浙江省2020学年上学期高二期末考试数学试题
浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(B卷) 含解析
， ，
故 ， ，
因为 ，所以 ， ， 成等差数列，A正确；
B选项， 成等比数列，设公比为 ，
若 ，则 ，则 ，
故 ，故 ， ， 成等比数列，
若 ，则 ， ， ，
所以 ，
，
则 ， ，
故 ，即 ， ， 成等比数列，
综上：若 为等比数列，则 ， ， 为等比数列，B正确；
因为 ，消去 得 ，
由韦达定理可得 ，
则 ，
所以两平行线间的最小距离为 ，
故抛物线方程为 ，
故选：C
7.已知椭圆 ： ，椭圆 与椭圆 的离心率相等，并且椭圆 的短轴端点就是椭圆 的长轴端点，据此类推：对任意的 且 ，椭圆 与椭圆 的离心率相等，并且椭圆 的短轴端点就是椭圆 的长轴端点，由此得到一个椭圆列： ， ， ， ，则椭圆 的焦距等于（）
对于D，已知空间的三个不共面的单位向量 ， ， ，则向量 不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得 ，故D正确.
故选：D.
3.过两点 ， 的直线在 轴上的截距为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点式得出直线方程，令 ，即可解出直线在 轴上的截距.
【详解】过两点 ， 的直线的为 ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.
【详解】解：对于A，当空间的三个不共面的单位向量 ， ， 作为空间直角坐标系的标准正交基底时，
向量 ， ， 平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为 的正三角形，其外接圆半径 满足 ，即 ，不是单位圆，故A不正确；
【分析】先设平面 与平面 的夹角为 ，因为 ， ，
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
2020-2021学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．23．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．29．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是．（两条都写出）12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为，其外接球的表面积是．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．解：由点到直线的距离公式可得：点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．故选：A．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．2解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0即（x﹣）2+（y+1）2＝3，则圆的半径为．故选：C．3．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．∴l∥α或l⊂α．故选：C．4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行，所以，解得a＝2或a＝﹣3，故“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解：由l为直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；在B中，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：连接B1D1，EB1，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1，∴∠ED1B1或其补角为直线ED1与直线BD所成角，在△ED1B1中，B1D1＝2，B1E＝，D1E＝，由余弦定理知，cos∠ED1B1＝＝＝，∴直线ED1与直线BD所成角的余弦值是．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．8．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．2解：不妨设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2．由直线AB斜率为﹣2，且过点（1，0），用点斜式求得直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣1）．代入抛物线方程y2＝8x，可得4（x﹣1）2＝8x．整理得x2﹣4x+1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，代入直线AB方程得y1＝﹣2﹣2，y2＝2﹣2．故A（2+，﹣2﹣2），B（2﹣，2﹣2）．|AB|＝＝2，故选：B．9．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，△D1PC的面积为定值，∴点P到线段D1C的距离为定值，则点P在以D1C所在直线为轴，固定长为底面半径的圆柱的侧面与平面ABCD的交线上，∴运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．解：由题可知：a+c＝2b，∴直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，|PE|＝＝，当m＝0时，|PE|＝2，当n＝0时，|PE|＝，设＝t，当m≠0时，|PE|＝＝，令y＝26﹣，由判别式法可得：（4﹣y）t2﹣4t+26﹣y＝0，则△＝16﹣4（4﹣y）（26﹣y）≥0，解得y≤15+5，∴|PE|≤+．故选：D．二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是y＝±2x．（两条都写出）解：双曲线，可知a＝1，b＝2，所以双曲线的离心率是＝＝．渐近线方程为：y＝±x，即y＝±2x．故答案为：；y＝±2x．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为5，其外接球的表面积是50π．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为：＝5，故其外接球的直径为：5，∴其外接球的表面积是4π•（）2＝50π．故答案为：5，50π．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为4．解：过切点P（3，2）且与x+y﹣1＝0垂直的直线为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，与直线y＝﹣4x联立，解得x＝1，y＝﹣4，∴圆心为（1，﹣4），∴半径r＝，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8；圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离d＝，∴圆被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2＝8；4．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．解：由椭圆的方程可得：a＝3，b＝，c＝2，所以F（2，0），当直线AB⊥x轴时，A（2，y），且y＞0，所以，解得y＝，所以|AB|＝，当|AF|＝2|BF|，设直线AB的方程为：x＝my+2，（m＜0），代入椭圆方程可得：（9+5m2）y2+20my﹣25＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，y，由|AF|＝2|BF|可得：y1＝﹣2y2，所以联立方程解得m＝﹣，所以直线AB的方程为：x＝﹣，即y＝﹣，故直线AB的斜率为﹣，故答案为：．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是2x+y﹣7＝0．解：设所求直线的方程为2x+y+m＝0，将点（2，3）代入方程，可得m＝﹣7，故所求直线方程为2x+y﹣7＝0．故答案为：2x+y﹣7＝0．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是5﹣3．解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C1为（0，2），半径R＝1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝4，其圆心C2为（4，0），半径r＝2，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，解可得，即N（﹣3，﹣1），|NC2|＝＝5，当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，故答案为：5﹣3．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．解：设棱长为3a，QB＝x（0＜x≤3a），由余弦定理得QE＝．则正四面体的高PO＝＝a，设P到平面BCD的距离为h，则，x＝，∴sinθ＝＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．【解答】解（Ⅰ）设P（x，y），∵点A的坐标为（1，1），则由，得，∴动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，∴圆心C（2，2）到l的距离d＝，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝4，显然满足条件，∴l的方程为x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连BC1，则M为BC1的中点，又O为BD的中点，所以OM∥C1D，因为OM⊄平面DB1C1，C1D⊂平面DC1B1，所以直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）解：连D1O，因为ABCD是菱形，所以DO⊥AC，又ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，所以D1A＝D1C，而O为AC中点，所以D1O⊥AC，所以∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角，因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以DO＝1，又DO＝2，所以，所以．二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．解：（Ⅰ）抛物线C的焦点，可设直线，代入y2＝2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，已知A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt，，∴，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设P（x3，y3），Q（x4，y4），则依题知x3+x4＝2x0，y3+y4＝2，由，得（y3+y4）（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），即2（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），得，∵MN⊥PQ，∴MN的斜率为，得x0＝2，∴圆M的半径．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：因为BC＝3，CD＝6，∠C＝60°，所以由余弦定理得，从而BD2+BC2＝CD2，所以DB⊥BC，由已知得AB＝MC，AB∥MC，所以ABCM为平行四边形，所以DB⊥AM，设DB∩AM＝O，则折后可得AM⊥平面QOB，所以QB⊥AM，因为，即QB2+BO2＝QO2，所以QB⊥BO，因为AM∩BO＝O，AM，BO⊂平面ABCM，所以QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）作BP⊥QO于P，则由AM⊥平面QOB知BP⊥平面AQM，连MP，则MP是BM在平面AQM上的射影，所以∠BMP即是BM与平面AQM所成的角．因为，BM＝＝＝，所以．∴直线BM与平面AQM所成角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．解：（Ⅰ）由题意得，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意得椭圆M的方程为，从而O到AB的距离是N到AB距离的，所以．（ⅱ）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，所以．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由，所以，即（当且仅当时取得等号），从而．。
浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
a
2, l：y
3a 1 a2
x
a
1
2
，所以
3a 1 a2
0
a
1
2
0
a
2
，
综上实数 a 的取值范围为 a 2 ，选 C.
【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．
5．C
【分析】根据异面直线的定义，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.
【详解】A；设过 P 的直线为 l ，如果 l // a,l // b ，显然可得 a / /b ，这与 a，b 是异面直线相
2DF2
，则双曲线
C
的离心率 e
2
三、单空题 13．以 A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是
四、填空题 14．若圆锥的侧面面积为 2 ，底面面积为 ，则该圆锥的母线长为 . 15．已知 P 是抛物线 y2 x 上的动点，记点 P 到直线 l ： x y 4 0 的距离为d ，则d 的 最小值为 ． 16．已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，AB 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点 E 作圆 O 的截面， 则所得截面圆面积的取值范围是 .
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五、问答题
17．等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a5 2 ， S3 24 ，求 (1)数列 an 通项公式； (2)an 的前 n 项和 Sn 的最小值.
18．已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形. AB BC 2 ，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点， BF A1B1 .
