无网格法：理论与算法(杨建军,文丕华著)思维导图
自适应无网格及网格和无网格混合算法
在地质工程领域，自适应无网格及网格和无网格 混合算法可以用于模拟地质体的变形和破坏过程 ，为地质灾害防控提供技术支持。
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THANKS
由于无网格算法是基于点的计算方法，可 以更好地处理复杂形状和边界条件。
适用于动态问题
无网格算法适用于处理动态问题，例如流 体动力学、结构动力学等。
无网格算法的发展历程
无网格算法的研究始于20世纪90年代，最初是为了解着计算机技术的发展，无网格算法逐渐成为研究的热点，并被广泛应用于工程 和科学领域。
自适应无网格及网格和无网格混合算法在其他领域中的应
用前景
自适应无网格及网格和无网格混合算法也可以应 用于其他领域，如固体物理、生物医学工程、地 质工程等。
在固体物理领域，自适应无网格及网格和无网格 混合算法可以用于研究材料的力学性能和物理性 质，如弹性模量、热导率等。
在生物医学工程领域，自适应无网格及网格和无 网格混合算法可以用于模拟生物组织的力学性能 和药物传递过程，为药物开发和组织工程提供有 效的工具。
广泛的应用前景。
网格与无网格混合算法在流体动力学中的应用
在流体动力学领域，网格与无网格混合算法结合了传统有限元素法和无 网格法的优点，能够更好地处理流场的运动和变化。
网格与无网格混合算法可以有效地解决边界层流动、分离流动和湍流等 复杂流动问题，提高计算精度和效率。
网格与无网格混合算法在航空航天、汽车和船舶等领域具有广泛的应用 前景，可以用于气动性能评估、流体控制和流体传动等方面的研究。
与传统的网格算法不同，无网格算法不需要对计算域进行网 格划分，因此可以避免网格生成、更新和修复等繁琐过程， 提高了计算效率。
无网格算法的优点
无需网格生成
无网格算法的最大优点是无需进行繁琐的 网格生成，节省了大量时间和人力。
用好思维导图，提升语文学习能力
用好思维导图，提升语文学习能力发布时间：2021-11-26T07:39:59.600Z 来源：《教学与研究》2021年11月下作者：邵兰芳[导读] 思维导图以简便、高效、实用而著称，思维导图在语文教学中的作用得到越来越多人的认识，并且开始在具体的教学中真正地使用。
在语文教学中，利用思维导图来概括课文的主要事情，整理、复习单元内容，构思作文的框架，梳理课外名著的概况，通过这样，使用思维导图来培养良好的学习思维，建立系统的知识架构，可以无限地促进知识的拓展，提升研究分析和解决问题的能力。
广东省广宁县文杰中学邵兰芳 526344摘要：思维导图以简便、高效、实用而著称，思维导图在语文教学中的作用得到越来越多人的认识，并且开始在具体的教学中真正地使用。
在语文教学中，利用思维导图来概括课文的主要事情，整理、复习单元内容，构思作文的框架，梳理课外名著的概况，通过这样，使用思维导图来培养良好的学习思维，建立系统的知识架构，可以无限地促进知识的拓展，提升研究分析和解决问题的能力。
关键词：思维导图提升学习能力广泛应用我们的学生常常有这样的苦恼：在学习的时候，觉得脑子不够用，好像很多问题没有弄懂。
因为这样，又常常自卑，认为自己天生不是学习的料。
其实，每个人的大脑都是一棵智慧之树，我们所要做的就是找到一些好的方法，让它成长得快一些，茁壮一些，这样，每个学生的学习能力都会有较大的提高。
在这个读图的年代，如果能够用好思维导图，必定让每个学生都能够提高学习能力。
大脑有850亿个神经元，由中心向周围发散，呈放射延展形态。
思维导图就是按照大脑生成的想法模式，通过对主要信息的分析，以发散思维的方式展开有序联想和开放想象，然后聚合归纳，形成决策。
思维导图是一种辅助思考的工具，它用不同的用线条、把多层次思维的火花用语言聚集在一起，来表达发散性的思维。
正所谓的千言万语，比不上一张图。
思维导图以简便、高效、实用而著称，在各个领域得到广泛应用。
多元化模型思维：高手必备的高级思考方式（附思维导图）
多元化模型思维：高手必备的高级思考方式（附思维导图）当你手上只拿着锤子的时候，你看什么都会是钉子。
单一化的知识体系会造成狭隘的视野，俗话说，三个臭皮匠，顶一个诸葛亮，其实就是体现了一个人的视野有限，如果几个人加起来，多了不同的视角，就能更好的理解问题。
芒格提到，当多种思维模型加在一起，往往能够带来特别大的力量，不仅仅是几种力量之和，而是叠加和放大的效果。
因此多元化模型思维，是成为高手必备的高级思考方式。
你可能会觉得这样的能力离自己很远，以自己的智商和阅历，永远也不会具备如此的洞察力。
其实你错了，智力真的不能决定什么，至少我们99.9%的人都还达不到拼智力的时候。
我个人就是一个极好的例子，我的智商绝对不算高。
高中的时候，我几乎是整个年级最勤奋的人，但是同学、老师都用心疼的眼神看着我。
而现在朋友和同学都对我说，你似乎有种魔力，好像能一下子就看穿事物的本质，预测很多未来的东西。
只有我知道，那并不是因为我聪明，而是因为我掌握了多元思维模型，站在很多巨人的肩膀上思考问题而已。
01什么是多元思维模型了解多元思维模型前，我们先来看什么是模型。
模型就是经验的抽象集合。
比如我们所熟悉的物理学万有引力、数学中的勾股定理等公式定理，本质上都是模型，模型是我们对世界的数据化科学的分析结果。
管理学家罗素·艾可夫的《从数据到智慧》系统地表述了DIKW体系，即从低到高依次为数据(Data)、信息(Information)、知识(Knowledge)及智慧(Wisdom)。
第一层，叫数据。
比如我们看到数字37，100，12345等，在没有单位和使用场景的时候，它们只是单纯的一个数字。
第二层，叫信息。
当我们给这个数字添加单位的时候，它就变成了一个信息，比如37摄氏度代表温度。
第三层，叫知识。
把信息放到一定的场景中，形成了知识，成为我们做出选择和判断的依据。
比如37摄氏度是体温的话，代表这个人体温正常，如果是38摄氏度就表示发高烧了，需要治疗，这个时候37摄氏度背后是一套判断人体温度的理论体系，通过它，医生就知道如何治疗病人。
优化理论
有限维空间的优化理论与算法
引言
刘红英 数学与系统科学学院
1.1 数学描述与例子
• 目 标：系统性能的一种“量的度量”(利润、时间、 势能)－－任何数量或某些量的组合－－数
• 变 量：目标所依赖的系统的“某些可控的特征” • 约束条件：经常变量以某种方式受限制(分子中电子密度
的量、贷款利率的量，不能是负的)
故必要条件即对所有 p，有
等价地
(一阶条件)，G*半正定(二阶条件)
稳定点/驻点(stationary point)：使得 g(x*)=0 的 x*
局部极小点的充分条件
定理. x*是严格局部极小点的充分条件是 ，G*正定.
