第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)分析

力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映
可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。 下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。
2018/12/25周书敬
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
第一节
拉伸和压缩时的应力应变曲线
一、低碳钢的拉伸实验 图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。 1、比例变形阶段 ： OA段 在此阶段中，应力和应变之 间的关系是线性的，即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
象，如果再继续拉伸，则变形将集中在
颈缩区进行，最后试件将被拉断。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图3-2） 如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的
材料，通常以产生 0.2%的
塑性应变时所对应的应力 作为屈服极限，并称为名 义屈服极限用 0.2 表示。
第三章 弹性与塑性应力应变关系
第三章 弹性与塑性应力应变关系
前面两章分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平
衡（微分）方程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质
（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅用这些 方程还不能求解土木工程领域的实际力学（弹塑性）问题。 对土木工程领域的一个实际力学问题（正问题），需要 求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅 建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几 何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之
的增加，屈服极限在一个方
向上提高，而在相反方向降 低的效应称为包辛格反应。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
名义应变： 这里的
l / l0
并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达
b点之前，往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。
但过了b点之后，试件发生颈缩，截面面积的较大变化对于 应力的计算将有明显的影响。 若试件截面上的真实应力用 T 表示， A为某一瞬间试件 的实际截面积，则应有： 真实应力： 由于A 0，所以有 T
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T P / A
（3－2）
。
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根据体积不可压缩假设，应有：
A0l0 Al
（3－3） （3－4） （3－5）
A l0 A0 / l
Pl P l0 l l T ( ) (1 ) (1 ) A0l0 A0 l0 l0
由（ 3-5 ）式很容易由应 力应变曲线得到真实应力应变 曲线（图3-4）。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
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关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 H O回到 O 点和 O点。 如果由点 O "开始再加载，则加载过程仍沿
高。 5、局部变形阶段： b点以后 在 b 点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达 b 点之后，试件出现颈缩现
' O" H 线进行，
直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提
上对弹性极限和比例极限并不严格区分。
3、屈服阶段： BD段 当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而应
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
力则在很小范围内波动，这种应力变化不大而应变显著增加
的现象称为屈服或流动。 C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈 服极限，但在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的 屈服极限 (yield limit)记作
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中，
对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。 四、名义应力与真实应力 在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载， 则有： 名义应力： P / A0 若试件标距长度为
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l 0，伸长为 l ，则有：
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s
。
4、塑性流动阶段： DH段
在这一阶段中，虽然应力没有增
加，应变却在不断增加。
Hb段：强化阶段
由 H 点开始出现强化现象，即试 件上只有应力增加时，应变才能增加 。
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如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图 3-1中的 DO、H O ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式， 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
三、包辛格 ( Baisehinge r ) 效应：见图3-3。 若自点 O " 继续卸载（即 压缩），则反向加载时屈服
不仅比 s 极限 s 小，而且还
比初始屈服极限 s 小，这里
s
的 是自点 来自百度文库 "点拉伸到屈服 时的屈服极限， 这种具有强 化性质的材料随着塑性变形
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与
之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。 注： 对许多材料来讲， A ， B 两点非常接近，所以工程