结构振动理论第四讲
结构振动基础04
简谐激励下的强迫振动——振幅和相位
P0 1 i B Be k 1 2 2i
B P0 1 2 , tan 1 2 2 2 2 k 1 (1 ) (2 )
振幅： •振幅是静态位移基础上的放大； •振幅与频率比及阻尼有关
相位： •无阻尼时候相位为零； •相位与激励频率有关。
2 mBei ( ) 0
激振力/弹性恢复力/阻尼力/惯性力的关系
P0 kBei ( ) cBe
i ( ) 2
2 mBei ( ) 0
kB
cB
2 mB
P0
激振力/弹性恢复力/阻尼力/惯性力的关系
无阻尼系统零初始条件下的共振响应
0 x P0 P0 1 x2 (t ) lim x0 cos n t sin n t sin n t sin t 2 2 1 n k 1 k 1 P0 1 P lim 0 sin t sin t n 2 1 k 1 2 k 1 P0 sin t sin n t lim k 1 1 2
例3.1(2)
频率比：
2 4 0.8 10
1 (1 ) (2 )
2 2 2
有阻尼振幅： B B0
1.1186B0
无阻尼振幅： B1 B0
1 (1 )
2 2
2.7778B0
B1 / B 2.4832 .
简谐激励下的强迫振动 (过渡阶段、无阻尼情况 过渡阶段 无阻尼情况)
x(t ) 2 B eit A eit
机械阻抗
结构振动分析基础4章
m1 11 1
2
第二振型：
X 2
m 2 12
1 1
振型定义 ω1 ω2
当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状 保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为 振型(mode of vibration)。
•多自由度体系自由振动的通解
取各振型的线性组合：
K i i2 M i
正交性也可以从Betti（功的互等）定理证明： 如图所示的简支梁：
m1
m2 m3
如果忽略其轴向变形，为三个自由度体系。 FI 21 F 因此，它有三个自振频率和三 FI 11 I 31 个与之相应的振型。见图： 11 21 31 1 将振型代入振型方程可得： FI 12 2 FI 22 K i i M i 32 12 2 可见右端的惯性力和左端的 22 弹性力是平衡的。 FI 32 可以将自由振动的运动看作是 13 23 33 3 惯性力作用下产生的挠度。
k11 k 22 2 k11k 22 k12 k 21 0 m m m1 m2 2 1
2
2
1, 2
由上式可得到两个自振频率。注意： 1 2
具体求解过程可参见例4-1。
k k k k 1 k11 k 22 1 k11 k 22 11 22 12 21 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
0
即：
4.5 - 2 0 1.75 0 0 98 MN / m - 2 3 - 1 2 180t 0 1.5 0 0 0 - 1 1 0 0 1
4.5 - 2 0 1.75 0 0 2 180t - 2 3 - 1 0 1.5 0 0 98 MN / m 0 - 1 1 0 0 1
高等结构振动学-第4章-结构固有振动特征值问题的数值解
[K] [M ] 0
（4－21）
显然变换后的特征值不变：
（4－22）
且可以证明，变换前后的特征向量间具有关系：
{x} [A]{}
（4－23）
即相似变换不改变矩阵的特征值，特征向量具有转换关系。
4． 特征值对正交变换的不变性 ［正交变换］：在相似变换中，若对于非奇异矩阵[ A] ，有[ A]T [ A] [I ]，即
第四章 结构固有振动特征值问题的数值解
§4.1 概述
根据结构振动的数学模型，即振动微分方程所形成的矩阵特征值问题，求 解结构的固有振动特性——固有频率与固有振型，是结构振动分析的一个主要 任务。结构的固有振动特性是结构振动的内因。固有振动特性也是进行结构振 动响应分析和结构动力学设计的基础。
对于简单的结构，如均匀直梁、均匀直杆等，可以用解析的方法解得其固 有振动特性。对于一般结构，如果只需获得结构有限阶的固有振动特性，也可 以采用试验测试（模态识别）的方法来获得。
出符合给定精度的解，也可以用更快的割线法来加速寻根：
( r 1)
(r)
p((
r
p((r) ) ) ) p((r
1)
)
((r
)
(r1) )
（4－32）
但要注意，使用割线法时，迭代的初值很重要，一般与二分法联合使用，
以保证迭代的迅速收敛。
【 例 】 计 算 矩 阵 特 征 值 问 题 [K ]{x} [M ]{x} 的 第 一 个 特 征 值 1 。
（4－31）
实 际 计 算 时 ， 是 从 的 初 值 0 开 始 ， 依 次 计 算 p(0 ) ， p(0 ) ，
