人教A版(文科数学) 数学归纳法 单元测试

2019届人教A 版（文科数学） 数学归纳法 单元测试
1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72
，由此推算：当n ≥2时，有( )
A ．f (2n )>2n ＋12
(n ∈N *) B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12
(n ∈N *) C ．f (2n )>2n ＋12
(n ∈N *) D ．f (2n )>n ＋22
(n ∈N *) 考点 利用数学归纳法证明不等式
题点 不等式中的归纳、猜想、证明
答案 D
解析 f (4)>2改写成f (22
)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22
(n ∈N *)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a
2n ＋1＝1－a 2n ＋
21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )
A ．1＋a
B ．1＋a ＋a 2
C ．1＋a ＋a 2＋a 3
D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第一步：归纳奠基
答案 C
解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.
3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( )
A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 C
解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立，
在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，
依此类推，可知选C.
4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －
1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k
＝1－2k ＋1
1－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．
上述证明，错误是________．
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．
5．用数学归纳法证明：
121×3＋223×5＋…＋n 2
(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)
(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式
题点 利用数学归纳法证明等式
证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13
， 右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13
， 左边＝右边，等式成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立．
即121×3＋223×5＋…＋k 2
(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)
， 当n ＝k ＋1时，
左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2
(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)
＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2
(2k ＋1)(2k ＋3)
＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)2
2(2k ＋1)(2k ＋3)
＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)
＝
(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)
， 左边＝右边，等式成立．
即对所有n ∈N *，原式都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、选择题
1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12
n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第一步：归纳奠基
答案 C
解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.
2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )
A ．当n ＝6时命题不成立
B ．当n ＝6时命题成立
C ．当n ＝4时命题不成立
D ．当n ＝4时命题成立
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳第二步：归纳递推
答案 B
3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2
B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2
C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2
D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1 考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 C
解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，
则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)
.② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝
12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1 ＝
12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)
. 4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )
A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立
B ．该命题对于所有的正偶数都成立
C ．该命题何时成立与k 取值无关
D ．以上答案都不对
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 B
解析 由n ＝k 时命题成立，可以推出n ＝k ＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n 0＝2.故对所有的正偶数都成立．
5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立
B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立
C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立
D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法的定义
答案 D
解析 对于D ，∵f (4)＝25≥42，
∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.
6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )
A.24n －3
B.26n －5
C.24n ＋3
D.22n －1
考点 数学归纳法证明数列问题
题点 利用数学归纳法证明数列通项问题
答案 B
解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5
，故选B. 7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为( )
A ．2k ＋1
B.2k ＋1k ＋1 C ．2(2k ＋1)
D.2k ＋3k ＋1
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法的第二步：归纳递推
答案 C
解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋
2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．
二、填空题
8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第一步：归纳奠基
答案 10
9．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为_________． 考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 缺少步骤归纳奠基
10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2
时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 12n
＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 三、解答题
11．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n
(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式
题点 利用数学归纳法证明等式
证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34
，
右边＝2＋12×2＝34
， 所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，
即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k
， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2
＝
k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．
综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．
12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n
(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式
题点 利用数学归纳法证明不等式
证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14
， 右式＝1－12＝12
. 因为14<12
，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，
即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k
， 则当n ＝k ＋1时，
122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2
＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2
＝1－1k ＋1
， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．
四、探究与拓展
13．用数学归纳法证明“34n ＋1＋52n ＋2(n ∈N *)能被14整除”时，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2应变形为________________．
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋
2×14×4 解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2＝34×34k ＋1＋52×52k ＋2＝34×34k ＋1＋34×52k ＋2＋52×52k ＋2－34×52k ＋2＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×(34－52)＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4.
14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．
(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
考点 数学归纳法证明数列问题
题点 利用数学归纳法证明数列通项问题
解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120
. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1)
. 下面用数学归纳法证明．
①当n ＝1时，猜想显然成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝1
k (k ＋1)， 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.
又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1
， 所以k k ＋1
＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]， 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．
故由①和②可知猜想成立．。