9—2018—2019—1麓山国际初三入学考试数学试卷
麓山国际实验学校初三第一次模拟考试数学模拟试卷-精品
麓山国际实验学校初三第一次模拟考试数学试卷总分:120 时量:120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1．在下列选项中，具有相反意义的量是（）A．收入20元与支出30元B．上升了6米和后退了7米C．卖出10斤米和盈利10元D．向东行30米和向北行30米2．x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（）A．（2x+y）2B．2x+y2C．2x2+y2D．2（x+y）23．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A．0.77×10﹣5m B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m4．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．45．下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．xy=6．数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．4 B．4.5 C．5 D．67．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示正三棱柱的主视图是（）A ．B ．C ．D ．9．下列事件中是必然事件的是（）A．﹣a是负数B．两个相似图形是位似图形C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D．图形平移前后的对应线段相等10．如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．3611．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各边的距离都相等；④相等的弦所对的弧相等．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2B．3C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）13．的平方根是．14．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE= ．15．若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b= ．16．P为正整数，现规定P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!=24，则正整数m= ．17．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．18．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC= ．三、解答题（第19，20题每题6分，21,22题每题8分，23，24题每题9分，共46分）19．计算：﹣（﹣）﹣1+（﹣）0﹣6sin60°．20. 先化简，再求值：（x+y）2﹣2y（x+y），其中x=﹣1，y=．21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参加复选的学生总人数为 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 °； （2）补全条形统计图，并标明数据；（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．22．如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连AD ． （1）求证：AD=AN ； （2）若AB=4，ON=1，求⊙O 的半径．23．去冬今春，某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有哪几种方案？请你帮助设计出来．四、综合题（第25,26题每题10分，共20分）24．如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，连接CE ，BD ，过点E 作FE ⊥CE 于点E ，交AD 于点F ，连接CF ，已知2AD=AB=BC ．（1）求证：CE=BD ；（2）若AB=4，求AF 的长度；（3）求sin ∠EFC 的值．25．已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图象上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD 是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+2，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数（k ＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD ，点D （2，m ）（m ＜2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax 2+c （a ≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．26.已知二次函数y=ax 2+bx ﹣2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． ②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式.数 学 参考答案一、 选择题（每小题3分，共36分）题号123456789101112答案 A A D D B C C B D D C D二、填空题 （每小题3分，共18分）13. ± 14. 2 15. ﹣116. 4 17. 36 18. 3 三、解答题 19. 解：原式=3﹣（﹣3）+1﹣6×…………………………（每项1分，4分）=4 ……………………………… (6分) 20. 解：（x+y ）2﹣2y （x+y ） =x 2+2xy+y 2﹣2xy ﹣2y 2=x 2﹣y 2， ……………………………… （4分） 当x=﹣1，y=时，原式=（﹣1）2﹣（）2=2+1﹣2﹣3=﹣2． ……………………………… （6分） 21. （1））25，72 ………………………… （2分）（2）长跑项目的男生人数为：25×12%﹣2=1，跳高项目的女生人数为：25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4=5． 如下图：………………………… （6分）（3）∵复选中的跳高总人数为9人，跳高项目中的男生共有4人， ∴跳高项目中男生被选中的概率=．……………………（8分） 22. （1）证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD=∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ， ∴∠AMC=∠AEN=90°，∵∠ANE=∠CNM ， ∴∠BCD=∠BAM ， ∴∠BAM=BAD ， 在△ANE 与△ADE 中，，∴△ANE ≌△ADE ，∴AD=AN ； ………………………… （4分）（2）解：∵AB=4，AE ⊥CD ， ∴AE=2，又∵ON=1，∴设NE=x ，则OE=x ﹣1，NE=ED=x ，r=OD=OE+ED=2x ﹣1 连结AO ，则AO=OD=2x ﹣1， ∵△AOE 是直角三角形，AE=2，OE=x ﹣1，AO=2x ﹣1，∴（2）2+（x ﹣1）2=（2x ﹣1）2，解得x=2，∴r=2x ﹣1=3． ………………………… （8分） 23. 解：（1）设饮用水有x 件，蔬菜有y 件， 根据题意得：，解得，答：饮用水和蔬菜各有200件和120件； ………………………… (4分) （2）设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车（8﹣m ）辆，根据得：，解这个不等式组，得2≤m ≤4， ∵m 为正整数， ∴m=2或3或4，则安排甲、乙两种货车时有3种方案， ………………………… （8分） 设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆．………………（9分）24. 解：（1）∵E 为AB 的中点， ∴AB=2BE ， ∵AB=2AD ， ∴BE=AD ，∵∠A=90°，AD ∥BC ， ∴∠ABC=90°，在△ABD 与△BCE 中，，∴△ABD ≌△BCE ，∴CE=BD ； ………………………… （3分） （2）∵AB=4，∴AE=BE=2，BC=4， ∵FE ⊥CE ，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°， ∴∠AFE=∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ， ∴，∴AF=1； ………………………… （6分）（3）∵△AEF ∽△BCE ， ∴，∴AF=AE ，设AF=k ，则AE=BE=2k ，BC=4k ， ∴EF==k ，CE==2k ，∴CF==5k ，∴sin ∠EFC==．…………………………（9分）25.解：（1）（I ）当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时：正方形ABCD 的边长为22． （II ）当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时： 设正方形边长为a ，易得3a=22， 解得a=322，此时正方形的边长为322． ∴所求“伴侣正方形”的边长为22或322； ………………（3分） （2）如图，作DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△ADE ≌△BAO ≌△CBF ．∵点D 的坐标为（2，m ），m ＜2，∴DE=OA=BF=m ， ∴OB=AE=CF=2﹣m ．∴OF=BF+OB=2，∴点C 的坐标为（2﹣m ，2）．∴2m=2（2﹣m ），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=； ………………………………（6分）（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a 、当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，点C 坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣x 2+；b 、当点A 在x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c 、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d 、当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上，点D 坐标为（3，4）时：另外一个顶点C 为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y=x 2+；e 、当点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣x 2+；f 、当点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y=x 2+； 故二次函数的解析式分别为：y=x 2+或y=﹣x 2+或y=﹣x 2+或y=x 2+．………（10分）26.解：（1）由题意得27. 解得：a=，b=﹣． ………………………… (3分）（2）①由（1）知二次函数为y=x 2﹣x ﹣2 ∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2） ∴OA=4，OB=1，OC=2∴AB=5，AC=2，BC=∴AC 2+BC 2=25=AB 2∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB=90° ∵AE=2t ，AF=t ，∴==又∵∠EAF=∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB∴∠AEF=∠ACB=90°∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t假设△DCF为直角三角形当点F在线段AC上时ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2∴AE=AB=t=÷2=；ⅱ）若D为直角顶点，如图3∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC∵OC⊥BD，∴OD=OB=1∴AD=3，∴AE=∴t=；当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=．……………………（7分）②ⅰ）当0＜t ≤时，重叠部分为△DEF，如图1、图2∴S=×2t×t=t2；………………………………（8分）ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4过点G作GH⊥BE于H，设GH=a则BH=，DH=2a，∴DB=∵DB=AD﹣AB=4t﹣5∴=4t﹣5，∴a=（4t﹣5）∴S=S△DEF﹣S△DBG =×2t×t ﹣（4t﹣5）×（4t﹣5）=﹣t2+t ﹣；………………（9分）ⅲ）当2＜t ≤时，重叠部分为△BEG，如图5∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t）∴S=×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．（10分）。
湖南省长沙市麓山国际实验学校初三上入学考试数学试卷及答案
麓山国际实验学校初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）ABOP（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤xC ．3≥xD ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。
长沙市麓山国际实九年级(上)数学试卷及解析
