立体几何-垂直的证明完整

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高中立体几何证明线垂直的方法(学生)

PE D CB A高中立体几何证明线线垂直方法〔1〕通过“平移〞,根据假设αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；3.如下图，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

〔1〕证明：PH ABCD ⊥平面；〔2〕假设121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积；〔3〕证明：EF PAB ⊥平面.EF BA C DP〔第2题图〕4.如下图, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD 。

证明: BE PDC ⊥平面;5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．〔Ⅰ〕求证：PC AB ⊥；〔Ⅱ〕求二面角B AP C --的大小；6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC〔3〕利用勾股定理7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ；_ D_ C_ B_ A_ PACBPCADBOE8.如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．〔1〕求证：AM ∥平面BEC ；〔2〕求证：⊥BC 平面BDE ；图1图29.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 〔1〕求证：AO ⊥平面BCD ；〔2〕求异面直线AB 与CD 所成角的大小；10.如图，四棱锥S-ABCD 中，BCAB ⊥,CD⊥BC ，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．〔Ⅰ〕证明：SAB 面⊥SD;〔Ⅱ〕求AB 与平面SBC 所成角的大小． M AFBCD E M E DC BAF〔4〕利用三角形全等或三角行相似11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点.求证：D1O⊥平面MAC.12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；13.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；〔5〕利用直径所对的圆周角是直角14.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . 〔1〕求证：平面PAC ⊥平面PBC ；〔2〕假设D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.O AC BPD.15.如图5，在圆锥PO 中，PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．求证：平面ABM ⊥平面PCD ；【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】OAPBM。

立体几何第五讲垂直的性质和证明学生

(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定如果一个平面经过另一个平面的一条定理垂线那么这两个平面互相垂直
l⊂β ⇒α⊥β
l⊥α
(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言
性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
图形语言
符号语言
α⊥β α∩β＝a ⇒l⊥α l⊂β l⊥a
A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，过 A 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，有下列三个结论：
①点 H 是△A1BD 的中心； ②AH 垂直于平面 CB1D1； ③AC1 与 B1C 所成的角是 90°. 其中正确结论的序号是________． 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN⊥PM， N 为垂足．
6
(1)求证：AN⊥平面 PBM. (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证 NQ⊥PB.
8. 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上， A1D⊥B1C1. 求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
3 积．
2
[玩转跟踪] 1．(2018·江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
2.(2020·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PA⊥ 平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中点，且 PA＝AD. 求证：(1)AF∥平面 PEC； (2)平面 PEC⊥平面 PCD.

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

是一份不可多得的好资料。

一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。

立体几何垂直的证明

直线与平面垂直
判定直线和平面垂直的方法
①定义法：
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
例1.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD ＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.
证明：AD⊥平面P AC.
变式练习. 如图，已知BD⊥平面ABC，MC∥BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥平面ABD.
平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
例2.如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB
变式练习.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
面面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
例3.如图所示，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.M是PC上的一点，
证明：BD⊥平面P AD.
变式练习.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，
∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面P AD.。

高中数学必修立体几何专题线面垂直方法总结

棱
柱
A
B
C
D－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底面 A B C D 是菱形， A B＝ 2， A B C＝ 60， P为侧棱
B B1上的动点．
1求证： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求当 B1P 等于多少时， PB
PO 平面 D1AC ?
【解析】1 证明：
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. 而PD 平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥ 平面PAD. 又PD 平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
【证明】(1)连结AC，取其中点O，连结NO、MO，并延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点，所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以 CD⊥MN.
BB1C1C.
【
证
明
】
直
棱
柱
A
B
C
D－
A1 B 1C
1
D
中
1
，
BB1 平面 ABC D，所以 BB1 AC .
又因为 B A D＝ A D C ＝ 9 0 ， A B
＝ 2AD＝ 2C D＝ 2，

立体几何线面垂直的证明

立体几何证明【知识梳理】1.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。

平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）知识点一【例题精讲】3.在棱长为2 的正方体A BCD A1B C D 中，E、F 分别为DD1 、DB的中点。

