台州市一模试题 (理)

台州市2014年高三年级调考试题 数学（理科） 2014.03
第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 1.复数z =()2
12i -（i 是虚数单位）的对应点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合{}220M x x x =--<，{P x =∈Z }13x -≤，{},Q x x P x M =∈∉，则Q =（ ） A.{}2,1,2,3,4- B.{}2,1,2,3,4-- C.{}1,2,3,4- D.{}1,2,3-
3.设x ，y ∈R ，条件甲：221259x y +≤，条件乙：5,
3,x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩
则条件甲是条件乙的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，则输出的z 值为 （ ）
A.3
B.4
C.5
D.6 5.()9
a b c ++的展开式中，432a b c 项的系数为 （ ） A.126 B.420 C.630 D.1260 6.若P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到直 线1l ：1y =-，2l ：34120x y ++=的距离之和的最 小值为 （ ） A.3 B.4 C.
165 D.195
7.各位数字之和等于6的四位数有 （ ）
A.60个
B.56个
C.52个
D.48个
8.在平面上给定边长为1的正OAB ∆.动点C 满足OC OA OB λμ=+
，且221λλμμ++=，则点C 的轨 迹是 （ ） A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知212S ≤≤，435S ≤≤，则6S 的取值范围是（ ） A.[]3,12 B.[]4,12 C.[]5,11 D.[]5,8
10.已知函数()2
a f x x x
=+（其中常数0a >），()0,x ∈+∞.对于1n =，2，3，…，定义函数列
(){}n f x 如下：()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=.设()n y f x =的图像的最低点为(),n n n P x y ，则下
A.n x a =
B.1n n y y +>
C.()()11n n n n f x f x y y ++-≥-
D.n y ≥
第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知()(),
01,21,1,x x f x f x x <≤⎧⎪=⎨
->⎪⎩
则
32f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________. 12.双曲线2
2
13
y x -=的两条渐近线方程为__________.
13.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于_______3cm . 14.为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单 位：km ）如图所示，且180B D ∠+∠=︒，则AC 的长为_________km . 15.数列{}n a 满足：11a =，()()121221n n n a n a +-=+，则8a =___________.
16.若关于x 的方程2110x x λ--+=有4个相异实根，则实数λ的取值范围是_________. 17.如图，在60︒的二面角l αβ--内取点A ，在半平面α，β中分别任取点B ，C .若A 到棱l 的 距离为d ，则ABC ∆的周长的最小值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）
已知函数()()2sin cos f x x x ϕ=-（0ϕ<<2π）的图像过点3,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）求ϕ的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间.
19.（本题满分14分）
现有7门选修课程，其中A 类课程有3门，B ，C 两类课程各有2门.甲、乙两人各自独立地从 中随机选择3门学习，要求每人必须从A ，B ，C 三类中各选1门. （1）求甲、乙两人选修的课程完全相同的概率；
（2）记甲、乙两人所选课程相同的门数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ.
20.（本题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，其中AB AD ⊥，DC AD ⊥，2AB AD ==，1DC =. 侧面正PAD ∆所在平面与底面垂直． （1）求证：AC PB ⊥.
（2）在棱PB 上取一点E ，使直线PD ∥平面ACE ．
①求PE
EB
的值；
②求证：二面角P AC D --与E AC B --大小相等．
21.（本题满分15分）
如图，P 是O ：224x y +=上任意一点，PQ x ⊥轴，Q 为垂足.设PQ 的中点为M . （1）求点M 的轨迹Γ的方程；
（2）设动直线l 与O 相交所得的弦长为定值，l 与（1）中曲线Γ交于两点A ，B ，线段
AB 的中垂线交O 于E ，F ，求EF 的最小值．
22.（本题满分15分）
已知函数()2
1x e ax f x x
-=+．
（1）若0a =，讨论()f x 的单调性．
（2）若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ．
①求a 的取值范围；
②求证：1232x x x ++>-．。