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为133．（3分）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤54．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.57．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED8．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣39．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠010．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣111．（3分）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．14．（3分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．15．（3分）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是．16．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为．17．（3分）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为cm2．18．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．20．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．21．（8分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1中∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．（8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？23．（8分）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？24．（8分）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D 点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．25．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2016秋•岳麓区校级月考）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：xy=1，符合反比例函数的定义；y=，属于正比例函数；y=，需要k≠0，y=，该函数不属于反比例函数，y=2x2该函数属于二次函数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式y=（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k ≠0）．2．（3分）（2006•永春县）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为13【解答】解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意；B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意；C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意；D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3．（3分）（2015秋•长沙校级月考）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤5【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴5﹣m＞0，∴m＜5．故选B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解决问题的关键，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．4．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．故选D．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．（3分）（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．（3分）（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．（3分）（2013春•新泰市期中）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，∴，即，解得k＜3且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．10．（3分）（2010•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1【解答】解：x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．（3分）（2016•井研县一模）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．12．（3分）（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=EF=8．故选B．【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2008•益阳）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．【解答】解：因为从装有十个除数字外其它完全相同的小球任意摸出一个小球共5种情况，其中有3种情况是球面数字的平方根是无理数，故其概率是=．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）．【解答】解：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．故本题答案为：0.8．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）（2013春•红塔区校级期中）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【解答】解：∵在函数y=（a为常数）中k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣＜﹣＜0，∴0＜y1＜y2．∵＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．16．（3分）（2016春•宝应县校级月考）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为﹣6．【解答】解：如图所示，点P的坐标是（﹣3，2），则k=xy=﹣3×2=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．17．（3分）（2012•重庆模拟）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为32cm2．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，∴它们的面积比是9：16，∵△ABC的面积为18cm2，∴△DEF的面积为：18×=32（cm2）．故答案为：32．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．18．（3分）（2012•西安模拟）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为3或．【解答】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2．∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=8∴反比例函数的解析式为y=．（2）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．21．（8分）（2014•孝感）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是40；（2）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为700．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），故答案为：40；（2）根据题意得：360°×=54°，答：图1中∠α的度数是54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），如图：故答案为：54°；（3）根据题意得：3500×=700（人），答：不及格的人数为700人．故答案为：700；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）（2016•呼伦贝尔）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，∵8﹣2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．（8分）（2015秋•长沙校级月考）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【解答】解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=72．答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm．（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，①PQ为长，PN为宽：由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=45，2x=90．即长为90mm，宽为45mm．②PQ为宽，PN为长：由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=，2x=．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为mm，宽为mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．24．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．【解答】解：（1）连接OB，∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°；（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，∴∠AEC=∠ACD=60°，∵∠D=45°，∠ACD=60°，∴∠CAD=75°，又∵∠OCA=75°，∴∠CAD=∠OCA=75°，∴△ACE∽△DAC，∴=，即AC2=AD•CE=4×3=12，∴AC=2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理．注意证得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是关键．25．（8分）（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴；∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=﹣x．∴，∴CE=x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．即y=x2﹣x+1．（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE，∴AE=AC﹣CE=2﹣．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∵∠ADE=45°，∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=AC=．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2﹣或．【点评】此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．26．（10分）（2015•徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，=，∴∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即=，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注．参与本试卷答题和审题的老师有：wdzyzlhx；zhjh；CJX；sjzx；zcx；智波；ln_86；张其铎；HJJ；星期八；zcl5287；ZJX；自由人；Linaliu；守拙；dbz1018；lantin；gbl210；MMCH；heihudie（排名不分先后）菁优网2016年12月22日。
湖南省长沙市麓山国际2019年中考三模数学整理考试数学试卷(Word版无答案)
9 424 0.5 a2 + 42018-2019 麓山国际实验学校初三数学整理考试试卷（时量：120 分钟总分：120 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）1. 的值等于（）3A. B.2-3C.2 ±3D.812 162.我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（）A. 44⨯108B.4.4⨯108C.4.4⨯109D.4.4⨯10103.下面二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.4.方程x2 - 2x = 0 的根是（）A.x = 2B.x = 0C. x1 =-2，x2 = 0D. x1 = 2，x2 = 05.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A. B. C. D.6.一次函数y =-x -1不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xoy，使“帅”的坐标为（-1，-2）“马”的坐标为（2 ，-2），则“兵”的坐标为（）A. （-3 ，1）B. （-2，1）C. （-3 ，0 ）D. （-2，3 ）（第7 题图）（第8 题图）ba58.如图， O 是直线 AB 上一点，OC 平分∠DOB ， ∠COD = 55︒46'，则∠AOD =（）A. 68︒28'B. 69︒28'C. 68︒38'D. 69︒38'9.如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙ O 的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（）（第 9 题图）（第 11 题图） 10.下列命题中， 假命题是（）A.三点确定一个圆B.对顶角相等C.菱形的对角线互相垂直平分D.圆内接四边形对角互补11.如图，已知AOBC 的顶点O （ 0 ， 0 ）， A （ -1， 2 ），点 B 在x 轴正半轴上按以下 步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点 D ，E ；②分别以 D ，E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 F ；③作射线2OF , 交边 AC 于点G ，则点G 的坐标为（）A. （ -1， 2 ）B. （ ， 2 ）C. （ 3 - ，2 ） D. （ - 2 ， 2 ）12.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD ,使 B 点落在点 P 处， 折痕为 EC ,连结 AP 并延长 AP 交CD 于 F 点，连结CP 井延长CP 交 AD 于Q 点。