1 1 1（1）求证：EF// 平面ABC1 D1 ；（2）求证：平面B D1C1 B1C EF B1C ；（3）求三棱锥 B EFC1 的体积V.4.如图所示, 四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面A B C D, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.（1）证明: EB // 平面PAD ;（2）证明: BE 平面PDC ;（3）求三棱锥 B PDC的体积V.3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD ，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．4、.如图，三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2 ，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB 的高．5.如图1-4 所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，6.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为AC，DC，AD 的中点．求证：EF⊥平面BCG；7.如图1-1 所示，三棱柱ABC - A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影 D 在AC8.上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC ﹣DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1 ，BC=2，AC=3 ．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．35、三棱锥P﹣ABC 中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2 ，（1）求证：面PBC⊥面ABC9.已知四棱锥P-ABCD中, 底面四边形为正方形, 侧面PDC为正三角形, 且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1) 求证:PA∥平面EDB;(2) 求证: 平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；3.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD 沿CD 翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD 中有MA= ．（1）求证：AC⊥MD ；（2）求四棱锥M ﹣ABCD 的体积．作业1、如图1，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC 交BD 于点O．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N 分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6 ．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC ﹣A1B1C1 中，O 是AC 的中点，A 1O⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC ．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=6°0的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；4、如图，四棱锥P-ABCD 中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=F 分别为线段AD，PC 的中点．12AD，E，（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB ∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形．AB=BC=2 ，CD=1，SD= ．（1）证明：CD⊥SD；10.如图，四棱锥S﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC⊥BD ．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=12°0，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC．7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点 F 为边CD 的中点，2AB AE AD 4,现将ABE 沿BE 边折至PBE 位置，且平面PBE 平面3BCDE .PEADEDFB C B C（1）求证：平面PBE 平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，PA PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，AB / /CD ，DAB 90 ，四边形ADEF 为等腰梯形，EF / / AD ，已知AE EC ，AB AF EF 2，AD CD 4．（Ⅰ）求证：平面ABCD 平面ADEF11.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，AB AC ，PA 平面12. ABCD ，且PA AB ，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：PB // 平面AEC ；。

立体几何(垂直平面交线的证明)

立体几何(垂直平面交线的证明)
简介
本文将证明在立体几何中，两个垂直平面交线垂直。

垂直平面交线是指两个平面的交线。

证明过程
设两个垂直平面为平面A和平面B，它们的交线为线段CD。

步骤一：确定垂直平面
首先，我们需要确定平面A和平面B垂直。

根据立体几何的性质，两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直。

设平面A的法向量为向量a，平面B的法向量为向量b。

如果向量a与向量b垂直，则平面A和平面B垂直。

步骤二：确定交线
在确定平面A和平面B垂直后，我们需要证明线段CD垂直。

设线段CD在平面A上的一个点为点C，在平面B上的一个点为点D。

我们需要证明向量CD与向量a和向量b均垂直。

如果向量CD与向量a垂直，则线段CD垂直平面A；如果向量CD与向量b垂直，则线段CD垂直平面B。

步骤三：证明
根据向量的垂直性质，我们知道两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。

首先，我们证明向量CD与向量a垂直。

设向量CD为向量c，向量a为向量d。

如果向量c与向量d的点积为零，则向量CD与向量a垂直。

同样地，我们证明向量CD与向量b垂直。

设向量CD为向量c，向量b为向量e。

如果向量c与向量e的点积为零，则向量CD与向量b垂直。

结论
通过以上证明，我们可以得出结论：在立体几何中，两个垂直平面交线垂直。

参考文献
- 立体几何教材，作者A，出版社B，年份C。

6.立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）
1 、等腰（等边）三角形中的中线 2、菱形（正方形）的对角线互相垂直 3、勾股定理中的三角形 4 、 1:1:2 的直角梯形中 5 利用相似或全等证明直角。
类型三、面面垂直的证明。 (本质上是证明线面垂直)
B EABiblioteka C FD类型四、探索性问题
异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）
类型二：线面垂直证明
方法1 利用线面垂直的判断定理
A
D O B E
C
2 利用面面垂直的性质定理（方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。）
例3、在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且平面PAB⊥面ABCD，求证 BC⊥面PAB