p(0 2) ， p(0 n) 的值，根据它们的正负号，确定出根所在的区间
《振动理论》课件
振动控制通过控制振动源和结构减少振动对系统的影响其他应用领域
振动理论在航空航天、车辆工程和建筑工程等领域 中有广泛应用
总结
• 振动理论在工程领域中具有重要的应用价值 • 随着科学技术的发展，振动理论仍在不断完善和优化 • 未来的发展趋势包括更精确的模拟和更高效的数值计算方法
2 混沌和奇异吸引子
非线性系统的振动可能表现出混沌和奇异吸 引子行为
3 周期倍增
周期倍增是非线性振动出现周期性振幅倍增 现象
4 分岔与现象分析
分岔是非线性系统参数变化时振动解的结构 突变现象
应用实例
振动传感器
用于测量和监测机械设备振动状态的传感器
振动测量及分析
通过振动测量和分析了解设备运行状态和故障诊断
《振动理论》PPT课件
振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用的学科。本课件将介 绍振动理论的基本概念、解析解和数值解法，以及其在实际应用中的重要性。
概述
• 振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用 • 常见的振动现象包括机械振动、声学振动和电子振动等 • 振动理论的应用广泛，涵盖领域包括建筑工程、机械制造和航天航空等
单自由度振动
定义及简介
单自由度振动是指系统中只有一个自由度参与振 动的情况
阻尼、弹性及质量对运动的影响
阻尼、弹性系数和质量是影响振动运动特性的重 要参数
系统模型及运动方程
用微分方程描述单自由度振动系统的运动
解析解及其特点
解析解提供了一种可精确计算振动响应的方法
多自由度振动
1
定义及简介
多自由度振动研究系统中具有多个自由
系统模型及运动方程
2
度参与振动的情况
用一组微分方程描述多自由度振动系统
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
第四讲-2 多点地震动输入
t s d u u u u g u g 0
u s为由于基础位移u g的拟静力位移，显然随时间而变化; u d 为结构的动力位移； 当结构各基础经历一致地面运动时p g (t ) 0.
k k T g
2, 直接积分法（动力时程反应分析） 动力时程反应分析可以描述结构在动力荷载作用下的结构反应 情况，对大跨度结构来说主要分为结构建模和结构输入两大部分。 近年来，随着计算手段的完善和具有较强分析模拟能力软件的开发 与利用，结构特别是大跨度结构的地震反应分析有了深入、全面的 发展，较之20世纪80年代以前主要以SAP或ADINA软件为蓝本的分 析更推进了一步，出现了一些国内外通用的计算软件。 目前各国学者对结构动力时程反应分析，在结构建模方面多采用三 维动力分析模型，并着重对地震波输入模型的影响效果进行深入的 探讨。地震波在介质中传播对大跨度结构地震时程反应影响的有效 模拟是近年来在大跨度结构抗震研究的热点之一，其中尤以多点输 入模型的建立为主要研究领域，主要以分析空间两点地震波的变异 规律，如行波效应、传播衰减、频率变异、入射角度变化等为主。 直接积分法是在结构的各支点输入地震动，求出结构的反应时程。 鉴于多点输入的特殊性，结构反应计算公式必须重新推导。
t m g u g cu t cgu g kut k g u g 0 mu
ut u s u d
d cu d kud p eff (t ) mu s m g u g ) (cu s cgu g ) (kus k g u g ) p eff (t ) (mu
地震发生时，从震源释放出来的能量是以波的形式传至地表，引起地面振动。 对于平面尺寸较大的结构，各支点的地震动是不同的，产生变化的原因大致有三 点。
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
第4讲延拓法、叠加原理、齐次化原理
t ), 0)
+
wt
(
x= , 0)
ψ (x)
⇓
(I )
vtt v(
−= a 2 vxx
x, 0) = ϕ
(
0, x),
vt (x, 0) =ψ (x)
(
II
)
wtt w(
−= a 2 wxx x, 0) = 0,
wt
(
x,
0)
=
0
f (x, t),
9
2.齐次化原理
(II) wtt − a2w=xx f (x, t), t > 0, = t 0 : w(x= , 0) 0= , wt 0
∫ w(x, t) = t w(x, t;τ )dτ 0 ∫ ∫ = 1 t x+a(t−τ ) f (ξ ,τ )dξdτ 2a 0 x−a(t −τ )
12
(I) vtt = t
− a2vxx 0= : v
= 0,
ϕ(x= ), vt
