考研数学真题解析间断点的分类

高数辅导之专题五：间断点

专题五基础知识如果)(x f 在点0x 处有下列三种情况之一，则点0x 是)(x f 的一个间断点：（1）在点0x 处，)(x f 没有定义（2）)(lim 0x f x x →不存在（3）虽然)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→ 简单地说，不连续的点即为间断点。

间断点的分类：（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。

（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。

例题1. 0=x 是函数x y 1arctan=的间断点。

解：x y 1arctan =在0=x 处没有定义，故0=x 是xy 1arctan =的间断点，且 xx x x 1arctan lim 221arctan lim 00+-→→=≠-=ππ 从而0=x 是函数xy 1arctan =的跳跃间断点。

2. 0=x 是函数121211+-=x x y 的间断点。

解：121211+-=x x y 在0=x 处没有定义，故0=x 是121211+-=x x y 的间断点，且110101212lim 110-=+-=+--→x x x 101012121lim 1212lim 110110=+-=+-=+---→→++x x x x x x从而0=x 是函数121211+-=x x y 的跳跃间断点。

3. 函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为。

解：)1(1)(2--=x x e x f x 在0=x 和1处没有定义，故0和1是)1(1)(2--=x x e x f x 的间断点，且是仅有的两个间断点（因为)(x f 是一个初等函数，)(x f 在它的定义域内都是连续的）。

下面分别0和1的间断点类型：)1(2lim )1(1lim 020-=--→→x x x x x e x x x 12lim 0-=→x x 2-=11lim 1lim )1(1lim 12121-⋅-=--→→→x xe x x e x x x x x ∞⋅-=)1(2e∞= 从而0=x 是函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点，1=x 是第二类间断点。

间断点及其分类ppt课件

, x0 , x0 ，
x
s
in
1 x
1,
x0
∵ f (00) lim sin x 1， f (00) lim (xsin 1 1) 1，
x0 x
x0
x
∴ lim f (x) 1 ，但 lim f (x) 1 f (0) 0 ，
x0
x0
∴点 x0 是 f (x) 的可去间断点。
若改变定义： f (0) 1 ，则 f (x) 在点x 0 处连续。
x1
x1
1
x
0，
1e1x
lim f (x) lim 1 1 ，
x1
Байду номын сангаас
x1
x
1e1x
∴ x1为跳跃间断点。
8
（2）
f
(
x)
(
x
1)
arc
tan
x
1 2
1
,
x 1 .
x , x 1
解： f (x) 是分段函数，x 1 是“分界点”。
当 x 1 时，根据初等函数在其定义区间上是连续
的结论，知 f (x) 在(, 1), (1, 1), (1, ) 内连续。
x 1
x 1
x2 1
∴ lim f (x) 不存在，
x 1
故 x 1为跳跃间断点。
10
1.5.5 闭区间上连续函数的性质
定理 4（有界性定理）设 f C[a, b] ，则 f 在 [a, b] 上有界，即 M 0 ，x [a, b] ，有 f (x) M 。
注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不一定成立。例如： f (x) 1C(0, 1) ，但f (x) 在(0, 1) 内无界。 x