2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0 2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣13．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a| 4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．269．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．1411．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）.13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．三、解答题（共4小题）.19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC121．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0解：由于倾斜角为的直线和x轴垂直，故选：A．2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣1解：∵直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，∴＝≠，求得a＝2，故选：B．3．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a|解：根据题意，圆x2+y2+2ax﹣2＝0，即（x+a）2+（y﹣a）2＝a2，其圆心为（﹣a，a），半径r＝|a|，故选：D．4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．故选：A．5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：①若a∥b，a⊥α，由线面垂直的性质定理可得b⊥α，故①正确；②若α∥β，a⊥α，由线面垂直和面面平行的性质可得a⊥β，故②正确；③若a∥α，可得过a的平面γ与α的交线b平行于a，由a⊥β，可得b⊥β，又b⊂α，则α⊥β，故③正确；④若a⊥α，α⊥β，可得a∥β或a⊂β，故④错误．故选：A．6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：根据棱台的几何性质可知，A1B1∥AB，B1C1∥BC，因为AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则B1BCC1四点共面，所以BB1⊥BC，则∠ABC即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．故选：C．7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．解：设球的直径为2R，则圆锥的底面半径为R，母线长为2R，因为圆锥的额侧面展开图是扇形，故扇形的半径为母线长2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为2πR，故扇形的面积为，即圆锥的侧面积为2πR2，所以圆锥的表面积为2πR2+πR2＝3πR2，球的表面积为4πR2，所以圆锥与球的表面积之比是．故选：C．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．26解：因为椭圆＝26，故其焦点为（﹣3，﹣4）和（3，4），且2a＝26，故2c＝＝10，∴a＝13，c＝5，∴b＝＝12，∴短轴长为2b＝24，故选：C．9．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2；圆（x﹣4）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径为1．依题意得|PF|＝1+r，|PO|＝2+r，则|PO|﹣|PF|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|＝2，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．14解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：故V＝．故选：C．11．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为实数x，y满足x|x|+＝1，当x＞0，y＞0时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分，当x＞0，y＜0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＞0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＜0时，方程为，图象不存在，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是，令z＝x+y﹣4，即直线为y＝与渐近线平行，当z最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，联立方程组，可得，当直线与椭圆相切时，则有，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，当z最小时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，此时y＝，故z＞﹣4，综上可得，z的取值范围为，所以|z|的取值范围为，即|x+y﹣4|的取值范围是．故选：B．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．解：因为AD⊥AE，BE⊥BF，FC⊥DC，所以折叠以后可以让A'EF作为三棱锥的底面，DA'为三棱锥的高，则A'D⊥A'E，A'E⊥A'F，A'F⊥A'D，所以A'D，A'E，A'F两两垂直，将三棱锥放入以A'D，A'E，A'F为相邻三条棱的长方体中，则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，因为A'D＝4，A'E＝2，A'F＝2，所以外接球的半径R＝，在△DEF中，cos∠DEF＝，所以sin∠DEF＝，△DEF外接圆的半径为r，则有，所以，故球心O到△DEF外心的距离为，所以以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为．故选：A．二、填空题（本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分）13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是2x+y﹣1＝0．解：已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是d＝＝＝；点A为（1，﹣1），垂直于直线l的直线方程斜率为＝﹣2，故过点A且垂直于直线l的直线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是（±5，0）；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．解：由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c＝，故椭圆的焦点坐标为（±5，0）；在双曲线中，由已知可得c＝5，且离心率e＝，所以a＝4，则b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，故双曲线的方程为：，故答案为：（±5，0），．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是30°．解：设正方体的棱长为2，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1∥BB1，则∠B1BC即为棱AA1与面对角线BC1所成的角，在Rt△B1BC中，，所以∠B1BC＝45°，故棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；连结AC与BD交于点O，则BO⊥AC，又A1A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥AA1，又AA1，AC是体对角面ACC1A1内两条相交直线，所以BO⊥平面ACC1A1，则∠BC1O即为面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角，在Rt△BOC1中，，所以sin∠BC1O＝，故面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角为30°．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．解：可设A在双曲线的右支上，|AF1|＝m，|AF2|＝n，在直角三角形AF1F2中，∠AF1F2＝30°，|F1F2|＝2，可得m＝2，n＝2，由双曲线的定义可得m﹣n＝2×2，即2﹣2＝4，解得b＝12+8，故答案为：12+8．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是[0，2]．解：如图，动点P在直线x+y﹣2＝0上，当PM与圆相切时，∠OPM最大，∵|OM|＝，∠∠OPM＝60°，∴|OP|＝2，设P（x，y），则|OP|＝，把y＝2﹣x代入，可得x2+（2﹣x）2＝4，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2．∴点P横坐标的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．解：设正方体为ABCD﹣A′B′C′D′投影最大时候，是投影面α与平面AB′C平行，三个面的投影为三个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影的面积＝2S△AB′C＝2××a×＝．故答案是：．三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．解：（1）由抛物线的方程可得准线方程x＝﹣，依抛物线的性质得，所以p＝4，将A（2，m）代入y2＝8x，得m＝4．所以p，m的值分别为4，4；（2）设B（2t2，4t），直线OA的方程为2x﹣y＝0，则点B到直线OA的距离，又，由题意得，解得t＝﹣1或t＝2，所以点B的坐标是（2，﹣4）或（8，8）．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC1【解答】证明：（1）连B1C交BC1于点E，连DE，则在△AB1C中，D，E是中点，所以AB1∥DE，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥面BC1D；（2）方法一：取BC中点F，连AF，B1F，由正三棱柱的性质知AF⊥侧面BCC1B1，所以AF⊥BC1，……①在侧面BCC1B1中，，F是中点，则Rt△BB1C1∽Rt△FBB1，所以BC1⊥B1F……②，由①②知BC1⊥面AB1F，所以BC1⊥AB1．方法二：在正三棱柱中，由于，，可得，所以，＝，所以，AB1⊥BC1．21．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．解：（1）连接AO，∵AB＝AS，O是BS的中点，∴BS⊥AO，∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，又AO∩DO＝O，AO、DO⊂平面AOD，∴BS⊥平面AOD，过O作OE⊥AD于E，则OE⊥BC，∵OE⊂平面AOD，∴BS⊥OE，又BC∩BS＝B，BC、BS⊂平面SBC，∴OE⊥面SBC，在Rt△AOD中，AO＝＝1，DO＝＝2，∵S△AOD＝AO•DO＝AD•EO，∴EO＝＝＝，∴DE＝＝．（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），S（0，﹣2，0），D（0，0，2），∴＝（﹣1，0，2），，，由（1）知，，∴E，∵EO⊥平面SBC，∴平面SBC的一个法向量，设平面SCD的一个法向量是，则，即，令y＝1，则x＝2，z＝﹣1，∴，∴，由图可知，二面角B﹣SC﹣D所成的角为钝角，故二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值为．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．解：（1），所以，，b＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）设圆的切线OA（OB）的方程为y＝kx，则，整理得（3﹣4m2）k2+8mnk+3﹣4n2＝0，其两根k1，k2满足……①这里k1＝k OA，k2＝k OB，且……②设A（x1，kx1），B（x2，kx2），则，，这里，，所以，，由①②得k1k2＝，则，所以，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号．即．。
浙江省中职卓越联盟2023-2024学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)
浙江省中职卓越联盟2023学年第一学期2022级期末考试数学试卷本试卷共三大题．全卷共4页．满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：1．所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分．在试卷和草稿纸上作答无效。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上。
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上。
4．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的错涂、多涂或未涂均无分。
1．下列说法：（1）零向量是没有方向的向量；（2）单位向量的方向是任意的； （3）零向量与任意一个向量共线；（4）方向相同的向量叫平行向量 其中，正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．设x ∈R ，则“2x >22x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知两点(3,5),(2,1)A B −−，则与向量AB 同向的单位向量为（ ） A ．6161⎛⎝B ．6161⎛ ⎝C ．6161D ．61614．某班有男生23人，女生15人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数为（ ） A ．345 B ．23 C ．15 D ．38 5．若()2*P 56n n =∈N ，则5C n =（ ）A ．21B ．50C ．56D ．126 6．cos104cos16sin104sin16︒︒−︒︒的值为（ ） A ．12 B ．12− C ．3 D ．37．抛物线220y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．20 B ．10 C ．5 D ．528．如图所示．在ABC △中、6BD DC =，则AD =（ ）A ．1677AB AC + B ．6177AB AC + C ．1566AB AC + D ．5166AB AC + 9．将(1)(2)(4)(5)x x x x −+−−展开，则3x 的系数等于（ ） A ．10− B ．8− C ．8 D ．1010．已知中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在x 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．45y x = C ．43y x =− D ．34y x =±1l ．已知tan 2θ=，则cos 2θ=（ ）A ．35− B ．817 C ．817− D ．817−或81712．在ABC △中，已知3223a b c bc =+，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒13．美丽的新疆让不少旅游爱好者神往，某人计划去新疆旅游、在火焰山、喀纳斯村、卧龙满、观鱼台、阿克库勒湖、那仁草原、天山天池、赛里木湖、那拉提、葡萄沟这10个景点中选择4个作为目的地．已知天山天池必选，则不同的选法种数为（ ）A ．210B ．120C ．84D ．36 14．函数π3sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．ππ2π,2π,22k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z B ．(2π,2ππ),k k k +∈Z C ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z15．若地物线24y x =上的点M 到焦，点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．716．二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．15−B ．6−C ．6D ．1517．双曲线2212y x −=的离心率为（ ） A 6 B ．32 C ．62D 318、已知圆22(2)9x y −+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）19．已知向量(4,3),(,1)a b x ==，且a b ∥，则实数x 的值为__________．20．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后站成一排合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有__________种．（用数字作答）21．设点12,F F 为椭圆22159x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PF F △的周长为__________． 22．若4sin 5α=−，且α是第三象限角，则2sin 2cos αα−=_________． 23．已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为3y =±，则该双曲线的标准方程为__________．24．已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =−+，则()f x 的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．25．（本题6分）已知nx x ⎛ ⎝二项展开式中，二项式系数之和是64，求：（1）n 的值；（3分） （2）含3x 的项．（3分）26．（本题6分）已知α为第一象限角，且π3sin 25α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求： （1）sin 2cos 2αα−的值；（3分） （2）πtan 4α⎛⎫−⎪⎝⎭的值．（3分） 27（本题6分）设a 为实数，已知双曲线223:1x y C a −=与椭圆22215x y a+=有相同的焦点12,F F ．（1）求a 的值；（2分）（2）若点P 在双曲线C 上，且12PF PF ⊥，求12F PF △的面积．（4分） 28（本题6分）已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+−，求： （1）()f x 的最小正周期；（3分）（2）()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合（3分）29．（本题7分）已知抛物线2:2(0)C y px p =−>过点(1,2)A −． （1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（3分）（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为135︒的直线，交抛物线于A ，B 两点，求弦AB 的长度．（4分）30．（本题7分）设椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率与双曲线22:1E x y −=的离心率互为倒数，且椭圆的右顶点是抛物线2:8C y x =的焦点． （1）求椭圆M 的方程；（3分）（2）已知点(1,0)N ，若点P 为椭圆M 上任意一点，求||PN 的最值．（4分）31．（本题8分）如图所示，已知村庄B 在村庄A 的东北方向，且村庄A ，B 之间的距离是4(31)千米，村庄C 在村庄A 的西偏北15︒方向，且村庄A ，C 之间的距离是8千米．现要在村庄B 的北偏东30︒方向建立一个农贸市场D ，使得农贸市场D 到村庄C 的距离是到村庄B 3D 到村庄B ，C 的距离之和．浙江省中职卓越联盟2023学年第一学期2022级期末考试数学答案一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分）1．B 【解析】由零向量的定义及性质知，其方向任意，且与任意向量共线，方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量，故（1）（2）（4）错误，（3）正确．故选B ． 2．A 【解析】幂函数2y x =，当2x =±222,22,x x x =∴>⇒>∴“2x >22x >”的充分不必要条件．