例.考虑Rosenbrock函数
在x*=(1, 1)处 严格局部极小点－全局极小点 充分非必要：
优化问题的一般模型－－数学规划问题
一个小例子
• 可行域/可行集 • 最优解/解 • 图解法
1
优化建模(modeling)： 识别出给定问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太简单－不能给 实际问题提供有用的信息；太复杂－不易求解)
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质量(无通用优化 算法，有求解特定类型优化问题的算法)
积极(约束指标)集 x2
x*
x1 Lagrange函数：
一阶条件：KKT条件
正则性假设1：
定理(一阶条件). 若 x* 是局部极小点且在 x* 处正则性假设1成立，则存在
Lagrange乘子 使得
满足
◎ Karush-Kuhn-Tucker条件, KKT条件/KKT点
局部极小的条件－充分条件(续)
定理.可微凸函数的稳定点是全局极小点
思维导图2
赵国庆
思维导图绘制原则
3 思维导图的用途(by Tony Buzan)
思维导图适用于任何需要动脑的时刻!
无中心
分支多
思维导图用于自我分析（例）
喧宾夺主
英国大脑基金会总裁 ，大脑和学习方面的世界顶尖演讲 家，被称为“智力魔法师”、“世界大脑先生”。 英国的“记忆力之父”，世界记忆力锦标赛的创始人， 世界快速阅读锦标赛的创始人，思维奥林匹克运动会的 创始人。 大脑和学习方面的世界超级作家，出版了87部专著或合 著，系列书销售量已达到一千万册。
学习心理学 希腊记忆术——想象和联想 达芬奇的天才笔记——使用图画，代号和连线 自然思考——放射性
1 思维导图的由来
风格 目标
记忆 交流和表 达 创新和改 革 计划 分析 决策 ……
工具
词汇 数字 顺序 线条 列表 逻辑 分析 一种颜 色
传统的笔记风格
1 思维导图的由来
精力集中在关键知识点，节省时间
托尼· 博赞
全球的公众媒体人物，在英国和国际电视台出现的累计 时间超过1000小时，拥有超过3亿的观众和听众。
国际奥林匹克教练和运动员顾问，“英国奥林匹克划船 队”和“英国奥林匹克国际象棋队”的顾问，本人也曾 经在运动项目上获奖。
1 思维导图的由来
思维导图的发明故事
记笔记问题 寻求新笔记、思维方式
神奇的大脑
进化了350，0000年 拥有1000，000，000，000个脑细胞 每个脑细胞有10—10000根树突 每根树突上又有10—10000根树突 每根新树突上还有………
神奇的大脑
进化了350，0000年 拥有1000，000，000，000个脑细胞 每个脑细胞有10—10000根树突 每根树突上又有10—10000根树突 每根新树突上还有……… 它们彼此相连……….
刘蒋巍：学好高中数学的7种思维方法
学好高中数学的7种思维方法文/刘蒋巍数学是严密的科学。
数学是由概念、性质、定理、公式等，按照一定的逻辑规则组成的严密的知识体系，有很强的系统性。
因此，在高中数学的学习中，一定要循序渐进，打好基础，完整地、系统地掌握基本概念、基本理论和基本运算，其中包括思维方法与解题方法两方面。
掌握了数学的思维方法就掌握了分析问题的能力，这是数学的生命和灵魂，而数学的解题方法是解决问题的技巧和能力，需要动手、动笔去演练，去应用。
两方面有机结合起来，就能把知识转化为能力，就能把科学转化为力量。
掌握了高中数学思维与解题方法，学好高中数学就不是一件难事，数学也就不再是枯燥乏味的符号。
思维方法1：基本概念法在包括物质时空的大自然与抽象空间、精神世界的“大自然”中，往宏观方向与微观方向分出的层次都是无限的，因此任何一桩事物，任何一套理论都只能建立在一套相对的基础与相对的基本概念上。
但凡一桩事物，在人脑里必有一个反映，这个反映出的形象叫做该事物的概念，人们常常用比喻、解释、描述的语言来叙述这个概念。
数学是一门精确的学科，自然，所用到的概念都需要准确化，定义就起到这一作用。
高中数学的概念是从大量的实际问题中根据其共同的本质而抽象出来的，从数学上给出定义。
例如，函数的概念都是从大量的实际问题中根据其共同的本质而抽象出来而定义的。
又如，研究函数因变量对自变量的平均变化率和瞬时变化率而引入的导数(导数概念)定义，进而研究函数的导数，又有中值定理及其导数的重要应用。
可以说，高中数学的概念是数学大厦的支柱。
概念的本质包括概念的内涵与外延。
所谓概念的内涵是指所反映的客观事物的特有属性；概念的外延是指所反映的那一类事物。
理解概念，是指对该概念的内涵是什么，外延有哪些都应十分清楚。
只有概念清楚，才能理解各种解题方法。
思维方法2：对称性方法对称，在几何图形中，有点对称（如奇函数的图像关于原点对称等）、线对称（如偶函数的图像关于y轴对称等）、面对称。
思维导图在初中历史教学中的应用研究
