2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理学案文

2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和

余弦定理学案文

[知识梳理]

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

2ah (h 表示边a 上的高)．

(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2

ab sin C .

(3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨

(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )

(2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c

sin A ＋sin B －sin C

.( )

(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2

＋c 2

－a 2

>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2

＋c 2

－

a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当

b 2＋

c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )

(4)在△ABC 中，若sin A sin B

(1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A

sin C ＝________.

答案 1

解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝

b 2＋

c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×3

4

＝1. (2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．

答案 7

解析 因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝1

2×5×8sin A ，解得sin A ＝

32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82

－2×5×8×1

2

＝49，所以BC ＝7.

3．小题热身

(1)(xx·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝ 120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A

解析 在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab cos C ，

得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，即b 2

＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.

(2)(xx·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4

5，cos C ＝

5

13

，a ＝1，则b ＝________. 答案

2113

解析 由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝63

65，再

由正弦定理可得a sin A ＝b

sin B ⇒b ＝1×

636535

＝21

13

.

题型1 利用正、余弦定理解三角形

典例1 (xx·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B

＝

a

sin A

，则cos B ＝( )

A ．－12 B.12 C ．－32 D.32

边角互化法．

答案 B

解析 由正弦定理知

sin B

3cos B ＝sin A sin A

＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，

所以cos B ＝cos π3＝1

2

.故选B.

典例2 (xx·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )

A ．4 3

B ．8 3

C ．43或8 3 D. 3

注意本题的多解性．

答案 C

解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2

＝42

＝(43)2

＋BC 2

－2×43BC cos30°， 解得BC ＝4或BC ＝8.

当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°， △ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×1

2

＝4 3.

当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×1

2＝8 3.故选C.

方法技巧

正、余弦定理在解三角形中的应用技巧

1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1.

2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.

3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.

冲关针对训练

1．(xx·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )

A.

π3 B.π6 C.π4 D.2π

3

答案 A