故选A ．3．A 【解析】因为点(3,5),(2,1)A B −−，所以(5,6)AB =−，所以与AB 同向的单位向量为||6161AB AB ⎛= ⎝．故选A ． 4．D 【解析】由分类加法计数原理可知，共有231538+=种选法．故选D ．5．C 【解析】2P (1)56n n n =−=，即2560n n −−=，解得8n =或7n =−（舍），则558C C 56n ==．故选C ．6．B 【解析】()1cos104cos16sin104sin16cos 10416cos1202︒︒−︒︒=︒+︒=︒=−．故选B ． 7．B 【解析】因为220p =，所以10p =，抛物线220y x =的焦点到其准线的距离为10．故选B ． 8．A 【解析】661()777AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+−=+．故选A ． 9．B 【解析】(1)(2)(4)(5)x x x x −+−−展开式中含3x 的系数为12458−+−−=−．故选B ．10．A 【解析】由已知可设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>．由已知可得53c e a ==，所以53c a =，则2222169b c a a =−=，所以43b a =，所以双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±．故选A ． 11．A 【解析】因为tan 2θ=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ−−=−===−++．故选A ． 12．D 【解析】由2223a b c bc =++，变形为2223b c a bc +−=，22232b c a bc +−∴=，3cos A ∴=而A 为三角形内角，150A ∴=︒．故选D ．13．C 【解析】因为天山天池必选，所以从另外9个景点中选3个的选法有39C 84=种．故选C ．14．C 【解析】由πππ2π2π,262k x k k −≤+≤+∈Z ，得2ππ2π,2π,33x k k k ⎛⎫∈−+∈ ⎪⎝⎭Z ，即函数的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭Z ．故选C ． 15．B 【解析】由已知得抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程1x =−，设点()00,M x y ．由题意可知，||10MF =，00||1102pMF x x ∴=+=+=，09x ∴=，即M 到y 轴的距离为9．故选B ． 16．D 【解析】因为二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式通项为66316621C (1)C rr r r r rr T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，令630r −=，则2r =，所以二项式621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中常数项为226(1)C 15−=．故选D ．17．D 【解析】由双曲线方程2212y x −=得1,2a b ==21123c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭D ．18．C 【解析】圆22(2)9x y −+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，32p∴−=，解得6p =±．又0,6p p >∴=．故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）19．43【解析】因为向量(4,3),(,1)a b x ==，且a b ∥，所以4130x ⨯−=，即43x =．20．144【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有2323P P 12=种情况； ②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有24P 12=种情况． 则有1212144⨯=种排法．21．10【解析】根据题意，12PF F △的周长为226410a c +=+=． 22．35（或填0.6）【解析】因为4sin 5α=−，且a 是第三象限角，所以23cos 1sin 5αα=−−=−，所以2224333sin 2cos 2sin cos cos 25555ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=⨯−⨯−−−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．23．2213y x −=【解析】渐近线方程为3,y x =±∴设双曲线的方程为22(0)3y x λλ−=≠，代入点(2,3)，1λ∴=，∴双曲线的标准方程为2213y x −=． 24．22−因为2111cos 212π()sin cos cos sin 22222224x f x x x x x x +⎛⎫=−+=−+=− ⎪⎝⎭，所以当πsin 214x ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭时，函数()f x 有最小值，最小值为22−． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）25．解：1）由二项式定理可知，在nx x ⎛⎝展开式中，264n =， 2分所以6n =． 1分（2）由二项式定理可知，在6x x ⎛− ⎝展开式中，第1r +项为3662166C C (2)rr r r r r r T x xx −−+⎛=⋅⋅=⋅−⋅ ⎝， 令3632r −=，则2r =， 1分 所以6x x ⎛ ⎝展开式中含3x 的项为22336C (2)60x x ⋅−=． 2分26．解：（1）α为第一象限角，且3cos 5α=，24sin 1cos 5αα∴=−=， 1分 ()231sin 2cos 22sin cos 12sin 25ααααα∴−=−−=． 2分 （2）sin 4tan cos 3ααα==， 1分πtan tan πtan 114tan π41tan 71tan tan 4ααααα−−⎛⎫∴−=== ⎪+⎝⎭+． 2分 27．解：（1）根据题意，显然0a >，且双曲线C 的焦点在x 轴上， 故235a a +=−，即220a a +−=，即(2)(1)0a a +−=，解得2a =−或1a =，又因为0a >，所以1a =． 2分（2）由（1）可得双曲线C 的方程为2213y x −=, 如图所示，设其左、右焦点分别为12,F F ，故可得12(2,0),(2,0)F F −．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在双曲线C 的左支上，设1PF x =．由双曲线定义可得212PF PF −=，即22PF x =+． 1分 又因为12F PF △为直角三角形，所以2221212PF PF F F +=，即22(2)16x x ++=，即22260,26x x x x +−=+=， 2分 故12F PF △的面积()211(2)2322S x x x x =+=+=． 1分 28．解：（1）2π()2sin cos 12sin sin 2cos 2224f x x x x x x x ⎛⎫=+−=+=+ ⎪⎝⎭， 1分∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 2分 （2）π()22,24f x x A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭min ()2f x ∴=−， 2分此时ππ3π22π,π428x k x k +=−∴=−， ∴()f x 取得最小值时x 的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=−∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 1分 29．解：（1）22(0)y px p =−>过点(1,2)A −，24p ∴=，即2p =， 1分 ∴抛物线的方程为24y x =−， 1分准线方程为1x =． 1分（2）由（1）知，抛物线的焦点为(1,0)F −，则直线:(1)AB y x =−+，设点()()1122,,,A x y B x y ， 1分 由2(1),4y x y x=−+⎧⎨=−⎩得2610x x ++=， 由韦达定理可知，12126,1x x x x +=−=， 1分212||1AB k x ∴=+−()2121224x x x x =+−2364=−242=8=． 2分30．解：（1）由题意可知，双曲线22:1E x y −=2， 抛物线2:8C y x =的焦点为(2,0)， 则椭圆M 的离心率222c e a ===， 1分 由2222,22a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，得2,2,2a c b === 故椭圆M 的方程为22142x y +=． 2分 （2）设点P 的坐标为()00,x y ，则()2200012242x y x +=−≤≤， ()()()222220000011||1122122PN x y x x x =−+=−+−=−+ 2分 因为022x −≤≤，所以当02x =时，||PN 取得最小值，即min ||1PN =；当02x =−时，||PN 取得最大值， 即max ||3PN =． 2分31．解：由题意可得434,8,120,3AB AC BAC CD BD =−=∠=︒=． 在ABC △中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+−⋅∠， 则222131)]8284(31)962BC ⎛⎫=−+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭， 2分 故46BC =即村庄B ，C 之间的距离为6 1分 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠， 则38sin 22sin 246AC BAC ABC BC ⨯∠∠===，从而45ABC ∠=︒， 故村庄C 在村庄B 的正西方向． 2分 因为农贸市场D 在村庄B 的北偏东30︒的方向，所以120CBD ∠=︒．在BCD △中，由余弦定理可得2222cos D BC BD BC BD CBD =+−⋅∠，因为3CD BD =，所以2223(46)46BD BD BD =++，解得46BD =122CD = 2分 故46122BD CD +=即农贸市场D 到村庄B ，C 的距离之和为(46122)+千米． 1分。
浙江省金华市十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第一学期调研考试高二数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线：230x y -+=与直线：220x ay +-=互相平行，则=a （）A .1B.4C.4- D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.【详解】因为两直线平行，则有()1220a ⨯--⨯=，解得4a =-，经验证此时两直线不重合，故选：C .2.已知等差数列{}n a 中，3109a a +=，则12S =（）A.24 B.36C.48D.54【答案】D 【解析】【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意()()3113121012669542a a S a a +==+=⨯=.故选：D.3.如果函数()y x =在2x =处的导数为1，那么()()ΔΔ2l Δm 2i x f x f x→+-=（）A.1B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数()y x =在2x =处的导数为1，根据导数的定义可知()()Δ0Δ22lim 1Δ22x f x f x →+-=+-，故选：A .4.过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A.250x y -+=B.230x y +-=C.240x y -+= D.20x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题意设直线方程为：20x y m -+=，将点()1,2P -代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：20x y m -+=，因为该直线过点()1,2P -，所以()2120m ⨯--+=，解得4m =，所以直线方程为：240x y -+=，故选：C5.圆C ：222245(0)x y x y r r +-+=->与圆22:6D x y +=的位置关系不可能（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D 【解析】【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.【详解】由题可得圆C ：()()22212x y r -+-=，则其圆心()1,2，半径为r ；圆22:6D x y +=，则其圆心为()0,0.r <+，故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故选：D6.已知v为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A.1v n l ⇔α∥∥ B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔⊥∥ D.1v n l ⊥⇔⊥α【答案】B 【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意112121,,//,v n l n n n n v n l ααααββ⇔⊥⊥⇔⊥⇔⇔⊥⊥∥∥或l ⊂α.故选：B.7.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若2MH NH ⋅=，则动点H 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得H 的轨迹方程，从而确定正确答案.【详解】设2MN c =，以线段MN 的中点O 为平面直角坐标系原点，MN 为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()(),0,,0M c N c -，设(),H x y ，则()()222,,2MH NH x c y x c y x c y ⋅=+⋅-=-+= ，即2222x y c +=+，所以H 的轨迹是以原点为圆心，半径为.故选：B8.已知直线():1l y kx m k =+≠±与双曲线221x y -=有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点，则当M 运动时，点(),P x y 到()()C D 、两点距离之和的最小值为（）A.4- B.4C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得点P 在双曲线22144x y -=上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.【详解】联立221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，化简并整理得()2221210k x kmx m -+++=，由题意()()()222Δ24110km k m =--+=，化简得221m k =-，解得22,11M M Mkm mx y kx m k k --==+=--，所以过点M 且与l 垂直的直线方程为22111km my x k k k ⎛⎫=-+- ⎪--⎝⎭，在该直线方程中分别令0,0y x ==，依次解得2222,0,0,11mk m A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以22222222222224441111P P A B mk m k x y x y k k k k --⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，即点P 在双曲线22144x y -=上面运动，双曲线22144x y -=的图象如图所示：若P 在右支上面，可以发现点()C 为22144x y-=的右焦点，不妨设其左焦点为()Q -，所以2444PC PD PQ PD a QD +=+-≥-==，等号成立当且仅当点P 与点E 重合，其中点E 为线段QD 与双曲线右支的焦点，若P 在左支上面，如图所示：所以2444PC PD PQ PD a QD +=++≥+==，等号成立当且仅当点P 与点F 重合，其中点F 为线段QD 与双曲线左支的焦点，综上所述，点(),P x y 到()()C D 、4-.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是求出点P 的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列导数运算正确的（）A.()e e xx'= B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()ln x x'=⎡⎤⎣⎦12 D.()()e 1exxx x '=+【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对A ，()e e x x '=，故A 正确；对B ，211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，B 错误；对C ，()ln x x x'=⋅=⎡⎤⎣⎦11222，C 正确；对D ，()e ee (1)e x xxx x x x '=+=+，D 正确.故选：ACD10.已知等差数列{}n a 的公差为3-，若70a >，80a <，则首项1a 的值可能是（）A.18B.19C.20D.21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得71181161807210a a d a a a d a =+=->⎧⎨=+=-<⎩，所以11821a <<.故选：BC.11.已知抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，焦点为F ，点()()1122,,A x y B x y 是抛物线上的两点，抛物线在,A B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（）A.抛物线的方程为：24x y =B.11AF y =+C.当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D.若()1222AB y y =++，则AFB ∠的最大值为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线准线列方程求出参数p 即可判断；对于B ，由抛物线定义即可判断；对于C ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形OAB 面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得223t k =+或22133t k =-+，进一步由余弦定理基本不等式可得()min 1cos 2AFB ∠=-，由此即可判断.