2017-2018麓山国际初三年级入学考试数学参考答案
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∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∵ tan 2 FG 3 AG 3
∴ FG 3 AG 3 2 3 2 ……………………………………………6 分
3
3
∴ BF 2FG 4
∴ S菱形ABDF
1 2
AE BF
14 2
348
3 ………………………………8 分
（2）①设需要租用 m 辆乙车，则需要租用 (6 m) 辆甲车，依题意得
12(6 m) 20m 100 ……………………………………………………………4 分
解得 m 3.5 ………………………………………………………………………5 分
答：至少需要租用 4 辆乙车……………………………………………………6 分
= 3x2 4xy ………………………………………………………………………………4 分
当 x 1 , y 2 时，原式= 3 4 13 ……………………………………………………6 分
2
4
4
21．（8 分）解：（1）15÷30%=50（名），故答案为：50；……………………………………1 分
∴ x1 x2 4k ， x1x2 4 ，
∴ y1 y2 kx1 1 kx2 1 k(x1 x2 ) 2 4k2 2 设 BC 中点为 O ，过点 O 作 OD l 于点 D， 则点 O 坐标为 (2k,2k2 1) ，………………………4 分 ∴ OD 2k2 2 BC (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2
②设租车费用为W 元，则
W 3500(6 m) 5000m 1500m 21000 ……………………………………8 分
【新精品卷】湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(下)第一次月考数学试卷(内含答案详析)
湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷（考试时间共分钟，满分分）准考证号：__________ 姓名：________ 座位号：_________【请考生认真审题，争取会做的不要错，不会做的冷静思考】一．选择题（36分）1．（3分）下列四个实数中是无理数的是（）A．πB．C．D．02．（3分）如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．3．（3分）已知空气的单位体积质量为1.29×10﹣3克/厘米3，1.29×10﹣3用小数表示为（）A．0.00129 B．0.0129 C．﹣0.00129 D．0.0001294．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．（2a）2=4a C．D．5．（3分）点P（4，﹣3）到x轴的距离是（）A．4 B．3 C．﹣3 D．56．（3分）我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（）班级1班2班3班4班5班6班人数52 60 62 54 58 62A．平均数是60 B．中位数是59 C．极差是40 D．众数是587．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）8．（3分）不等式4﹣2x≥0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．9．（3分）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．12或1410．（3分）若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C． D．11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．3.5 D．312．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）因式分解：9x﹣x2=．14．（3分）已知：+（b+5）2=0，那么a+b的值为．15．（3分）如图，点A为反比例函数y=图象上一点，过A做AB⊥x轴于点B，连接OA则△ABO 的面积为4，k=．16．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则DE：BC=．17．（3分）某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC=50m，则AB=m．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C （0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是．三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分）19．（6分）计算：﹣（）﹣1+（π﹣）0﹣2sin45°20．（6分）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x=﹣2，y=﹣21．（8分）新的交通法规实施后，驾校的考试规则也发生了变化，考试共设四个科目：科目1、科目2、科目3和科目4，以下简记为：1、2、3、4．四个科目考试在同一地点进行，但每个学员每次只能够参加一个科目考试．在某次考试中，对该考点各科目考试人数进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查的学员共有人；在被调查者中参加“科目3”测试的有人；将条形统计图补充完整；（2）该考点参加“科目4”考试的学员里有3位是教师，某新闻部门准备在该考点参加“科目4”考试的学员中随机选出2位，调查他们对新规的了解情况，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位学员恰好都是教师的概率．22．（8分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）23．（9分）某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？24．（9分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD．25．（10分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M ≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？26．（10分）如图，直线y=﹣x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过原点和点C（4，0），顶点D在直线AB上．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、C、D为顶点的三角形与△ACD相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是x轴上方的抛物线上的一个动点，若cos∠OQC=，⊙M经过点O，C，Q，求过C 点且与⊙M相切的直线解析式．-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（3×12分=36分）1．（3分）下列四个实数中是无理数的是（）A．πB．C．D．0【解答】解：，0是有理数，π是无理数，故选：A．2．（3分）如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；B、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）已知空气的单位体积质量为1.29×10﹣3克/厘米3，1.29×10﹣3用小数表示为（）A．0.00129 B．0.0129 C．﹣0.00129 D．0.000129【解答】解：1.29×10﹣3用小数表示为0.00129，故选：A．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4 B．（2a）2=4a C．D．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A选项错误；B、（2a）2=4a2，故B选项错误；C、，此C选项正确；D、÷3=，故D选项错误．故选C．5．（3分）点P（4，﹣3）到x轴的距离是（）A．4 B．3 C．﹣3 D．5【解答】解：点P（4，﹣3）到x轴的距离是3．故选B．6．（3分）我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（）班级1班2班3班4班5班6班人数52 60 62 54 58 62 A．平均数是60 B．中位数是59 C．极差是40 D．众数是58【解答】解：A．平均数=（52+60+62+54+58+62）÷6=58；故此选项错误；B．∵6个数据按大小排列后为：52，54，58，60，62，62；∴中位数为：（60+58）÷2=59；故此选项正确；C．极差是62﹣52=10，故此选项错误；D.62出现了2次，最多，∴众数为62，故此选项错误；故选：B．7．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）【解答】解：因为抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故选B．8．（3分）不等式4﹣2x≥0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【解答】解：移项得，﹣2x≥﹣4，系数化为1得，x≤2．在数轴上表示为：故选D．9．（3分）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．12或14【解答】解：（x﹣3）2﹣1=0，x﹣3=±1，解得x1=4，x2=2．若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；若x=2时，6﹣4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是14．故选：C．10．（3分）若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C． D．【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同号，当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，A、图中直线经过直线经过第一、四、三象限，双曲线经过第一、三象限，故A选项错误；B、图中直线经过原点，故B选项错误；C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故C选项正确；D、图中直线经过第二、一、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D选项错误．故选：C．11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．3.5 D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4；故选：B．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0（1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）因式分解：9x﹣x2=x（9﹣x）．【解答】解：9x﹣x2=x（9﹣x）．故答案为：x（9﹣x）．14．（3分）已知：+（b+5）2=0，那么a+b的值为﹣3．【解答】解：∵+（b+5）2=0，∴a﹣2=0，b+5=0，∴a=2，b=﹣5；因此a+b=2﹣5=﹣3．故结果为：﹣315．（3分）如图，点A为反比例函数y=图象上一点，过A做AB⊥x轴于点B，连接OA则△ABO的面积为4，k=﹣8．【解答】解：根据题意可知：S△AOB=|k|=4，又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，则k=﹣8．故答案为：﹣8．16．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则DE：BC=2：5．【解答】解：∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴==，故答案为：2：5．17．（3分）某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC=50m，则AB=100 m．【解答】解：由图可得，BC：AC=1：，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100（m）．故答案为：100．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C （0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（2，）．【解答】解：作AE⊥y轴于点E，连接AB，AC，则四边形ABOE为矩形，CE=CD=（4﹣1）=1.5，A C=AB=OE=1+（4﹣1）÷2=2.5，AE===2，∴点A的坐标是（2，）．三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分）19．（6分）计算：﹣（）﹣1+（π﹣）0﹣2sin45°【解答】解：原式=2﹣3+1﹣2×=﹣2．20．（6分）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x=﹣2，y=﹣【解答】解：原式=x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2=x2﹣2y2，当x=﹣2，y=﹣时，原式=4﹣=3．21．（8分）新的交通法规实施后，驾校的考试规则也发生了变化，考试共设四个科目：科目1、科目2、科目3和科目4，以下简记为：1、2、3、4．四个科目考试在同一地点进行，但每个学员每次只能够参加一个科目考试．在某次考试中，对该考点各科目考试人数进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查的学员共有50人；在被调查者中参加“科目3”测试的有10人；将条形统计图补充完整；（2）该考点参加“科目4”考试的学员里有3位是教师，某新闻部门准备在该考点参加“科目4”考试的学员中随机选出2位，调查他们对新规的了解情况，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位学员恰好都是教师的概率．【解答】解：（1）调查的总人数是：15÷30%=50（人），参加科目4的人数是：50×10%=5（人），则被调查者中参加“科目3”测试的有：50﹣15﹣20﹣5=10（人）．故答案是：50，10．；（2）三位教师用A1、A2、A3表示，另两位学员用B、C表示．则共有20种情况，所选两位学员恰好都是教师的有6种情况，则概率是：=．22．