思维导图在初中历史教学中的应用研究目录一、内容简述 (2)1.1 研究背景 (3)1.2 研究意义 (3)1.3 文献综述 (5)1.4 研究方法与思路 (6)二、思维导图概述 (7)2.1 思维导图的定义与特点 (8)2.2 思维导图的主要类型与应用领域 (9)2.3 思维导图在教育领域的潜力与价值 (10)三、初中历史教学现状分析 (11)3.1 初中历史教学的现状 (13)3.2 历史教学中存在的问题 (13)3.3 对历史教学改革的呼唤 (15)四、思维导图在初中历史教学中的具体应用 (16)4.1 思维导图在课堂教学中的应用 (17)4.2 思维导图在课后复习中的应用 (18)4.3 思维导图在历史知识整合中的应用 (20)4.4 思维导图在培养学生历史思维能力中的应用 (21)五、思维导图在初中历史教学中应用的成效与挑战 (22)5.1 应用成效 (24)5.2 面临的挑战 (25)5.3 案例分析 (26)六、结论与建议 (28)6.1 研究结论 (29)6.2 对初中历史教学的建议 (30)6.3 对未来研究的展望 (31)一、内容简述随着教育理念和技术的不断发展，思维导图作为一种有效的思维工具，在初中历史教学中发挥着越来越重要的作用。
本文旨在探讨思维导图在初中历史教学中的应用及其效果。
思维导图是一种以图形化方式组织和表达思想的结构化工具，它通过节点、连线、颜色等元素帮助学习者建立知识之间的联系，从而促进深层次的理解和记忆。
在初中历史教学中，思维导图的应用可以帮助学生更好地理解历史事件、人物和概念，提高历史思维能力和学习兴趣。
思维导图可以帮助学生形成清晰的历史脉络，在教学过程中，教师可以通过思维导图引导学生梳理历史事件的时间顺序、因果关系和影响，使学生更加直观地了解历史的逻辑和发展规律。
学生也可以利用思维导图回顾和总结所学知识，加深对历史知识的理解和记忆。
思维导图能够激发学生的学习兴趣和创造力，通过自主绘制思维导图，学生可以充分发挥自己的想象力和创造力，将历史知识以图形化的形式呈现出来。
精品课件-现代密码学(杨晓元)第1章
【例1-4】 确定型单带图灵机(DTM)。 它由有限状态控制器、读写头和一条磁带组成，这条磁带由 标记为…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…的带方 格的双向无穷序列组成，如图1-3所示。
现实中的大多数问题，特别是优化问题，都能与判定问题建 立紧密联系。如巡回售货员问题，本来是一个优化问题，但它也 可以描述为判定问题的形式：给定城市集合C={C1,C2,…,Cn}，C 中每两个城市之间的距离为d(Ci,Cj)，界限B∈Z+，问是否存在一 条路线经过C中所有城市，且全长不超过B，即是否存在城市的一 种排列〈Cπ(1),Cπ(2),…,Cπ(n)〉， 使得
时间复杂性函数与问题的编码方案和决定着算法执行时间的 计算模型有关。不同的算法具有不同的时间复杂性，根据时间复 杂性可以将算法分为多项式时间算法(polynomial time algorithm) 和指数时间算法(exponential time algorithm)。
第1章 计算复杂性理论
我们用符号“O”来表示函数的数量级。对于函数f(x)，如
第1章 计算复杂性理论
解决某个问题的算法必须在某种计算模型下实现，一种最 基本的计算模型是图灵机(Turing Machine)。图灵机是Alan Turing在1936年提出的一种假想的计算模型，它是一个具有无 限读写能力的有限状态机，并且可以做无限步并行操作，是离 散自动机的最一般形式。在理论上，图灵机被公认为现代计算 机的原型，这台机器只保留一些最简单的指令，一个复杂的工 作可以分解为这几个最简单的指令来实现。图灵机可以读入一 系列的0和1，这些数字代表了解决某一问题所需要的步骤，按 这个步骤做下去，就可以解决某一特定的问题。图1-2给出了图 灵机的一般结构，其中的辅助存储器是一个具有无限容量的随 机存储器。
生活与哲学逻辑思维推导图
世界 的统 一性 在于 其物 质性
认识 运动 把握 规律
运动是 物质固 有的 根本属 性和存 在方式
运动是物质的运动；物质是运 动的物质；离开物谈运是唯心， 运谈物是形而上学；
绝对运动：无条件的、永恒的、绝 对的；相对静止：有条件的、暂时 的、相对的；世界是二者统一； 既反相对主义和诡辩论又反形而上 学不变论；
《生活与哲学》逻辑思维推导图
刘石成 138 2615 3180 华南师范大学政治与行政学院 广东-广州
第一单元
探索世界与追求真理 -----思维推导图
哲学是 什么
第一课
来源、本义、任务、内容、形成
哲学与世界观
U1： 哲学 概论
哲学 基本 问题 哲学 与时代 精神
第二课 基本问题、基本派别 第三课 哲学作用、马哲 的产生、特征、发展
必须全面提高个人素质
需要正确价值观引导
(2014高考安徽卷39)（28分）促进农村经济发展， 提高农民生活水平，是我国政府高度关注的工作。 材料二 某地竹资源丰富，传统竹产品加工业比较 发达。该地村民外出旅游时，发现竹纤维产品市场 需求大、附加值 高。于是建议政府制定相关优惠政 策，帮助企业引进先进技术深度开发竹资源。当地 政府在广泛听取村民意见后，邀请专家进行论证， 组织企业家实地考察，出台了技术支持和资金补贴 等扶持政策，引导企业转型升级，促进了当地经济 发展，提高了人民生活水平。 （2）请从“探索世界与追求真理”角度分析其所蕴 含的哲理。（20分）