2005年数学考研真题分类解析

第一部分高等数学一、函数、极限与连续1．（数二）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43 .【分析】题设相当于已知1)()(lim=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】由题设，2cos arcsin 1lim)()(limkxxx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k21143cos 1arcsin lim2==-+→kxxx x x ，得.43=k【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 2．（数二）设函数,11)(1-=-x xe xf 则（）(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(l i m 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】应特别注意：+∞=-+→1lim1x xx ，.1lim 1-∞=--→x x x 从而+∞=-→+11lim x x x e ，.0lim 11=-→-x xx e3．（数二）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→xxx dtt x f x dtt f t x【分析】此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】由于⎰⎰⎰=-=-=-00)())(()(xxxut x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→x xxx xxx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 00)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f xduu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f【评注】本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=.21)()()()(lim='++→x f x x f x f x f x错误的原因：f(x)未必可导. 4．（数三、数四）极限12sinlim 2+∞→x x x x = 2 .【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 12s i nl i m 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x x xx【评注】若在某变化过程下，)(~)(x x αα，则 ).()(lim )()(lim x x f x x f αα=5．（数三、四）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解】 )1(1lim)111(lim 20xxx xx ex e x x xex --→-→-+-+=--+=2201limxex x xx -→+-+ =xex xx 221lim-→-+=.2322lim=+-→xx e【评注】本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.二、导数与微分1．（数一）设函数nnn xx f 31lim)(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1<x 时，11lim)(3=+=∞→nnn xx f ；当1=x 时，111lim)(=+=∞→nn x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f n nn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 2．（数二）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+，于是]s i n 1c o s )s i n 1[l n ()s i n 1l n (xx x x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='，于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xx x x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.3．（数二）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-.(C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.【分析】先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.三、中值定理与导数的应用 1．（数一）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f 【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 2．（数一）曲线122+=x xy 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a=212lim)(lim22=+=∞→∞→xx xxx f x x ，[]41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

[全]高等数学之函数间断点判断方法总结[下载全]

高等数学之函数间断点判断方法总结
若f(x)函数在点X0处不连续，则称点X0为函数f(x)的不连续点或间断点，函数间断点的分类如下：
•第一类间断点：函数f（x）在X0处的左极限和右极限都存在
第一类间断点包含以下两类：
（1）可去间断点：函数f（x）在X0处的左极限等于右极限；
（2）跳跃间断点：函数f（x）在X0处的左极限不等于右极限；
•第二类间断点：函数f（x）在X0处的左极限和右极限至少有一个不存在。

方法总结：判断函数间断点的类型，关键在于看函数在间断点处的左右极限是否存在。

例一：
分析：本题要确定参数a的值，使得当参数a为不同值时，函数在0点连续，或在0点为可去间断点。

解决这一类题的方法就是严格扣住函数连续和可去间断点的定义。

解：
备注：做这类题一定要扣住定义。

例2：
分析：x=0为函数f(x)的第二类间断点，则当x趋于0时，函数f(x)的极限不存在；x=1为函数f(x)的可去间断点，则当x趋于1时，函数f(x)的极限存在。

解：。

考研数学试题详解与评析(1)

6
6
6
6
【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则，此为水木艾迪强调的星级考
点。参见木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》例 4.67，强化班教材
《大学数学强化 299》16、17 等例题。【答案】A
lim
x→0
x − sin ax x2 ln(1 − bx)
=
lim
x→0
x − sin ax x2 ⋅ (−bx)
（3）函数 z = f (x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ，则点（0，0）（）
（A）不是 f (x, y) 的连续点
（B）不是 f (x, y) 的极值点
水木艾迪
1
地址：清华同方科技广场 B 座 609 室
2009 考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班
=
lim
x→0
1
− a cos ax − 3bx2
=
lim
x →0
a2 sin ax − 6bx
=
lim
x→0
a2 sin ax − 6b ⋅ ax
=
−
a3 6b
=1
a
a3 = −6b 意味选项 B，C 错误。再由 lim = 1 − a cos ax 存在，应有
x→0
− 3bx 2
1 − a cos ax → 0( x → 0) ，故 a = 1 ，D 错误，所以选 A。
（5）若 f ′′(x) 不变号，且曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 上的曲率圆为 x2 + y 2 ＝2，则 f (x) 在区
间（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点