【详解】对于A ，抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，所以12p-=-，解得2p =，所以抛物线的方程为：24x y =，故A 正确；对于B ，因为点()11,A x y 在抛物线上，所以由抛物线定义可知11AF y =+，故B 正确；对于C ，由题意抛物线焦点坐标为()0,1，显然过焦点的直线AB斜率存在，如图所示：不妨取直线AB 的方程为1y kx =+，且120x x <<，联立抛物线方程24x y =，得2440x kx --=，所以212124,4,16160x x k x x k +==-∆=+>，所以()21212242y y k x x k +=++=+，()2121141AB y y k =+++=+，点()0,0O 到直线1y kx =+的距离为d =，所以三角形OAB面积为122S AB d ==≥，等号成立当且仅当0k =，即三角形OAB 面积的最小值为2，故C 错误；对于D ，显然直线AB 斜率存在，不妨取直线AB 的方程为y kx t =+，且120x x <<，如图所示：联立抛物线方程24x y =，得2440x kx t --=，所以2212124,4,161600x x k x x t k t k t +==-∆=+>⇒+>，所以()()21222121212242,16x x y y k x x t k t y y t +=++=+==，AB ===，因为()12322AB y y =++，所以()2242222k t ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，==，即223t k =+或22133t k =-+，而()()()()()22222212121231124cos 2211y y y y AF BF ABAFB AF BFy y +++-+++-∠==++()()()()2212121131318114442y y y y +++=-≥-=-++，等号成立当且仅当21220y y k t t ==+=>，解得0k =，此时22330t k =+=>或22110333t k =-+=>，且此时满足()2Δ16160k t t =+=>，即()min 1cos 2AFB ∠=-，所以AFB ∠的最大值为2π3，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得,k t 关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得1cos 2AFB ∠≥-，但,k t 是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（）A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD 【解析】【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A ，利用对称性得球的直径判断B ，求解两平行平面的距离判断C ，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，对于A ，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为6cm AB =，所以正方体的棱长为622cm 2，正确；对于B ，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即212R =，解得6R =，所以包装盒的半径最小为6cm ，错误；对于C ，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ 与平面BCG 的距离，证明求解过程如下：如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，故11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，由正方体棱长为21A C =由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故264EMQ S =⨯= ，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得21111323A M ⨯⨯=⨯，解得21A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以11212111M N A C A M N C =--=则平面EMQ 与平面BCG 的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D ，该几何体的体积为(311832V =-⨯⨯⨯=因为玩具的密度为0.707≈，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()2122f x x x =+在点()()22f ,处的切线斜率为________．【答案】4【解析】【分析】函数求导后，求得()2f '，即为所求.【详解】因为()2122f x x x =+，所以()2f x x '=+，则()2224f ='+=，故答案为：4.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列{}n a 满足冰雹猜想，其递推关系为：1a m =（m 为正整数），11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时若41a =，则m 所有可能的取值为________．【答案】1和8【解析】【分析】根据11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，利用递推求解.【详解】解：因为11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，所以3422a a ==或()341103a a =-=（舍去）；2324a a ==或()2311133a a =-=（舍去）；1228a a ==或()121113a a =-=，故答案为：1和815.如图，在四面体ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且1,2AE AH CF CG M EB HD FB GD ====是EG 和FH 的交点，以{},,AB AC AD 为基底表示AM ，则AM =________．【答案】111636AB AC AD++【解析】【分析】由题意首先得四边形EFGH 为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为12AE AH CF CG EB HD FB GD ====，所以1//,3EH BD EH BD =，同理1//,3FG BD FG BD =，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以()11113232AM AE EM AB EG AB E G A AC C =+=+=+++()61111113216366AB AB AC CA AD AB AC AD =+++-++=.故答案为：111636AB AC AD ++.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为5,3F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y kx =的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为________．【答案】112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】求出点F 关于直线y kx =的对称点Q 的坐标，代入椭圆C 的方程中，整理计算可得参数.【详解】过点F 且与直线y kx =垂直的直线l 为1c y x k k =-+，两直线的交点22,11c ck M k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，从而点()22212,11c k ck Q k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.点Q 在椭圆C 上，则()()()22222222222214111k c k c a a c k k -+=-++，53e = 即()()()2222222154519411k k k k -⨯+⨯=++则24251k k =+,则4241740k k -+=，()()224140k k --=，2k =±或12k =±.故答案为：112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A ：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B ：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．（1）若此人选择在一家公司连续工作n 年，第n 年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（101.05 1.6≈）．【答案】（1）公司A ：3002700n +（元）；公司B ：13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈（2）从公司B 得到的报酬较多【解析】【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司A 、B 第n 年的月工资；（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.【小问1详解】选择在公司A 连续工作n 年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元,则他第n 年的月工资是：3000(1)3003002700n n +-⨯=+（元）()N*n ∈；选择在公司B 连续工作n 年，第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．则他第n 年的月工资13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈．【小问2详解】若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A 、公司B 得到的报酬分别为：公司A ：()()1230003000130030009300⎡⎤⨯++⨯+++⨯⎣⎦()19912300010123005220002+⨯=⨯⨯+⨯⨯=（元）．公司B ：()101291.0511237201 1.05 1.05 1.051237205356801.051-⨯⨯+++⋯+=⨯⨯≈-（元），因为535680522000>，故从公司B 得到的报酬较多.18.如图，已知圆柱下底面圆的直径6AB =，点C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，圆柱的两条母线3CD BE ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCDE ；（2）求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.【小问1详解】DC 为圆柱的母线，DC ∴⊥平面ABC ，又AC ⊆平面,ABC DC AC ∴⊥．①AB 是下底面圆的直径，AC BC ∴⊥．②①②及,BC DC C DC =⊂ 平面BCDE ,BC ⊂平面BCDE ，AC ∴⊥平面BCDE ，又AC ⊆平面,ACD ∴平面ACD ⊥平面BCDE ．【小问2详解】在Rt ABC △中，设,AC x BC y ==，则2236x y +=，()22111318332V y CD x xy xy x y =⋅⋅=⋅⋅=≤+=．当且仅当32x y ==时，不等式取“=”号．故A BCDE V -的最大值为18．19.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:2130l x y +-=相切，过点()2,3B 斜率为k 的直线2l 与圆A相交于,M N两点，（1）求圆A 的方程；（2）当MN =2l 的方程．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=（2）3y =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；（2）设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，利用勾股定理求得AQ 的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.【小问1详解】设圆A 的半径为r ，圆A 与直线1:2130l x y +-=相切，r ∴==所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=．【小问2详解】设直线2l 的方程为()23y k x =-+，即320kx y k -+-=，设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，MN AM ==则1AQ ===,又由1AQ ===，得2860k k -=，解得0k =或34k =所以直线2l 的方程为3y =或3460x y -+=．20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2,60AB BAD =∠=︒，对角线,AC BD 交于点,O PO ⊥平面ABCD ，平面α是过直线AB 的一个平面，与棱,PC PD 交于点,E F ，且14PE PC =．（1）求证：//EF CD ；（2）若平面α交PO 于点T ，求PTPO的值；（3）若二面角E AB C --的大小为45︒，求PO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25PT PO =；（3）536PO =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）利用平面的基本事实证得,,A T E 三点共线，作EG PO ⊥于G ，利用平行关系推理计算即得.（3）作出二面角E AB C --的平面角，结合（2）的信息计算即得.【小问1详解】四棱锥P ABCD -的底面是菱形，//AB CD ，又AB ⊂平面α，CD⊄平面α，则//CD 平面α，而平面α 平面PCD EF =，CD ⊂平面PCD ，所以//EF CD .【小问2详解】由,E A ∈平面α，,E A ∈平面PAC ，得平面α 平面PAC AE =，而T PO ∈，PO ⊂平面PAC ，于是T ∈平面PAC ，又T ∈平面α，则T AE ∈，即,,A T E 三点共线，由PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PO AC ⊥，如图，在PAC △中，过点E 作PO 的垂线，垂足为G ，于是//GE AC ，设PO t =，由14PE PC =，得13,44PG t GO t ==，14GE GE AO CO ==，14GT GE TO AO ==，从而113355420GT GO t t ==⋅=，所以1324205PT PG GT t t t =+=+=，即25PT PO =．【小问3详解】过点O 作ON AB ⊥于点N ，连接TN ，由PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则TO AB ⊥，而,,TO ON O TO ON =⊂ 平面TON ，则AB ⊥平面TON ，而TN ⊂平面TON ，于是TN AB ⊥，则有TNO ∠为二面角E AB C --的平面角，即45TNO ∠=︒，在菱形ABCD 中，由2,60AB BAD =∠=︒，得2NO =，则2TO =，由（2）得3352TO PO ==，所以536PO =.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设142n n nn n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：121113n c c c ++⋯+>-【答案】（1）2n a n =（2）()111212n n +-+⋅（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n n =+，利用数列的通项和前n 项和关系求解；（2）()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅，利用裂项相消法求解.（3）由111n n nc c c +-=-，利用分组求和法求解.【小问1详解】当2n ≥时，2n S n n =+ ．①，()21(1)1n S n n -∴=-+-②，①-②得：2112n a n n =-+=，当1n =时，12a =也符合上式，所以2n a n =；【小问2详解】()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅ ，12n n T b b b ∴=+++ ，()()22311111111112222232122212n n n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111212n n +=-+⋅．【小问3详解】()11111211222n n n c c a n n ++=+=⋅++=+ ，③11n n c n c -∴=+，④③-④得：()111111,n n n n n nc c c c c c +-+--=∴=-，112221nn nn n i i i i c c c +-====-∑∑∑，()()341112321n n n n n c c c c c c c c c c -+--=+++++-+++++ ，11214n n n n c c c c c c ++=+--=+-，44>-=．故121111143n c c c c ++⋯+>+-=-.22.已知F 为拋物线2:2(0)E y px p =>的焦点，O 为坐标原点，M 为E 的准线l 上一点，直线MF 的斜率为1,OFM - 的面积为116．已知()()3,1,2,1P Q ，设过点P 的动直线与抛物线E 交于A B 、两点，直线,AQ BQ 与E 的另一交点分别为,C D．（1）求拋物线E 的方程；（2）当直线AB 与CD 的斜率均存在时，讨论直线CD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2y x =（2）直线CD 过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得MN MF p ==，2p OF =，结合OFM △的面积为116列方程即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，():31AB x t y -=-，联立抛物线方程得1212,3y y t y y t ⋅+==-，设()()3344,,,C x y D x y ，则()3434y y y x y y +=+，结合(),2,1,A Q C 三点共线得13121y y y -=-，同理24221y y y -=-，得出3434,y y y y +关于t 的表达式即可求解.【小问1详解】设准线l 与x 轴的交点为N ，直线MF 的斜率为1,MN MF p -∴==，又2pOF =，1111,222162OFM p S OF MN p p ∴=⋅⋅=⋅⋅=∴= ．故抛物线E 的方程为：2y x =．【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，过点()3,1P 的直线方程为：()31x t y -=-．则联立()231y x x t y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得：230y ty t -+-=，由韦达定理可得：()()221212Δ43280,,3t t t y y t y y t =--=-+>+=⋅=-．又设()()3344,,,C x y D x y ，所以直线CD 斜率为3434223434341y y y y k x x y y y y --===--+，直线CD 方程为()233341y y x y y y -=-+，即CD 的直线方程为：()3434y y y x y y +=+，由,,A Q C 三点共线可得：31131122y y x x --=--，即()()()()13311212y x y x --=--，所以()()()()2213311212y y y y --=--，所以22223131131322y y y y y y y y --=--，因为13y y ≠，所以化简可得：13121y y y -=-，同理，由,,B Q D 三点共线可得：24221y y y -=-，可得()()()()121221342112124324323222111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+---++=+===---++-+-，()()()()1212213421121242423221111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+----⋅=⋅===---++-+-，综上可得CD 的直线方程为：2122t t y x +-=+，变形可得：()1122t y x y -=--，所以直线CD 过定点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分 即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分 因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =， 所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分 所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分 所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题(含答案解析)
试卷第 2页，共 5页
B．
y1 y2
1 16a2
C．若 AF 2 BF ，则 l 的斜率为 2 2
D． CD 是过焦点且与 AB 垂直的弦，则
1 AB
1 CD
2
a
12．已知
f
x
2022
xx
(x
0)
，若整数
a,b, c
满足
2
a
b
c
，则
f
a,
f
b,
f
c
的大
小关系可能为（ ）
A． f a f b f c
A． BF 3 2
B． BC1 EF
C．平面 BEF 的一个法向量为 2,3, 4
7 D．平面 BEF 与平面 BA1F 所成角的正切值为 3
11．已知抛物线 x 2ay2 a 0 ，过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A x1, y1 , B x2, y2 两
点，则下列说法正确的是（ ） A．抛物线的准线方程为 x a
二、多选题
9．若动点 P 满足
PA PB
k（k
0 且 k 1）其中点 A, B 是不重合的两个定点），则点 P 的
轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已
知点 A2,0 ， B 2, 0 ，动点 P 满足
PA PB
2 ，点 P 的轨迹为圆 C ，则（
）
A．圆 C 的方程为 (x 6)2 y 2 32
19．已知函数 f x x3 ax2 x a R (1)若函数 f x 存在两个极值点，求 a 的取值范围； (2)若 f x xlnx x 在 0, 恒成立，求 a 的最小值.