（8分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°∵AT⊥MN∴∠ATC=90°在Rt△ACT中，∠ACT=31°∴tan31°=可设AT=3x，则CT=5x在Rt△ABT中，∠ABT=22°∴tan22°=即：解得：∴，∴；（2），，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．23．（9分）某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，，解得，，即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）由题意可得，W=6x+，化简，得W=4x+100，即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3），解得，10≤x≤12.5，故有三种购买方案，由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，故当x=12时，，即购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获得最大利润，此时W=4×12+100=148，即该花店共有几三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利最大，最大利润是148元．24．（9分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD．【解答】（1）证明：如图，作OF垂直AB于点F，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC又∠OBA=∠OBC，∴OE=OF，∴AB为⊙O的切线（2）解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC==4，又D为BC的中点，∴CD=DB=2，∵S△ACD+S△COB+S△AOB=S△ABC设⊙O的半径为r，即AC•CD+BD•r+∴6+2r+5r=12∴r=∴⊙O的半径为（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，∴OE∥AC，∴Rt△OD E∽Rt△ADC，∴，∴DE=，∴B F=BE=，∴AF=AB﹣BF=，∴ta n∠BAD==．25．（10分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M ≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1当x=b时，y=﹣b+1．则，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1即过点（﹣1，1）当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．26．（10分）如图，直线y=﹣x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过原点和点C（4，0），顶点D在直线AB上．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、C、D为顶点的三角形与△ACD相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是x轴上方的抛物线上的一个动点，若cos∠OQC=，⊙M经过点O，C，Q，求过C 点且与⊙M相切的直线解析式．【解答】解：（1）由题知：D点的横坐标为2∴y=﹣×2﹣1=﹣2，∴D（2，﹣2）把C、D代入抛物线：解之得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x（2）存在．如图1，设对称轴与x轴交于点E，P点（2，m）易知：E（2，0），A（﹣2，0），B（0，﹣1），∴∠ACD=∠EDC=45°，情况1：P点在D点上方，则∠PDC=∠ACD若△PDC∽△ACD，则，∴=1解得：m=4∴P（2，4）若△PDC∽△DCA，则∴解得：y=﹣∴P'（2，﹣）情况2：若P在D点的下方，则△PDC没有一个角会为45°，∴△PDC与△DCA不可能相似，综上可知：存在点P（2，4），P'（2，﹣）；（3）如图2，设⊙M与y轴交于点N，连NC交抛物线对称轴于一点，即为圆心M点在Rt△ONC中，cos∠ONC=cos∠OQC=，∴∠ONC=∠OQC，∴设ON=2t，NC=t则：（t）2﹣（2t）2=16解得：t=4∴ON=8，∴点N坐标为（0，8）祝您生活愉快，工作顺心，前程似锦，愿此文帮助到您，谢谢！21 ∴直线NC 的解析式为y=﹣2x+8设过点C 且与⊙M 相切的直线为y=x+c把C 点代入有：×4+c=0，解得：c=﹣2∴过点C 且与⊙M 相切的直线为y=x ﹣2．。
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷 解析版
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．2164．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．28．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．011．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．1112．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B 的坐标为．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝．15．（3分）已知抛物线y＝x2+（m2﹣4m）x+3关于y轴对称，则m＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为．17．（3分）当﹣1≤x≤3时，函数y＝x2﹣4x+3的最小值为a，最大值为b，则a+b＝．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：是中心对称图形的有第1、2、3个图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【分析】分别写出两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移规律．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（﹣2，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点（0，0），所以把抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y ＝x2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π【分析】在由母线、底面圆的半径和圆锥的高组成的直角三角形中，利用勾股定理计算出母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可得到圆锥的侧面积．【解答】解：∵底面圆的直径为6，∴底面圆的半径为3，而高为4，∴圆锥的母线长＝＝5，∴圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝lR（l为弧长，R为扇形的半径）以及勾股定理．5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°【分析】连接OB，由切线的性质可求得∠AOB，再由圆周角定理可求得∠A．【解答】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OB＝OC，∠C＝26°，∴∠OBC＝∠C＝26°，∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，∴∠A＝128°﹣90°＝38°，故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°【分析】根据∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C，只要求出∠ACB′即可．【解答】解：∵CB＝CB′，∴∠B＝∠CB′B＝46°，∴∠BCB′＝180°﹣46°﹣46°＝88°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB′＝2°，∵∠OB′C＝∠B＝46°，∴∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C＝2°+46°＝48°，故选：C．【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．2【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B＝∠ADC＝30°，∠ACB＝90°，根据余弦的定义计算．【解答】解：连接BD，由圆周角定理得，∠B＝∠ADC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABD中，BC＝AB•cos B＝，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，开口向上，对称轴为x＝1，可知D、C两点在对称轴的两边，点D离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，∴抛物线对称轴为x＝＝1∵C（﹣3，y1）、D（3，y2），点D离对称轴较近，且抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y 随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，由圆内接四边形的性质可知，2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝5x＝100°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．0【分析】把原点坐标代入解析式得到a2﹣9＝0，再解关于a的方程，然后利用二次函数的定义确定a的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．11．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：如图，E，F，G，H是切点∵四边形ABCD各边与⊙O相切∴AH＝AE，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF∴AH+DH+CF+BF＝AE+DG+CG+BE∴AD+BC＝CD+AB∵AB＝10，BC＝7，CD＝8∴AD＝11故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点、与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征判断．【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线经过y轴的负半轴，∴c＜0，对称轴是x＝﹣＝1＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵a＞0，b＜0，∴故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；对称轴是x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c＝0，将b＝﹣2a代入得，3a+c＝0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B的坐标为（﹣1，﹣）．【分析】连接OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠BOC，求出BH、OH，得到答案．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，∴点B的坐标为（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查的是多边形的有关计算、坐标与图形性质，掌握正多边形的中心角的计算公式、坐标的确定方法是解题的关键．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝90°．【分析】如图，连接AE、BE．因为AB是直径，推出∠AEB＝90°，推出∠EAB+∠EBA ＝90°，因为∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，可得结论；【解答】解：如图，连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，∴∠C+∠D＝90°，故答案为90°．【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（3分）已知抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，则m ＝ 0或4 ．【分析】利用对称轴方程得到﹣＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，∴﹣＝0，∴m ＝0或m ＝4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了二次函数图象的对称轴问题，解题时需要提炼隐含的条件：﹣＝0．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB ′C ′，连接CC ′，若AC ＝4，AB ＝1，则△B ′C ′C 的面积为 6 ．【分析】先根据旋转的性质得AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，则可判断△ACC ′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C ′，∴AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，∴△ACC ′为等腰直角三角形，∴S △B ′C ′C ＝S △ACC ′﹣S △AB ′C ′＝×4×4﹣×4×1＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（3分）当﹣1≤x ≤3时，函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为a ，最大值为b ，则a +b ＝ 7 ．【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，利用二次函数的性质得当1≤x ≤3时，x ＝2时，y 的值最小；x ＝﹣1时，y 的值最大，然后分别计算出a 和b 的值，从而得到a +b 的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵﹣1≤x≤3，∴x＝2时，y的值最小，即a＝﹣1；x＝﹣1时，y的值最大，即b＝（﹣1﹣2）2﹣1＝8，∴a+b＝﹣1+8＝7．故答案为7．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是3cm．【分析】设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP根据切线长定理得∠OCD＝30°，则CD＝OD，求出CD即可解决问题．