ψ (x)
∫ v(x, = t) 1 [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)] + 1 ψ x+at (s)ds
∫ w(x, t) = t w(x, t;τ )dτ 0
(II′) wtt = t
− a2wxx =0,
τ= : w 0= , wt
t
>τ, f (x,τ
)
10
(II′)
wtt
= t
− a2wxx =0,
τ= : w 0= , wt
t
>τ, f (x,τ
)
s= t −τ
(II′′) wss = s
2
s第04章晶格振动PPT课件
在3r支色散关系中，当q→0时（长波）：
➢ 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同， 这三支为声学波。长声学波描述了原胞质 心的振动。
➢ 其余(3r-3)支有有限的振动频率，为光学 波。长光学波描述原胞内原子之间的相对 运动。
波矢的取值和波矢空间
q的值由周期性边界条件确定：
u
Rl
N1a1
s
u
Rl s
u
Rl
N2a2
s
u
Rl s
代入 u
l s
A ei(q•Rl t ) sa
得到：
u
Rl
N3a3
s
u
Rl s
q • N1a1 2h1, q • N2a2 2h2 , q • N3a3 2h3
把波矢q表示为倒格子空间中的一 个矢量： q x1b1 x2b2 x3b3
光学波
在布里渊区边界 q
a
声学波： A
B
光学波： A 0
B
5、振动模式数（频率数）
波矢限定在第一布里渊区中 q
a
a
周期性边界条件下
q 2 l
Na
N l N
2
2
一维双原子链：
晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数
一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频 率，这2N个振动频率分为2支。
f
d
d
(un1 un )
→弹性力
一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接 起来的一串质量为m的球
第n个原子受到的作用力为：
f p (un p un )
p
p 1， 2， 3，
2、一维单原子链的运动方程
f p (xn p xn )
西北工业大学结构振动理论第四讲
当 1
为了扩大测量范围，要求 (1 2 ) 2 (2 ) 2 1 即 启示:
1 2 (2 )2 1
2 2 2
2 1
2
1 0.707 2
(1) 加速度计的固有频率相对高得多, 固易于做得重量轻,体积小,所以仪器本 身的作用可忽略. (2) 增加加速度计的固有频率会降低传感器的灵敏度. (3)设计阻尼等于0.7,可以增加传感器的适用范围. (4)压电加速计也适用本原理.它用压电晶体作为弹簧,由于压力和相对位移成 正比,也就是压力与被测物加速度正比,而压力又与所产生的电压成正比,所以 输出电压和被测加速度成正比.
z Ye j (t ) Ye jt
位移计就是按这个原理设计工作的，它要求弹簧刚度k小， 而质量块 m 较大，从而测振仪有较低的固有频率p。适合测 量大质量的振动。
航空学院
单自由度系统的定常强迫振动
加速度计：
如果测振仪设计得具有较高的固有频率 p ，使 / p 远小于1 这时，由(3.6.2b)式，可见记录下来的
3 5 7
图3.5.3 响应频谱
单自由度系统的定常强迫振动
3.6 测振原理
如图所示为测振仪的原理简图，假设被测试物体的运动是：
y Ye j t
x 质量块(绝对)运动方程式 m c( x y) k ( x y) 0
令 z= x-y 是质量块m相对被测量物体(基础)的相对位移，代 入上式：
p
a0 an x (t ) cos(nt n ) n1 2 2 2 2 2k k (1 n ) (2n )
bn k (1 n ) (2n )
机械振动
第四讲 机械振动1 .简谐振动的受力分析2 .等效法研究简谐振动3 .三角函数法描述振动第一部分：振动的受力特点以及参数知识点睛 一、模型引入 1．什么是振动？振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。
广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等．2．什么是机械振动？机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。