20．已知直角三角形 ABC 中， BAC 90 ，CA 2 AB 4, D, E 分别是 AC, BC 边中点， 将 CDE 和 BAE 分别沿着 DE, AE 翻折，形成三棱锥 P ADE, M 是 AD 中点
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-= ，且a b，那么xy =（）A ．18-B ．9C ．9-D ．18【正确答案】D【分析】a b，则R λ∃∈，使得a b λ= ，据此计算即可.【详解】依题意，由a b 可知，R λ∃∈，使得a b λ= ，于是1321x yl l l ì-=ïï=íï=ïî，解得1363x y l ì=-ïïï=-íï=-ïïî于是18xy =.故选：D.2．已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A ．()()22112x y -++=B ．()()22118x y -++=C ．()()22112x y ++-=D ．()()22118x y ++-=【正确答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3．已知双曲线221x y m-=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为（）A ．14B ．4C ．4-D ．14-【正确答案】B【分析】利用双曲线方程得出0m >，再利用渐近线定义得12y x =±=，解方程求出m 值.【详解】已知方程221x y m-=表示的曲线为双曲线，所以0m >，该双曲线的渐近线为12y x =±=，又0m > ，得出4m =故选：B.4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．=1x -B ．1x =C ．2x =D ．2x =-【正确答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.5．已知直线l 过点(3,1)A -，且与直线230x y -+=垂直，则直线l 的一般式方程为（）A ．230x y ++=B ．250x y ++=C ．210x y +-=D ．220x y +-=【正确答案】B【分析】由题意设直线l 方程为20x y m ++=，然后将点()3,1-坐标代入求出m ，从而可求出直线方程【详解】因为直线l 与直线230x y -+=垂直，所以设直线l 方程为20x y m ++=，因为直线l 过点()3,1-，所以610m -++=，得5m =，所以直线l 方程为250x y ++=，故选：B.6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（）A ．14B ．12C．2D【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =-- ，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=-，设平面QGC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n = ，则点A 到平面QGC的距离2n AC d n⋅== .故选：C7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（）A ．1//D E 平面11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11B D 所成角的范围为(,)42ππD ．二面角11E A B A --的大小为4π【正确答案】C【分析】由平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断A ；建立空间直角坐标系计算11EB AD ⋅即可判断选项B ；求11|cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为1DA A∠即可判断选项D ，进而可得正确选项．【详解】对于选项A ：因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，所以1//D E 平面11A B BA ，故选项A 正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,,0),01E m m ≤≤，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项B ：1(1,1,1)EB m =- ，1(1,0,1)AD =-，因为11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=-⋅-=-++= ，所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥，故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =- ，11(1,1,0)B D =--，设直线AE 与11B D 所成角为θ，则11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=，当0m =，此时θ最小为4π，当1m =时cos θ最小等于0，此时θ最大为2π，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即直线AE 与11B D 所成角的范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，所以二面角11E A B A --的大小为4π，故选项D 正确，故选：C.8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】{}n a 是首项为正数的等比数列，若公比0q <，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有212n n a a ->，充分性满足，但是01q <<时，数列各项均为正，2212n n n a a q a -=<，也就是说221n n a a -<时，得不出0q <，不必要．故选：A ．9．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【正确答案】A【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解： 圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ，则2d =，即234k k - ，403k ∴- ．k ∴的最小值是43-．故选：A ．本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知曲线2:||44C x x y +=，点F ，下面有四个结论：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4；③曲线C 上任意点P 满足||2PF ≥；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y --+-=有5个不同的交点．则其中所有正确结论的序号是（）A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③【正确答案】D【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到)F 的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.【详解】①：(),x y 在C 上时，(),x y -也在C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，故①对；②：当220,44x x y >+=，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形ABCD 的面积为4,∴封闭图形面积不超过4,故②对；③：当0x ≥时，2214x y +=，)02PF x ===≤≤，当2x =时，min2PF=，当0x <时，2214x y -=，2PF >综上，可知曲线C 上任意点P 满足2PF ≥，故③对.④：220x y --=与曲线相交于点(2,0),(0,1)-，220x y +-=与曲线相交于点(2,0),(0,1)，当0x <时，2214x y -=，此时双曲线的渐近线方程为12y x =±，与220x y --=，220x y +-=平行，故不会有交点.所以共有3个交点，故④错.故选：D.二、填空题11．已知等比数列{}n a 中，1231,27a a a ==，则数列{}n a 的前5项和5S =____________．【正确答案】121【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求q ，利用等比数列求和公式求5S ．【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为181a =，2327a a =，所以23127q ⨯=，解得3q =，则数列{}n a 的前5项和()5511312113S -==-.故121．12．已知圆22:(1)(1)4C x y -++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为则k =____________．【正确答案】34-##-0.75【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，得圆心(1,1)C -，半径2r =，则圆心(1,1)C -到直线1y kx =+即10kx y -+=的距离为d 222()2d r +=，有21=，解得34k =-.故答案为.34-13．已知椭圆22219x y b +=(03)b <<的两个焦点分别为12,F F P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为____________．【正确答案】3【分析】根据已知可得3a =，c 12F F =根据椭圆的定义有126PF PF +=，根据120PF PF ⋅=有221224PF PF +=.即可求出126PF PF ⋅=，进而求出三角形的面积.【详解】由已知可得，3a =，c e a ==c 12F F =.因为点P 在椭圆上，由椭圆的定义可得，126PF PF +=，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF +=++⋅=.又120PF PF ⋅= ，所以12PF F △为直角三角形，则222121224PF PF F F +==，所以126PF PF ⋅=，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△.故3.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111D C B A内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =PQ 长度的最小值为____.-1【分析】取11B C 的中点O ，连接,OM OP ，得到MO OP ⊥，求得11A N OP ==，得到点P 在以O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形1111D C B A 中，求得1A NOS，结合11322A N OH ⋅=，即可求解.【详解】如图所示，取11BC 的中点O ，连接,OM OP ，则MO ⊥平面1111D C B A ，所以MO OP ⊥，因为PM =，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 是11D C 的中点，所以11A N OP ==，所以点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，单独画出平面1111D C B A 及相关点、线，如图所示，所以点O 到1A N 的距离减去半径就是PQ 长度的最小值，连接1,A O ON ，作1OH A N ⊥交1A N 于H ，则11113221111212222A NOS =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，所以11322A N OH ⋅=，解得355OH =所以PQ 长度的最小值为3515-.故答案为.3515-三、双空题15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时①若13m =，则使得1n a =至少需要_______步雹程；②若91a =；则m 所有可能取值的和为_______．【正确答案】9385【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.【详解】m =13，依题意，314020105168421m +=→→→→→→→→，共9共步骤；若91a =，872,4a a ==，68a =或61a =，若68a =，2143215214321128,25632,6421,421620,405,103,6a a a a a a a a a a a a a ⎧==⎧==⎨⎪==⎪⎩=⎨==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎩若61a =，132154321328,1652,41,2,4a a a a a a a a a ⎧=⎧==⎨⎪===⎨⎩⎪===⎩1a 的集合为{}256,42,40,6,32,5,4，其和为385；故9,385.四、解答题16．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）2n a n =；（2）11(1)221n -+【分析】（1）根据{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，10110S =，且124,,a a a 成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列{}n a 的通项公式；（2）将n a 的带入求解{}n b 的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．【详解】（1）根据{}n a 为等差数列，0d ≠．前n 项和为n S ，且10110S =，即11101045a d =+，…①∵124,,a a a 成等比数列．可得：2214a a a =⋅．∴2111()(3)a d a a d +=+…②由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n=（2）由()()n n 111n b a a =-+，即()()12n 12n 1n b =-+=11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭．那么：数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =+++ 111111(1)23352121n n =-+-++--+ 11(1)221n =-+.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见详解6【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD ，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE === 设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = 所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =-==所以()1,1,2n =- ，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值6n AD n AD ⋅=⋅ 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，13,,AA D E =分别为,AB BC 的中点．(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析10【分析】（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥，进而根据判定定理即可证明；（2）取11A B 的中点为F ，连接DF ，证明DF AB ⊥，CD AB CD DF ⊥⊥，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．因为11,,AB AA A AB AA =⊂ 平面11AA B B ，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 的中点为F ，连接DF ，因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，,D F 分别为11,AB A B 的中点，所以1//DF AA ，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB⊥所以DF AB ⊥．由（1）知CD AB CD DF ⊥⊥，，故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,22A B C A B E⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭所以，13,0,,(2,3,0)22AE AB⎛=-=-⎝⎭．设平面1AB E的法向量(,,)n x y z=，则1302230n AE xn AB x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1x=，则2,3y z==21,3n⎛=⎝．由题意可知，平面BAE的一个法向量1(0,3,0).AA=因为111cos,10AA nAA nAA n⋅==⋅．由已知可得二面角1B AE B--为锐角，所以二面角1B AE B--19．已知椭圆C：()222210x y a ba b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫--⎪⎝⎭，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()1,0作直线l与椭圆相较于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22143x y+=；（2）存在(4,0)Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称.（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c=+，即可求出2,a b==，进而可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为1x my=+，与椭圆联立，可得12y y+，12y y的表达式，根据题意可得，直线QA，QB的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.【详解】（1）有题意可得22222191412a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立得22(43)690m y my ++-=，22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->，设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠，所以12122269,4343m y y y y m m +=-=-++，因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，所以12120y y x t x t+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=，所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=，所以22962((1)()04343m m t m m⋅-+--=++，即6(4)0m t --=，所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q .综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.20．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【正确答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.（1）利用抛物线的定义与性质求得p 的值，即可写出抛物线方程；（2）设点()11,B x y 、()22,M x y ，由直线BM 的方程和抛物线方程联立，消去y ，利用韦达定理和A 、P 、B 三点共线，化简整理可得BM 的方程，从而求出直线BM 所过的定点．【详解】（1）由题意得002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩，解得021p y =⎧⎨=⎩，所以，抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）证明：设点()11,B x y 、()22,M x y ，设直线BM 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x b =-，由MP x ⊥轴以及点P 在直线3y x =-上，得()22,3P x x -，则由A 、P 、B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--，整理得()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=，将韦达定理代入上式并整理得()()12230x k b -+-=，由点B 的任意性，得230k b +-=，得32b k =-，所以，直线BM 的方程为()2323y kx k k x =-+=-+，即直线BM 过定点()2,3.本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由A 、P 、B 三点共线是解第二问的关键，是中档题．21．已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【正确答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得kM中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含解析
【解析】
【分析】（1）解法一，取 中点 ， 中点 ，连 ， ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用 证明即可；解法二，利用线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理求解即可；
（2）解法一：利用空间向量法求解即可；解法二：作 于 于 ，连接 ，由勾股定理可得 即为所求二面角.
