基本不等式及其应用ppt课件
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基本不等式及其应用PPT演示文稿
第7 讲
基本不等式及其性质
江苏省普通高中数学课程标准 教学要求 : 掌握基本不等式 ab ≤ （a≥0，b≥0）；能用基本不等式证明
简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用 基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不 等式即可解决的问题）。
ab 2
2009江苏高考数学科考试说明 :c级
思考题：函数 f ( x) 取得最小值时 x 的值为
2 9 1 , ( x (0, )) 的最小值为 x 1 2x 2
1 x
4 y
.
问题：上面两个问题的有没有相同之处？
变式 2： 若函数 f ( x)
x , x 1 能用基本不 2 x 2(a 2) x 3a
等式求最大值，则 a 的取值范围是
3、 若 a , b 均为正实数， 且 成立，则 m 的最小值是
a
ba m b恒
。
1.解题方向是什么？ → 分离参数
2.变形之后，如何求
a ba b
的最
？ 值。
3.如何消去根号对求最值的影响？
即时训练：若 x , y 为正实数，且 x y a x y 恒成立，则a 的最 小值是 ．
小结：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质， 方能求得最值得结果．
例 4：已知向量 a (1, x) 向量 b ( x2 x, x) ， （ 1 ） 已 知常 数 m 满 足 2 m 2 ， 求 使得 不 等式
a b 1 m 成立的 x 解集 a b a b 1 m 对一切 x 0 恒成立 a b
问题 2：若从条件出发，则设什么未 知数？若从结论出发，则设什么未知 数？
2 3 2 x 25 x 5 x ax x 5． 三个同学对问题 “关于 的不等式
基本不等式及其性质
江苏省普通高中数学课程标准 教学要求 : 掌握基本不等式 ab ≤ （a≥0，b≥0）；能用基本不等式证明
简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用 基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不 等式即可解决的问题）。
ab 2
2009江苏高考数学科考试说明 :c级
思考题：函数 f ( x) 取得最小值时 x 的值为
2 9 1 , ( x (0, )) 的最小值为 x 1 2x 2
1 x
4 y
.
问题：上面两个问题的有没有相同之处？
变式 2： 若函数 f ( x)
x , x 1 能用基本不 2 x 2(a 2) x 3a
等式求最大值，则 a 的取值范围是
3、 若 a , b 均为正实数， 且 成立，则 m 的最小值是
a
ba m b恒
。
1.解题方向是什么？ → 分离参数
2.变形之后，如何求
a ba b
的最
？ 值。
3.如何消去根号对求最值的影响？
即时训练：若 x , y 为正实数，且 x y a x y 恒成立，则a 的最 小值是 ．
小结：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质， 方能求得最值得结果．
例 4：已知向量 a (1, x) 向量 b ( x2 x, x) ， （ 1 ） 已 知常 数 m 满 足 2 m 2 ， 求 使得 不 等式
a b 1 m 成立的 x 解集 a b a b 1 m 对一切 x 0 恒成立 a b
问题 2：若从条件出发，则设什么未 知数？若从结论出发，则设什么未知 数？
2 3 2 x 25 x 5 x ax x 5． 三个同学对问题 “关于 的不等式
第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
2019-2020学年新人教B版必修一 基本不等式及其应用 课件(65张)
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
高中数学沪教版上海高一第一学期第二章基本不等式及其应用一ppt课件
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数
2 a、b 的算术平均数和几何平均数。 因此基本不等式 2 也可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本不等式1：对于任意实数a和b,有a2 b2 2ab
当且仅当a=b时等号成立。
基本不等式2：对于任意正数a和b,有 a b ab
当且仅当a=b时等号成立。2
形 面 积 为2ab， 小 正 方 形 面
a-b a
积 为(a b)2。 所 以
c ❖ c2=2ab+(a-b)2=a2+b2。
b
推广到实数范围，
是否有：a2+b2 2ab？
证请明同:学给a2 出 b证2 明2a，b 并a指出b2，何0
时等号a成2 立b？2 2ab
当 a b时, a b2 0 当a b时, a b2 0
可得
ab
a
b
2
,
2 即S
S*
2
当且仅当 a = b 时，矩形的面积最大，这时
矩形成为正方形。
结
•今天我们学习的内容是什么？ •研究过程中包含了那些思想方法？ •对于今天的学习你有何体会？
作业
1、 P57 练习 2.4(1)
2、在面积保持不变的条件下，正方形的周长 与矩形的周长之间有什么大小关系？
基本不等式 及其应用（一）
Basic Inequalities and Their Applications
2002年 北京国际 数学家大
会会徽
勾股圆方图说
赵爽的“勾股圆方图说” 为“勾，股各自乘，并 如左图：设a, b, c为勾股形 之为弦实，开方除之即 的勾、股、弦，则一个三
弦”。