19100《万物联系思维模型》思维导图学思维
19100《万物联系思维模型》思维导图学思维万物联系思维，又叫万物互联思维，即万物之间会有各种各样的联系。
如，互联网，把人、事、物、数据一个个节点连接起来，继而创造出了新的消费模式——线上购物、线上教学等线上服务。
什么是万物联系思维模型所谓万物联系思维模型，就是指将万物联系思维运用到解决问题上。
生活、工作中，培养自己的万物联系思维，即看到事物之间的连接，并找到关键的连接且要全局、系统的看问题（看到连续形成的系统、全局），继而创造新事物或找到全局最优解。
万物联系思维模型生活中的运用六度人脉理论——人与人之间的联系六度人脉理论，由美国心理学家米尔格兰姆提出，他认为，世界上任意两个人之间建立联系，最多只需要六个人，因此被称为六度理论。
六度人脉理论，通俗地讲：“我们和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过六个人我们就能够认识任何一个陌生人。
”我经常说这是一个最好的时代——互联网技术拉近了人与人之间的“距离”。
当前，如果我们想认识某个领域很牛的人或者学习一个新领域的知识，非常简单，简单到不需要有六个人，也许只要有一个人或者也许一个人都不需要，我们就可以直接跟对方对话或者视频沟通。
如，我想认识某个公号的主理人，我直接在她公号留言就可以联系到对方；我想学习一个新领域的知识，我可以利用互联网先搜索这个领域的大咖，然后关注他的公号、视频号或者购买他的书籍就可以直接跟他学习。
以上，六度人脉理论、互联网技术，告诉我们一个道理，如今只要你想认识某个人、学习某个知识，就可以做到——看到连接，继而找到连接，最后落实行动即可。
组合创新把不同的事物连接在一起，继而创造出新的产品：“加一加，减一减，扩一扩，缩一缩，变一变，改一改，联一联、学一学、代一代、搬一搬、反一反、定一定。
”如，加一加，铅笔和橡皮做连接，创造出带橡皮的铅笔；又比如，减一减，奥迪四环标志的创意来自，奥运五环和一环项圈做连接，五环减一环而成。
第5章 计算思维与算法-大学计算机基础与新技术-鲁宁-清华大学出版社
5-11
大学计算机基础与计算思维
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生活中的计算思维（视频）
4.网上购物
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理解人类行为
5-12
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什么是计算？核算数目，根据已 知量算出未知量
尼葛洛庞帝（Negroponte）为美国麻省理工学院教授 及媒体实验室的创办人，西方媒体推崇他为电脑和传播科 技领域最具影响力的大师之一，1996年7月被《时代》周刊 列为当代最重要的未来学家之一。
计算不再只和计算机有关，它决定了我们的生 存。——尼葛洛庞帝
周教授认为：计算思维是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、 系统设计、以及人类行为理解等涵盖计算机科学领域的一系列思维活 动。总结：计算思维是一种解决问题的能力
它如同所有人具备“读、写、算”（简称3R）能力一样，成为适合于每个人的一种普遍的 认识的技能。
5-3
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第五章 计算思维与算法
苗晟
5-1
大学计算机基础与计算思维
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本次课主要内容
5.1 计算思维 5.2 可计算问题 5.3 解决问题的一般方法 5.4 用框图表示解决问题的算法 5.5 Python程序设计
5.2 可计算问题
杭州下城补习班新王牌教育___第1节_算法与程序框图
杭州下城补习班新王牌教育
(1)当型循环结构
(2)直到型循环结构示算法时，在画出算法的框图
之前就应该分析清楚循环结构的三要素：
杭州下城补习班新王牌教育
1.顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与 框之间是按从上到下顺序进行的．程序框图中一定包含 顺序结构． 2．解决分段函数的求值问题时，一般采用条件结构设计算
法．利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，要
根据题目的要求引入一个或多个判断框．而判断框内的 条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进 行变化，故要逐个分析判断框内的条件．
的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝ ______.