【小问1详解】
解法一：取 中点 ，连 ，因为 ，所以 ，
对于选项C，点 到直线 的距离就是 .所以 ，所以 ，所以动点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
对于选项D，对任意的点 ，固定点 时，过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，当 时， 最小，此时 平面 ,所以 ,由于 .所以 ，所以 .如下图，把平面 翻起来，使之和平面 在同一个平面，当 时， 最小，此时 .故该选项正确.
在等边三角形 中，取 中点 ，连接 ，则 ，
因 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
故 ，所以 ，
由 ， ， 平面 ，
同理可得E的其他部分，分别为圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆；
作曲线E的图形如下图：
图中虚线部分 是边长为2的正方形；
对于A，显然图形关于 对称，正确；
对于B，图形的面积 ，错误；
对于C，由图可知 的取值范围是 ，错误；
对于D，覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2，正确；
在等边三角形 中，取 中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
故 ，所以 ，
由 ， ， 平面 ，
得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
浙江省温州市2020学年十校联合体高二上期末数学试卷((有答案))
2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D, y 2=8x（4分）已知直线1I : x-y+1=0和l2： x-y+3=0,则1I 与l 2之间距离是（2V2B .乎 C. 6 D. 2（4分）正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中，二面角 A-BD 1-B I 的大小是（y 22=1,则AOAB （O 为坐标原点）的面积为（A. JT9. （4分）已知在△ ABC 中，/ACB F ，AB=2BC 现将△ ABC 绕BC 所在直线旋转到△ PBC, 设二面角P- BC- A 大小为9, PB 与平面ABC 所成角为a, PC 与平面PAB 所成角为就若0V 9＜九，则（ ）2. A.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（A. — 口B. —yC. — vD.12 16 4. （4分）若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则 A. 0 或 2 B. 2 C.匹 D. &或 2m 的值是（5. （4分）在四面体 ABCD 中（ ）命题①：AD± BC 且 AC ，BDWJAB ，CD命题②：AC=AD 且 BC=BDIU AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确, 命题②正确 6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线,命题是（ ）a 、 B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 A. m± a,n? B, m± n? a± p B. // & m± a, n// ? m±n C. a± p, m± a, n // ? m ± n D. a± p, A B=m n±m? n，B7. A. JU y B. 7T 工C. D. 8. （4分）过点（0, -2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1, y 1），B （x 2, y 2）两点，且y 12- C.A.立且看in0 B・立《一■且win F〈“零~J J 心3C s《m且B " D.且& 36 310.（4分）如图，Fi, F2是椭圆Ci与双曲线C2的公共焦点，点A是Ci, C2的公共点.设Ci, Q的离心率分别是ei, e2, Z FiAF2=2 9,则（）12.（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积V=cm3,俯视图13.（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M, N为抛物线上的一点，则满足|即|二号慌川，则/町F=.14.（6分）已知直线li： y=mx+1和l2： x=-my+1相交于点P, O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示）,I而I的最大值是.15.（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1则该四面体体积的最大值是表面积的最大值是.2216.(4分)过双曲线G:弓三二1 (a>0, b>0)的右顶点A作斜率为1的直线m,分别与两渐近线交于B, C两点，若|AB|二2|AC,则双曲线G的离心率为.17.(4分)在棱长为1的正方体ABCA A i B i C i D i中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)，对确定的常数m,若满足|PB|十| PD尸m的点P的个数为n,则n的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)已知抛物线C: y2=4x,直线l: y=-x+b与抛物线交于A, B两点.(I )若| AB| =8,求b的值；(H)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.19.(15分)在四棱锥E— ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC1底面ABCD F为BE的中点.(I )求证：DE//平面ACF(II )求证：BD，AE;(田)若AB=岳CE在线段EO上是否存在点G,使CG，平面BDR若存在，求出毁的值，若不存在，请说明理由.20.(15 分)如图，四棱锥P- ABCD PA1底面ABCD AB//CD, AB± AD, AB=AD=PA=2 CD=4E, F分别是PC PD的中点.(I ) 证明：EF//平面PAB(II )求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值.21.(15分)已知点C (XO, y0)是椭圆装―+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F (1, 0).(I )若圆C与y轴相切，求实数X0的值；(H)若圆C与y轴交于A, B两点，求|FA?| FB的取值范围.2 222.(15分)已知椭圆C的方程是［一*9二］,直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点, 4 3若F i M^l, F2N，l, M, N分别为不足.(I )证明：丽1n| + |F 刈>2小(II )求四边形F1MNF2面积S的最大值.2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷AFG =^ S AABC , AE^AAp 参考答案与试题解析、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D. y 2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴, 设抛物线标准方程为：x 2=2py （p>0）, ••・抛物线的准线方程为y=- 2, ・..L=2,2 ，故选C.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA i, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（【解答】解：.「三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, ・..V=Sx AB C ?AA 1 ,. E, F, G 分别是AA 1, AB, AC 的中点,•.p=4,••.抛物线的标准方x 2=8y.故选A.2. （4分）已知直线11： x - y+1=0和12： x- y+3=0,贝^ 11与12之间距离是（A. D. 2【解答】解：:已知平行直线1I ： x-y+1=0与l2： x- y+3=0,；1I 与l2间的距离d 1^U72 W2,A T yB 五怆正皿 12「•三棱锥E— AFG体积:V EAFG=y X s6. X * S^BC)X*N)=^S ABCPAA》］故选：D.a G4.（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A. 0 或2B. 2C. &D. &或2【解答】解：二,圆x2+y2=m的圆心为原点，半径「二6若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d=-^-=/r ,解之得m=2 （舍去0）故选B.5.（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD± BC且AC, BDWJABL CD命题②：AC=AD且BC=BD0fj AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AEL面BCD于E,连接DE,可得A已BC,同理可得AEE± BD,证得E 是垂心，则可得出AE± CD,进而可证得CDX面AEB,即可证出AB± CD,故①正确；对于②，取CD的中点O,连接AO, BO,则CD±AO, CD± BO,. AOnBO=Q.-.CD±面ABO,,. AB?面ABO,.-.CD± AB,故②正确.故选A.6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 命题是（ ）A. m± a, n? B, m±n? a± 0B. all & m± a, n// ? m±nC. a± p, m± a, n // ? m± nD. a± p, aA p =m n±m? n± p【解答】解：设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面，则：m ± a, n? B, m ，n 时，a 、B 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确all 3 m ± a, n // B 时，m 与n 一定垂直，故B 正确a± p, m± a, n// B 时，m 与n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 错误a± 3 aA B =m 寸，若n ，m, n? a,则n,机但题目中无条件n? a,故D 也不一定成立, 故选B.7. （4分）正方体 ABCD- AiBiCiDi 中，二面角A-BDi-Bi 的大小是（【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 为z 轴，建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD- AiBiCiDi 中棱长为i,则 A (i, 0, 0), B (i, i, 0), Bi (i, i, i), Di (0,0, i), 尾(0, - i, 0),西=(-i, — i, i),西二(0, 0, i),设平面ABDi 的法向量n= (x, y, z),n-BA=-y=O 一 ，一则卜-- ，取y ，行n=S, 1， n ・ BDi = -K-y4-7=0L 从 设平面BBiDi 的法向量ir = (a, b, c),nrBB ［二 c 二。
浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
2023学年第一学期期末教学质量调测高二数学试题（答案在最后）注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题．2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校､班级､姓名和准考证号．3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4的是（）A.210x y --=B.210x y +-=C.10x y --=D.10x y +-=【答案】C 【解析】【分析】将直线方程化成斜截式得到直线斜率，由此确定直线的倾斜角是否符合.【详解】对于A 项，直线的斜率为2，故直线的倾斜角不是π4，故A 项错误；对于B 项，直线的斜率为12-，故直线的倾斜角不是π4，故B 项错误;对于C 项，直线的斜率为1，故直线的倾斜角是π4，故C 项正确；对于D 项，直线的斜率为1-，故直线的倾斜角不是π4，故D 项错误.故选：C.2.已知平面α⊥平面,,βαβ的法向量分别为()()121,2,3,0,,2n n x ==，则实数x =（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B 【解析】【分析】由平面,αβ互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】∵平面α⊥平面β，∴平面,αβ的法向量也垂直，∴120n n ⋅= ，即120260n n x ⋅=++=，解得：3x =-.故选：B .3.已知等比数列{}12,1,2n a a a ==，则数列{}n a 的前10项和为（）A.55B.110C.511D.1023【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前n 项和公式，即可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和n S ，则212a q a ==，故101012102312S -==-.故选：D.4.已知直线:10l x y -+=，圆()22:24C x y -+=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出点C 到直线l 的距离即可求解.【详解】因为圆()22:24C x y -+=，所以(2,0)C ，半径2r =，因为点C 到直线l 的距离22d ==>，所以直线l 与圆C 的位置关系是相离.故选：C.5.已知椭圆22:14x C y +=，过原点O 且倾斜角为π4的直线交椭圆于,A B 两点，则AB =（）A.5B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.【详解】依题意，可得直线的方程为：y x =，代入2214x y +=中，整理解得：5x =±，当5x =，5y =；当5x =-时，5y =-，故有25252525(,),(,5555A B --,则55AB ==⨯=.故选：D.6.正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是111111,,A D A B B C 的中点，点P 是线段FG （含端点）上的动点，当P 由点F 运动到点G 时，三棱锥A CEP -的体积（）A.先变大后变小B.先变小后变大C.不变D.无法判断【答案】C 【解析】【分析】A CEP P AEC V V --=，AEC △的面积不变，判断点P 到平面AEC 的距离变化情况即可.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，四边形11AA C C 为平行四边形，有11//AC A C 正方形1111D C B A 中，,F G 分别是1111,A B B C 的中点，有11//FG A C ，得//FG AC ，FG ⊄平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，则//FG 平面AEC ，所以P 由点F 运动到点G 时，点P 到平面AEC 的距离保持不变，又,,A E C 三点为定点，AEC △的面积不变，所以三棱锥P AEC -的体积不变，即三棱锥A CEP -的体积不变.故选：C7.斐波那契数列{}n a 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci ）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{}n a 满足12211,n n n a a a a a ++===+，则1352023a a a a ++++= （）A .2025a B.2024a C.20251a - D.20241a -【答案】B 【解析】【分析】根据递推公式，342564,,a a a a a a =-=- ，累加即可求得结果.【详解】根据斐波那契数列的递推公式，可得1352023a a a a ++++= ()()()1426420242022a a a a a a a +-+-+- 2024212024a a a a =-+=.故选：B.8.