【解答】解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OC＝OD＝3，∴PD＝3．故答案为3．【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、30°的直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．【分析】先根据题意找出圆心，连接OA，OD，由垂径定理得出AB＝2AD，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，根据OA2＝AD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题；【解答】解：如图所示，连接OD，由题意O、D、C共线．∵AB⊥CO，∴AB＝2AD，∵AB＝8m，CD＝2m，∴AD＝4m，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，∵OA2＝AD2+OD2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5m．∴拱形所在圆的直径为10cm．【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）依据△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1进行画图，进而得到点A1的坐标；（2）依据△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到图形△A2B2C2进行画图，进而得到点C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（﹣2，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）2﹣4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4，∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4．∵二次函数图象经过点（﹣1，12），∴12＝16a﹣4，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5．（2）当y＝0时，有x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；当x＝0时，y＝x2﹣6x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）．连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．∵B（5，0）、C（0，5），∴BC＝5．∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO＝∠B＝∠D；（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：连接OD．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴1：＝：BE，解得：BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∴⊙O的半径为2，∵tan∠EOD＝＝，∴∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x＝﹣＝，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k＝﹣．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．【分析】（1）根据切线的判定即可求出答案．（2）根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，利用勾股定理可求出AF的长度，然后利用相似三角形的性质与判定即可求出DF的长度．【解答】解：（1）连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∴∠ODE+∠AED＝180°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝2，BF＝1，∴由勾股定理可知：AF＝，∵FB是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵∠F＝∠F，∠ABF＝∠BDF＝90°，∴△BDF∽△ABF，∴BF2＝DF•AF，∴DF＝【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；（3）就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝﹣t+30；（3）由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W＝180000（元）；最大值当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t＝55时，W＝180250（元），最大值综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得AP＝BP＝CP＝，根据勾股定理可求OC的长度，用待定系数法可求解析式；（2）直线MD与⊙P的位置关系设直线DM和x轴交于E，连接PM则PM⊥OE，过P作PD ′⊥ME 于D ′，设y ＝0，则y ＝x ﹣＝0，则可求出OE 的长，根据勾股定理求出ME ，在根据三角形的面积为定值可求出PD ′的长，和圆P 的半径比较大小即可判定直线MD 与⊙P 的位置关系；（3）此题要分两种情况：①以AD 为边，②以AD 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F 点的坐标．【解答】解：（1）连接CP∵A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（12，0），∴AB ＝15∵点P 是AB 中点∴AP ＝＝BP ＝CP∵AO ＝3∴OP ＝在Rt △CPO 中，OC ＝＝6 ∴点C 坐标为（0，﹣6）∴设抛物线解析式y ＝a （x +3）（x ﹣12）且过点C （0，﹣6）∴﹣6＝﹣36a∴a ＝∴抛物线解析式y ＝（x +3）（x ﹣12）＝x 2﹣x ﹣6，（2）∵y ＝x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣）2﹣；∴M （，﹣）， ∵P 是圆的圆心，∴PM 是圆的对称轴，PM 是抛物线的对称轴，∵C （0，﹣6），∴D （9，﹣6），设直线MD 的解析式y ＝kx +b ，把D （9，﹣6）和M （，﹣）代入得：，解得：，∴y＝x﹣；设直线DM和x轴交于E，连接PM，则PM⊥OE，过P作PD′⊥ME于D′，设y＝0，则y＝x﹣＝0，∴x＝17，∴OE＝17，∴E（17，0），∴PE＝17﹣4.5＝12.5，∵PM＝，∴ME＝＝，∵PM•PE＝PD′•EM，∴PD′＝＝7.5，∴PD′等于圆的半径，∴直线MD与⊙P的位置关系是相切；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0），①如图2，连接D与抛物线和y轴的交点C，那么CD∥x轴，此时AF＝CD＝9，因此F点的坐标是（﹣12，0）；②如图3，AF＝CD＝9，A点的坐标为（﹣3，0），因此F点的坐标为（6，0）；③如图4，此时D，E两点的纵坐标互为相反数，因此E点的纵坐标为6，代入抛物线中即可得出E点的坐标为（，6），∵直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，∵EF∥AD，因此可设直线EF的解析式为y＝﹣x+h，将E点代入后可得出直线EF的解析式为y＝﹣x+，因此直线EF与x轴的交点F的坐标为（，0）；④如图5，同③可求出F的坐标为（，0）．总之，符合条件的F点共有4个．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、顶点坐标的求法、一次函数和坐标轴的交点、圆的性质、切线的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．。
2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1006．（3分）从﹣5，﹣，﹣，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≥﹣1D．m≤3 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac ＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为．12．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为．13．（3分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为．15．（3分）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0 （a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 16．（3分）若二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k＝．17．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．18．（3分）若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是．19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C 的长为．20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于．三、解答题（共8个大题，52分）21．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．22．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．23．（7分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出：①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．25．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当每件销售价为多少元时，每天的销售利润为144元？26．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数是多少？27．（7分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE 为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．28．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．四、综合题（8分）29．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S．①求S与m的函数关系式．②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．B；4．C；5．A；6．A；7．D；8．C；9．D；10．B；二．填空题（每小题3分，共30分）11．y＝3（x+2）2﹣3；12．x1＝1，x2＝﹣3；13．y1＞y3＞y2；14．（1，﹣1）；15．3.24＜x＜3.25；16．5；17．m＜且m≠0；18．；19．1；20．4；三、解答题（共8个大题，52分）21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；四、综合题（8分）29．；。
2018年湖南省长沙市麓山外国语中学升初招生数学卷(解析版)
9． （2 分）x 的 3 倍比 9 多 4，所列方程不正确的是（ A．3x﹣9＝4 B．3x﹣4＝9
10． （2 分）一个两位小数精确到十分位是 5.0，这个数最小是（ A．4.99 B．5.1 C．4.94
D．4.95
二、填空题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11． （3 分）12 和 30 的最小公倍数是 ．
以诗中的 4 个字组成“四字成语” ，要求第一个字是第二个字的 9 倍，第四个字 比第三个字多 1，第二个字是第四个字的 1/7，第三个字比第一个字的一半多 4，求这句成语．
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2018 年湖南省长沙市麓山外国语中学升初招生数学卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1． （2 分）以下既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的最大三位数是（ A．990 B．995 C．999 ）
D．无法比较
【解答】解：甲数为：24 乙数为：24÷ ＝32，（2 分）一个平行四边形的底和高分别扩大 2 倍，它的面积扩大（ A．2 B．4 C．6 D．8
A．21：00
B．10：21
C．10：51 ）个．
D．12：01
3． （2 分）下列各图形中，是轴对称图形的有（
A．1
B．2 ）
C．3
D．4
4． （2 分）3+3÷3+3×3 的值是（ A．18 B．15
C．13
D．9
5． （2 分）用 3 个大小相同的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是一个 正方形周长的（ A．3 ）倍． B．9 C．4 D．2 ）
D．950
【解答】解：既是 2 的倍数又是 5 的倍数的最大三位数是 990． 故选：A． 2． （2 分） 小明从镜子里看到镜子对面的电子钟的像如图所示， 实际时间是 （ ）
麓山国际初三入学数学考试试卷及答案
