《概率论与数理统计》复习资料

《概率论与数理统计》复习资料

一、填空题（15分）

题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）

【相关例题】 1、设(,)X

U a b ，()2E X =，1

()3

D Z =

，则求a ，b 的值。

21

(,),()2,(),3

()1

2,,21231, 3.X

U a b E X D X a b b a a b

a b ==+-∴==<==解：根据性质：

解得： 2、已知(,),()0.5,()0.45X

b n p E X D X ==,则求n ，p 的值。

0.5,(1)0.450.1.

np np p p =-==解：

由题意得：解得：

题型二：正态总体均值与方差的区间估计 【相关公式】（P163）

2/2,1-X X z ασμα⎛⎫±

⎪⎝⎭

为已知的一个置信水平为的置信区间：

【相关例题】

1、（样本容量已知）

1225~(,0.81),,,,,5,0.99X N X X X X μμ=已知总体……为样本且则的置信度的置信区间为：

()()/20.0250.9550.18 1.96 4.6472,5.35285X z z α⎛⎫⎛⎫

+=±=±⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：代入公式得：

2、（样本容量未知）

()123(,1),,,,,,0.9510.88,18.92.

n X

N X X X X μμ已知为样本容量若关于的置信度的置信区间，

求样本容量2227.847.84 3.922 4.

X z X z z n ααα

⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=⇒=解：

由题意知：样本长度为，则有：

题型三：方差的性质 【相关公式】（P103）

()()()21()0,2()(),()()3,,()()()

D C C D CX C D X D X C D X C X Y D X Y D X D Y ==+=+=+为常数。

，为常数。

相互独立 【相关例题】 1、

12121212(2,4),(0,9),,,(2).X X X U X N X X D X X -已知，两变量，且相互独立求

12

21212~(2,4),(0,9)

()1

(2)()4()4936

123

X U X b a D X X D X D X -∴-=+=+⨯=解：

题型四：

2

t χ分布、分布的定义 【相关公式】（P140、P138）

(

)()()()21232222

1222

21(0,1),(),,.

2,,,,(0,1),,.

n n X

Y

n X Y t n t t

t n X X X X N X X X n n χχχχχ=

=+++设且相互独立，则称随机变量

服从自由度为的分布，记为设……是来自总体的样本则称统计量服从自由度为的分布记为

【相关例题】 1、2(0,1),(4),,,

/X

Y

X Y Y n

χ若且相互独立？

(4)t

2、()30

2

123301

,,,,0,1,?i

i X X X X N X

=∑若变量……服从则

30

2

21

(30).i i X χ=∑答：

题型五：互不相容问题 【相关公式】（P4）

,A B A B ⋂=∅若则称事件与事件是互不相容的。

【相关例题】

1、()0.6,,,().P A A B P AB =若互不相容求

,()(())()()0.6

A B A B P AB P A S B P A AB P A ∴⋂=∅

∴=-=-==解：

互不相容

二、选择题（15分）

题型一：方差的性质 【相关公式】（见上，略） 【相关例题】（见上，略）

题型二：考察统计量定义（不能含有未知量） 题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）

题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略） 题型五：对区间估计的理解（P161） 题型六：正态分布和的分布 【相关公式】（P105） 【相关例题】

()~(0,2),~(3,9),~?X N Y N X Y +若则

(03,29)(3,11).N N ++=答：

题型七：概率密度函数的应用 【相关例题】

2,01x x << 设()X f x ==

0,其他

已知{}{},P X a P X a a >=<则求。

2

1{}{}

1

{}

2

1

2|

02

2

a

P X a P X a

P X a

a

xdx x

a

a

-≤=<

∴<=

==

>

∴=

⎰

解：由题意，得：

即有：

又

三、解答题（70分）

题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。

【相关公式】

❖全概率公式：

()()()()()

()

n

1122

S P()

=|()||()

()

(|)

()

=

()(|)()(|).

i

n n

E S A E

B

A P A

B P B P A B P B P A B P B

P AB

P B A

P A

P A P A B P B P A B P B

+++

=

=+

12

设实验的样本空间为，为的事件，B，B，……，B

为的划分，且>0,则有：

P?…

其中有：。

特别地：当n2时，有：

❖贝叶斯公式：

()

()

i

1

0 0(1,2,,),

()(|)()

(|)

()(|)()

=

()(|)()

(|)

()(|)()(|)()

i i i

i n

i i

j

E S A E A

P B i n

P B A P A B P B

P B A

P A P A B P B

P AB P A B P B

P B A

P A P A B P B P A B P B

=

> >=

==

==

+

∑

12n

设实验的样本空间为。为的事件,B，B，……，B为S的一个划分，且P，……则有：

特别地：

当n2时，有：

【相关例题】

★1、P19 例5

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。

问：