高数间断点的分类及判断方法

高数间断点的分类及判断方法1.引言1.1 概述概述在数学领域中，高等数学是一门重要的学科，涉及到许多与函数相关的概念和方法。

在函数的研究中，间断点是一个关键概念。

间断点是指函数在某一点上不连续的现象，可以分为不同的类型进行分类。

本文将对高等数学中的间断点进行分类，并介绍判断这些间断点的方法。

通过对间断点的分类和判断方法的了解，我们可以更好地理解函数的性质和行为，为解决实际问题提供更准确的数学模型。

接下来的章节将更详细地介绍高数间断点的定义和分类，以及判断这些间断点的方法。

希望通过本文的阐述，读者可以对高数中的间断点有一个全面的了解，从而提升自己在数学领域的知识水平。

同时，本文也将对已有研究进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分。

首先，在引言部分，将对高数间断点的概念进行概述，并介绍本文的目的。

接下来，在正文部分，将详细讨论高数间断点的定义和分类，并探讨相关的判断方法。

最后，在结论部分，将对全文进行总结，并展望未来对高数间断点的研究方向。

在正文部分，2.1 将详细介绍高数间断点的定义和分类。

首先，会给出对间断点的定义和解释，包括数学中间断点的概念及其在实际问题中的应用。

随后，将对间断点进行分类，按照不同的特征和判定标准，将间断点划分为不同的类型，并详细讲解其特点和应用场景。

接着，2.2 将介绍高数间断点的判断方法。

通过引入相关的数学工具和技巧，将阐述如何判断一个给定的函数在某个点是否存在间断点。

将重点讨论几种常用的判断方法，包括极限和连续性的概念，并结合实例进行详细说明和推导。

在结论部分，3.1 将对全文进行总结，概括高数间断点的定义、分类和判断方法以及相关内容的重要性和应用价值。

同时，将对本文的研究工作进行简要回顾，并指出存在的不足之处。

最后，3.2 将展望未来对高数间断点研究的方向和重点，提出可能的改进和拓展方向。

通过以上的文章结构，本文旨在为读者提供一个全面而系统的了解高数间断点的分类和判断方法。

考研高数重难点-函数间断点的判断

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间断点文档

间断点1. 简介在计算机科学和数学中，间断点是指函数在某一点上的值与其邻近点的值之间存在不连续性的情况。

间断点可以出现在各种函数中，包括可微函数、分段函数和离散函数等。

2. 分类间断点可以分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

2.1 可去间断点可去间断点是指函数在某一点上的值存在但不连续的情况。

这种间断点通常是由于函数在该点处没有定义或者与其它定义矛盾所致。

可去间断点可以通过在该点上进行修补或重新定义函数来消除。

2.2 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某一点上的值与其邻近点的值之间出现了跳跃的情况。

这种间断点常常在分段函数中出现，其中每个分段函数都有不同的定义域和值域。

跳跃间断点可以在该点两侧定义函数的两个不同值来表示。

2.3 无穷间断点无穷间断点是指函数在某一点上的值趋向于正无穷大或负无穷大的情况。

这种间断点可以出现在有理函数等具有分母的函数中，当分母趋近于零时，函数值会趋近于无穷大。

无穷间断点可以通过对函数进行合理的化简或处理来消除。

3. 判定判定一个函数是否具有间断点可以通过观察函数的图像或者分析函数的定义来完成。

在观察图像时，我们可以通过函数图像上的突变或突变点来判断间断点的位置。

具体来说，如果图像在某一点上出现不连续的情况，那么该点就是一个间断点。

可去间断点通常表现为图像上的空洞，跳跃间断点通常表现为图像上的断层，而无穷间断点通常表现为图像上的渐近线。

在分析定义时，我们可以寻找函数的定义域和值域存在矛盾或不连续的情况。

例如，在有理函数中遇到分母为零的情况，或者在分段函数中遇到每个分段之间的定义域有重叠的情况。

4. 应用间断点的概念在数学和工程领域中具有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用场景：4.1 极限计算在极限计算中，我们经常需要考虑函数在某一点上的极限是否存在。

