第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)分析
弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系
3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
A B
模型：
s
e E E s s e
O
线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s
e E E1 ( s ) s e
B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
弹性变形与塑性变形
一、弹性和塑性的概念可变形固体在外力作用下将发生变形。
根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；当外力一旦超过弹性极限荷载时，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。
根据上述固体受力变形的特点，所谓弹性，就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质；而所谓塑性，则定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。
“弹性（Elastici ty）”和“塑性（Plasticity）”是可变形固体的基本属性，两者的主要区别在于以下两个方面：1）变形是否可恢复．．．．．．．：弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是一个可逆的过程；塑性变形则是不可恢复的，塑性变形过程是一个不可逆的过程。
2）应力和应变之间是否一一对应．．．．．．．．．．．．．：在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且是非线性关系（这种非线性称为物理非线性）。
工程中，常把脆性和韧性也作为一对概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小，若变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏的，称为韧性或延性。
通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。
二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性理论和塑性理论组成。
弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。
因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。
弹塑性力学
ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 1 2 q, 3 q max 1 3 (1 2 ) q 1 2 2(1 )
ME6011 弹性塑性力学 21
3-3 3 3 Tresca和Mises屈服条件
研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后 物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 塑性力学问题的特点（4点） 应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的， 其非线性性质与具体材料有关； 应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载 历史有关； 在变形体中有弹性变形区 和塑性变形区，而在求 解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；
xy yz
zx
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz zxG NhomakorabeaG
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex 应变偏量分量 sx 1 2G 应力偏量分量
ME6011 弹性塑性力学
9
不考虑材料强化性质
考虑材料强化性质
①理想弹塑性模型
E s ( s ) 韧性 ( s ) 材料
②线性强化弹塑性模型
( s ) E s E ( s ) ( s )
双线性强化模型
力学问题中各量间关系
ME6011 弹性塑性力学 3
• 本构关系
–反映应力应变之间的联系 映 –材料的固有特性：每一种材料，应力、应变有 着固有的关系 –广义Hook定律：线性 –增量理论：非线性，应变与应力状态和变形历 增量理论 非线性 应变与应力状态和变形历 史有关，研究应力和应变增强之间的关系
E
第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读
四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载，
则有：
名义应力： P / A0
若试件标距长度为 l0，伸长为 l，则有：
2020/3/12周书敬
9
第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
3-1中的 DO、HO ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 O"H线' 进行， 直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段： b点以后
在b点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达b点之后，试件出现颈缩现
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8
第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中， 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