杭州下城补习班新王牌教育
解析：由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分 球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应该 i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6 名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故
循环变量、循环体、循环终止条件，只有准确地把握了这三 个要素，才能清楚地画出循环结构的算法框图． ①循环变量：一般分为累计变量和计数变量，应明确它的初 始值、步式(指循环变量每次增加的值)、终值．
②循环体：也称循环表达式，它是算法中反复执行的部分．
③循环的终止条件：算法框图中用一个判断框来表示，用它 判断是否继续执行循环体．
A、B、C和半径r；
第二步，计算z1＝Aa＋Bb＋C； 第三步，计算z2＝A2＋B2； 第四步，计算d＝ ；
第五步，若d>r则相离，若d<r则相交；否则相切． 程序框图如下：
专题15：思想方法与创新意识(精讲)-高考政治一轮复习考点扫描
2021年高考政治一轮复习考点扫描专题15：思想方法与创新意识目录考情分析 (1)考向预测 (2)思维导图 (3)知识清单 (3)唯物辩证法的联系观 (3)唯物辩证法的发展观 (8)唯物辩证法的实质与核心 (12)创新意识与社会进步 (19)真题再现 (24)【考情分析】【考向预测】高考对本考点以选择题的考查主要集中在联系的客观性、多样性、整体与部分的辩证关系以及系统优化方法等知识点上。
命题经常在人为事物的联系是否具有客观性、对联系普遍性、多样性的理解、对整体与部分地位和作用以及关系的理解、发展的实质，对量变与质变及其作用、关系的理解，对事物发展过程的理解、矛盾的基本属性、普遍性及其和特殊性的关系的理解上，在事物性质的决定、主要矛盾和次要矛盾地位作用、辩证否定的含义、特点、实质以及批判性思维、创新意识等问题上设置认识误区对考生进行迷惑。
主观题的考查主要集中在整体与部分的辩证关系、量变与质变的辩证关系、矛盾的特殊性及其与普遍性的关系、主次矛盾与矛盾的主次方面等知识点上。
背景材料的选取多与当前重大热点、科技发展以及传统文化有关，设问一般要求运用某一原理分析做某件事的原因、意义或如何成功的等等。
【思维导图】【知识清单】知识清单一：唯物辩证法的联系观考点一：唯物辩证法的联系观一、唯物辩证法1．唯物辩证法的总特征(1)唯物辩证法既是科学的世界观，又是指导我们认识世界和改造世界的重要思想方法。
(2)唯物辩证法既是关于世界普遍联系的科学，也是关于世界永恒发展的科学。
联系的观点和发展的观点是唯物辩证法的两个总特征。
2．唯物辩证法的实质与核心(1)对立统一规律是唯物辩证法的实质与核心。
(2)矛盾分析法是我们认识问题的根本方法。
点拨：(1)辩证法有唯物辩证法和唯心辩证法之分，笼统地说辩证法是正确和科学的是不准确的。
(2)辩证法和唯物论相结合，就是唯物辩证法，这是迄今为止最科学的思维方法；辩证法和唯心主义相结合，就是唯心主义辩证法，比如黑格尔的辩证法，他的辩证法是对的，但唯心主义是错误的。
高考零距离突破数学-14
第十四章 排列、组合和二项式定理思维导图 透析经典的大讲堂复习指导 自我精准定位本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论和组合数学所必备的基础知识.从考试要求看，该部分主要考查：一是加法原理与乘法原理，二是排列与组合的概念和应用，三是考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质、赋值法求系数的和，四是组合数性质的应用.近几年考查题型都以填空题的形式出现，且延续了常规基础的特点，方法近乎模式化，但正是因为涉及丰富多样的数学解题方法，在复习中更要注重基础知识和基本技能的掌握.对于本章复习，要注意以下四点：1.充分理解加法原理与乘法原理两个概念，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用两个原理对问题进行分类或分步分析求解.灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.2.排列、组合也是本章的两个主要概念，定义中从n 个不同元素中任取()M M n ≤个元素“按一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序组成一组”是有本质区别的.只有全面、正确把握，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段是取出2个元素交换看结果是否有变化.掌握排列与组合要以实际问题为载体，复习时多理解和总结各种题型和方法，解题时加强数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法的渗透.3.对于二项式定理，首先要掌握二项展开式与通项公式，其次会求解二项展开式中的指定项，再次能区分二项式系数与某一项的系数，并会求解相关问题，根据题目要求求解出二项式系数和或系数和（赋值法），最后要对二项式系数的性质（组合数性质）有所了解.虽然公式一般都能记住，但与之相关的概念如二项式系数、系数、常数项、项数等，容易混淆，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.公式应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项随之确定；②公式表示的是第1r +项；③公式中,a b 的位置不能颠倒，它们的指数和为n ；④r 的取值从0到n ，共1n +个.4.本章内容方法独特灵活，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.二项式定理的推导依赖于组合数的性质，在诸如证明整除性问题、幂的近似计算方面的应用，不能忽略.第53讲 加法原理和乘法原理回归教材理清脉络的解牛刀 知识梳理1.加法原理做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有12N m m =+++n m （种）不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，……，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅（种）不同的方法.3.加法原理与乘法原理的区别加法原理和乘法原理，回答的都是有关做一件事的不同的方法计数的问题.区别在于：加法原理针对分类的问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事情；乘法原理针对分步的问题，各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事. 基础自测1.张叔叔要从上海到杭州去开会，现在知道每天从上海到杭州有3趟不同的火车，5趟不同的汽车，还有2班不同的飞机.那么，张叔叔在一天中从上海去杭州共有种不同的去法.2.书架上有4本故事书、7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和一本科普书，一共有 种不同的取法.3.[改编题]高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A.16种B.18种C.37种D.48种4.[改编题]设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是（ ）A.360种B.480种C.720种D.240种5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）A.6种B.8种C.36种D.48种考点突破 释难答疑的金钥匙 考点 加法与乘法原理重点阐述加法原理和乘法原理是理解排列与组合的概念、推导排列数公式与组合数公式、分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据.难点释疑应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”:n 类办法，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，用分类计数原理（即加法原理）；如果完成一件事情需要分几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，用分步计数原理（即乘法原理）.在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性与等效性；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性.例1 如图，在44⨯的方格图中，共有多少个正方形？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】设方格的边长为1，则在横线与纵线上，长为1的线段各有4条；长为2的线段各有3条，长为3的线段各有2条，长为4的线段各有1条.我们可以按照正方形边长进行分类，然后根据加法原理求和.