如果函数在该点上有间断点，那么其极限往往不存在或不唯一。

通过对间断点的定位和分类，我们可以更加准确地计算函数的极限。

2020考研数学二真题含答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（1）高阶的是时，下列无穷小量中最当+→0x （）A.⎰-xt dte 0)1(2B.⎰+xdtt 03)1ln( C.⎰xdtt sin 02sin D.⎰-xdtt cos 103sin （2）函数)2)(1(1ln )(11--+=-x e xex f x x 的第二类间断点的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个（3）=-⎰dx x x x 10)1(arcsin （）A.42π B.82π C.4π D.8π（4）已知函数=≥-=)0(3),1ln()()(2n f n x x x f 时，当（）A.2!--n n B.2!-n n C.nn )!2(--D.nn )!2(-（5）关于函数,0,0,0,),(⎪⎩⎪⎨⎧==≠=x y y x xy xy y x f 给出下列结论：（）①;1)0,0(=∂∂xf ②;1)0,0(2=∂∂∂yx f ③;0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ④.0),(lim lim 00=→→y x f x y 其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1（6）[]则上可导，且在区间设函数.0)()(2,2)(>>'-x f x f x f （）A.1)1()2(>--f f B.e f f >-)1()0( C.2)1()1(e f f <- D.3)1()2(e f f <-（7）设4阶矩阵)(ij a A =不可逆，12a 的代数余子式432112,,,0αααα，≠A 为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组0*=x A 的通解为（）A.为任意数其中321332211,,,k k k k k k x ααα++=B.为任意数其中321432211,,,k k k k k k x ααα++=C.为任意数其中321433211,,,k k k k k k x ααα++=D.为任意数其中321433221,,,k k k k k k x ααα++=（8）设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值-1的特征向量，则满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011AP P 的可逆矩阵P 可为（）A.),,(3231αααα-+ B.),,(3221αααα-+ C.),,(2331αααα-+ D.),,(2321αααα-+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.（9）=⎩⎨⎧++=+==12222,)1ln(1t dx yd t t y t x 则设________.（10）=+⎰⎰1311ydx x dy ________.（11）[]=++=),0(,)sin(arctan πdzy x xy z 则设________.（12）斜边长为a 2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）=='==+'+''=⎰+∞)(,1)0(,0)0(,02)(dx x y y y y y y x y y 则且满足设________.（14）=----aa a a11011110110行列式________.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）求曲线()()011>+=+x x x y xx的斜渐近线方程.（16）（本题满分10分）已知函数()x f 连续且)(,)()(,1)(lim100x g dt xt f x g xx f x '==⎰→求并证明0)(='x x g 在处连续.求函数()xy y x y x f -+=338,的极值.（18）（本题满分10分）设函数)(x f 的定义域为()+∞,0且满足),(.121)(2222x f xxx x f x x f 求++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+并求曲线y y y x f y 及，2321),(===轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x x y x x 与===,2,1轴围成，计算.22dxdy xy x D⎰⎰+设函数.)(12⎰=xt dt e x f （Ⅰ）;)2()(),2,1(2ξξξξe f -=∈使得证明：存在（Ⅱ）.2ln )2(),2,1(2ηηηe f ⋅=∈使得证明：存在（21）（本题满分11分）设函数)(x f 可导，且0)(>'x f ，曲线)0)((≥=x x f y 经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于MP T 又,垂直x 轴与点P .已知由曲线),(x f y =直线MP 以及x 轴所围图形的面积与MTP ∆的面积之比恒为2:3，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型323121232221321222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=经过可逆线性变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为二次型.24),,(21232221321y y y y y y y y g +++=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵.P （23）（本题满分11分）.),,(2的特征向量是非零向量且不是其中阶矩阵，为设A A P A ααα=（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）.,0612是否相似于对角矩阵并判断，求若A AP P A A -=-+ααα2020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt ⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。