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

立体几何线线垂直的证明方法

立体几何线线垂直的证明方法在立体几何中，线线垂直是一种非常重要的关系，它在很多问题中都有着重要的应用。

本文将介绍几种线线垂直的证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一关系。

一、垂线段的垂线段垂直首先介绍的是垂线段的垂线段垂直的证明方法。

具体来说，如果有两个垂直于同一个平面的线段AB和CD，且它们之间有一条垂线段EF，则EF和CD垂直。

证明如下：1、连接AE和CF，得到平面ACEF。

2、由于AB和CD垂直于平面ACEF，所以它们的交点O在平面ACEF 内。

3、由于EF垂直于平面ACEF，所以它与平面ACEF的任意一条交线都垂直，特别地，它与CF垂直。

4、因此，EF和CD垂直。

二、平面的法线和平面内的任意直线垂直接下来介绍的是平面的法线和平面内的任意直线垂直的证明方法。

具体来说，如果有一个平面P和一条直线L在平面P内，且L与P垂直，则L与P的法线垂直。

证明如下：1、连接L和P的交点O。

2、在平面P内任意取一点A，连接OA。

3、由于L与P垂直，所以OA与L垂直，即OA和L在点O处垂直。

4、由于P的法线垂直于P，所以它与P内任意一条直线都垂直，特别地，它与OA垂直。

5、因此，L与P的法线垂直。

三、垂线段和平面的法线垂直最后介绍的是垂线段和平面的法线垂直的证明方法。

具体来说，如果有一条垂直于平面P的直线L，且L与平面P上的一条线段AB相交于点O，则OA和OB的中垂线与P的法线垂直。

证明如下：1、连接OA和OB，得到线段AB的中垂线CD。

2、连接CO和DO，得到平面COD。

3、由于L垂直于平面P，所以L和P的法线在平面P内的交点O 处垂直。

4、由于OA和OB在点O处相交，所以它们的中垂线CD也经过点O。

5、因此，CD与P的法线垂直。

以上就是三种线线垂直的证明方法，它们都非常简单易懂，但是能够解决很多实际问题。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的证明方法，以便更好地解决问题。

