线性回归方程 精品课教案

直线的回归方程教学设计

一、课题引入

引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画．

问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？

设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．

师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础．

二、本节课的新知识

问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．

师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）．

设回归直线方程为，（x i，y i）表示第i个样本点，将样本数据记为，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模型：

模型3：．

师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便．Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（y n－bx n－a）2=

问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（x i，y i）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？

设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想

师生活动：偏差最小从本质上来说是最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（y n－bx n－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=

（向学生说明的意义）．通过化简，得到的其实是关于

a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值．

（1）在此基础上，视为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：

（2）教师指出，称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得上述方法求回归直线的方法，

是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小二乘法．

问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？

设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．

师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照、n、、、

、顺序来求，再代入公式．我们一般可以列如下表格进行分布计算：

三、知识深化：

问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？

表一：人体的脂肪百分比和年龄

设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．

师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、、、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回

归方程的原理与方法．

由此可以得到回归直线方程为：

步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成．

问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：

设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。

回归直线为：=0.6541x-4.5659

回归直线为：=0.4767x+4.9476

回归直线为：= 0.5765x - 0.4478

问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？

设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．

案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：

（1）求回归方程；（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数．为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．

让学生完整经历求回归直线的过程．其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免．而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值．

通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系：

1．数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的．

2．回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系．

3．在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理．

四、小结：

问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？

师生活动：

1.求样本数据的线性回归方程的方法

(1)直接运用公式

(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案)

2.样本数据与回归直线的关系