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3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）
2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
弹性与塑性应力应变关系
02
弹性应力应变关系
弹性应力应变定义
弹性应力
物体受到外力作用时，在内部产生的抵抗 力量。
弹性应变
物体在弹性应力作用下发生的形状变化。
弹性阶段
在弹性应力范围内，物体的应力和应变呈 线性关系，即应力与应变成正比。
胡克定律
胡克定律表述：在弹性范围内，物体的应力和应变满足线性关系，即应 力=弹性模量×应变。
多尺度与跨学科 研究
未来研究可以进一步探索不 同尺度下材料的应力应变行 为，从微观到宏观，深入了 解材料的内在机制。此外， 跨学科的研究方法将有助于 更全面地理解材料的力学性 能，推动相关领域的发展。
实验与数值模拟 的结合
结合实验与数值模拟的方法 ，可以更准确地预测材料的 应力应变行为。通过建立更 精确的数学模型和实验装置 ，可以进一步揭示材料的力 学特性，为工程应用提供更 有力的支持。
应变软化
在某些情况下，随着应变的增加，材 料的屈服强度和极限强度会降低，表 现出应变软化的现象。这种现象通常 出现在高温或长时间变形条件下。
05
实际应用
工程材料选择
弹性材料
在工程中，选择具有高弹性模量和良好稳定性的材料，以确保结构在承受载荷 时具有足够的刚度和稳定性。
塑性材料
对于需要承受较大塑性变形的结构，应选择具有良好塑性和韧性的材料，以避 免脆性断裂和灾难性失效。
应用领域
弹性与塑性应力应变关系在工程 领域中具有广泛的应用价值，如 结构分析、材料设计、机械零件 的强度校核等。了解材料的应力 应变关系有助于合理设计构件， 提高结构的稳定性和安全性。
对未来的展望
新材料与新技术 的应用
随着科技的发展，新型材料 和先进技术的应用将进一步 拓展弹性与塑性应力应变关 系的研究领域。例如，智能 材料、纳米材料等新型材料 的出现，将为该领域的研究 提供更多可能性。
第3-4章 建筑结构材料的力学性能与设计原则
七,设计表达式——正常使用极限
S≤C
式中:C——结构或构件达到正常使用极限要求的限值 裂缝—表5.2.5(P111),挠度—表5.2.6(P113)
1,裂缝验算——取荷载效应的标准组合
S=Sk S=Sq
S k = S Gk + S Q1k + ∑ψ ci S Qik
i =2
n
2,挠度验算——取荷载效应的准永久组合
第三章 建筑结构材料的力学性能
3.1 材料的弹性,塑性和延性 一,弹性 弹性——材料受力后,当外力移去时,应力 弹性 和应变都可以完全恢复为零的特性. 二,塑性 塑性——材料受力后,即使外力移去,应变 塑性 也不能完全恢复为零的特性,即有残余应变. 延性——材料超过弹性极限后直至破坏过程 三,延性 延性 中的变形能力良好的性能. 四,脆性 脆性——材料破坏前变形能力差的性能. 脆性
�
定义,表现
2,正常使用 极限状态
定义,表现
4.2.3 建筑结构的设计状况
1,持久状况:如正常使用 2,短暂状况:如施工堆载 3,偶然状况:如爆炸
4.2.4 结构设计原理与方法
一,结构的可靠度 建筑结构在 规定的时间内? ←设计基准期,通常为50年 规定的条件下? ←正常设计,正常施工,正常使用 完成预定功能? ←安全性,适用性,耐久性, 的概率.
4.2.1 结构的功能要求 1,安全性——安全等级,表4.2.1 2,适用性——裂缝,挠度 3,耐久性——设计基准期 4,稳定性:整体稳定,局部稳定
4.2.2 结构的极限 极限状态 极限
一,定义:
由可靠向失效转变的临界状态. 是结构或其构件能够满足前述某一功能要 求的临界状态.
二,分类:P43-44 1,承载能力 极限状态
应力应变之间关系
我所认识的应力与应变的关系弹性与塑性应变的关系：一维：胡克定律弹性变形三维：广义胡克定律屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论塑性变形比例变形时全量理论低碳钢拉伸应力应变曲线：σO O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。
在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律，即：σij =Cijklεkl。
应力与应变的关系可以近似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。
因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。
J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。
其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。
应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。
物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换能量，物体的总能量发生变化。
热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即udu U ⎰=。
应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。
格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ∂∂=)(，该公式适用于所有弹性体。
应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。
本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为：),,(T t f εσ=单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。
