建立数学模型

第一章

部分习题

3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.

4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.

5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.

6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .

7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()

01t t r m

e

x t x --+=

，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.

8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.

9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

参考答案

3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即

()

v

s s t 21+≈

其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.

4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο

180，其余作法与1.3

节相同.

5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的

状态可用()4321,,,x x x x s =表示。记s 的反状态为()4321'

1,1,1,1x x x x s ----=，允许状

态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S 及他们的5个反状态

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D

记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为

()k k

k k d s s 11-+=+，设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态

S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。一个可行的方案

如下：

6(1). 分段的指数增长模型

根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段： 1790年至1880年平均年增长率2.83%； 1890年至1960年平均年增长率1.53%； 1970年至2000年平均年增长率1.12% .

三段模型为（1790年为t=0，1880年为t=1， ⋯ ） x 1(t)=3.9e 0.283t ，t=0,1, ⋯,10

x 2(t)=x 1(10) e 0.153(t-10) ，t=11,12, ⋯,18 x 3(t)= x 2(18) e 0112(t-18) ，t=19,20, ⋯,22

6(2). 阻滞增长模型

可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r ，取某些专家的估计400百万为最大容量x m ，以1790年的实际人口为x 0，模型为1.5节的(9)式。 以上两个模型的计算结果见下表：

（续表）

（续表）

7.

注意到t=t 0时2

m

x x =

, 立即可得 x t x x x e m

m

rt ()(

)=

+--110

，

且00

0ln 1x x x r t m -=，()()01t t r m e

x t x --+= . 8.

()(),

0,0x x x x r dt

dx

m =-=

其中r 为比例系数。解上述初值问题得:

()()rt

m m e x x x t x ---=0，

如下图中实线所示：

当t 充分大时，它与Logistic 模型相近。

x x 0x m

9(3).

不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：

8:00, 8:10, 8:20, ⋯,

那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09, 8:19, 8:29, ⋯.