如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用； 回复力：使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．3．简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：F kx =-．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系． 4．描述简谐运动的物理量⑴ 位移x ：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅；知识模块本讲介绍⑵ 振幅A ：是描述振动强弱的物理量．（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）⑶ 周期T ：是描述振动快慢的物理量．频率1f T=．5.简谐振动的图像为了研究弹簧振子的运动规律，我们以小球的平衡位置为坐标原点O ，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．左图所示的弹簧振子的频闪照片．频闪仪每隔0.05s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮．拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个像之间相隔0.05s ．右图中的两个坐标轴分别代表时间t 和小球位移x ，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图象，即x t -图象．简谐运动及其图象我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系．例题精讲【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，证明其做简谐振动．【例2】 把一个密度小于水的正方体木块放入水中，并用手稍微按入水中一点，证明手释放后木块做简谐振动，不考虑阻力与水面的变化．【解析】 设物体相对飘浮位置位移x ．其受合力为相比飘浮时的浮力差．F g V ρ∆=∆浮水gS x ρ=⋅浮K gS ρ=水【例3】 三根长度均为 2.00l =米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．【解析】 如图，松鼠受力如图：由力矩平衡可知：N 与f 合力必须过ABC框的C 点才能平衡． 即Nx fh =，且N mg =∴mgx f h=为简谐振动．且mgK h=．第二部分 简谐振动参量关系：知识点睛由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．根据牛顿第二定律： f ma =可得物体的加速度为：f ka x m m==-对于给定的弹簧振子，m 和k 均为正值常量，令2kmω=则上式可以改写为 2a x ω=-或2220d x x dtω+=这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。
《结构随机振动》课件
环境振动试验技术
环境振动试验技术概述
环境振动试验是一种模拟结构在自然环境中的振动响应， 以检验结构的动力特性和稳定性。
环境振动试验的原理
通过模拟自然环境中的振动载荷，如地震、风等，对结构 进行振动响应测试，以检验结构的动力特性和稳定性。
环境振动试验的步骤
包括建立模型、安装试件、施加环境载荷、数据采集与分 析等步骤。
模态分析法
通过模态叠加的方法，将复杂结构的随机振动分解为若干个简单 模态的振动。
CHAPTER
03
结构随机振动分析
单自由度系统随机振动分析
响应分析
详细阐述如何通过随机振动理论计算系统 的响应，包括均值和方差等统计特性的求
解。
A 模型建立
介绍单自由度系统随机振动模型的 建立过程，包括系统阻尼、激励等
04
主动控制技术具有较高的控制效率和精度，但需要使 用复杂的控制系统和传感器，成本较高。
被动控制技术
01
被动控制技术是指通过改变结构的动力学特性来减小或抑制振动的技 术。
02
被动控制技术通常使用特殊的材料或结构来改变结构的刚度、阻尼等 动力学特性，从而减小结构的振动。
03
被动控制技术具有较低的成本和简单的实现方式，但控制效果相对较 差。
大。
常见的混合控制技术包括主 动约束层与被动阻尼控制的 结合、主动质量阻尼与被动
隔振控制的结合等。
CHAPTER
06
课程总结与展望
本课程总结
课程内容概述
本课程介绍了结构随机振动的基本理论、分析方法和工程应用。通过学习，学生掌握了随机振动的基本概念、随机过 程和随机振动分析方法，了解了随机振动在工程领域的应用。
随机过程
《结构振动的模态分析理论》读书提纲
《结构振动的模态分析理论》读书提纲一．模态分析的基础理论（1）粘性阻尼单自由度系统的速度频响函数，各种频响函数的乃奎斯特(Nyquist)图。