等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。
随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。
应力-应变关系
3、变形累积
与土的变形累计规律类似 当较小时，趋于缓慢稳定增加 当较大时，急剧增加 随增加，稳定的增加
4、泊松比
一般0.2-0.5，一般取0.25-0.35
三、稳定类材料
1、强度特性
• 强度来源：黏结力，内摩擦力 • 当采用黏结力、内摩擦力的概念时，总与剪切有关。实际
抗弯拉强度，抗剪切强度，抗拉强度 影响因素：沥青的性质与含量，集料的性质与级配， 温度和加荷速率
抗剪切强度（P53，图5-14、5-15） 抗拉强度（P54，图5-19）
6、疲劳特性
试验方法，梁式、劈裂和悬臂式
加载方法
• 应力控制，试验过程中保持所加的荷载不变，应变不断增 大，P58，图5-23
• 应变控制，试验过程中保持所加的应变不变，应力不断减 小；破坏不明显，一般定义为模量衰变50%时为破坏点； P58，图5-23
• 目前已经逐步趋向于采用应变控制
疲劳方程 双对数直线方程
b
Nf
a
1
r
d
εLog ε
Nf
c
1
r
Log N
目前一般采用应变表示法。
k为系数，k1=7.0-15.7，k2=0.46-0.64
由于σ1与σ3有关，所以模量还可以表示为：
Er f1 3 f2
荷载-弯沉关系
随着荷载（弯沉）的增大，模量在增加
P 破坏点 l
设计中的考虑
粒料模量的取值比较困难，因为E=F（应力， 棱角，纹理，密度），设计中无法考虑这 么详细
• 典型蠕变关系曲线见图。
温度影响：受温度影响是沥青混合料的主要 特点之一，高低温时应变可相差几十倍
第三章塑性变形
商洛学院 常亮亮
3.1 金属材料塑性变形机制与特点
塑性变形是永久性变形。常温或低温下，单晶体 的塑性变形主要有滑移、孪生，还有扭折。 滑移是晶体在切应力作用下沿一定的晶面和晶向 进行切变的过程，如面心立方结构的（111）面[101] 方向等。滑移系统越多，材料的塑性越大。
(1) 滑移的显微观察 由大量位错移动而导致晶体的一部分相对于另一部分，
3. 形变织构 (1)形变织构(deformation texture):是晶粒在空间上的择 优取向(preferred orientation)， 如右上图。 （2）类型及特征 ①丝织构 ② 板织构 右图是因形变织构造成的制 耳
（二）加工硬化：金属材料在塑性变形过程中，随着变形量的增 加，强度和硬度不断上升，而塑性和韧性不断下降的现象。
10钢σs与晶粒大小的关系
晶粒直径（μm）
400
50
10
5
2
下屈服点（KN/m2） 86
121
180
242 345
锌的单晶和多晶的拉伸曲线比较
由上图锌的拉伸曲线可以看出： 比较：同一材料多晶体的强度高，但塑性较低。
单晶塑性高。
原因：多晶中各个晶粒的取向不同。在外力作用
下，某些晶粒的滑移面处于有利的位向，受到大于σk
低碳钢的σb与晶粒直径的关系
晶界对硬度的影响
3、多晶体塑性变形的特点
1）各晶粒变形的非同时性和非均匀性 ➢材料表面优先 ➢与切应力取向最佳的滑移系变形的相互协调 晶粒内不同滑移系滑移的相互协调
保证材料整体的统一
3.1.3塑性变形的特点
滑移时不仅滑移面发生转动，而滑移方向也逐渐改变， 滑移面上的分切应力也随之改变。φ=45º时分切应力最大。
塑性应力应变关系
sij sij k ( p )
固有效应力 e (
3 2
sij
sij
)为
e
3 2
k
(
p
)
H
(
p
)
从上式有
d e
H ' (
p )d
p或d
p
d e H '( p )
其中H ' d e / d p.
最后有
d 3 ( 1 )(d e ) 2 H' e
应力应变增量关系为
，只有在待定因子
ij
d范围内才能定义应变增量d
，即
ij
C
ep
的逆矩阵不存在。
d的确定 各向同性强化
对加功强化，屈服函数为
f [ ij , k(Wp )] 0
式中Wp为塑性功,Wp
ij
d
p。
ij
对应变强化，屈服函数为
f [ ij , k( p )] 0
式中
3 强化模型
随动强化：假设在塑性变形过程中，后继屈服面在应力 空间作刚体移动而没有转动，因此初始屈服面的大小、 形状和方向仍然保持不变。
f ( ij ,ij ) f0 ( ij ij ) k 0
式中的张量称为背应力张量，与塑性变 形有关；而k为常数。
4 流动法则
ห้องสมุดไป่ตู้
给定一个应力增量，各塑性应变分量的增量的比率即 塑性应变增量的方向由流动法则确定，该法则可由
2 i 9 i
d33
i 3 i
例题
设一试件先受单向拉伸进入塑性，到达一定的塑性应变
p
工程塑性力学
第一章:金属材料的塑性性质○1 弹性与塑性的本质区别不在于应力—应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复1、简单○2 低碳钢屈服阶段很长，铝、铜、某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段（此时取0.2%塑性应变对应的应力为条件屈服应力）；0.2一、金属材拉伸试验○3 塑性变形量p / E (E 弹性模量；Et 切线模量)○4 简单拉伸件塑性时d E d(拉伸d 0); d Ed(压缩d 0)t料的○5 塑性变形后反向加载（单晶体：反向也对称强化；多晶体：反向弱化—包辛格效应）塑性○6 高温蠕变：应力不变时应变仍随时间增长的现象性质塑性变形不引起体积变化2 静水压○1 静水压力与材料体积改变之间近似服从线弹性规律金属材料发生大塑性变形时可忽略弹性力试验体积变化○2 材料的塑性变形与静水压力无关1、滑移面：晶体各层原子间发生的相对滑移总是平行于这种原子密排的平面，这种大密度平面称为滑移面。
二、塑2、滑移方向：滑移面内，原子排列最密的方向是最容易发生滑移的，称为滑移方向；性变3、滑移系：每个滑移面和滑移方向构成一滑移系。
（体心立方—12；面心立方—48；密排六方—3）形的物理1、为使晶体发生塑性变形，外加应力至少在一个滑移方向上的剪应力分量达到剪切屈服应力；Y基础位错刃形位错：位错运动方向与F 平行；位错在晶体内的运动是塑性变形的根源；塑性变形时位错型聚集、杂质原则阻碍滑移造成强化。
螺形位错：位错运动方向与F 垂直。