9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷数 学总分：120分 时量：120分钟一.选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1.在下列四个数中，其中无理数的是( ) A .722 B .﹣2018C .4D .π2.下列计算正确的是( ) A .33=-x xB .a a a 143=÷C .12)1(22--=-x x xD .6326)2(a a -=-3. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018年GDP 突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( ) A .12104⨯ B .11104⨯C .12104.0⨯D .111040⨯4. 不等式组⎩⎨⎧-<+->14212x x xx 的解集为( )A .1>xB .31>xC .131<<x D .无解5.下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A .任意画一个四边形，其内角和为180° B .经过任意两点画一条直线 C .任意画一个菱形，是中心对称图形 D .过平面内任意三点画一个圆6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A .B .C .D .7.如图，两条直线21//l l ，ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BC AC =，顶点B A ,分别在1l 和2l 上，∠1＝20°，则∠2的度数是( ) A .45° B .55° C .65° D .75°8.某同学记录了自己一周每天的零花钱(单位：元)，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是( ) A .5和5.5B .5和5C .5和17D .17和5.5 9.已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( ) A .5≤m B .2≥m C .5<m D .2>m10.如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30=∠OAB ，B 点的坐标为(0，2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是( ) A .)4,32( B .)32,2( C .)3,3( D .)3,3(11.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y (单位：件)与时间t (单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z (单位：元)与时间t (单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( ) A .第24天的销售量为300件 B .第10天销售一件产品的利润是15元 C .第27天的日销售利润是1250元 D .第15天与第30天的日销售量相等第7题图 第10题图 第11题图12. 已知抛物线c bx ax y ++=2(0<<b a )与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴右侧；②关于x 的方程022=-++c bx ax 有两个不相等的实数根；③024≤+-c b a ；④03<+c a .其中，正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二.填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13.分解因式：23828a a a -+＝ .14.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且34=EA OE ，则BCFG＝ . 15.若反比例函数xky -=2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 . 16.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则O P A ∠ta n 的值是 .17.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为 海里. 18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到B A 、两点的距离之和PB PA +的最小值为 .第14题图 第16题图 第17题图 第18题图三、解答题(本大题共8个小题，共66分) 19.(6分)计算：45tan )21(4|2|1++---20.(6分)先化简，后求值121)11(22++-÷+-a a a a a ，其中12+=a .21.(8分)某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，个数的中位数是 ；(2)根据以上信息，补全扇形图(图1)和条形图(图2)；(3)该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；(4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.22.(8分)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ＝CF . (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若BD ＝EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由.23.(9分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A 型和30辆B 型自行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6倍少60元.(1)求A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？24.(9分)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°. (1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝∠E ，BC ＝3，求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).25.(10分)定义：若存在实数对坐标(,)x y 同时满足一次函数y ax b =+和反比例函数cy x=-，则二次函数2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“派生”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数3y x =-+和反比例函数4y x=是否存在“派生”函数，若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件9t n m <<，并且一次函数(6)22y n x m =+++与反比例函数xy 2019=存在“派生”函数2019)10()3(2--++=x t m x t m y ，求m 的值；(3)若同时存在两组实数对坐标1(x ，1)y 和2(x ，2)y 使一次函数2(0)y ax b a =+≠和反比例函数3(0)cy c x=-≠有“派生”函数，其中，实数23a b c >>，0a b c ++=，设12||S x x =-，S 的取值范围.26.(10分)如图1，在平面直角坐标系中，直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，其中(,0)A m 、(4,)B n ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D . (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图2，若点P 为线段AD 上的一动点(不与A 、D 重合)，分别以AP 、DP 为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角APM ∆和等腰直角DPN ∆，连接MN ，试确定MPN ∆面积最大时P 点的坐标；(3)如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷参考答案。
2018年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学一模试卷
2018年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）|﹣6|的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣2．（3分）如图，在数轴上点M表示的数可能是（）A．1.5B．﹣1.5C．﹣2.4D．2.43．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（）A．B．C．D．4．（3分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（）A．1B．2C．5D．65．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣2，7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（2，﹣7）6．（3分）下列说法正确的是（）A．面积相等的两个三角形一定全等B．平分弦的直径垂直于弦C．矩形的对角线互相平分且相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形7．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8B．10C．8或10D．6或128．（3分）正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．89．（3分）如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB＝24米，半径为13米，则拱高CD为（）A．3米B．5米C．7米D．8米10．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝（）A．90°B．100°C．105°D．135°11．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A．4B．3C．2+2D．2+2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共36分）13．（3分）从，0，﹣，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的概率是．14．（3分）若分式的值为零，则x＝．15．（3分）如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是．17．（3分）若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为．18．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：﹣22+（π﹣2018）0﹣2sin60°+|1﹣|20．（6分）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．21．（8分）长沙市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，天心阁、岳麓山、橘子洲三个景区是人们节假日游玩的热点景区，李老师对九年级1班学生五一长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两个景区；C、游一个景区；D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）九（1）班共有学生人，请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为；（3）若小明、小华两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区，请用列表或者画树状图的形式求出他们同时选中岳麓山的概率．22．（8分）如图，某公安海上缉私局发现在我国领海的P处有一条走私船正以22海里/时的速度沿南偏东64°的方向向公海逃窜，于是缉私局命令位于点P北偏东30°方向A 处的我公安缉私快艇前往拦截，已知P、A相距20海里，公安缉私快艇向正南方向行进计划在B处拦截走私船．（1）求A、B两处的距离；（结果保留整数）（2）若公安缉私快艇要在B处成功拦截走私船，则缉私快艇的速度至少为多少海里/时？【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2，≈1.4，，】23．（9分）“低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年1月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆．（1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率．（2）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B 型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围．（3）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（2）的条件下，求公司每月的最大利润．24．（9分）如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．（3）若⊙O的半径为4，求的值．25．（10分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，求BN的长；（2）如图2，点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点；（3）如图3，已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y＝x2﹣4x+m 交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点，求m的值．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A，B两点，点Q是该抛物线上的一点．（1）求A，B两点的坐标．（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是直线PO上一点，当以P，B，Q为顶点的三角形与△P AT相似时，求所有满足条件的t的值．2018年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）|﹣6|的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣【分析】利用绝对值的定义解答即可．【解答】解：|﹣6|＝6，故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，理解定义是解答此题的关键．2．（3分）如图，在数轴上点M表示的数可能是（）A．1.5B．﹣1.5C．﹣2.4D．2.4【分析】根据数轴上点M的位置，可得点M表示的数．【解答】解：点M表示的数大于﹣3且小于﹣2，A、1.5＞﹣2，故A错误；B、﹣1.5＞﹣2，故B错误；C、﹣3＜﹣2.4＜﹣2，故C正确；D、2.4＞﹣2，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了数轴，数轴上点的位置关系是解题关键．3．（3分）下列二次根式中，能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式即可判断．【解答】解：（A）原式＝，故A与不能合并；（B）原式＝2，故B与能合并；（C）原式＝2，故C与不能合并；（D）原式＝2，故D与不能合并；故选：B．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是将各根式化为最简二次根式，本题属于基础题型．