（2）粘性比例阻尼多自由度的频响函数矩阵，原点频响函数和跨点频响函数的概念（3）粘性比例阻尼多自由度系统频响函数的模态参数表达式。
（4）非比例粘性阻尼多自由度系统的频响函数矩阵的模态参数表达式。
（5）非比例结构阻尼多自由度系统的频响函数矩阵的模态参数表达式。
（6）复模态分析的拉氏变换法（7）一般激励力作用下的振动响应的付氏变换法（8）脉冲响应函数与频响函数的关系二．模态分析参数识别的频域方法（1）模态参数识别的分类（2）用速度频响函数的拟合乃氏图求模态参数，考虑相邻模态影响时，如何进行识别？（3）用频响函数的幅频、相频或实频、虚频图识别模态参数（4）模态参数识别的曲线拟合法：迭代法（Klosterman法），局部迭代法，直接法，正交多项式法，非线性加权最小二乘法，裾部影响消除法。
（5）应变模态分析三．模态参数识别的时域法（ITD）（1）时域法的数学模型（2）时域法对响应测量的要求（3）时域法特征矩阵的构成（4）时域法模态分析的采样频率问题四．多输入多输出模态识别适调多点激振法原理多输入多输出时域识别法多输入多输出频域识别法五．模态参数识别的判据和评估（1）模型的定阶问题（2）模态真伪问题（3）模态振型矢量的检验判据（5）模态置信准则：模态置信因子，模态比例因子，模态贡献因子六．试验模态分析基础（1）数字信号分析原理函数的傅立叶变换谱分析的基本问题与技术处理：混淆与泄漏、采样定理，加窗处理，信号的平均（2）频响函数估计的测量模型（3）平稳随机激励情况下的频响函数估计（4）正弦激励情况下的频响函数估计七．试验模态分析（1）模态试验硬件系统配置（2）信号测试与采集系统（3）激励方法与激励信号（4）模态试验中的相关技术：测试系统标定，激励方法选择，被试结构支承，激励器传感器的布置与安装八．模态分析应用（1）响应预计（2）结构（设备）故障诊断（3）结构动力学（设计）修改（4）载荷辨识（5）振动控制九．实验室典型结构的模态试验（考试前进行）主要参考数目1．振动结构的模态分析——理论、实验与应用。
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而质量块 m 较大，从而位移计有较低的固有频率。适合测量大质量对
象的振动位移测试。 单自由度系统的定常强迫振动
加速度计： 令 y Ye j t 则 y 2Ye j t
Y 2
Z
(1 2 )2 (2 )2
|
Z
| |
y |
1 Ω2
1
(1 2 )2 (2 )2
(2n )2
sin(nt
n )
单自由度系统的定常强迫振动
周期激励的响应分析
现以例子来说明其响应分析
f(t)
矩形波
f
(t)
A, A,
0
t T T2
2 t
0
A -T/2
T/2
t
首先要找出激励 f(t) 的傅里叶展开式
-A
图3.5.1
由于f(t)为奇函数，故有 a0 0, an 0
0.44
0.40
近于系统固有频率的那些扰力分量 对系统的稳态响应有较大贡献;
当激励具有离散频谱时,系统的稳
0.08
3 5 7
态响应也具有离散频谱,这是线性系 统的频域固有属性。
图3.5.3 响应频谱
单自由度系统的定常强迫振动
3.6 测振原理 3.6.1 基础激励响应
飞行器机体振动激起的内部设备振动;飞机滑跑时跑道不平 引起的飞机振动等等，都可以看成是由于系统的基础（支 撑点）运动产生的激励而引起的振动。
可得：
Xe j Y
k jc (m 2 k)
jc
两端求模：
X Y
k 2 c2 2
(k m2 )2 c22
Y
1 (2 )2 (1 2 )2 (2 )2
arctan c arctanc
k m 2
k
x(t) X cos(t φ )
由条件 F0 X 0mp 2 , c 2mp, 2 X X 0 p sin
可得 E2 F0 X sin 即 E1 E2 0
单自由度系统的定常强迫振动
3.4 定常强迫振动的复数解法与频率响应函数
优势:比三角函数形式更为方便; 与振动的频域分析方法密切关联.
F0 X
2 0
1 [sin(2t ) sin ]dt
2
F0 X sin
一个周期 内阻尼力
2
E2
(cx)dx cX 2 2 sin 2 (t )dt 0
所做的功
cX 2 2 1 2 c X 2 2
令 z= x-y,是质量块m相对被测量 物体(基础)的相对位移，代入上式：
m(z y) cz kz 0
mz cz kz my 相对坐标方程
x
k
m
y
c
假定 y Ye j t 则 z Ze j t ，代入得： y Y cost
被测物体
m 2Z jcZ kZ m 2Y
f (t) 4 A
1 sin nt
n n1,3,5
系统的定常强迫振动为
x(t)
4A
k
n1,3,5
1 n
1
1 n
2
sin
nt
取无量纲幅值Bn
Bn
1
n1
n 6