2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析

x
kx
x1x
lim
x
1
x
x
1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x

09真题考研数学真题解析--数三修订版

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.1. （09年，4分）函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A ) 1. (B ) 2. (C ) 3. (D ) 无穷多个.【考查分析】本题考查间断点的定义和分类，属于间断点计算与判别的基本题型【详解】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±.选C【评注】此题有相当多的考生选择（D ），认为使sin 0x π=成立的点有无穷多个，同时审题不细，没有利用()f x 的极限值以确定可去间断点的个数，故错误率较高。

2.（09年，4分）当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A ) 11,6a b ==-. (B ) 11,6a b ==. (C ) 11,6a b =-=-. (D ) 11,6a b =-=.【考查分析】本题考查等价无穷小替换，洛比达法则的计算极限，属于极限计算基本题型【详解】方法1：()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bx a ax a b ax b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛即36a b =-,故排除（B ）,（C ）.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选（A ）.方法2：由泰勒公式3331sin () (0)6ax ax a x x x ο=-+→ 3333001(1)()()6lim lim 1()111, 1 1, .66x x a x a x x f x g x bx a a b b ο→→-++⇒==-⇒=-=⇒==-因此选（A ）.【评注】求极限的问题是考试的热点和重点，洛比达法则和等价无穷小替换是常用的计算和简化的方法。

函数间断点的分类及判断方法

函数间断点的分类及判断方法在一般的函数中，当函数的值突然变化时，就会出现间断点。

间断点也被称为函数的变曲点、拐点、变点、控制点，指的是一类特殊的点。

在具体的运算中，都把它们作为矩阵的某种特征考虑进来，使矩阵更加规范。

这里给大家介绍函数间断点的分类及判断方法，希望能帮助大家对其有更多的了解。

一、函数间断点的分类1、极值点极值点是一种比较常见的函数间断点，它指的是函数增加或减少最快的点，即函数单调性切换的地方，且这个点的曲率为0。

函数在极值点处有最大值或最小值，也可以有驻点，这种函数的驻点的做法为：在该函数的图像上，正负不变，其值也不变，叫做驻点。

2、拐点拐点也称为变曲点，它指的是把一曲线的本来的曲率发生变化的点。

它的主要特征就是曲率由负值变为正值或者曲率由正值变为负值，即由弯曲变为直线或者由直线变为弯曲，这时函数在拐点处不可能有极值。

3、切点切点是一种常见的函数间断点，它指的是曲线在两个相邻的点间的切线平行的点。

在曲线的的切点处，函数的斜率必须要等于切线的斜率。

而且切点也不可能有极值，但是可能有驻点。

4、驻点驻点指的是函数在该点处的曲率和函数值都不变，而且函数在该点处也不会出现极值。

二、函数间断点的判断方法1、把函数表示为链式法则首先把函数表示为一组链式法则，这样便可以快速的确定其在任意点的导数及其极值情况，而在计算导数为零的点的时候，就可以得到关于函数拐点的信息了。

2、判断极值点可以把函数的斜率表示出来，然后判断极值点，使用链式法则来计算函数的斜率，当函数的斜率为0时，说明此处为极值点，从而可以判断出函数的极值点。

3、判断拐点可以把函数的二阶导数表示出来，然后判断拐点。

二阶导数可以用来表示曲线的曲率，函数的二阶导数为0时，表明此处为拐点，从而可以得到函数的拐点。

4、判断切点切点可以把函数的一阶导数表示出来，然后判断切点。

一阶导数可以用来表示曲线的斜率，而函数的一阶导数为0时，表明此处为切点，从而可以得到函数的切点。

函数的间断点分类

怎么理解函数的间断点及其分类？[答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f (x )在点x =x 0 的连续性，主要是讨论极限()x f lim x x 0→。

按现行高等数学教材的定义，只有当f (x )在x 0的邻域或某个去心邻域⎪⎭⎫ ⎝⎛δ∧,x U 0内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。