边长为1的正方形有4416⨯=（个），边长为2的正方形有339⨯=（个），边长为3的正方形有224⨯=（个），边长为4的正方形有111⨯=（个），1694130+++=（个），∴共有30个正方形.变式训练把一个正方体的表面用黑、白两色来涂，每面有且只有一种颜色，共有多少种不同的涂法？例2 在平面直角坐标系内，点(),P x y 的横、纵坐标均在{}0,1,2,3内取值.（1）不同的P 点共有多少个？（2）在坐标轴上的P 点共有多少个？（3）不在坐标轴上的P 点共有多少个？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）确定点P 坐标必须分两步，即分步完成横坐标与纵坐标的确定：第一步确定横坐标，有4种方法，即从0,1,2,3四个数字中选一个；第二步确定纵坐标，也可从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.根据乘法原理，所有不同的P 点个数为4416N =⨯=（个）.（2）因为坐标轴分横轴及纵轴，所以首先对点P 分类讨论.注意到原点的特殊性，应分三类：第一类，点P 横、纵坐标均为0，只有一种情况()0,0P ；第二类，点P 横坐标为0，纵坐标不为0，纵坐标只能从1,2,3三个数中取，共有3种情况； 第三类，点P 纵坐标为0，横坐标不为0，同第二类,也有3种情况.根据加法原理，满足条件的点P 共有：1337N =++=（个）.（3）方法一：直接法.分两步分别确定横坐标与纵坐标，它们只能从1,2,3三个数字中取，各有3种情况，根据乘法原理得339N =⨯=.方法二：间接法.根据是否在坐标轴上分成两类讨论：第一类，点.P 在坐标轴上，由（2）知，共有7个；第二类，点P 不在坐标轴上，设为x 个.则x +716,9x =∴=.变式训练如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.∴共有不同的选法7891034N =+++=（种）；（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.∴共有不同的选法789105040N =⨯⨯⨯=（种）；（3）分六类，每类又分两步.从一、二班学生中各选1人，有78⨯种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79⨯种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710⨯种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89⨯种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810⨯种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910⨯种不同的选法.∴共有不同的选法787971089810910431N =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（种）.变式训练六年级有4名大队委员，五年级有3名大队委员，四年级有2名大队委员.（1）从三个年级的大队委员中任选1人为大队长，共有多少种不同的选法？（2）从个年级的大队委员中各选出一名组成值日小组，共有多少种不同的选法？解决弱项查漏补缺的聚焦筒弱项清单加法原理和乘法原理混淆不清，弄不清是“分步”还是“分类”.诊断与改进体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A.14种B.7种C.24种D.49种 【参考答案】D【试题分析】本题考查加法与乘法原理，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步”，求“该学生进出门的方案种数”.由加法原理，得学生进门有437+=种选择，同样的，出门也有7种选择.由乘法原理，得该学生进出门的方案共有7749⨯=种.故选D.【答题分析】本题难度简单，学生掌握加法与乘法原理即可求解.A 选项.学生认为进门有7种方案，出门有7种方案，根据加法原理，得进出门的方案有14种，选A 错误的原因是学生混淆乘法原理与加法原理，乘法原理为分步乘法原理，加法原理为分类加法原理，本题中问题分两步，第一步进门，第二步出门，应该用乘法原理，不能用加法原理，14种方案中每一种方案（比如从7个门中的某个门进门）不能完成事件.B 选项，学生认为南侧有4个大门，北侧有3个大门，故有7个门，进而选B.选B 错误的原因是学生没有审清题意，题目要求求出进出门的方案总数，而非体育场有多少门.C 选项，学生认为方案类型一从南侧的4个大门进，从北侧的3个大门出，12种方案，类型二，从北侧的3个大门进，从南侧的4个大门出，也是12种方案，运用加法原理得，共24种方案.选C 错误的原因是考虑不周全，其实也可以从南侧的4个大门进，再从南侧的4个大门出；从北侧的3个大门进，从北侧的3个大门出.课堂训练 学以致用的训练营1.有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 种不同的报名方法.2.一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是 种.3.已知集合{}1,2,3,4M =，集合,A B 为集合M 的非空子集，若对x A ∀∈，,y B x y ∈<恒成立，称（,)A B 为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有 个.4.如图，矩形的对角线把矩形分成,,,A B C D 四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有 种不同的涂色方法.5.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为,,x y z ，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数是个.课堂小结 知识归纳总结 1.在解决具体问题时，必须注意适用“分步”还是“分类”，同时要注意分步、分类不能重复和遗漏.2.运用乘法原理分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准.分步时要满足一个基本要求：完成一件事必须连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成.3.运用加法原理分类时，也要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类.分类时还要满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的办法，即各种方法既不重复、又不遗漏.4.重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重转化与化归思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易.5.本讲涉及的数学思想主要是分类讨论.在运用加法原理时，常常会先分类再计算，如例1、例2、例3的解题过程都运用了分类讨论的数学思想.第54讲 排列与组合回归教材理清脉络的解牛刀 知识梳理1.排列数与组合数的区别与联系排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别.（1）排列数公式：()()()()!P 121!m n n n n n n m n m ⎡⎤=----=⎣⎦-；当m n =时，()P 121m nn n n =-⋅⋅⋅=!，其中*,,m n m n ∈≤N ；规定0!1=. （2）组合数公式：()()()()121P !C !!!P m m nn m m n n n n m n m m n m ⎡⎤----⎣⎦===-. 2.排列数与组合数的性质（1）排列数性质：11111P ,P 1,P !,P P n m m n n n n n n n --====.（2）组合数性质：10011C C ,C C C ,C 1,C 1,C 1m n m m m m n n n n n n n n --+=+====.基础自测1.[改编题]若255C C x =，则x = .2.若排列数7P 7654m =⨯⨯⨯，则m =. 3.[改编题]在一次活动中，从十位同学中选出四位同学排成一排，则不同排法的种数是（结果用数字作答）.4.[改编题]从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（结果用数字作答）.5.[改编题]用0到9这10个数字组成没有重复数字的三位偶数和三位奇数，则这样的偶数与奇数的总个数为（ ）A.324B.328C.360D.648考点突破 释难答疑的金钥匙 考点 排列与组合重点阐述理解排列与组合的概念，理解排列数公式、组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题.难点释疑1.