基本不等式及其应用ppt课件

项“配凑”.
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（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y
的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函
数，再求其最值.
解
（1）∵x>0,y>0,
19 xy
1,
x y ( x y )( 1 9 ) y 9 x 10 6 10 16 . xy x y
当且仅当 y 9 x 时 , 上式等号成立 , xy
≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.
5
【例1】（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：1 1 4. ab
(2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证：(1x1)(1y1)(1z1)8. 证明 （1）∵a>0,b>0,a+b=1,
11abab2ba22 b•a4.
3.已知
531(x0,y0),则 x的y 最小值为
xy
60
.
解析 1532 15, xy2 15,xy60.
x y xy
当且仅 5当 31, x y2
即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 (x y)(1 4)的最小值为 9 .
xy
解析 ∵ (xy)1 (4)5y4x(x0 ,y0) xy x y
4
16
16
(2)x 2,x 2 0,x 4 x 2 4 2
x2
x2
2 (x 2) • 4 2 6,当且仅当x 2 4 ,
7
跟踪练习1 （1）已知x>0,y>0,z>0. 求证：(xyxz)(xyz y)(xzzy)8. (2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
证明 （1）∵x>0,y>0,z>0,
yz2 xx
yz0, x
xyzy2 yxz0.xzzy2 zxy0,
(x yx z )x y (z y)x z (z y)8yz•xx z z y •x y8 .
9
【例2】 （1）已知x>0,y>0，且 1 9 1,求x+y xy
的最小值；
（2）已知x< 5 ,求函数 y4x2 1 的最
4 大值；
4x5
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最
小值.
分析 （1）注意条件中“1”的代换，也可用三
角代换.
（2）因为4x-5<0，所以要先“调整”符号； 又(4x-2)· 4不x1是5常数，所以对4x-2要添
ab
ab
未必为负，②显然错误.
3
2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 7 . 解析 ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2. 又3x+27y+1=3x+33y+1≥ 23x•3 3y 123x 3y 1
232 17.
当且仅当3x=33y, 即x=3y=1,x=1,y= 1 时取等号.
3
4
几何平均数.
1
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2) b a 2 (a,b同号).
ab (3)ab (a b)2(a,bR).
2 4.利用基本不等式求最值
设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 x=y时，和x+y有
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴
2 y
8 x
1,
x y (x y)(8 2) 10 8y 2x
xy
xy
10 2(4y x) 10 22 4y x 18,
xy
xy
当且仅当4y x ,即x 2y时取等号，
xy
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.
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跟踪练习2 （2010·徐州模拟）解下列问题：
（1）已知a>0,b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x>2,求
x
x
4
2
的最小值.
解（1）∵a>0,b>0,4a+b=1,
∴1=4a+b≥2 4ab4 ab,
当且仅当4a=b= 1 , 即 a 1,b 1 时，等号成立.
2
82
ab 1 ,ab 1 .ab的最大值为1 .
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又 1 9 1, x 4, y 12时 , x y取得最小值 16 . xy
(2) x 5 , 5 4 x 0, y 4 x 2 1
4
4x 5
1
(5 4x
)3
5 4x
11
231,当且 54 仅 x 1 当 , 54x
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，y取得最大值1.
（当且仅当x=y=z时等号成立）
8
（2）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc =abc(a+b+c). ∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
大值
1 4
S2
.
即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
2
基础自测
1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的 是④ .
① b a 2 ;② b a 2 ;③ b a 2 ;④ b a 2 . ab ab ab ab
解析 ①中不能保证 b 、 a 为正，③中 b 、 a
高考复习基本不等式及其应用
要点梳理
1.算术平均数与几何平均数
ab
对于正数a,b，我们把 2 称为a,b的算术平均
数， ab 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： ab ab
2
（1）基本不等式成立的条件：a≥0,b≥0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当 a=b 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 不小于其
ab a b
ab
ab
114. ab
所以原不等式成立.
（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,
1 1 1 xy z2y z. x xx x
①
6
1z1
x y z
2
xy z.
②
1 1 xz 2 xz.
③
y
y
y
又0
x
1，1 x
1.同理1z
1,
1 y
1.
将①②③三式相乘，得
(1x1)(1y1)(1z1)8.