角 形 面 积 为1 ab,四 个 三 角 2
2 a、b 的算术平均数和几何平均数。 因此基本不等式 2 也可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本不等式1：对于任意实数a和b,有a2 b2 2ab
当且仅当a=b时等号成立。
基本不等式2：对于任意正数a和b,有 a b ab
当且仅当a=b时等号成立。2
形 面 积 为2ab， 小 正 方 形 面
a-b a
积 为(a b)2。 所 以
c ❖ c2=2ab+(a-b)2=a2+b2。
b
推广到实数范围，
是否有：a2+b2 2ab？
证请明同:学给a2 出 b证2 明2a，b 并a指出b2，何0
时等号a成2 立b？2 2ab
当 a b时, a b2 0 当a b时, a b2 0
可得
ab
a
b
2
,
2 即S
S*
2
当且仅当 a = b 时，矩形的面积最大，这时
矩形成为正方形。
结
•今天我们学习的内容是什么？ •研究过程中包含了那些思想方法？ •对于今天的学习你有何体会？
作业
1、 P57 练习 2.4(1)
2、在面积保持不变的条件下，正方形的周长 与矩形的周长之间有什么大小关系？
基本不等式 及其应用（一）
Basic Inequalities and Their Applications
2002年 北京国际 数学家大
会会徽
勾股圆方图说
赵爽的“勾股圆方图说” 为“勾，股各自乘，并 如左图：设a, b, c为勾股形 之为弦实，开方除之即 的勾、股、弦，则一个三
弦”。
角 形 面 积 为1 ab,四 个 三 角 2
2.4 基本不等式及其应用.ppt
若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式课件(共43张)
应用
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
高中数学沪教版上海高一第一学期第二章基本不等式及其应用ppt课件
本的1. （1）写出明年该产品的利润y万元与促销费用m万元之间的关系式；
固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元， （1）写出明年该产品的利润y万元与促销费用m万元之间的关系式；
某新建小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如
例3：若x 0, y 0, 2x 3y 1, 求xy的最大值.
答案：当且仅当x 1 , y 1 时, xy有最大值 1积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短，最短 的篱笆是多少？
练习2：
1、已知 : x, y R ,且x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。
要2、说两明正出等数号的明成积立为年的定条值该件时。，产它们品的和的有最利小值润。y万元与促销费用m万元之间的关系式；
例4：用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）该厂家明年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最 有最大值。
2、若0 x 1 ，求 x(1 2x)的最大值. 2
3、一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
课堂小结：
1、两正数的和为定值时，它们的积有 最大值。 2、两正数的积为定值时，它们的和有 最小值。
3、要注意“一正、二定、三等号”， 并说明等号成立的条件。
最小？（结果精确到0.1米）
解：设矩形绿地长为x米，则宽为 700 米,
人行道的占地面积
S
(x
8)(
700
6)
固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元， （1）写出明年该产品的利润y万元与促销费用m万元之间的关系式；
某新建小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如
例3：若x 0, y 0, 2x 3y 1, 求xy的最大值.
答案：当且仅当x 1 , y 1 时, xy有最大值 1积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短，最短 的篱笆是多少？
练习2：
1、已知 : x, y R ,且x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。
要2、说两明正出等数号的明成积立为年的定条值该件时。，产它们品的和的有最利小值润。y万元与促销费用m万元之间的关系式；
例4：用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）该厂家明年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最 有最大值。
2、若0 x 1 ，求 x(1 2x)的最大值. 2
3、一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
课堂小结：
1、两正数的和为定值时，它们的积有 最大值。 2、两正数的积为定值时，它们的和有 最小值。
3、要注意“一正、二定、三等号”， 并说明等号成立的条件。
最小？（结果精确到0.1米）
解：设矩形绿地长为x米，则宽为 700 米,
人行道的占地面积
S
(x
8)(
700
6)
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
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项“配凑”.