2
1
Bn
1.03
启示：
6
p=6Ω
0.65
bn
4A
只有低次谐波分量和外激励频率接
如图所示基础激励振动系统： mx k(x y) c(x y)
整理后得到： mx cx kx ky cy
利用复数解法：
y Ye j t
x Xe je j t
m
o
x(t)
k
c
y Y cost
基础激励
单自由度系统的定常强迫振动
(m2 k jc)Xe j (k jc)Y
运用基础激励稳态响应振幅公式 0.8v 4.62
n 28.3
1 (2 )2 X Y (1 2)2 (2 )2 6.87e 4(m)
则机车的加速度振幅为:
a 2 X (130 .7)2 6.87e 4 11.7(m / s2 )
引入复变量 xc x1 jx 2 ,再利用欧拉表示式,上方程可写为 mxc cxc kxc F0e jt (3.4.5)
同样，由于存在阻尼，我们只考虑(定常)稳态响应。
单自由度系统的定常强迫振动
设其稳态特解是 xc Xe jt
x c jX e jt xc 2 X e jt
T n
n
bn
4A
n
,
0,
n 1,3,5, n 2,4,6,
于是，f(t)的傅里叶展式为 f (t) 4A
1 sin 2n t
n n1,3,5 T
单自由度系统的定常强迫振动
将周期激励 f(t) 的各频率成份与它们的对应激励幅值画 成图3.5.2，它称为激励 f(t)的 (离散)频谱，或线谱。
T
对应于基频的谐和分量称为基频分量，其余为高(次)谐(波)分量。
单自由度系统对 f(t)的 响应
x(t)
a0
2k k n1
an
(1 n2 2 )2
(2n )2
cos(nt n )
n
n
2n
arctan
1 n2
2
k n1
bn
(1 n2 2 )2
mxc cxc kxc F0e jt
出发，令 xc Xe jt 直接可得到
X
k
F0
m 2
jc
按定义，xc/F是位移频响函数
H d ()
k
1 m2
jc
单自由度系统的定常强迫振动
而Hd(ω)的倒数 Zd (ω)＝(k-mω2+jcω)，称为动刚度。 Zd
当系统受余弦扰力作用时,
mx1 cx1 kx1 F0 cos t (3.4.1)
k
当系统受正弦扰力作用时,
mx2 cx2 kx2 F0 sin t (3.4.2)
c
x(t) m F0 cost
对上式两端乘以 j 1 ,再与第3.4.1式相加,得
m(x1 jx2 ) c(x1 jx2 ) k(x1 jx2 ) F0 (cos t j sin t)
又称为位移阻抗。
如果考虑的是速度响应，则有
xc
k
jF0 m 2
jc
e jt
速度导纳
Hv ()
k
j m2
jc
速度阻抗
Zv ()
k
m2 j
jc
如果考虑的是加速度响应，则有
则有加速度导纳
H a ()
k
2 m2
xc jc
k
2 F0 m 2
上述复数形式的计算要简便得多。既含有振幅，也含有相位。 如对果比引复入数无解量的刚模化和定相义位 ,可2见Ck它m们, 是 与 上n一节中由三角函数解 法得到的振幅和相位完全一样的表达式(见书3.3.6式)。另外只 要将复数解的实部和虚部分离，则可以同时得到系统分别受余 弦激励力和正弦激励力作用的解。
3.3 强迫振动能量平衡
由于阻尼存在，振动系统机械能不断消耗。只有外激励 不断给系统补充能量，使能量收支达到平衡时，系统才能 维持稳态振动。考察一个周期内外激励所做的功。
E1 Fdx F0 cost d ( X cos(t ))
F0 X cost sin(t )dt
图1 惯性式测振仪的原理图
单自由度系统的定常强迫振动
于是
Z
m 2Y (m 2 jc
k)
将上式可写成
不难确定 Z
Z e j
m 2Y
(k m2 )2 (c)2
Y 2 (1 2 )2 (2 )2
tan
k
c m 2
2 1
2
式中 , k
单自由度系统的定常强迫振动
单自由度系统的定常强迫振动
解： 系统的固有频率和阻尼比分别为
n
k m
4 105 28.3 rad
500
s
c 0.106 2mn
如果该车以恒定的水平速度运行，那么 v t
因此轮子随时间变化的垂直位移为 y(t) 0.01sin(0.8vt)
傅里叶级数：
f
(t)
a0 2
n1(an
cosnt
bn
sin nt)
2 T/2
a0 T
f (t)dt
T / 2
an
2 T
T /2
f (t) cosntdt
T / 2
b n
2 T
T /2
f (t) sin ntdt
T / 2
2 称为基(本)频(率) 。
3.0
5.0
频率比γ
1.0
ζ=0.7
ζ=1.0
位移计
Ω 3
0.0
1
2
3
4
5
位移计： 频率比γ
Z 1
Y
即测振仪“滚筒”上记录下来的Z和要测的物体的位移Y很接近,
而相位相差(滞后)接近π。即：z Yej(t ) Yejt