如果极限没有意义，说函数f (x )在点x 0是连续或间断，也就没有意义。

此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。

间断点的分类也按极限()x f lim x x 0→的情况来分：左、右极限都存在的间断点称第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种）左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。

此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如()xe xf 11=，x =0是()x f 1的第二类间断点。

因此()+∞=+001f ，()0001=-f ，所以x =0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。

()x ln x f =2，x =0是()x f 2的第二类（无穷）间断点（虽然在x =0只有单侧极限）；x =-1即不是()x f 2的间断点，也不是连续点。

()x x f =3，x =0是()x f 3的连续点，因为()()03300f x f lim x =+→，即()x f 3在x =0右连续，而在x <0时()x f 3无定义。

()x xsin x f =4，x =0是()x f 4的第一类（可去）间断点，因为右极限存在，而左极限无意义。

2020考研数学二真题含答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（1）高阶的是时，下列无穷小量中最当+→0x （）A.⎰-xt dte 0)1(2B.⎰+xdtt 03)1ln( C.⎰xdtt sin 02sin D.⎰-xdtt cos 103sin （2）函数)2)(1(1ln )(11--+=-x e xex f x x 的第二类间断点的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个（3）=-⎰dx x x x 10)1(arcsin （）A.42π B.82π C.4π D.8π（4）已知函数=≥-=)0(3),1ln()()(2n f n x x x f 时，当（）A.2!--n n B.2!-n n C.nn )!2(--D.nn )!2(-（5）关于函数,0,0,0,),(⎪⎩⎪⎨⎧==≠=x y y x xy xy y x f 给出下列结论：（）①;1)0,0(=∂∂xf ②;1)0,0(2=∂∂∂yx f ③;0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ④.0),(lim lim 00=→→y x f x y 其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1（6）[]则上可导，且在区间设函数.0)()(2,2)(>>'-x f x f x f （）A.1)1()2(>--f f B.e f f >-)1()0( C.2)1()1(e f f <- D.3)1()2(e f f <-（7）设4阶矩阵)(ij a A =不可逆，12a 的代数余子式432112,,,0αααα，≠A 为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组0*=x A 的通解为（）A.为任意数其中321332211,,,k k k k k k x ααα++=B.为任意数其中321432211,,,k k k k k k x ααα++=C.为任意数其中321433211,,,k k k k k k x ααα++=D.为任意数其中321433221,,,k k k k k k x ααα++=（8）设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值-1的特征向量，则满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011AP P 的可逆矩阵P 可为（）A.),,(3231αααα-+ B.),,(3221αααα-+ C.),,(2331αααα-+ D.),,(2321αααα-+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.（9）=⎩⎨⎧++=+==12222,)1ln(1t dx yd t t y t x 则设________.（10）=+⎰⎰1311ydx x dy ________.（11）[]=++=),0(,)sin(arctan πdzy x xy z 则设________.（12）斜边长为a 2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）=='==+'+''=⎰+∞)(,1)0(,0)0(,02)(dx x y y y y y y x y y 则且满足设________.（14）=----aa a a11011110110行列式________.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）求曲线()()011>+=+x x x y xx的斜渐近线方程.（16）（本题满分10分）已知函数()x f 连续且)(,)()(,1)(lim100x g dt xt f x g xx f x '==⎰→求并证明0)(='x x g 在处连续.求函数()xy y x y x f -+=338,的极值.（18）（本题满分10分）设函数)(x f 的定义域为()+∞,0且满足),(.121)(2222x f xxx x f x x f 求++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+并求曲线y y y x f y 及，2321),(===轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x x y x x 与===,2,1轴围成，计算.22dxdy xy x D⎰⎰+设函数.)(12⎰=xt dt e x f （Ⅰ）;)2()(),2,1(2ξξξξe f -=∈使得证明：存在（Ⅱ）.2ln )2(),2,1(2ηηηe f ⋅=∈使得证明：存在（21）（本题满分11分）设函数)(x f 可导，且0)(>'x f ，曲线)0)((≥=x x f y 经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于MP T 又,垂直x 轴与点P .已知由曲线),(x f y =直线MP 以及x 轴所围图形的面积与MTP ∆的面积之比恒为2:3，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型323121232221321222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=经过可逆线性变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为二次型.24),,(21232221321y y y y y y y y g +++=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵.P （23）（本题满分11分）.),,(2的特征向量是非零向量且不是其中阶矩阵，为设A A P A ααα=（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）.,0612是否相似于对角矩阵并判断，求若A AP P A A -=-+ααα2020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt ⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。