三、轴向拉伸时的塑性失稳采用应变的对数定义的优点：=F / A 1、可以对应变使用加法：名义应力：应力真应力： =F / A2、体积不可压缩条件： 1 2 3 0工程应变： =（l-l ）/l应变拉伸失稳条件：0 0=ln(1+ )=ln(l /l )自然应变/对数应变：d / d (此时d / d 0)1、材料塑1、材料的塑性行为与时间、温度无关——研究常温静载下的材料；2、材料具有无限的韧性；3、变形前材料是初始各向同性的，且拉伸、压缩的真应力—自然应变曲线一致性行为基本假设4、重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）=卸载前的应力5、应变可分解为弹性和塑性两部分： =e p6、塑性变形是在体积不变的情况下产生的，静水压力不产生塑性变形；7、应力单调变化时有：E(弹性模量) E（s 割线模量）E（t 切线模量） 0简化模型○1 理想弹性○2 理想刚塑性○3 刚线性强化○4 理想弹塑性○5 弹—线性强化四、材料塑性行为的理想化2、应力、应变曲线的理想化模型经验公式鲁得维克表达式：n=+H (0 n 1)Y修正的鲁得维克式：E (当/ E )Y当(E / )n ( /E )Y Y YY Y Y1）n=0：刚塑性材料；2）0<n≤1：刚线性强化材料1）弹性范围内用Hooke 定律表达；2）塑性范围内用幂函数表达。
弹性与塑性应力应变关系
1 H / H 0 （3－6）
2013-7-25周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
13
第二节 简单应力状态的本构方程
• 对于不同的材料，不同的应用领域，其本构方程是
完全不同的 ，特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为
非线性，叠加原理不能应用，而且应力应变关系还和变形 的历史有关。 • 根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的 简化力学模型（本构方程），在第0章已给出过，在此给 出具体分析。
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 1
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式， 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系
1 x (1 ) x E 1 y (1 ) y E 1 z E (1 ) z
间的关系是线性的，即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 3
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 2、弹性变形阶段 ： AB段
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系
随动强化模型
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在塑性成形理论中的多数情况下，塑性应变一般都比弹
金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第五节应力应变关系(本构关系)
1 2 3
(1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
根据Levy-Mises方程
d 1 d 2 d 3 d ( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
第五节 塑形变形时的应力应变关系
塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系，其数学表达式称为 本构方程或物理方程。
主要内容：
5.1 弹性变形时的应力应变关系 5.2 塑性变形时应力应变关系特点 5.3 增量理论 5.4 全量理论 5.5 应力应变顺序对应规律
5.1 弹性变形时的应力应变关系
5.1 弹性变形时的应力应变关系
在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形。前者与应力球 张量成正比，后者与应力偏张量成正比，写成张量形式：
比列及差比形式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
x y
d y - d z
y z
d z - d x d z x
d x d ( x m )
d x d y d( x m y m ) d ( x y )
(d x d y )2 ( x y )2 d2
1 d ij' d ij' d ij' 1 1-2 2G d ij d ij' d ij' d m ij 2G E d 1-2 d m m E
增量理论特点：
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者 不考虑 都指出了塑性应变增量与应力偏量之 间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得， 能表达加载过程的历史对变形的影响， 能反映出复杂的加载情况
金属材料的弹性变形与塑性变形
3. 加工硬化指数n的实际意义
反映了材料开始屈服以后，继续变形时材料的 应变硬化情况，它决定了材料开始发生颈缩时 的最大应力。（σb或Sb） 1)金属的加工硬化指数（能力），对冷加工成型 很重要（n决定开始颈缩时的最大应力和最大 均匀变形量，n=0材料能否冷加工？） 。低碳 钢有较高的n,n约为0.2。 汽车身板铝合金 化 ，其n值较低，冷加工或冲压性能差。 2)对于工作中的零件，也要求材料有一定的加工 硬化能力，是零件安全使用的可靠保证。 3)形变强化是提高材料强度的重要手段。
δ（塑性变形）=均匀塑性变形+集中塑性变形 Δ5:l0=5d0(小试样) δ1 0:l0=10d0（大试样） （试样长度对δ有影响?) δgt:最大力下的总伸长率表示材料塑性，最大力
理论上:由于它是金属变形时长程内应力的度
量(可用X光方法测定) ,所以,包辛格效应可用 来研究材料加工硬化的机制.
