2020.11.23椭圆及其标准方程(三)

解:设点 M 的坐标为 ( x, y) ,点 P 的坐标为 ( x ', y ') ,
则由题设及中点坐标公式得
x y
x 2y
①
因为点 P ( x ', y ') 在圆 x2 y2 4 上,
y
P
M
o
x
所以 x '2 y '2 4② , 把 ① 代入 ② 得 x2 4 y2 4
即 x2 y2 1
椭圆及其标准方程(三)
复习引入
例2
例3
上一节的思考题
补充练习1
补充练习2
白板
阳江市第一中学 周如钢
椭圆及其标准方程(三)
复习 1.椭圆的定义: MF1 MF2 2a ( a 是常数且 2a F1F2 ).
2.椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1或
x2 b2
y2 a2
1
(a
Hale Waihona Puke Baidu
b
0)
3.求曲线方程的一般步骤:
∴点
M
的轨迹方程为
x2
y2
4 1 ,故点
M
的轨迹是一个椭圆.
4
注: (1) 椭圆可看成是由圆“压扁”得来的.
(2) 代入法——借助中间点代入求曲线方程的方法.
例 3.如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0),(5, 0) ,直线 AM、BM 相交于
点 M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
由椭圆定义可知点 M 的轨迹是一个椭圆, 方程为 x2 y2 1
36 27
2.线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， AB 5, 点 M 是线 段 AB 上一点，且 AM 2, 点 M 随 AB 运动而变化，求点 M 的轨迹方程.
x2 y2 1
94
(1) 建坐标系(一般会给出),设曲线上任一点的坐标;
(2) 找限制点的条件,把坐标代入列方程;
(3) 化简方程,证明(查漏除杂) 以上步骤可概括为:建设现(限)代化.
学习课本第 41 页例 2
例 2.如图,在圆 x2 y2 4 上任取一点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D
为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么?
圆 x2 y2 6x 5 0 即 ( x 3)2 y2 4
M• ( x, y)
圆 x2 y2 6x 91 0 即 ( x 3)2 y2 100
设动圆圆心 M ( x, y) , F1(3, 0), F2(3, 0)
动圆半径为 r (想像一下动圆的位置)
依题意得 MF1 r 2, MF2 10 r 发现 MF1 MF2 12
43
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
小结:求曲线方程的一般步骤:建设现(限)代化.
补充练习:
主要有三种方法:直译法、定义法、代入法。
1.一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0 外切,同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切,
求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线?
分析:首先画出图形,审题
分析:把题目条件直接用
9 x
、y
表
示出来, x 、y 之间的关系式就显示出
来了. 这种求轨迹的方法──直译法
x2 y2 25 100 1( x 5)
9 很奇妙,满足这样的条件的点的轨迹求出来发现竟然是椭圆!反过
来,椭圆
x2 a2
y2 b2
1 上的点是不是与两顶点
A(a, 0)、B(a, 0) 的连线斜
率之积为常数呢?
补充思考: 已知圆 B : ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) , C 为圆 B 上任一点,
求线段 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交点 P 的轨迹方程.
解:设 P( x, y) , ∵由条件知 PC PA , BC 4
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A(1, 0)、B(1, 0) 为焦点的椭圆. ∴点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1