2007年考研数学二真题及答案

2007年考研数学二真题一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当x→0+时，与√x等价的无穷小量是(A)1−e−√x(B)ln1−√x(C)√1+√x−1 (D)1−cos√x【答案】B。

【解析】(当x→0+)时ln1−√x=[l n(1+x)−l n(1−√x)]~√xe√x~−√x √1+√x−1~12√x 1−cos√x~12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)函数f(x)=(e 1x+e)tanxx(e 1x−e)在[−π,π]上的第一类间断点是x=(A)0 (B)1(C)−π2(D) π2【答案】A。

【解析】A ：由lim x→0−e 1x =0,lim x→0+e 1x=+∞得 lim x→0−f(x)=lim x→0−(e 1x +e)tanx x(e 1x −e)=limx→0−e 1x +e e 1x −e∙tanx x =e −e∙1=−1lim x→0+f(x)=lim x→0+(e 1x +e)tanxx(e 1x −e)=lim x→0+e 1x +ee 1x −e∙tanx x=1∙1=1所以x =0是f (x )的第一类间断点； B ：lim x→1f(x)=limx→1(e 1x +e)tanx x(e 1x −e)=∞ C ：lim x→−π2f(x)=limx→− π2(e 1x +e)tanx x(e 1x−e)=∞D ：lim x→π2f(x)=lim x→π2(e 1x +e)tanxx(e 1x −e)=∞所以x =1,x =± π2都是f(x)的第二类间断点。

综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3)如图，连续函数y =f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F (x )=∫f(t)dt x0,则下列结论正确的是 (A)F (3)=−34F(−2)(B)F (3)=54F(2)(C)F (−3)=34F(2)(D)F (−3)=−54F(−2)-3 -2 -1 0 1 2 3y =f(x)xy【答案】C 。

2021考研数学二真题及答案解析 (1)(1)

x ( )2x 2 3 2 x 3 x4⎰ x ⎰ ⎰0 02021 考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． 1.当 x → 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是（）A. x (e t 2 -1)dt 0B. ⎰0ln(1+ t 3 )dt C. sin xsin t 2dt 01-cos x D. 0sin 3tdt解析：本题选 D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。

用求导定阶法来判断。

在 x → 0+ 时，(⎰x(e t 2 -1)dt )'= e x 2 -1 x 2 ； (⎰xln(1+ t 3 )dt )'= ln(1+x 3) 3x2 ；(⎰sin xsin t 2dt )'= sin (sin x )2cos x x2；(⎰1-cos xsin 3 tdt )' =sin 3(1- cos x ) sin x。

2.函数f (x ) =1e x -1ln(1+ x )(e x -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C. 3D.4解析：本题选 C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。

间断点有 x = -1, 0,1, 2 ，由于1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞ ；x →-1+x →-1+ (e x-1)(x - 2) 1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = - 1；x →0 x →0 (e x -1)(x - 2) 2e1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞ ；x →1+x →1+ (e x-1)(x - 2) 1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞x →23. ⎰1x →2 (e x -1)(x - 2)x = ( )x (1- x ) π 2ππA.B.C.D.4848∂2f ∂x ∂y 0 -⎨ ⎩⎩⎩解析：本题选 A 。