10
（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y
的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函
数，再求其最值.
解
（1）∵x>0,y>0,
19 xy
1,
x y ( x y )( 1 9 ) y 9 x 10 6 10 16 . xy x y
当且仅当 y 9 x 时 , 上式等号成立 , xy
4
16
16
(2)x 2,x 2 0,x 4 x 2 4 2
x2
x2
2 (x 2) • 4 2 6,当且仅当x 2 4 ,
ab a b
ab
ab
114. ab
所以原不等式成立.
（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,
1 1 1 xy z2y z. x xx x
①
6
1z1
x y z
2
xy z.
②
1 1 xz 2 xz.
③
y
y
y
又0
x
1，1 x
1.同理1z
1,
1 y
1.
将①②③三式相乘，得
(1x1)(1y1)(1z1)8.
3.已知
531(x0,y0),则 x的y 最小值为
xy
60
.
解析 1532 15, xy2 15,xy60.
x y xy
当且仅 5当 31, x y2
即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 (x y)(1 4)的最小值为 9 .
xy
解析 ∵ (xy)1 (4)5y4x(x0 ,y0) xy x y
高考复习基本不等式及其应用
要点梳理
1.算术平均数与几何平均数
ab
对于正数a,b，我们把 2 称为a,b的算术平均
数， ab 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： ab ab
2
（1）基本不等式成立的条件：a≥0,b≥0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当 a=b 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 不小于其
12
跟踪练习2 （2010·徐州模拟）解下列问题：
（1）已知a>0,b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x>2,求
x
x
4
2
的最小值.
解（1）∵a>0,b>0,4a+b=1,
∴1=4a+b≥2 4ab4 ab,
当且仅当4a=b= 1 , 即 a 1,b 1 时，等号成立.
2
82
ab 1 ,ab 1 .ab的最大值为1 .
（当且仅当x=y=z时等号成立）
8
（2）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc =abc(a+b+c). ∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
7
跟踪练习1 （1）已知x>0,y>0,z>0. 求证：(xyxz)(xyz y)(xzzy)8. (2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
证明 （1）∵x>0,y>0,z>0,
yz2 xx
yz0, x
xyzy2 yxz0.xzzy2 zxy0,
(x yx z )x y (z y)x z (z y)8yz•xx z z y •x y8 .
又 1 9 1, x 4, y 12时 , x y取得最小值 16 . xy
(2) x 5 , 5 4 x 0, y 4 x 2 1
4
4x 5
1
(5 4x
)3
5 4x
11
231,当且 54 仅 x 1 当 , 54x
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，y取得最大值1.
9
【例2】 （1）已知x>0,y>0，且 1 9 1,求x+y xy
的最小值；
（2）已知x< 5 ,求函数 y4x2 1 的最
4 大值；
4x5
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最
小值.
分析 （1）注意条件中“1”的代换，也可用三
角代换.
（2）因为4x-5<0，所以要先“调整”符号； 又(4x-2)· 4不x1是5常数，所以对4x-2要添
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴
2 y
8 x
1,
x y (x y)(8 2) 10 8y 2x
xy
xy
10 2(4y x) 10 22 4y x 18,
xy
xy
当且仅当4y x ,即x 2y时取等号，
xy
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.
ab
ab
未必为2=0，则3x+27y+1的最小值为 7 . 解析 ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2. 又3x+27y+1=3x+33y+1≥ 23x•3 3y 123x 3y 1
232 17.
当且仅当3x=33y, 即x=3y=1,x=1,y= 1 时取等号.
3
4
≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.
5
【例1】（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：1 1 4. ab
(2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证：(1x1)(1y1)(1z1)8. 证明 （1）∵a>0,b>0,a+b=1,
11abab2ba22 b•a4.
大值
1 4
S2
.
即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
2
基础自测
1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的 是④ .
① b a 2 ;② b a 2 ;③ b a 2 ;④ b a 2 . ab ab ab ab
解析 ①中不能保证 b 、 a 为正，③中 b 、 a
几何平均数.
1
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2) b a 2 (a,b同号).
ab (3)ab (a b)2(a,bR).