已知直线l 过点()2,0P -交抛物线2:4C y x =于,A B 两相异点，点B 关于x 轴的对称点为B '，过原点O 作直线AB '的垂线，垂足为Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A.()()22110x y y -+=≠ B.()()22140x y y -+=≠C.()()22210x y y -+=≠ D.()()22240x y y -+=≠【答案】A 【解析】【分析】求得直线AB '恒过的定点，结合圆的定义，即可容易求得结果.【详解】设抛物线24y x =上两点,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，若直线AB 斜率存在，则()()121212121212414y y y y k x x y y y y y y--===-++-，则直线AB 方程为：()11124y y x x y y -=-+，()212112144y y y y y y x x +--=-，又2114y x =，故AB 方程为：()12124y y y x y y +=+；若直线AB 斜率不存在，则12120,y y x x +==，此时直线AB 方程为：1x x =，显然()12124y y y x y y +=+也可表示这种情况；综上所述：抛物线24y x =上两点,A B ，若坐标分别为()()1122 ,,,x y x y ，则直线AB 方程可表示为：()12124y y y x y y +=+.又AB 过点()2,0P -，故128y y =；又B '为()22,x y -，同理可得直线AB '方程为：()12124y y y x y y -=-，也即()1248y y y x -=-，其恒过定点()2,0，记该点为M ；根据题意可得，OQ QM ⊥，故点Q 在以OM 为直径的圆上，且不与,O M 重合；容易得该圆圆心为()1,0，半径1r =，故Q 点的轨迹方程为：()()22110x y y -+=≠.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够求得直线AB '恒过的定点，本题采用()12124y y y x y y +=+表达直线AB 方程，可简化运算；属综合困难题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线22:142x y C t t +=--，则下列结论正确的是（）A.当24t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或2t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则24t <<【答案】BC 【解析】【分析】对t 的取值范围进行分类讨论，即可判断和选择.【详解】对方程22142x y t t +=--：若420t t ->->，表示焦点在x 轴上的椭圆，此时()2,3t ∈；若420t t -=->，表示圆，此时3t =；若042t t <-<-，表示焦点在y 轴上的椭圆，此时()3,4t ∈；若40,20t t ->-<，表示焦点在x 轴上的双曲线，此时(),2t ∈-∞；若40,20t t --，表示焦点在y 轴上的双曲线，此时()4,t ∈+∞；根据上述讨论，BC 正确.故选：BC.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为317,4,147n S a a S =-=，则（）A.128a = B.421a =C.数列{}n a 为单调递减数列 D.n S 取得最大值时，14n =【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，通过计算验证各选项的结论即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3174,147a a S =-=，得111247671472a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1272a d =⎧⎨=-⎩，故A 选项错误；41327621a a d =+=-=，B 选项正确；由20d =-<，()1*Nn n a a n +<∈，等差数列{}na 为单调递减数列，C 选项正确；()211282n n n S na d n n -=+=-+，由二次函数的性质可知，n S 取得最大值时，14n =，D 选项正确.故选：BCD11.已知点()4,1M ，若过点()2,1N -的直线l 交圆22:9C x y +=于,A B 两点，R 是圆C 上的动点，则（）A.AB 的最大值为6B.AB 的最小值为4C.RM RN ⋅ 的最小值为-1D.RM RN ⋅的最大值为34【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，B ，由圆的性质可得当直线l 与CN 垂直时，AB 有最小值，当直线l 经过圆心时，AB 有最大值，求出即可判断；设(3cos ,3sin )R θθ，从而可得1618cos RM RN θ⋅=-，进而可求出其最小值和最大值可判断C 、D.【详解】当直线l 与CN 垂直时，圆心C =AB 的最小值为4=，当直线l 经过圆心时，AB 的最大值为6，故A ，B 正确；设(3cos ,3sin )R θθ，则()43cos ,13sin (23cos ,13sin )RM RN θθθθ⋅=--⋅---()()()43cos 23cos 13sin (13sin )θθθθ=--+---()22812cos 6cos 9cos 13sin 3sin 9sin θθθθθθ=--++--++1618cos θ=-，由[]cos 1,1θ∈-，当cos 1θ=时，()min16182RM RN ⋅=-=- ，当cos 1θ=-时，()max161834RM RN⋅=+=，故C 错误，D 正确.故选：ABD12.在三棱锥A BCD -中，2,,,,AB CD AC BD AD BC E F G H ======分别是线段,,,AB AC CD BD 上的点，且满足BC 平面,EFGH AD 平面EFGH ，则下列说法正确的是（）A.四边形EFGH 为矩形B.三棱锥A BCD -的外接球的半径为2C.FG GH +=D.四边形EFGH 的面积最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由10CB AD ⋅=≠即可举出反例；对于B ，由补形法将其放入长方体中即可验算；对于C ，由截平行线段成比例即可验算；对于D ，由三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可验算.【详解】对于A ，BC 平面EFGH ,AD 平面EFGH ，又BC ⊂面BCA ，面BCA ⋂面EFGH EF =，所以//BC EF ，同理//,//,//AD EH AD GF BC GH ，而()CB AD CB CA CD CB CA CB CD⋅=⋅-+=-⋅+⋅ 222222534543102222CB CA BA CB CD BD CB CA CB CD CB CA CB CD+-+-+-+-=-⋅⋅+⋅=-+=≠⋅⋅，所以CB 与AD 不垂直，从而EF 与EH 也不垂直，故A 错误；对于B，把题设四棱锥放入长方体中，如图所示，不妨设长方体的棱长分别为,,a b c ，且222222345a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，易知长方体的体对角线长度等于三棱锥A BCD -的外接球的半径的两倍，所以()222226R a b c =++=，解得2R =，故B 正确；对于C ，由A 可知//BC EF ，且//,//,//AD EH AD GF BC GH ，所以由截平行线段成比例得11FG CG CD GD GD GH ADCDCDCDCB-===-=-，又AD BC ==，所以FG GH +=C 正确；对于D ，由A可知1cos cos ,cos ,5HGF GH GF BC AD ∠===-，所以sin 5HGF ∠==，所以四边形EFGH的面积22sin sin 2252FG GH S FG GH HGF HGF ⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅∠≤⋅∠=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号成立当且仅当52FG GH ==，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：B 选项的关键是把题设四棱锥放入长方体中，由此即可顺利得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量()()2,4,0,1,,a b x y =-=- ，且a b，则a b -= __________．【答案】【解析】【分析】由向量平行，求得参数,x y ，再求a b - 的坐标以及模长即可.【详解】ab，故可得42,02x y -=-=-，解得2,0x y ==，故a b - ()3,6,0=-，则a b -==.故答案为：.14.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线上一点，满足2π3AFO ∠=（O 为坐标原点），AK l ⊥，垂足为K ，若2AK =，则AFK S = __________．【解析】【分析】利用抛物线定义，将已知条件转化到Rt AHF 中，求得AH ，即AFK △的高，进而求得面积.【详解】由已知AK l ⊥，则//AK x 轴，过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，过F 作FMAK ⊥，垂足为M ，则//AH MF ，四边形AMFH 为平行四边形，所以AH MF =，且AFK △中以AK 为底边的高即为MF ，在Rt AHF 中，由抛物线的定义知2AF AK ==，又2πππ33AFH ∠=-=，则πsin 232AH AF ==⨯=，则1122AFK S AK FM =⋅=⨯= .15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出1PF 和2PF ，然后在12PF F 中用余弦定理即可求解.【详解】如图所示：因为2PQF 是正三角形，所以22PQ QF PF ==，12120F PF ∠=︒，由双曲线定义可知122QF QF a -=，即112QF PQ PF a -==，再由212PF PF a -=可得24PF a =在12PF F 中，22212121212cos 2·PF PF F F F PF PF PF +-∠=，即()()()22224212·2·42a a c a a+-=-，整理得：22284a c =，227c a=，所以e =16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222n n n S a a =+-，则71n n S a +-的最小值为__________．【答案】214【解析】【分析】由,n n a S 的关系得*1,N n a n n =+∈，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解.【详解】由题意21111222a S a a ==+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以解得12a =，当*2,N n n ≥∈时，有222n n n S a a =+-，211122n n n S a a ---=+-，两式相减得()()22221111122222n n n n n n n n n n n a S S a a a a a a a a -----=-=+--+-=+--，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以12n n a a --=，即数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，所以*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，()*37773,11122N 2n n n S n b a n n n n n +===++-++∈-+，又()73,022x y x x =++>在(单调递减，在)+∞单调递增，而34716213334b b =+=>=，所以当且仅当4n =时，71n n S a +-的最小值为214.故答案为：214.【点睛】关键点睛：关键是首先得出*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，由此即可顺利得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，在棱长均相等的平行六面体1111ABCD A B C D -中11,,AAB A AD E F ∠∠=分别为线段1,DD BC的中点．（1）设1,,AB a AD b AA c === ，请以向量,,a b c表示EF ；（2）求证：平面1A BD ⊥平面11ACC A ．【答案】（1）1122EF c a b=-+-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意直接分解向量即可.（2）由向量的数量积公式得1BD AA ⊥，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】1122EF ED DC CF c a =++=-+-.【小问2详解】∵DB a b=-∴()1cos ,cos ,DB AA a b c a c b c a c a c b c b c ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅，又∵,cos ,cos ,a b c a c b c ===，∴10DB AA ⋅=，即1BD AA ⊥，∵底面菱形中，BD AC ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A .所以BD ⊥平面11ACC A ．又BD ⊂平面1A BD ．∴平面1A BD ⊥平面11ACC A．18.在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，11a =．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明详见解析（2）()11522nn nS+--=+【解析】【分析】（1）通过凑配法证得{}2nn a -是等比数列.（2）利用分组求和法求得n S .【小问1详解】由132n n n a a ++=⋅，得11123222n n n n n n a a +++-+=⋅-=，即()1122n n n n a a ++-=--，所以{}2nn a -是首项为1121a -=-，公比为1-的等比数列.【小问2详解】由（1）得()()()()12111,21n n nn n n n a a --=-⨯-=-=+-.所以()()()122222111nn n S =++++-+-++- ()()()()()11112121115222121122n n n nn n ++⎡⎤--------⎣⎦=+=-+=+---.19.如图，已知ABC中，3AC BC AB ===，D 是AB 上一点，且AD CD =，将ADC △沿CD 翻折至PDC △，PB =．（1）求证：BC PD ⊥；（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用已知线面位置关系结合勾股定理，证明BC ⊥平面PCD ，可证BC PD ⊥；（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】∵ABC中，3AC BC AB ===，由余弦定理，222221cos AC AC BC AB AC BC B +-⋅∠===-，而ACB ∠为三角形内角，∴120ACB ∠= ，30A B ∠=∠= ，∵AD CD =，30ACD A ∠=∠= ，∴90DCB ∠=o ，即BC CD ⊥，又∵PBC中，PC BC PB ===，222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥，,BC CD ⊂平面PCD ，BC CD C ⋂=，∴BC ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥.【小问2详解】以C 为原点，,CB CD 分别为,x y 轴，过C 垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，30ACD A ∠=∠= ，3AC =120ADC PDC ∠=∠= ，由正弦定理，sin sin CD ACA ADC=∠，13sin 21sin 32AC A CD ADC ===∠，BC ⊥平面PCD ，则点P 在yCz 平面内，1PD AD CD ===，120PDC ∠=，得330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又3,0,0)B ，(0,1,0)D ，∴130,,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(3,1,0)DB =-，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∴00DP n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1302230y z y ⎧+=⎪⎨-=，设=1x ，则3,1)n =- ，又∵3,0,0)CB =，35cos ,535n CB n CB n CB⋅===⋅故直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值为5520.