4．（3分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（）A．1B．2C．5D．6【分析】根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．【解答】解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x＝6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选：C．【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣2，7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（2，﹣7）【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+7为顶点式，∴图象的顶点坐标是（2，7）．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解决问题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．面积相等的两个三角形一定全等B．平分弦的直径垂直于弦C．矩形的对角线互相平分且相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】根据全等三角形的判定与性质、垂径定理及其推论、矩形的性质、菱形的判定逐一判断即可得．【解答】解：A、面积相等的两个三角形一定全等，错误；B、平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径，此结论错误；C、矩形的对角线互相平分且相等，此结论正确；D、对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，此说法错误；故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、垂径定理及其推论、矩形的性质、菱形的判定．7．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8B．10C．8或10D．6或12【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2＝4，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有10．故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．8．（3分）正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135＝45°，∵360÷45＝8，则这个多边形是八边形，故选：D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．9．（3分）如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB＝24米，半径为13米，则拱高CD为（）A．3米B．5米C．7米D．8米【分析】设点O为圆弧AB的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，由题意可知：OD⊥AB，OA＝13由垂径定理可知：AD＝AB＝12，∴由勾股定理可知：OD＝5，∴CD＝OC﹣CD＝8，故选：D．【点评】本题考查垂径定理，涉及勾股定理，属于基础题型．10．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝（）A．90°B．100°C．105°D．135°【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，∠2＝45°，则∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．11．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【分析】根据反比例函数的性质得出点A在第二象限、点B、C在第四象限，再根据坐标得出选项即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，又∵﹣2＜0＜4＜5，∴y1＞y3＞y2，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A．4B．3C．2+2D．2+2【分析】连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE ＝OD＝BD＝2，再根据PE≤OP+OE＝2+2，可得当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝2+2，即线段PE的最大值为2+2．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE＝OD＝BD＝2，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝AD＝2，∵PE≤OP+OE＝2+2，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝2+2，即线段PE的最大值为2+2，故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共36分）13．（3分）从，0，﹣，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的概率是．【分析】直接利用概率公式计算得出答案．【解答】解：从，0，﹣，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，﹣这2种可能，∴抽到的无理数的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．14．（3分）若分式的值为零，则x＝﹣2．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣4＝0，2x﹣4≠0，由x2﹣4＝0，得x＝2或x＝﹣2，由2x﹣4≠0，得x≠2，综上，得x＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．15．（3分）如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝45°．【分析】过P作PM∥直线a，求出直线a∥b∥PM，根据平行线的性质得出∠FPM＝∠1＝45°，即可求出答案．【解答】解：过P作PM∥直线a，∵直线a∥b，∴直线a∥b∥PM，∵∠2＝30°，∴∠EPM＝∠2＝30°，又∵∠EPF＝75°，∴∠FPM＝45°，∴∠1＝∠FPM＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是100°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE＝∠BAD＝100°．故答案为100°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．（3分）若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为120°．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆的半径公式解得r＝4，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×4＝，然后解关于n的方程即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得πr2＝16π，解得r＝4，所以2π×4＝，解得n＝120，即圆锥的侧面展开图的圆心角为120°．故答案为120°．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围k＜1且k≠0．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：﹣22+（π﹣2018）0﹣2sin60°+|1﹣|【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+1﹣2×+﹣1＝﹣4+1﹣+﹣1＝﹣4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（6分）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和合并同类项可以解答本题．【解答】解：（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）＝x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2+1＝（x﹣y）2+1，当x﹣y＝时，原式＝（）2+1＝3+1＝4．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．21．（8分）长沙市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，天心阁、岳麓山、橘子洲三个景区是人们节假日游玩的热点景区，李老师对九年级1班学生五一长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两个景区；C、游一个景区；D、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）九（1）班共有学生50人，请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为72°；（3）若小明、小华两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区，请用列表或者画树状图的形式求出他们同时选中岳麓山的概率．【分析】（1）由A类5人，占10%，可求得总人数，求得D类别的人数，则可将条形统计图补充完整；（2）求得B类别占的百分数，则可求得“B类别”的扇形的圆心角的度数；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们同时选中岳麓山的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵A类5人，占10%，∴九（1）班共有学生有：5÷10%＝50（人）；∴D类别人数为50﹣（5+10+15）＝20人，补全图形如下：故答案为：50；（2）在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为：×360°＝72°；故答案为：72°；（3）分别用1，2，3表示天心阁、岳麓山、橘子洲，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，他们同时选中岳麓山的只有1种情况，∴他们同时选中岳麓山的概率为．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，某公安海上缉私局发现在我国领海的P处有一条走私船正以22海里/时的速度沿南偏东64°的方向向公海逃窜，于是缉私局命令位于点P北偏东30°方向A 处的我公安缉私快艇前往拦截，已知P、A相距20海里，公安缉私快艇向正南方向行进计划在B处拦截走私船．（1）求A、B两处的距离；（结果保留整数）（2）若公安缉私快艇要在B处成功拦截走私船，则缉私快艇的速度至少为多少海里/时？【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2，≈1.4，，】【分析】（1）过P作PC⊥AB于C，先解Rt△ACP，求得PC＝P A＝10海里，AC＝PC ＝10海里．再解Rt△PBC，得出BC＝≈5海里，代入AC+CB即可求出AB；（2）解Rt△PBC，求出PB＝≈11海里，再根据公安缉私快艇行驶AB所需的时间≤走私船行驶PB所需的时间列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）过P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，∵∠A＝30°，P A＝20海里，∴PC＝P A＝10海里，AC＝PC＝10海里．在Rt△PBC中，∵∠B＝64°，∴BC＝≈＝5（海里），∴AB＝AC+CB≈10+5≈22（海里）．答：A、B两处的距离约为22海里；（2）在Rt△PBC中，∵∠PBC＝64°，∴PB＝≈≈11（海里）．设缉私快艇的速度为x海里/时，由题意，得≤，即≤，解得x≥44．答：缉私快艇的速度至少为44海里/时．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．23．（9分）“低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年1月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆．（1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率．（2）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围．（3）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（2）的条件下，求公司每月的最大利润．【分析】（1）设月平均增长率为x，根据“1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆”列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆，根据“A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆”列出关于m的一元一次不等式，结合A型车不超过60辆，列出关于m的一元一次不等式组，解之即可，（3）设公司每月的利润为W，根据“A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆”，列出W关于m的一次函数，结合（2）中m的取值范围，利用一次函数的增减性即可得到答案．【解答】解：（1）设月平均增长率为x，由题意得：640（1+x）2＝1000，解得：x1＝﹣2.25（舍去），x2＝0.25，答：月平均增长率为25%，（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆，根据题意得：500m+700（100﹣m）≤60000，解得：m≥50，又∵A型车不超过60辆，∴50≤m≤60，答：m的取值范围为50≤m≤60，（3）设公司每月的利润为W，根据题意得：W＝100m+90（100﹣m）＝10m+9000，∵50≤m≤60，又∵一次函数W随着m的增大而增大，∴当m＝60时，W最大＝600+9000＝9600（元），答：公司每月的最大利润为9600元．【点评】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）根据等量关系列出一元二次方程，（2）根据不等量关系列出不等式组，（3）利用一次函数的增减性求最值．24．（9分）如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．（3）若⊙O的半径为4，求的值．【分析】（1）作OH⊥AB于H．