解决排列类应用题的主要方法（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法：即先排特殊元素或特殊位置；（3）捆绑法：即相邻问题捆绑处理的办法，也就是把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：即不相邻问题插空处理的办法，排列时先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）分排问题直接处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的办法：即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.2.组合问题的常见题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.例1 [2017年上海高考]若排列数6P 654m =⨯⨯，则m = .【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列数公式.【试题分析】6P 654,m =⨯⨯∴根据排列数公式可得3m =.变式训练解下列方程：（1）4321P 140P x x +=；（2）21222C C C 0.6y y y x x x +++++==.例2 由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数：（1）能组成多少个三位数？（2）能组成多少个正整数？（3）能组成多少个四位奇数？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列.【试题分析】（1）百位数字不能是0,∴百位数字的选法有16P 种，十位和个位上的数字的选法有26P 种，∴共可组成1266P P 180⋅=（个）三位数. （2）组成的正整数可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位、七位数，∴共可组成111666P P P +⋅+12131415166666666666P P P P P P P P P P 11742⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=（个）正整数. （3）个位数字只能是1,3,5，千位数字不能是0，∴先考虑个位数字，有13P 种不同的选法，再考虑千位数字有15P 种不同的选法，其余两个位置有25P 种不同的选法，∴能组成1135P P ⋅⋅25P 300=（个）四位奇数.变式训练用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 .例3 六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列问题.【试题分析】（1）方法一：（特殊元素优先策略）要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据乘法原理，共有站法1545P P 480=（种）； 方法二：（特殊位置优先策略）由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据乘法原理，共有站法2454P P 480=（种）.方法三：（正难则反总体淘汰策略）若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去不符合条件的排列数，即共有站法6565P 2P 480-=（种）. （2）方法一：（相邻元素捆绑策略）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据乘法原理，共有5252P P 240=（种）站法.方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有412452P P P 240=（种）.（3）方法一：（不相邻问题插空策略）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为4245P P 480=（种）. 方法二：（间接法）6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有5252P P 240=（种）站法，∴不相邻的站法有652652P P P 720240480-=-=（种）. （4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有24243P P 144=（种）站法. 方法二：（小集团问题先整体后局部策略）先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有232432P P P 144=（种）站法. （5）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，且甲在左端而乙在右端的站法有44P 种，共有654654P 2P P 504-+=（种）站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有114444P P P 种，故共有51145444P P P P 504+=（种）站法. 变式训练某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.168例4 [2020年上海高考]从6个人挑选4个人去值班，每人最多值一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有种排法.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列与组合.【试题分析】第一天有16C 种选法，第二天有15C 种选法，第三天有24C 种选法，∴共有112654C C C =180（种）排法.变式训练将,,,A B C D 四个球放人编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且,A B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）A.30种B.36种C.60种D.66种 例5 如图，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/组合与加法原理.【试题分析】当第一组开关有一个接通时，电路接通为()11232333C C C C 14⨯++=（种）方式；当第一组有两个接通时，电路接通有()21232333C C C C 7⨯++=（种）方式，∴共有14721+=（种）方式.变式训练若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为.解决弱项 查漏补缺的聚焦筒弱项清单解与组合数有关的方程，没有考虑未知数本身的范围. 诊断与改进已知567117C C 10C m m m -=，求实数m 的值. 【参考答案】2【试题分析】本题考查组合数公式，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“567117C C 10C m m m -=”，求“实数m 的值”. 由已知得m 的取值范围为{}05,mm m ≤≤∈Z ∣，由()()!5!!6!5!6!m m m m ---=()77!!107!m m ⨯-⨯，整理可得223420m m -+=，解得21m =（舍去）或2,2m m =∴=.【答题分析】本题难度简单，学生掌握组合式公式即可求解.学生出现错误的主要原因有：①未掌握组合式公式；②忽略组合式公式中的隐含条件，错得两个值；③计算错误等.课堂训练学以致用的训练营1.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为.2.有,,,,A B C D E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.,A B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为.3.将10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法有 种（用数字作答）.4.[2022年杨浦一模]某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有种（用数字作答）.5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）A.18个B.15个C.12个D.9个课堂小结知识归纳总结 1.排列与组合.排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序.组合：指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序.排列与组合最大的区别是是否有序.2.排列、组合问题的求解方法与技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题排除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价条件.3.解题注意点及思想方法：①分类标准要明确，做到不重复不遗漏. ②混合问题一般是先分类再分步.③要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. ④转化与化归、分类讨论思想是本节重要的思想方法.