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2520x y ±=，双曲线左，右两个顶点分别为,A B ．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线E 交于,C D 两点．设,AC BD 的斜率分别为12,k k ，若1213k k =-，求l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）+440x y -=【解析】【分析】（1）依题意，分别求出,,a b c ，即得双曲线方程；（2）由题意，设出直线l 的点斜式方程:1l y kx =+，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出k 的取值范围，再将1213k k =-代入点的坐标进行等价转化，得到224411413k k k ++=--，解此方程，并进行取舍即得直线l 的方程.【小问1详解】双曲线E的焦距2c =，c ∴=双曲线E 的渐近线方程为20x y ±=，即12y x =±，12b a ∴=，又222+=a bc ，24a ∴=，21b =，∴双曲线E 的标准方程为：2214x y -=．【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，如图可知：直线l 的斜率一定存在，则可设:1l y kx =+，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()2214880k x kx ---=，由()22140Δ16240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩解得：212k <且214k ≠，122814k x x k ∴+=-，122814x x k=--，()()11211222122222y y x k x y k y x x -+∴==+-；221114x y -= ，1111224y x x y +∴=-，即1111224y x x y -=+，()()()()()()()()()1221121212121222112121212222242424411444y x x x x x x x x x x x k k y x y y kx kx k x x k x x ----++-++∴====++++++222222228164161616444113232416416413k k k k k k k k k k k --+----++====--++---，解得：14k =-或12k =-，又212k <且214k ≠，故14k =-，则直线l 的方程为：114y x =-+，即+440x y -=．21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1551,3S a a ==．（1）求100S 的值；（2）设()01nn n b a q q =⋅<<的前n 项和为n T ，求证：()21n qT q <-．【答案】（1）5050（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列及其求和公式基本量的计算，依次得通项公式，代入求和公式即可得解；（2）由错位相减法求和即可得证.【小问1详解】∵55S 3a =，∴115453(4)2a d a d ⨯+=+，得：1a d =，∴1=1a d =，∴=n a n ，∴100100(1001)50502S ⨯+==.【小问2详解】由（1）得(01)nn b n q q =⋅<<，12323n n T q q q nq =++++ ①，234123n n qT q q q nq +=++++ ②，①-②得：12311(1)(1)=1n nn n n q q q T q q q q nqnq q++--=++++--- ，∴()()()()11112222(1)1(1)1111n n n n n n n n q q nq q q q nq q q nq nq T q q q q +++++------+=-==----，()()()()()()111222222111111n n n n q n nq qq nq nq qqq q q q q +++++-+-=-=-<-----.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为23．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆F 的圆心为椭圆C 的右焦点，半径为r ，过点F 的直线与椭圆C 及圆F 交于,,,A P Q B 四点（如图所示），若存在2||||||PQ AP BQ =，求圆F 的半径r 取值范围．【答案】（1）221.95x y +=（2）5263[,]93-【解析】【分析】（1）根据题设条件列出关于,,a b c 的方程组，解之即得；（2）联立直线与椭圆方程，得出韦达定理，将||,||AP BQ 转化为,t r 的表达式，再由2||||||PQ AP BQ =转化得22213=592530t r t r++-，将求r 的范围问题转化为求22159t t ++的值域问题，最后解不等式即得.【小问1详解】由题意得：2225491a b+=①，23c a =②，222a b c =+③，①②③联立得：2295a b ==，，∴椭圆标准方程为：221.95x y +=【小问2详解】∵过点F 的直线与椭圆C 及圆F 依次交于A P Q B 、、、四点，∴圆F 在椭圆C 内部，故：01r <<；(2,0)F ，∴设直线():2,R l x ty t =+∈，1122(,),(,)A x yB x y 由l 代入椭圆C ，整理得：()225920250t y ty ++-=，易知0∆>，∴1212222025,5959t y y y y t t --+==++∵,AP AF r BQ BF r =-=-，()()()2=++AP BQ AF r BF r AF BF AF BF r r ∴=---（*）又1AF y =，2BF y =，12+=AF BF AB y =-=()2230159t t +=+，代入（*）式得：()()222122301=159t AP BQ t y y r r t ++-++()()()()222222223012530125=1+=595959t r t t r r r t t t +-++-++++，又224PQ r =，2PQ AP BQ =，所以()()222225301=459r t r r t -+++，整理得：22213=592530t r t r++-，故上述关于t 的方程有解即可；由222114=1,59559t t t +⎛⎫- ⎪++⎝⎭因2599t +≥，则2440599t <≤+，故221119595t t +≤<+，所以2311,253095r r ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，即2236502730250r r r r ⎧+-<⎨+-≥⎩解得：33335539r r r ⎧---+<<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又因01r <<，解得：5393r -≤<；当t 不存在时，直线:0l y =，此时1,5AF a c BF a c =-==+=，+6,5AF BF AF BF ∴==，22564AP BQ r r r ∴=-+=，即23+65=0r r -，解得33r -=.综上所述：r的取值范围为53[,]93-．。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
2020-2021学年浙江省温州市乐清市知临中学高二上学期期末考试数学试卷含详解
C
【分析】根据焦点到渐近线的距离求得 关于 的表达式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 的一条渐近线为 ，
焦点为 ，
焦点到渐近线的距离为 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故选：C
7.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则
A. B. C. D.
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最大1份为（）
A.35B. C. D.40
5.若实数x，y满足 的最大值是 ，则a的值是（）
A. B.4C.2D.3
6.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 （ 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）
故选：A
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最大1份为（）
A.35B. C. D.40
C
【分析】根据题意每人所得面 ，成等差数列且依次增大，有 ，化简可得 ，再列方程 ，求得 和公差 ，利用等差数列通项公式即可得解.
【详解】根据题意设每人所得面为 ，成等差数列且依次增大，
则有 ，
所以 ，
可得 ，
化简得： ，
设公差为 ，所以 ，
所以 ，
.
故选：C
5.若实数x，y满足 的最大值是 ，则a的值是（）
A. B.4C.2D.3
D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先确定 的最大值是 时，对应的最优解，进行求解即可．
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第一学期期末考试高二
数学试题卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分；本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答卷页规定的地方，在相应位置粘贴条形码；
3.答题时请按照答卷页上“注意事项”的要求，在答卷页相应的位置上规范答题，在本试卷上答题一律无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
台体的体积公式()
121
3
V h S S =+
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式34
3
V R π=
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l ：20ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1
B.1-
C.2-
D.2
2.边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（ ）
A.
4
B.1
C.
D.8
3.已知方程()()()()2
2
1313m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A.()1,2
B.()2,3
C.(),1-∞
D.()3,+∞
4.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则x y -的最大值等于（ ）
A2
B.1
C.2-
D.4-
5.与直线l ：30x y ++=平行，且到直线l
的距离为 ） A.80x y -+=或10x y --= B.80x y ++=或10x y +-= C.30x y +-=或30x y ++=
D.30x y +-=或90x y ++=
6.已如双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心
率为（ ）
B.
2
D.7.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB EF ⊥；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD .
其中正确的是（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
8.过抛物线C ：2
4y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B ，若3AF BF =，则直线l 的斜率是（ ）
B.
C.
D.9.已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A.1θθ≥
B.1θθ≤
C.2θθ≥
D.2θθ≤
10.已知A 、B 、C 是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右
焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是______，该几何体的表面积是______.
12.已知点(),m n 在曲线y =
2
3
n m --的取值范围是______，2m n +的最小值为______. 13.已知12,F F 是双曲线C ：2
2
124
y x -=（0y ≠）的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若16PF =，则2PF =______，12PF F ∆的面积12PF F S ∆=______.
14.设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.
15.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为______；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是______.
16.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线2
y x =上移动，则AB 的中点到y 轴的距离的最小值为______. 17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1
PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）已知直线m ：230x y --=与直线n ：30x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P ，且点()1,3A 和点()3,2B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程.
19.（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面APC ，2AB AP PC CB ====.
（1）求证：AP ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AB C --的大小，
20.（本题满分15分）已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切. （1）求圆M 的标准方程；
（2）过点()0,3N -的直线l 与圆M 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且满足22
121221
2
x x x x +=
，求直线l 的方程。
21.（本题满分15分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4,2AB BC CD DA ====，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）
（1）求证：AM 平面BCD ；
（2）在图2中，若BD =CD 与平面BCFE 所成角的正弦值.
22.（本题满分15分）椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），右焦点为)
F
，AB 是斜率为k （0k ≠）的弦，
AB 的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N 。
当1k =时直线OE 的斜率为1
4
-（O 为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求
EN
d
的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2
OA OB k k k =⋅（0k >），判断并证明2
2
175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
是否为定值.。