立体几何证垂直的方法

立体几何证垂直的方法垂直是立体几何中一个非常重要的概念，常常用于判断两个直线、两个平面或者一个直线和一个平面之间的关系。

本文将介绍几种常见的方法来证明两个线段、两个直线、两个平面或者一个线段和一个平面之间的垂直关系。

1. 定义证明法：垂直可以通过定义来证明。

垂直的定义是：两条直线相交，互相垂直。

这个定义可以用来判断两条直线之间是否垂直。

如果已知两条直线相交，并且相交角度为90度，则可以得出两条直线垂直的结论。

2. 重叠线证明法：当两个线段的一个端点重合，并且两个线段的另一个端点也重合时，可以得出这两个线段垂直的结论。

这是因为，当两个线段垂直时，它们的端点将构成一个直角，而直角的两条边重合时，会得到一个重叠的线段，从而可以推出两个线段垂直。

3. 垂直性质证明法：根据垂直性质来证明两个直线或者平面之间的垂直关系。

例如，两个直线垂直的性质之一是：直线的斜率相乘为-1。

如果已知两个直线的斜率，且斜率的乘积等于-1，则可以得出这两条直线垂直的结论。

类似地，两个平面之间垂直的性质之一是：平面上两个垂直的直线在平面上的投影线也垂直。

如果已知两个平面上的直线的投影线垂直，则可以得出这两个平面垂直的结论。

4. 垂直线性等式证明法：当两个线段、直线或平面上的点坐标可以满足垂直线性等式时，可以证明它们之间的垂直关系。

例如，对于两个直线L1:y = a1x + b1和L2:y = a2x + b2，如果它们的斜率满足a1 * a2 = -1，则可以得出这两条直线垂直的结论。

5. 三角形几何证明法：在三角形中，垂直性质也可以用来证明两个线段或直线之间的垂直关系。

例如，如果一条线段平分了一个角，并且与另一条线段垂直相交，那么可以得出这两个线段垂直的结论。

同样地，如果一个直角三角形中的两条边互相垂直，那么可以得出这两条边垂直的结论。

总结起来，证明垂直关系的方法有很多种，包括基于定义、重叠线、垂直性质、线性等式和三角形几何的方法。

立体几何垂直的证明方法【线线垂直+线面垂直+面面垂直】【20210210】

空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。

空间立体几何中的平行、垂直证明

又∵ＡＨ⊂平面 PAB，且ＥD 平面 PAB
∴DE∥平面 PAB.
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H
构造平行四边行法
23
(2)证明在直角梯形中，CB⊥AB，又∵平面 PAB⊥平面 ABCD，且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
精选ppt
看到中点找中点
D1 A1
DE A
C1
B1
F
C B
精选ppt
7
定理应用
空间中的平行
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
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8
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC B
精选ppt
9
定理应用
空间中的平行
例 2.如图所示， P在 AB四 C 中D 棱，锥已知 A四 BC 是边 D 形平行四M 边 ,N分形别，是ＰＡ点，，ＢＣ的中证明：ＭＮＤ／／面PＰＣ
精选ppt
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线.
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高中立体几何证明线垂直的方法(学生)

PE D CB A高中立体几何证明线线垂直方法(1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P —ABCD 中，△PBC 为正三角形,AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E 。

求证:AE ⊥平面PDC 。

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；3。

如图所示,在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点,F 是CD 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高. （1)证明：PH ABCD ⊥平面;(2)若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积;（3）证明：EF PAB ⊥平面。

EF BA C DP（第2题图）4。

如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ， E 为PC 的中点， PA ＝AD 。

证明: BE PDC ⊥平面;5。

在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥．(Ⅰ）求证：PC AB ⊥;（Ⅱ)求二面角B AP C --的大小；6。

如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC（3)利用勾股定理7。

如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==求证:PA ⊥平面ABCD ；_ D_ C_ B_ A_ PACBPCADBOE8。

如图1,在直角梯形ABCD 中,CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1)求证：AM ∥平面BEC ；（2)求证：⊥BC 平面BDE ；图1图29。

立体几何线面垂直的证明

立体几何证明【知识梳理】1.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直⇒线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。

平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1.平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）知识点一【例题精讲】1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

（1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证：平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥；（3）求三棱锥EFC B -1的体积V.2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：（1）AE⊥CD（2）PD⊥平面ABE．4、.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．2.如图14所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG；3.如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；2.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M﹣ABCD的体积．作业1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；AD，E，4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=12F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．（1）证明：CD⊥SD；6.如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC ⊥BD ．（Ⅰ）求证：SB=SD ；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC ．7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，234A E D B A A ===,现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF;AB CDEBCDEFP9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是。

立体几何垂直证明

立体几何垂直证明方法技巧类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形⑤利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）例1 在正四面体ABCD 中，求证：AC BD ⊥变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿,DE DF折起，使,A C两点重合于'A.求证:'A D EF⊥；变式3如图，在三棱锥P ABC-中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC类型二：直线与平面垂直证明BE'ADFG方法○1利用线面垂直的判断定理例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的P中点，2,CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ；变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；例2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，FADPEE是PC的中点．⊥；（2）证明PD⊥平面ABE；（1）证明CD AE变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，∠60ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，=︒且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；类型三：平面与平面垂直证明1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，点N为垂足，求证：平面PAM⊥平面PBM2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。

高中立体几何证明线垂直的方法(学生)

高中立体几何证明线垂直的方法(学生)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.MarchPEDC BA高中立体几何证明线线垂直方法（1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,//1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。

（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF PAB ⊥平面.E FACDP（第2题4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD 。

证明: BE PDC ⊥平面;5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º 证明：AB ⊥PC（3）利用勾股定理7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==求证:PA ⊥平面ABCD ；_ P ACBPCADO8.如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ；图1图29.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；10.如图，四棱锥S-ABCD 中，BC AB ⊥,CD ⊥BC ，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．M AFBCDE M E D C（Ⅰ）证明：SAB 面 SD ;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．（4）利用三角形全等或三角行相似11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点. 求证：D1O⊥平面MAC.12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；13.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；（5）利用直径所对的圆周角是直角14.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.O AC BP.15.如图5，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;16.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，Array PA⊥平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．B求证：平面ABM⊥平面PCD；。

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