工程上:
材料加工工艺时,需要注意或考虑包辛格效应. 输油管UOE工艺 包辛格效应大的材料，内应力较大。 包辛格效应和材料的疲劳强度也有密切关系
清除包辛格效应的方法
预先进行较大的塑性变形,或 在第二次反向受力前先使金属材 料于回复或再结晶温度下退火,如 钢在400-500℃以上.
明显。
机械设计中，刚度是第一位的，它保证精度，曲轴 的结构和尺寸常常由刚度决定，然后强度校核。
不同类型的材料，其弹性模量差别很大。
材料弹性模量主要取决于结合键的本性和原子间的 结合力，而材料的成分和组织对它的影响不大，可 以说它是一个对组织不敏感的性能指标（对金属材 料），而对高分子和陶瓷E对结构和组织敏感。
⑵规定残留伸长应力(σγ) σr0.2
⑶规定总伸长应力(σt)
σt0.5
复合材料力学Lecture-3
本课程中，更多采用柔度矩阵[Sij]。若需要刚度矩阵， 只需对柔度矩阵求逆。各向同性材料的柔度矩阵是：
S
ij
S ij 0
S ij 0
(3.5)
其中，[Sij]和[Sij]分别是与正应力和剪应力相关的 分块柔度矩阵：
第三章、弹塑性力学基础
正交各向异性材料的分块柔度矩阵与（3.5）相同， 但两个分块子矩阵分别是：
1 12 13 E11 E11 E11 23 1 [ S ij ] E 22 E 22 1 sym m etric E 33
第三章、弹塑性力学基础
3.1 应力－应变关系
3.1.1. 符号记法
复合材料力学
右手螺旋法则下的直角坐标系通常用(x, y, z)和(x1, x2, x3)表示：
z
x2 x3 x1
y
x
如果他们表示同一个坐标系，通常总是有x=x1, y=x2, z=x3。
第三章、弹塑性力学基础
i 代表该应力作用平面的外法线 沿xi方向； j 代表该应力指向xj方向。 一点的应力张量（矩阵）总 是对称的，即ji=ij 这样，就只有6个应力分量 是独立的，可以缩减成一个 应力矢量{i} :
(1 2 )(1 2 )
K66 C33 0
3.2 坐标变换
由于复合材料本征上是各相异性体，其分析往往 需要借助不同的坐标系，因此，必须考虑它们之 间的坐标变换。
第三章、弹塑性力学基础
复合材料力学
如前所述，材料主轴（或局部）坐标系(x1, x2, x3)总是 这样选取，使得x1总是沿单向复合材料的轴线方向。 为确定从局部坐标系(x1, x2, x3)到总体坐标系(x, y, z)变 换关系，定义方向余弦：
金属塑性成形原理第三章金属塑性成形的力学基础第二节应变分析-无动画版
四、点的应变状态与应力状态的比较
6.主应变图
主应变图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主应变图只 可能有三种形式
广义拉伸：挤压和拉拔 广义剪切：宽板弯曲、无限长板镦粗、纯剪切和轧制板带 广义压缩：展宽的轧制和自由镦粗；
一、位移和应变
对应的各阶段的相对应变为
l1 l0 01 l0
显然
l2 l1 12 l1
l3 l2 23 l2
03 01 12 23
一、位移和应变
③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。
假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程 L 度相同。 拉长一倍时 压缩一半时
因此，工程应变为不可比应变。
二、应变状态和应变张量
现设变形体内任一点 a（x，y，z）应变分量为
ε 。由a引一任意方向
ij
线元ab，长度为r， 方向余弦为l，m，n。 小变形前，b可视为a点无 限接近的一点，其坐标为 （x+dx，y+dy，z+dz）
四、点的应变状态与应力状态的比较
一、位移和应变
=
+
单元体变形
=
纯切应变
+
刚体转动
切应变及刚性转动 设实际偏转角为αxy,αyx,
xy yx xy xy yx xy
1 2
xy xy z yx yz z 1 z ( yx xy ) 2
四、点的应变状态与应力状态的比较
将八面体剪应变γ8 乘以系数 ，可得等效应变（广 2 义应变、应变强度）
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
三、包辛格 ( Baisehinge r ) 效应：见图3-3。 若自点 O " 继续卸载（即 压缩），则反向加载时屈服
不仅比 s 极限 s 小，而且还
比初始屈服极限 s 小，这里
s
的 是自点 O "点拉伸到屈服 时的屈服极限， 这种具有强 化性质的材料随着塑性变形
上对弹性极限和比例极限并不严格区分。
3、屈服阶段： BD段 当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而应
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
力则在很小范围内波动，这种应力变化不大而应变显著增加
的现象称为屈服或流动。 C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈 服极限，但在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的 屈服极限 (yield limit)记作
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式， 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系
由（ 3-5 ）式很容易由应 力应变曲线得到真实应力应变 曲线（图3-4）。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
