九年级数学上册第4课时 黄金分割
2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第4课时黄金分割
A )
A. (12－4 )cm
B. (9－4 )cm
C. (4 －4)cm
D. (4 ＋4)cm
1
2
3
4
5
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8
5. 【情境题·体育赛事2023济南期中】 2023年第19届杭州亚
运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融
合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如
−
−
x＝
x .∴ ＝ − ＝
＝
.
−
∴ BE 与 BC 的比是黄金比.
∴剩余的四边形 BCFE 也是一个黄金矩形.
1
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.
5
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3星题
发展素养
8. [教材P96想一想变式]当一个矩形的宽长之比为( －
1)∶2时，称这个矩形是黄金矩形，如图，四边形 ABCD
是黄金矩形且
−
＝
，将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方
பைடு நூலகம்
形 ADFE 后，剩余的四边形 BCFE 是否是黄金矩形？请说
明理由.
1
2
3
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D. 3－ 或 －1
1
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7. 【新考向·传统文化2023达州】 如图，乐器上的一根弦 AB
＝80 cm，两个端点 A ， B 固定在乐器板面上，支撑点 C
北师大版九年级数学上册课件 4.4 第4课时 黄金分割
A
点 E 是 AB 的黄金分割点
E
B
AE（即 BC ）是黄金比
AB
AB
D
F
C
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线 段，过点 B 作 BD⊥AB，使BD 1 AB ; 连接 AD，在 AD 上截
2
取 DE = DB；在 AB 上截取AC = AE . 点 C 就是线段AB的黄金
分割点. 你能说出其中的道理吗？
D E
A
C
B
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
2
2
2
5 -1
3- 5
∵ AC = 2 = 5 -1，BC = 2 = 3 - 5 2
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄 金分割点. 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.
BD AD = 5 1 AB BD 2
AC BC = 5 1 AB AC 2
并且 AD = BC，AC = BD.
A
D
C
B
古希腊时期的巴台农神庙
下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中
解这个方程，得
1 x1 2
5
1 x2 2
5 （不合题意，舍去）
所以，黄金比 AC 5 1 0.618
AB 2
A
C
A
比值称为黄金比，近似值为0.618
黄金分割点
AC BC = 5 1 AB AC 2
北师大版九年级数学上册黄金分割
第4课时 黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC :AB =BC :AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2．618.0215≈-=AB AC．二、基础过关1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ， b ，c 的第四比例项，则有d cb a=；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1．其中正确的判断有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC ∶BC = ( )A ． (5－1)∶2 B ． （5+1）∶2 C ．（3－5）∶2D ．（3+5）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．215- B ．53- C ．25- D ．253-8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN = 253-．求证：点A是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M在AD上．（1）求AM、DM的长．（2）求证：AM2=AD·DM．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，215-=BCAB≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案1．AP2=BP·AB或PB2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C；5．C；6．B；7．C；8证得AM2=AN·MN即可；9．⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M是线段AD的黄金分割点；10．通过计算可得215-=ABAE，所以矩形ABFE是黄金矩形．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
九年级数学上册4.4.4黄金分割全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
6/13
总结
知1－讲
(1)应用黄金分割比时，假如准确计算就要使用 5 1 ,
2
假如要求准确到小数点后某位，那么注意在结果 最终再代入预计值0.618，这么能够最大程度地确保 结果准确度． (2)易错警示：一条线段有两个黄金分割点，在实际问 题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段．
（此讲解起源于《点拨》）
第四章 图形相同
4.4 探索三角形相同条件
第4课时 黄金分割
1/13
1 课堂讲解 黄金分割定义
黄金分割应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
2/13
复习提问： 上几节课我们学习了哪些三角形相同判定方法？
3/13
知识点 1 黄金分割定义
一个五角星如图所表示. (1)从图中找出相等角、相等线段. (2)在图中找出两对相同比不一样相同三角形.
（来自《典中点》）
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知识点 2 黄金分割应用
知2－导
想一想
如图是古希腊时期巴台农神庙（Parthenom Temple),假如把图中
用虚线表示矩形画成图中ABCD,以矩形ABCD宽为边在其内部作正
方形AEFD,那么我们能够惊奇地发觉，
BE BC , BC AB
点E是AB黄金分割点吗？矩形ABCD宽与长比是黄金比吗？
10/13
知2－练
1 (中考·通辽)美是一个感觉，当人体下半身长与身高 比值越靠近0.618时，越给人一个美感．如图，某女 士身高为160 cm，下半身长x与身高l比值是0.60，为 尽可能到达好效果，她应穿高跟鞋高度大约为( ) A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm
（来自《典中点》）
北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节 黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短 长
长 全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.