2 4.利用基本不等式求最值
设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 x=y时，和x+y有
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最
10
（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y
的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函
数，再求其最值.
解
（1）∵x>0,y>0,
19 xy
1,
x y ( x y )( 1 9 ) y 9 x 10 6 10 16 . xy x y
当且仅当 y 9 x 时 , 上式等号成立 , xy
4
16
16
(2)x 2,x 2 0,x 4 x 2 4 2
x2
x2
2 (x 2) • 4 2 6,当且仅当x 2 4 ,
ab a b
ab
ab
114. ab
所以原不等式成立.
（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,
1 1 1 xy z2y z. x xx x
①
6
1z1
x y z
2
xy z.
②
1 1 xz 2 xz.
③
y
y
y
又0
x
1，1 x
1.同理1z
1,
1 y
1.
将①②③三式相乘，得
(1x1)(1y1)(1z1)8.
3.已知
531(x0,y0),则 x的y 最小值为
xy
60
.
解析 1532 15, xy2 15,xy60.
x y xy
当且仅 5当 31, x y2
即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 (x y)(1 4)的最小值为 9 .
xy
解析 ∵ (xy)1 (4)5y4x(x0 ,y0) xy x y
高考复习基本不等式及其应用
要点梳理
1.算术平均数与几何平均数
ab
对于正数a,b，我们把 2 称为a,b的算术平均
数， ab 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： ab ab
2
（1）基本不等式成立的条件：a≥0,b≥0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当 a=b 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 不小于其
12
跟踪练习2 （2010·徐州模拟）解下列问题：
（1）已知a>0,b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x>2,求
x
x
4
2
的最小值.
解（1）∵a>0,b>0,4a+b=1,
∴1=4a+b≥2 4ab4 ab,
当且仅当4a=b= 1 , 即 a 1,b 1 时，等号成立.
2
82
ab 1 ,ab 1 .ab的最大值为1 .
（当且仅当x=y=z时等号成立）
8
（2）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc =abc(a+b+c). ∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
7
跟踪练习1 （1）已知x>0,y>0,z>0. 求证：(xyxz)(xyz y)(xzzy)8. (2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
证明 （1）∵x>0,y>0,z>0,
yz2 xx
yz0, x
xyzy2 yxz0.xzzy2 zxy0,
(x yx z )x y (z y)x z (z y)8yz•xx z z y •x y8 .
又 1 9 1, x 4, y 12时 , x y取得最小值 16 . xy
(2) x 5 , 5 4 x 0, y 4 x 2 1
4
4x 5
1
(5 4x
)3
5 4x
11
231,当且 54 仅 x 1 当 , 54x
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，y取得最大值1.
9
【例2】 （1）已知x>0,y>0，且 1 9 1,求x+y xy
的最小值；
（2）已知x< 5 ,求函数 y4x2 1 的最
4 大值；
4x5
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最
小值.
分析 （1）注意条件中“1”的代换，也可用三
角代换.
（2）因为4x-5<0，所以要先“调整”符号； 又(4x-2)· 4不x1是5常数，所以对4x-2要添
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴
2 y
8 x
1,
x y (x y)(8 2) 10 8y 2x
xy
xy
10 2(4y x) 10 22 4y x 18,
xy
xy
当且仅当4y x ,即x 2y时取等号，
xy
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.
ab
ab
未必为2=0，则3x+27y+1的最小值为 7 . 解析 ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2. 又3x+27y+1=3x+33y+1≥ 23x•3 3y 123x 3y 1
232 17.
当且仅当3x=33y, 即x=3y=1,x=1,y= 1 时取等号.
3
4
≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.
5
【例1】（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：1 1 4. ab
(2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证：(1x1)(1y1)(1z1)8. 证明 （1）∵a>0,b>0,a+b=1,
11abab2ba22 b•a4.
大值
1 4
S2
.
即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
2
基础自测
1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的 是④ .
① b a 2 ;② b a 2 ;③ b a 2 ;④ b a 2 . ab ab ab ab
解析 ①中不能保证 b 、 a 为正，③中 b 、 a
几何平均数.
1
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2) b a 2 (a,b同号).
ab (3)ab (a b)2(a,bR).
2 4.利用基本不等式求最值
设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 x=y时，和x+y有
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最