2020.11.23椭圆及其标准方程(三)
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。
2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。
●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。
●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。
椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。
当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。
若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。
注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。
●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。
●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。
通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。
高中数学人教版高二必修《椭圆及其标准方程》教育教学课件
人教版高中选修一
01
椭圆定义
概 念 辨 析
当：
1 + 2 = 1 2
F2
F1
动点M的轨迹：
线段F 1 F 2
椭圆及其标准方程
当:
M
|1|+|2|<|12| 时，
动点M的轨迹：
不存在
人教版高中选修一
概 念 辨 析
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)
的距离之和为4的点的轨迹.
轴，线段 F F 的垂直平
(-c，0)、F (c，0)
1
1 2
2 1
2
又设M与F1，F2的距离之和等于2a.
分线为 y 轴,建立直角坐
标系．
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
椭圆方程的推导
p
由椭圆的定义可知，
1 = 2 =
y
1 = 2 =
2a>2c,即a>c;
∴ 2 − 2 >0
求椭圆标准方程的方法
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
你能从图中找出表示
a ,c,
2
−
2
的线
段吗？
椭圆及其标准方程
=
F1
O
F2
x
2 − 2
令 = =
2 − 2
那么原方程可化为
+
=
−
+ =
>>0
人教版高中选修一
03
结 论
p
y
其中，>>0
F1
O
F2
x
它的焦点坐标在x轴上，分别是
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
椭圆及其标准方程ppt课件
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
椭圆的标准方程和性质ppt课件
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
ONE
KEEP VIEW
椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
椭圆及其标准方程ppt课件
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
椭圆的标准方程公式
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y ²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²= 1，（a>b>0）。
其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。
扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
离心率范围：0<e<1。
离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆的标准方程3[1].ppt1
![椭圆的标准方程3[1].ppt1](https://img.taocdn.com/s3/m/6c9d49f8ba0d4a7302763a84.png)
当m > n > 0，表示焦点在y轴上的椭圆；当n > m > 0， 表示焦点在x轴上的椭圆.
例3 将圆 x y = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是 y 什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 (x，y),圆 x y＝４上的对
0 0 0
即
0 0
x - x = 2(x - x) , y - y = 2(-y) x = x, y = 3y.
0 0 0 0 0 2 2
∵ P(x , y )在圆x + y = 9上, 代入得 x + 9y = 9，
2 2
x 即 + y =1,∴点M的轨迹是一个椭圆. 9
2 2
变式题组一
2 2
x y 解：(1)若 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则 m n n > m > 0, 且c = n - m,
2 2
所以，焦点坐标为(0, n - m),(0,- n - m). x y (2)若 + =1表示椭圆, 则m > 0,n > 0且m ≠ n. m n
2 2
(3)若mx + ny =1表示椭圆, 则m > 0,n > 0且m ≠ n,
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y 2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。
它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程。
一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。
在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。
椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。
二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。
这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。
如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。
三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。
3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。
4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。
当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。
五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。
比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。
结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。
了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。
椭圆的标准方程3 PPT课件
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
M x
5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值 范围是 若去掉焦点在 A、（0，+∞） B、（0，2） y 轴上的条件 C、（1，+ ∞ ） D、（0，1） 若去掉焦点在 呢? y轴上的条件 呢? 6、方程 k的取值范围为 表示焦点在y轴上的椭圆，则 .
y
y
M F1 O F2
表示焦点在x轴，焦点为 F1（-c,0），F2（c,0） x
F2 o F1
表示焦点在y轴，焦点为 F1（0, -c），F2（0, c）
M x
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0）， 椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2）， 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。 解：（2）因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义与两点间距离公式可求得2a= 由已知，c=2，并可求得b=6
1、本节课学习了圆锥曲线中的椭圆的形成及定义。
2、通过椭圆的定义推出了椭圆的标准方程。椭圆的标准 方程有两种，一种焦点在x 轴，一种焦点在y轴。 3、给出了椭圆的标准方程焦点位置的判断方法。 4、椭圆的标准方程主要是利用待定系数法求出a、b的值 从而求出椭圆的标准方程。
作业:
1、P96 习题8.1
椭圆的标准方程
y M
F1
o
F2
表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2 （c,0）,c2 = a2 - b2的椭圆的标准方程。
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率之积为常数呢?
补充思考: 已知圆 B : ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) , C 为圆 B 上任一点,
求线段 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交点 P 的轨迹方程.
解:设 P( x, y) , ∵由条件知 PC PA , BC 4
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A(1, 0)、B(1, 0) 为焦点的椭圆. ∴点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1
(1) 建坐标系(一般会给出),设曲线上任一点的坐标;
(2) 找限制点的条件,把坐标代入列方程;
(3) 化简方程,证明(查漏除杂) 以上步骤可概括为:建设现(限)代化.
学习课本第 41 页例 2
例 2.如图,在圆 x2 y2 4 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D
为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么?
43
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
小结:求曲线方程的一般步骤:建设现(限)代化.
补充练习:
主要有三种方法:直译法、定义法、代入法。
1.一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0 外切,同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切,
求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线?
分析:首先画出图形,审题
分析:把题目条件直接用
9 x
、y
表
示出来, x 、y 之间的关系式就显示出
来了. 这种求轨迹的方法──直译法
x2 y2 25 100 1( x 5)
9 很奇妙,满足这样的条件的点的轨迹求出来发现竟然是椭圆!反过
来,椭圆
x2 a2
y2 b2
1 上的点是不是与两顶点
A(a, 0)、B(a, 0) 的连线斜
解:设点 M 的坐标为 ( x, y) ,点 P 的坐标为 ( x ', y ') ,
则由题设及中点坐标公式得
x y
x 2y
①
因为点 P ( x ', y ') 在圆 x2 y2 4 上,
y
P
M
o
x
所以 x '2 y '2 4② , 把 ① 代入 ② 得 x2 4 y2 4
即 x2 y2 1
∴点
M
的轨迹方程为
x2
y2
4 1 ,故点
M
的轨迹是一个椭圆.
4
注: (1) 椭圆可看成是由圆“压扁”得来的.
(2) 代入法——借助中间点代入求曲线方程的方法.
例 3.如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0),(5, 0) ,直线 AM、BM 相交于
点 M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
圆 x2 y2 6x 5 0 即 ( x 3)2 y2 4
M• ( x, y)
圆 x2 y2 6x 91 0 即 ( x 3)2 y2 100
设动圆圆心 M ( x, y) , F1(3, 0), F2(3, 0)
动圆半径为 r (想像一下动圆的位置)
依题意得 MF1 r 2, MF2 10 r 发现 MF1 MF2 12
椭圆及其标准方程(三)
复习引入
例2
例3
上一节的思考题
补充练习1
补充练习2
白板
阳江市第一中学 周如钢
椭圆及其标准方程(三)
复习 1.椭圆的定义: MF1 MF2 2a ( a 是常数且 2a F1F2 ).
2.椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1或
x2 b2
y2 a2
1(ab源自0)3.求曲线方程的一般步骤:
由椭圆定义可知点 M 的轨迹是一个椭圆, 方程为 x2 y2 1
36 27
2.线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， AB 5, 点 M 是线 段 AB 上一点，且 AM 2, 点 M 随 AB 运动而变化，求点 M 的轨迹方程.
x2 y2 1
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