12.3椭圆的标准方程 学案

第十二章 圆锥曲线

第三节 椭圆的标准方程

一、知识梳理

1、椭圆的定义

椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 注意：椭圆定义中容易遗漏的两处地方

（1）两个定点---两点间距离确定

（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：若“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”或“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”是什么情况？

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。

2、椭圆标准方程

取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。

设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ），则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）。

{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得

)()(22222222c a a y a x c a -=+-，

由定义c a 22>,022>-∴c a ，令2

22b c a =-∴代入，得 2

2

2

2

2

2

b a y a x b =+，

两边同除2

2

b a 得 122

22=+b

y a x ，此即为椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -其中

22b c a +=

如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程

12

2

22=+b y a x 中的y x ,调换，即可得

122

22

=+b

x a y ，也是椭圆的标准方程。

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在122

22=+b y a x 与

1222

2=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12

2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，如122

22=+b

y a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”

更大，因而焦点在x 轴上(即看2

2,y x 分母的大小)

求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）。当椭圆的焦点位置不

明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为22

1x y m n

+=（,0m n >），可以避免讨论和繁杂的计算。 二、例题解析

例1.若方程0322)1(2

2

2

=--++-m m y x m 表示椭圆，则实数m 的取值范围是________________

反馈练习：

1、方程

13

92

2=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是_________________

例2.设12,F F 为椭圆

22

12516

x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是

反馈练习：

1、若)512

,3(A 为椭圆

125222=+b y x 上的点，21,F F 为椭圆的焦点，则21F AF ∆的周长是____________ 2、椭圆

22

12516

x y +=上的一个点到一个焦点的距离为6，那么这个点到椭圆的另一个焦点的距离是 3、椭圆19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为 .

例3.求焦点在x 轴上，焦距为62，且过点)2,3(的椭圆的标准方程.

反馈练习：

1、经过点(3,2)且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 2、已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

3、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．

例4.已知定点)0,4()0,4(21F F 、-和动点),(y x M ，求满足)0(221>=+a a MF MF 的动点M 的轨迹及其方程.

反馈练习：

1、ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

例3.已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为6，该椭圆经过（0,4），求它的标准方程.

反馈练习：

1、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

2、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

巩固训练：

1、椭圆

19

252

2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2、方程12

2

=+by ax 所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则有（ ）

A ．0>>b a

B ．0>>a b

C ．0>ab

D ．0>=b a

3、设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 （ ）

A.椭圆

B.直线

C.圆

D.线段

4、若方程1)4()9(2

2

=-+-y m x m 表示椭圆，则实数m 的取值范围是_____________ ______ 5、已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2），则m 的值是

6、椭圆的两焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，过F 1作弦AB ，且2ABF ∆的周长为20，则此椭圆的方程为

7、已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．