简捷法绘制单跨静定梁的内力图分析(1).

简捷法绘制单跨静定梁的内力图分析(1)

摘要：正确计算截面内力，快速绘

制静定梁内力图十分重要，阐述了用简捷法作单跨静定梁的内力图的基本条件，并举例说明了内力图在集中力、集中力偶处的特点和规律，还强调了弯矩图中抛物线的开口方向以及控制截面的选择方法。?

关键词：简捷法；剪力；剪力图；弯矩；弯矩图?

梁的内力图绘制的目的是用图示方法形象地表示出剪力Q、弯矩M沿梁长变化的情况，绘制梁的内力图是材料力学教材中的一个重点和难点内容，熟练、正确地绘制内力图是材料力学的一项基本功，也是后续课程结构力学的基础。绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和荷载集度之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据，因此熟练掌握简捷法作梁的内力图是十分必要的。?

1 简捷法绘制单跨静定梁的内力图的基本要求?

（1）能快速准确地计算单跨梁的支座反力（悬臂梁除外）?

支座反力的正确与否直接影响内力的计算，因此在静力学的学习过程中要打好基础。?

（2）能用简便方法求解指定截面的内力?

1．1 求剪力的简便方法?

某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即Q=?Y??左侧外力?（或）?Y??右侧外力?

代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力。（即外力左上右下为正） ?

1．2 求弯矩的简便方法?

某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即

M=?M??c左侧外力?（或?M??c右侧外力?）?

代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。（即外力矩或力偶矩左顺右逆为正）?

1．3 举例说明：求图1中1-1截面的剪力和弯矩?

解：取左侧为研究对象，根据简便方法有：?

Q?1=25-5×4=5kN M?1=25×2-5×4×2=10kN•m?

验证：取右侧为研究对象，根据简便方法有：?

Q=15-10=5kN M?1=10×4-15×2=10kN•m?

1.4 能将梁正确分段，根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的形状，寻找控制面，算出各控制面的Q和M弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系如下：?

dM(x)dx=Q(x)?

dQ(x)dx=q(x)?

d?2M(x)dx?2=q(x)?

利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图，其规律如下表所示：?

注意：根据函数图线的几何意义，当q＞0（向上）时，弯矩图为开口向下的二次抛物线；反之q＜0（向下）一时，弯矩图为开口向上的二次抛物线，即抛物线的凹性和凸性和均布荷载的方向保持一致。?

1.5 能根据计算的各控制面的Q和M作图?

作图时要求基线长度和梁的轴线等长，截面对应，纵标值、正负号、图名和单位缺一不可。

2 应用举例?

2.1 用简捷法作图示梁的内力图 (特点:无弯矩极值,有剪力突变)?

R?A=11kN（↑） R?B=7kN（↑）?

(2)根据梁上的荷载情况，将梁分为AC和BC两段?

(3)计算控制截面的Q值?

AC为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为?

Q??A右?=R?A=11kN Q??c左?=10-7=3kN?

BC段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为?

Q??c右?=R?B=-7kN?

画出剪力图如图2(b)所示?

（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图?

AC为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，该段中Q≠0,因此没有M极,其控制截面弯矩为?

M??A右?=0 M??C左?=R?B×2=14kN•m?

BC段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为 ?

M??C右?=R?B×2=14kN•m M??B左?=0?

画出弯矩图如图2(c)所示。?

2.2 用简捷法作图示梁的内力图(特点:有弯矩极值,有弯矩突变)?

【解】（1）求支座反力?

R?A=6kN（↑） R?c=18kN（↑）?

（2）根据梁上的荷载情况，将梁分为AB和BC两段?