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包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中，
对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。 四、名义应力与真实应力 在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载， 则有： 名义应力： P / A0 若试件标距长度为
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l 0，伸长为 l ，则有：
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
的增加，屈服极限在一个方
向上提高，而在相反方向降 低的效应称为包辛格反应。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值 / l0
并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达
b点之前，往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。
但过了b点之后，试件发生颈缩，截面面积的较大变化对于 应力的计算将有明显的影响。 若试件截面上的真实应力用 T 表示， A为某一瞬间试件 的实际截面积，则应有： 真实应力： 由于A 0，所以有 T
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与
之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。 注： 对许多材料来讲， A ， B 两点非常接近，所以工程
象，如果再继续拉伸，则变形将集中在
颈缩区进行，最后试件将被拉断。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图3-2） 如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的
材料，通常以产生 0.2%的
塑性应变时所对应的应力 作为屈服极限，并称为名 义屈服极限用 0.2 表示。
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T P / A
（3－2）
。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
根据体积不可压缩假设，应有：
A0l0 Al
（3－3） （3－4） （3－5）
A l0 A0 / l
Pl P l0 l l T ( ) (1 ) (1 ) A0l0 A0 l0 l0
力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映
可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。 下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
第一节
拉伸和压缩时的应力应变曲线
一、低碳钢的拉伸实验 图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。 1、比例变形阶段 ： OA段 在此阶段中，应力和应变之 间的关系是线性的，即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
s
。
4、塑性流动阶段： DH段
在这一阶段中，虽然应力没有增
加，应变却在不断增加。
Hb段：强化阶段
由 H 点开始出现强化现象，即试 件上只有应力增加时，应变才能增加 。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图 3-1中的 DO、H O ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
第三章 弹性与塑性应力应变关系
第三章 弹性与塑性应力应变关系
前面两章分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平
衡（微分）方程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质
（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅用这些 方程还不能求解土木工程领域的实际力学（弹塑性）问题。 对土木工程领域的一个实际力学问题（正问题），需要 求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅 建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几 何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 H O回到 O 点和 O点。 如果由点 O "开始再加载，则加载过程仍沿
高。 5、局部变形阶段： b点以后 在 b 点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达 b 点之后，试件出现颈缩现
' O" H 线进行，
直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提