高等数学间断点分类

高等数学间断点分类
高等数学中，间断点是指函数在某一点不连续的现象。

根据间
断点的性质和出现的原因，可以将间断点分为三类，第一类间断点、第二类间断点和无穷间断点。

第一类间断点，也称为可去间断点，指的是在该点存在极限但
函数值与极限不相等的情况。

这种间断点通常是由于函数在该点有
定义上的缺陷，比如在该点有一个孤立的点没有定义，或者在该点
有一个跳跃间断。

举个例子，函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)在x=1处
就是一个可去间断点，因为虽然(x^2 1)/(x 1)在x=1处没有定义，
但是它的极限却存在且等于2。

第二类间断点，也称为跳跃间断点，指的是在该点左右极限存
在但不相等的情况。

这种间断点通常是由于函数在该点发生了突变，比如在该点发生了跳跃或者震荡。

举个例子，函数f(x) = sign(x)（x的符号函数）在x=0处就是一个跳跃间断点，因为它在0的左
极限是-1，右极限是1，不相等。

无穷间断点，指的是当自变量趋于某个值时，函数的值趋于无
穷大的情况。

无穷间断点可以分为正无穷间断点和负无穷间断点。

举个例子，函数f(x) = 1/x在x=0处就是一个无穷间断点，因为当x趋于0时，函数值趋于正无穷或者负无穷。

总的来说，高等数学中的间断点分类主要包括了可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点这三类，每一类间断点都有其特定的性质和特点。

对于每一类间断点，我们可以通过分析函数在该点的性质和极限的情况来进行分类和判断。

这些概念对于理解函数的连续性和性质具有重要意义，也是高等数学中的重要内容之一。

高数上第一章154间断点及其分类

利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函数，分别分析这些基本初等函数的间断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注意各基本初等函数定义域的变化对复合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函数的运算性质（如加减、乘除、复合等），判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现，间断点可分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相等，但极限存在。通过补充或修改函数在该点的定义，可以使函数在该点连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因此没有间断点。但在某些特定情况下（如底数或指数趋于无穷大时），可能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但当对数函数的真数趋于零或负无穷大时，可能会出现间断现象。此时需要结合对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类

考研数学真题解析间断点的分类

考研数学(二)真题解读：间断点的分类来源：文都教育间断点及分类是考研数学重要考点，考研数学（二）考试中也出现了此考点。

下面文都考研数学老师帮大家复习一下间断点的概念及分类。

、间断点定义若()x f 在0x 点出现下列三种情形之一：（）在0x x =处无定义；（）在0x x =处有定义，但)(lim 0x f x x →不存在；（）在0x x =处有定义，)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→；则称()x f 在点0x 处不连续．0x 称为()x f 的不连续点或间断点．、间断点分类第一类间断点：)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→都存在的间断点. 若)(lim 0x f x x -→)(lim 0x f x x +→，则称0x 为可去间断点.若≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +→，则称0x 为跳跃型间断点.第二类间断点：)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→中至少有一个不存在的间断点若)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→中至少有一个为无穷大，则称0x 为无穷间断点.当0x x →时函数值在摆动, 称0x 为振荡间断点.数二在年和今年都考到了间断点的分类，题目和解读如下：【数二】设函数()sin ,02,2x x f x x πππ≤<⎧=⎨≤≤⎩ ()()0x F x f t dt =⎰，则( ). ()x π=是函数()F x 的跳跃间断点 () x π=是函数()F x 的可去间断点() ()F x 在x π=处连续但不可导 () ()F x 在x π=处可导解读：由定积分的几何意义，()()()00F F F πππ-==+而()()()00lim 0x x f t dt f t dt F x ππππ--→-'==-⎰⎰，()()()00lim 2x x f t dt f t dt F x ππππ++→-'==-⎰⎰， ()()(),F F Fx ππ-+''≠∴在x π=处不可导。