高中数学椭圆公式大全

高中数学椭圆公式大全

椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴：

1)焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

2)焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0)

其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x 轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n).既标准方程的统一形式.

椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acosθ,y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式.

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如

L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-

(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则

e=PF/PL

椭圆的准线方程

x=±a^2/C

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线

x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1

点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m①

x^2/a^2+y^2/b^2=1②

由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切△=0

相离△<0无交点

相交△>0可利用弦长公式：A(x1,y1)B(x2,y2)

|AB|=d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-

4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]

椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式：2b^2/a

1、范围：焦点在轴上，;焦点在轴上，

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：(a，0)(-a，0)(0，b)(0，-b)

4、离心率：或e=√(1-b^2/a²)

5、离心率范围：0

6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆。

7、焦点(当中心为原点时)：(-c，0)，(c，0)或(0，c)，(0，-c)

8、与(m为实数)为离心率相同的椭圆。

9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1(或PF2)≤a+c。

10.椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。