最新北师大版九年级数学上册《黄金分割》精品ppt教学课件
10.宽与长的比是
5-1
(
2
综合能力提升练
拓展探究突破练
约 0.618 )的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴
藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样
的方法画出黄金矩形:作正方形 ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连
接 EF:以 F 为圆心,以 FD 为半径画弧,交 BC 的延长线于点 G;作 GH
拓展探究突破练
-9-
9.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律,例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构图,使
画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版,要拍摄草坪上的小
狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于图中的位( B )
A.①
B.②
C.③
D.④
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
∴梯形 ABGH 与梯形 GCDH 的上、下底分别相等,高也相等,
1
∴S 梯形 ABGH=S 梯形 GCDH=2S 梯形 ABCD.
∴直线 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线.
第四章
第4课时 黄金分割
归纳总结、拓展提升
知识要点基础练
综合能力提升练
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
拓展探究突破练
扇子比较美观.若取黄金比为0.6,则α为( B )
A.216°B.135°
C.120° D.108°
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
6.自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,点P为AB的黄金分
割点( AP>PB ),如果AB的长度为10 cm,黄金比为0.618,那么PB的长度为 3.82 cm.( 结果
北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件
1．(3 分)已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC， 则可得到比例式__AA__CB_＝__AB_C_C___，此时 AC 与 AB 的数量关 系为_A__C_＝____52_－__1_A_B__(或__AA__CB_＝____52_－__1_) __(保留根号)．
2．(3 分)若 P 点是线段 MN 的黄金分割点(MP＞NP)，则
第4课时 黄金分割
一般地，点 C 把线段 ABABCC，那么称线段 AB 被点 C_黄__金__分__割__，点 C 叫做 线 段 AB 的 __黄__金__分__割__点__ ， AC 与 AB 的 比 叫 做 __黄__金__比____．
知识点1 黄金分割及其相关概念
下列比例式成立的是( C )
A. PPNM＝MPNN C.MMNP＝MPNP
B.MPMN＝MPNN D.PPMN ＝MPMN
3．(3 分)已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列
结论中不正确的是( D )
A.ABPP＝AAPB
B．AP≈0.618AB
C．AP＝
5－1 2 AB
D．BP＝12( 5－1)AB
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(3分)如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心 角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按 黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝________．
135°
第7题图
第8题图
8．(3分)如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC
＞AC，若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为 AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 __S_1＝__S_2__．
九年级数学上册PPT课件《黄金分割》
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12
1
2
5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设 以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩 形面积为S2，则S1与S2的关系是（ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起 来就越美．
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但 这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468米.设计师在263米处 设计了一个球体，使平直 单调的塔身变得丰富多彩， 非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 B≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm.
北师大版数学九年级上册课件：第4课时黄金分割
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以 AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面 积为S2，则S1与S2的关系是 （ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
A
P
B
2.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段 AC的长度．
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
E
B
F
C
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
例1：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值 越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x 0.60 1.60
AC=4×0.618=2.472 或者 AC=4×（1-0.618）=1.518
3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到 书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高 能给人赏心悦目的感觉？
离地面的高度 h=3×0.618=1.854m
4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC 交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即
-1
x2 + x – 1 = 0.2
5,
-1 5 (不和题意，舍去). 2
解方程得AA：CBx1=
5 1 2
0.618.
