x ≥0，若a ＞0＞b ，且f (a )＝f (b )，则f (a ＋b )的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2ω＝1，且函数y ＝f (x )图象上相邻两个对称中心间的距离为π，则函数f (x )的解析式为________．10．(2019·泰州调研)由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是__________．11．(2019·淮安调研)已知α，β均为锐角，且tan α＝2t ，tan β＝t 15，当10tan α＋3tan β取得最小值时，α＋β的值为________．12．(2019·重庆模拟)若f (x )为R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (－3)＝0，则x ·f (x )＜0的解集为________．13．(2019·无锡调研)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴为AB ，短轴为CD ，E 是椭圆弧BD 上的一点，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，则⎝⎛⎭⎫EK AK 2＋⎝⎛⎭⎫EL CL 2的值为________．14．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1，g (x )＝ln x x ，若函数y ＝f (g (x ))＋a 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为________．小题分层练(二)1．解析：A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}．答案：{x |－3<x <2}2．解析：⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z ＝|z |2＋1＝5＋1＝6. 答案：63．解析：S ＝20＋21＋22＝7.答案：74．解析：根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝1200，所以测试成绩落在[60，80)中的频率是10(3a ＋7a )＝100a ＝100×1200＝12，故对应的学生人数为100×12＝50. 答案：505．解析：连接AC .在△ABC 中，AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos 60°＝3，所以AC ＝3，又AC 2＋BA 2＝4＝BC 2，所以∠BAC ＝90°.在四边形ABCD 中，∠BAD ＝360°－(60°＋45°＋120°)＝135°，因此∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝45°，∠ACD ＝180°－∠CAD －∠D ＝15°.在△ACD 中，AD sin ∠ACD ＝AC sin D ，即AD sin 15°＝3sin 120°，AD ＝3sin 15°sin 120°＝3×（6－2）4÷32＝6－22. 答案：6－226．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，S 5＝3（1－25）1－2＝93. 答案：937．解析：显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．。