第55讲 排列与组合应用题回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理处理排列组合应用题的规律： （1）两种思路：直接法、间接法. （2）两种途径：元素分析法、位置分析法.（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列.弄清要完成什么样的事件是前提.（4）解题方法：捆绑法、插空法、错位法、分组分配法、均匀分组法、逆向思考法等. 基础自测1.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.2. 7把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A.144B.120C.72D.243.[改编题]将4个不同的小球放人3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A.43种B.34种C.18种D.36种4.[改编题]从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表的选法共有（ ）A.47种B.48种C.49种D.50种5.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）A.1444C C 种B.1444C P 种C.44C 种D.44P 种考点突破释难答疑的金钥匙考点 排列应用与组合应用重点阐述解排列应用题的基本思想如下：解简单的排列应用题首先必须认真分析理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任选m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解. 难点释疑1.解答排列组合应用题的总体思路 （1）整体分类； （2）局部分类；（3）辩证地看待元素的位置；（4）一些具体问题有时需要把它抽象成组合模型. 2.几何中的组合应用题（1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析、解决问题，其次要从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，往往寻找一个组合的模型加以处理.（2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.（3）在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决. 例1 7位同学站成一排.（1）甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列应用与组合应用. 【试题分析】（1）第一步将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为55P 种；第二步“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有33P 种．∴共5353P P 720⋅=（种）．（2）第一步先排除甲、乙和丙之外4人共44P 种方法；第二步甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空档中的任何3个都符合要求，排法有35P 种.∴共有4345P P 1440⋅=（种）. 变式训练。
基于思维导图的初中化学复习教学策略
Educational Practice and Research复习是基础教育中不可缺少的教学环节。
巩固所学、深化认知、发展能力，其体现的是复习教学水平逐级提高的层次，也是学生的学习必然要经历的过程。
初中生通过初三一年的化学学习，既要完成新授课知识的理解与掌握，又要进行复习以应对升学考试，时间紧、内容多、任务重。
为了提高中考成绩，“一讲到底”“一练到底”式的传统复习方式仍广受青睐，“一听就会，一变就错”的现象也因此较为普遍。
究其原因，是因为传统复习方式在某种程度上削弱了学生自主学习的积极性和主动性，也束缚了学生思维的发展。
由此导致学生在复习时，一是没有将碎片化的化学知识有机整合以形成知识系统，达不到深化认知的层次。
二是看似在重复训练中学到了基本方法，但当遇到新问题时还是不能灵活迁移应用，即没有实现发展能力的目的。
笔者的教研团队在教学实践中尝试把思维导图运用到初中化学复习中，收到了良好的复习效果。
思维导图是英国学者托尼·博赞（Tony ·Buzan ）提出的表达发散性思维的有效图形思维工具，由关键词、分支与线条组成，从某个中心点开始，根据相互隶属和相关层级，以适当的分支往四周发散，由此将一长串的枯燥信息变成容易记忆的、有高度组织性的图。
绘制思维导图，就是将分散的知识整合成各层级的关键词或者关键图像，由此建构起结构化、系统化的知识。
学生绘制和运用思维导图的过程，不仅能将知识内化，构建起完整的知识体系，形成良好的认知结构，同时通过梳理、分析、类比和归纳，还能使学生理清思路、寻找规律，启迪学生的智慧。
除此之外其还能培养学生进行自主、合作和探究学习的能力，由此可提高学生分析解决问题的能力和拓展迁移的能力。
一、归纳知识，形成知识结构认知心理学认为，“人类记忆首要的问题不孙玉明（承德市教育局中学教研室，河北承德067000）摘要：基于复习教学的现状以及思维导图的功能，为了提高初中化学复习教学的效率，教师可采用四种策略：归纳知识，形成知识结构；梳理思路，构建思维模型；变式训练，探寻问题本质；总结提炼，建立观念体系。
创新思维训练课件0103
（二）思维导图
二、提升发散思维的能力
5.思维导图的部分应用
2020年9月22日星期二 P25
创新故事 小组讨论 心法内容 心法训练 心法延伸
训练一 快速串词
训练目的 通过快速串词训练，培养发散思维能力。 训练内容 对下列词组作快速串词训练（量20个以上） 兰草 书法 耳目 作家 钢琴 茶叶 民族 唱歌 军队
3.集体发散思维 发散思维不仅需要用上我们自己的全部大脑，有时候还需要用上我们身边的
无限资源，集思广益。集体发散思维可以采取不同的形式，比如我们常常戏称的 “诸葛亮会”。技法篇中我们将详细学习应用集体发散思维的方法：头脑风暴法。
2020年9月22日星期二 P20
二、提升发散思维的能力
（二）思维导图
二、提升发散思维的能力
（二）思维导图
2.思维导图的优缺点 优点：
（1）思维导图使用关键字作为单元，而不是使用句子，这可以更原始地表 达意思，并留出了足够的扩展性，可以有力地激发你的联想。
（2）思维导图引入了图形来表达思维，图形本身涉及解读，而语词本身的 含义较固定，所以促进了发散思维。
（3）思维导图的另一个优点是思维暂存的作用。 缺点：
2020年9月22日星期二 P17
一、感悟发散思维
（四）发散思维与收敛思维的关系
3.两者具有互补性 发散思维与收敛思维又是相互联系的，是一种对立统一的辨证关系。没有发散
思维的广泛收集，多方搜索，收敛思维就没有了加工对象，就无从进行；反过来， 没有收敛思维的认真整理，精心加工，发散思维的结果再多，也不能形成有意义的 创新结果，也就成了废料。只有两者协同动作，交替运用，一个创新过程才能圆满 完成。
2020年9月22日星期二 P19
衡水中学2020高考思维导图(公益赠送5000套)
肌肉组织 主要由肌细胞构成，能够收缩，产生运动，如心肌
神经组织 主要由神经元构成，能够感受刺激，产生和传导兴奋
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浙教版初中科学七年级上册全册思维导图
《思维导图画册》-（七年级）第一讲《走近科学》知识思维体系科学画册•你相信吗？空调的发明居然沾了印刷机的光说起对盛夏湿热的体验，人们大多会用酷暑难耐来形容！多亏有了空调相伴，才使人们摆脱了暑热之苦。
然而，空调最初并不是为人类研发的。
1902年，世界上第一个空调系统诞生了，但它是按照印刷机的“体验”进行设计的。
说起空调的发明，有一个人不能不提，他就是美国工程师及发明家威利斯·开利(Willis Haviland Carrier，1876年-1950年)。
由于他是现代空调系统的发明者，因此被誉为是“空调之父”。
那么，空调是怎样发明出来的呢？人类又是如何享用到这个伟大发明的呢？知冷知热的印刷机1901年，开利毕业于康奈尔大学，并获得机械工程硕士学位。
他入职的第一份工作是在一家锻造公司担任供暖工程师。
第二年，他接手的第一个任务就是处理纽约市沙克特威廉印刷厂的温度和湿度问题。
“空调之父”——威利斯·开利原来，这家印刷厂是锻造公司的客户单位。
这家印刷厂在生产中遇到了一个大难题，由于空气温度和湿度的变化，使得纸张的伸缩不定，这样就导致了油墨对位不准，自然就无法生产出清晰的印刷品了。
于是，这家印刷厂就求助于关联公司了。
印刷也是一个细活，对环境条件的要求也是十分苛刻的。
比如，对室内温度和湿度都是有要求的，一般冬季要保持在21℃，夏季要保持在27℃，全年相对湿度要保持在55%。
威利斯·开利对于只有26岁的开利来说，这个问题无疑是一个巨大的挑战。
不过，开利是个聪明人。
他很快就找到了问题的症结所在，原来都是湿热波动惹的“祸”。
但是，要想用机器装置来解决这个问题还是要付出努力的。
大雾让他茅塞顿开开利的一次经历开阔了他的思路。
有一天的傍晚，开利在某火车站等火车的时候，那弥漫天空的大雾启发了他，使得他对温度、湿度和露点之间的关系有了更深刻的认识。
说起雾，可以说是无人不晓，然而，真正能从大雾中捕捉灵感的人并不多。