x2=
九年级上第四章4.4 黄金分割
A．4 cm
B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
第4课时 黄金分割
[解析]
可先求出该女士下半身长为99
cm，然后可
99＋y 设高跟鞋的高度为y cm，则有 ≈0.618，可求出y≈8. 165＋y
练习与拓展：古希腊的巴台农神庙
• 如果把左图中用虚线表示的矩形画成右 图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边 在其内部作正方形AEFD，那么我们可 以惊奇地发现，
5－1 AC 黄金比可知 ＝ ，而BC＝AB－AC，代入化简即可 AB 2 求解．
第4课时 黄金分割
解：因为点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，所 5－1 AC BC AB－AC 以 ＝ .又因为BC＝AB－AC，所以 ＝ ＝1 AB 2 AB AB 5－1 3－ 5 AC － ＝1－ ＝ . AB 2 2 5－ 1 BC AC 由黄金分割可知 ＝ ＝ . AC AB 2
如图，点C是线段AB的黄金分割点，你能计算出AC与AB
的比值（即黄金比）吗？
第4课时 黄金分割
若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC 为较长的线段，BC AC BC 为较短的线段，则必有 ＝ 成立，且不论线段的长短如 AB AC 5－1 AC 何， 它的黄金比 始终是一个定值， 即 AC∶AB＝ ∶1 AB 2 5－1 BC AC ≈ 0.618 ∶ 1. 由 ＝ ＝ 可知，只要两线段的比等于 AC AB 2 5－1 BC ，我们就称这两线段的比为黄金比，而 也是黄金比． 2 AC
[归纳总结] 要确定让人觉得最美的点，就是确定黄金分割点 ，不要忘记，一条线段的黄金分割点有两个．
第4课时 黄金分割
探究问题二
利用黄金比求线段的长或线段的比
最新北师大版九年级数学上册《第4课时 黄 金 分 割》精品教学课件
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点． 理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB， ∴BBEC＝BACB，即 BC2＝BE·AB. ∵AE＝BC， ∴AE2＝BE·AB， 即点 E 是线段 AB 的黄金分割点．
宽为 AC 的矩形面积，则 S1 与 S2 的大小关系为( C )
A. S1＞S2
B. S1<S2
C. S1＝S2
D. 不能确定
3. 已知线段 AB 的长为 10 cm，点 C 是线段 AB 的黄金 分割点，且 AC＞BC，则 AC＝ ((55 5－－55)) cm.(结果保留根 号)
பைடு நூலகம்
4. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AC 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，若 AE＝BC，则点 E 是线段 AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．
解：原矩形 ABCD 是黄金矩形．
理由如下：设矩形 BCFE 的长 BC 为 x，
∵四边形 BCFE 为黄金矩形，
∴宽 FC 为
5－1 2 x.
∵四边形 AEFD 是正方形，
∴AB＝x＋ 52－1x＝ 52＋1x，
则BACB＝
x 5＋1
＝
52－1，
2x
∴原矩形 ABCD 是黄金矩形．
【归纳总结】要证明一个矩形是黄金矩形，只要根据已 知条件证明这个矩形的宽与长的比是 52－1即可．
比AACB＝
5－1 2.
【思路点拨】设较长的线段 AC 的长为 x，根据黄金分割 点的定义，得出 AC2＝AB·BC，据此列出方程 x2＝1×(1－x) 求解．
九年级上册4-4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割教案新版北师大版
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割教学目标【知识与能力】1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.【情感态度价值观】理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.教学重难点【教学重点】了解黄金分割的意义，并能运用.【教学难点】找黄金分割点和画黄金矩形.课前准备课件.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、AC BC ,它们的值相等吗？［生］相等. ［师］所以ACBC AB AC =. 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫作线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫作黄金比.其中AB AC ≈0.618.2. 计算黄金比.解：由AC AB =BC AC ，得∴AC 2=AB ·BC.设AB =1,AC =x ,则BC =1- x.∴x 2=1×（1－x ）∴x 2+ x －1=0解这个方程，得x 1=-1+√52或x 2=-1-√52（不合题意，舍去）， 所以，黄金比AC AB =√5-12≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足AC BC AB AC .下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1. 证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2 ∴x 2+x +41=1+41 ∴x 2=1－x∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC即：AC BC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC ≈0.618 ∴黄金比约为0.618.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC AB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AEBE AB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫作黄金矩形.你学会作了吗？Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.Ⅳ.课后作业习题4.8Ⅴ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫作“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.●板书设计黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－12：1。
4.4第4课时黄金分割-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析帕台农神庙的立面比例，展示黄金分割在实际中的应用，以及它如何帮助我们理解古典建筑的美学。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了黄金分割的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们也加深了对黄金分割的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中发现和创造美。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
然而，我也发现，在课堂实践活动中，部分学生对于将黄金分割应用于实际问题仍存在一定困难。这可能是因为他们对黄金分割的理解还不够深入，或者是我引导的方式不够恰当。因此，我考虑在接下来的课程中，增加一些更具挑战性的实践活动，让学生在解决实际问题的过程中，进一步巩固和运用所学知识。
此外，小组讨论环节让我看到了学生们活跃的思维和良好的团队协作能力。他们在讨论中提出了许多有趣的观点，也碰撞出了不少火花。但在这一过程中，我也注意到有些学生较为内向，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我打算在以后的课堂中，更加关注他们的需求，鼓励他们大胆表达自己的想法。
五、教学反思
在上完这节课之后，我有一些深刻的体会和思考。首先，我发现同学们对黄金分割的概念和比例非常感兴趣，他们在课堂上积极参与，提出很多有见地的问题。这让我意识到，将数学与生活实际相结合，能够有效激发学生的学习兴趣。
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
北师版初中九上数学4.4.4黄金分割【课件】
第四章图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
新课引入一个五角星如图所来自.（1）从图中找出相等的角、相等的线段.
（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
AC BC
小亮认为
，
AB AC
你同意他的看法吗？
K
C
A
B
I
H
D
F
E
说说你的理由.
G
同意，因为DC//BF，所以 =
因为BC=AI=AD，AC=AF
所以 = =
知识讲解
定义
一般地，点C 把线段AB 分成两条线
AC BC
段AC 和BC （如图3 - 19），如果
，
AB AC
那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做
线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做
黄金比.
知识讲解
越给人以一种匀称的美感.如图，某女士身高170cm，脱去鞋后量得下半
身长为97cm，则建议她穿的高跟鞋高度大约为（ D ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
目标测试
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上
的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点
F．那么BF：FD的值为
5 -1
表示的矩形画成图②中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内
部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，
BE BC
.
BC AB
点E是
AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
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10.宽与长的比是
5-1
(
2
综合能力提升练
拓展探究突破练
约 0.618 )的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴
藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样
的方法画出黄金矩形:作正方形 ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连
接 EF:以 F 为圆心,以 FD 为半径画弧,交 BC 的延长线于点 G;作 GH
长为20 m,主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体?( 结果精确到0.1 m,黄金比≈0.618 )
解:设主持人应走到离A点至少x m处才最自然得体.
根据黄金比,得x=20×( 1-0.618 )≈7.6.
∵黄金分割点有2个,∴x=20-7.6=12.4.
∵7.6<12.4,∴x应取7.6.
答:主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体.
拓展探究突破练
-9-
9.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律,例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构图,使
画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版,要拍摄草坪上的小
狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于图中的位( B )
A.①
B.②
C.③
D.④
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
精彩吧。
-18-
第四章
下课了!
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之
于人.
证明的规范性在于：条理清晰
，因果相应,言必有据.这是初学
证明者谨记和遵循的原则.
-19-
第四章
2023年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节第4课时黄金分割
基础巩固
能力提升
-13-
第4课时 黄金分割
易知△ABC∽△BDC，∴DBCC ＝ BACC． ∵∠A＝∠ABD＝36°，∴AD＝BD． ∵∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，
∴AD＝BC，∴DADC ＝ AADC， ∴点D是线段AC的黄金分割点．
第4课时 黄金分割
第4课时 黄金分割
限时：15分钟
知识点1 黄金分割的意义 1．如图，点C是线段AB的一个黄金分割点，AC＜ BC，则下列比例中，是黄金比的是( D )
A．AACB B．ABCB C．BACC D．ABCC
基基础础巩巩固固
能力提升
-2-
第4课时 黄金分割
2．若P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短
基础巩固
能力提升
-16-
第4课时 黄金分割
∴EA＝EF，∠AEB＝∠EFC． ∵∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠FEC＋∠AEB＝90°，即∠AEF＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形．
基础巩固提升
-9-
第4课时 黄金分割
限时：15分钟
9．[分类讨论思想]已知线段AB＝10，点C是AB的 黄金分割点，则AC＝( C ) A．5 5－5 B．15－5 5 C．5 5－5或15－5 5 D．以上答案都不对
基础巩固
能力提升
-10-
第4课时 黄金分割
10．[教材P98习题4.8第1题改编]如图，乐器上的一 根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板 上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C 到端点A的距离约为 49.4 cm．(结果精确到0.1 cm， 5≈2.236)
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编号：34445768428937925654158542
学校：摩歆市五镇淮子学校*
教师：高至发*
班级：天鹅参班*
第4课时黄金分割
【知识与技能】
1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.
2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.
【过程与方法】
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.
【情感态度】
理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.
【教学重点】
找一条线段的黄金分割点.
【教学难点】
黄金分割比的应用.
一、情境导入，初步认识
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.
二、思考探究，获取新知
动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算AC
AB
与
BC
AC
,
它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.
【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如
果AC
AB
=
BC
AC
,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比叫做黄金比.
三、运用新知，深化理解
1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）
2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为0.764 米.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞
CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为51 -
.
4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则102
168
x
x
+
+
=0.618，
解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.
5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段
AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，
使BD＝1
2 AB；
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=51
2
-
∶1，那么这个矩形
成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.
解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：
设AB=1，由BC∶AB=51
-
∶1可知BC=
51
-
，
所以BE=51
2
-
，AE=1-
51
2
-
=3-52，
所以AE∶EF=35
-
∶
51
-
=
51
-
∶1.
故矩形AEFD是黄金矩形.
四、师生互动，课堂小结
如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.8”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课知识点较多，具有一定的抽象性，所以有一部分学生掌握的不够好.在今后的教学中将努力改变，铺设阶梯，给大多数同学发言、参与的机会，活跃课堂气氛.。