只要证明OH＝OC即可；（2）假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，因为AC是⊙O的切线，AH是⊙O的切线，推出AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，推出OB＝3k﹣r，在Rt△OBH中，（3k﹣r）2＝r2+k2，求出r与k关系即可解决问题；（3）想办法求出AD、CF即可解决问题；【解答】（1）证明：作OH⊥AB于H．∵OA平分∠CAB，OC⊥BC，OH⊥AB，∴OH＝OC，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵AC：BC＝4：3，∴可以假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，∵∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，∵AH是⊙O的切线，∴AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，∴OB＝3k﹣r，在Rt△OBH中，（3k﹣r）2＝r2+k2，∴r＝k，∴tan∠CAO＝＝＝，（3）解：连接CD，∵EC是直径，∴∠EDC＝90°，∴∠DCF+∠DCO＝90°，∠DCO+∠CED＝90°，∴∠DCF＝∠CED，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACD，∵∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD2＝AF•AC，∵r＝4，∴k＝3，∴AC＝12，OA＝4，AD＝4﹣4，∴（4﹣4）2＝12•AF，∴AF＝（11﹣2），∴CF＝AC﹣AF＝12﹣（11﹣2）＝﹣，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（10分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，求BN的长；（2）如图2，点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点；（3）如图3，已知一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，与二次函数y＝x2﹣4x+m 交于C、D两点，若C、D是线段AB的勾股点，求m的值．【分析】（1）根据勾股点的定理，即可求出BN的长度；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A、B、E、F的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、EF、AE的长度，由BF2+AE2＝EF2即可证出E、F是线段AB的勾股点；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用解一元二次方程可得出点C、D的横坐标，进而可得出AC、CD、BD的长度，结合C、D是线段AB的勾股点，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）∵点M、N是线段AB的勾股点，∴BN＝＝或BN＝＝，∴BN的长为或．（2）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，∴b＝．∵直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（2，0）；当x＝a时，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴点E的坐标为（a，2﹣a）；当y＝时，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴点F的坐标为（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形，∴E、F是线段AB的勾股点．（3）∵一次函数y＝﹣x+3与坐标轴交于A、B两点，∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0）．将y＝﹣x+3代入y＝x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3＝0，解得：x C＝，x D＝，∴AC＝（x C﹣0）＝，CD＝（x D﹣x C）＝，BD＝（3﹣x D）＝．∵C、D是线段AB的勾股点，∴CD2＝AC2+BD2，即42﹣8m＝30﹣4m﹣6，整理得：4m2+12m﹣153＝0，解得：m1＝（舍去），m2＝，∴m的值为．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BN的长度；（2）利用勾股定理逆定理证出以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形；（3）利用勾股定理找出关于m的无理方程．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A，B两点，点Q是该抛物线上的一点．（1）求A，B两点的坐标．（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是直线PO上一点，当以P，B，Q为顶点的三角形与△P AT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式，根据解方程组，可得答案；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ＝45°和∠PQB＝45°；然后对这两种情况下的△P AT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△P AT相似也有两种情况：△Q″PB∽△P AT、△Q″BP∽△P AT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OP A＝45°，∴OM＝OP＝2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y＝x+2，联立直线AB与抛物线y＝x2，得，解得，，∴A点坐标是（﹣1，1），B点坐标是（2，4）；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD＝QC．设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC＝m+2﹣m2＝﹣（m﹣）2+，QD＝QC＝[﹣（m﹣）2+]．故当m＝时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT＝45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ＝45°不合题意．①如图②，若∠PBQ＝45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′＝45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△P AT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA＝90°时，得到：PT＝AT＝1，此时t＝1；（ii）当∠P AT＝90°时，得到：PT＝2，此时t＝0．②如图③，若∠PQB＝45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B＝∠PQ′B＝45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″＝2，得n2+（4﹣n20＝22，即n4﹣7n2+12＝0．解得n2＝3或n2＝4，而﹣2＜n＜0，故n＝﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″＝60°，又PQ″＝PQ″，。
麓山国际实验学校2018-2019年初三下第一次抽考数学试卷
麓山国际实验学校2018-2019年初三下第一次抽考数学试卷数学试题一、选择题：（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1.有意义的x 的取值范围是（） A .112x x ≥-≠且 B.1x ≠ C.12x ≥- D.112x x >-≠且 2.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（） A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．1617cm cm 或3．已知α为锐角，且sin α=，则α等于（） A.30B.45C.60 D.904.有一组数据：2,5,7,2,3,3,6，下列结论错误的是（）A.平均数为4B.中位数为3C.众数为2D.极差是55.如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，•则这个圆锥的侧面积为（） A ．29cm πB ．218cm πC ．227cm πD ．236cmπ6.如图，在ABCD 平行四边形中，E 是AB 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则EDF ∆与BCF ∆的周长之比是（） A.1:2B .1:3C .1:4D .1:57.已知a 、b 、c 都是正数，且a b cb c c a a b==+++=k ，则下列四个点中，在正比例函数y=kx 图象上的点的坐标是（） A ．（1，12）B ．（1，2）C ．（1，-12）D ．（1，-1） 8.直线y=x+1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC•为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（）个． A ．4B ．5C ．7D ．89.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为1x =,有如下结论：①1c <；②20a b +=；③24b ac <；④若方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，则122x x +=，则正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④10.如图，等腰Rt △ABC (∠ACB ＝90º)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线AE 向右平移，到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y 、则y 与x 之间的函数的图象大致是（）二．填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11.若实数a,b 满足：0)3(22=-++b a ，则ba =． 12.分式方程211x x=+的解是. 13.分解因式：244ab ab a -+=。
湖南省长沙市麓山国际实验学校 2018-2019学年初三下学期入学考试数学考试试卷
麓山国际实验学校 2018-2019-2 初三下学期入学考试数 学 试 卷总分：120 分时量：120 分钟一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1. 在下列四个数中，其中无理数的是（ ）22 A ．B ．﹣2018C ．72. 下列计算正确的是（ ） D ．πA ． 3x - x = 3B ． a 3÷ a 4=1 aC ． (x -1)2= x 2 - 2x -1D ． (-2a 2 )3 = -6a63. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018 年 G DP 突破 4000 亿元大关，4000 亿这个数用科学记数法表示为（）5.下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）A ．任意画一个四边形，其内角和为 180°B ．经过任意两点画一条直线 C.任意画一个菱形，是中心对称图形D. 过平面内任意三点画一个圆 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）7．如图，两条直线l // l ， Rt ∆ABC 中，∠C = 90 ， AC = BC ，顶点 A , B 分别在l 和l 上，∠1＝20°，1212则∠2 的度数是（ ） A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°8．某同学记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是（ ）A ．5 和 5.5B ．5 和 5C ．5D ．和 5.5 9. 已知二次函数 y = x 2- x + 1m -1的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（）44A ． m ≤ 5B ． m ≥ 2C ． m < 5D ． m > 210. 如图，把直角三角形 A BO 放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB = 30，B 点的坐标为（0，2），将∆ABO 沿着斜边 A B 翻折后得到∆ABC ，则点C 的坐标是（）A ． (2 3,4)B ． (2,2 3 )C ． ( 3,3)D ． ( 3, 3 )11. 如图是本地区一种产品 30 天的销售图象，图①是产品日销售量 y （单位：件）与时间t （单位：天） 的函数关系，图②是一件产品的销售利润 z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）A ．第 24 天的销售量为 300 件B ．第 10 天销售一件产品的利润是 15 元C ．第 27 天的日销售利润是 1250 元D ．第 15 天与第 30 天的日销售量相等（第 7 题图） （第 10 题图）（第 11 题图）12. 已知抛物线 y = ax 2+ bx + c （ a < b < 0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在 y 轴右侧；②关于 x 的方程ax 2+ bx + c - 2 = 0 有两个不相等的实数根； ③ 4a - 2b + c ≤ 0 ；④ 3a + c < 0 ．其中，正确结论的个数为（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13. 分解因式： 8a 3 + 2a - 8a 2 ＝．14．如图，四边形 A BCD 与四边形 E FGH 位似，其位似中心为点O ，且OE=4，则FG＝ ．EA3BC15．若反比例函数 y =的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是．x16．如图，已知⊙O 的半径为 6cm ，弦 AB 的长为 8cm ，P 是 AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA的值是 ．17．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 A 处测得小岛 C 位于北偏东 60°方向上，继续向东航行 10 海里到达点 B 处，测得小岛 C 在轮船的北偏东 15°方向上，此时轮船与小岛 C 的距离为海里．18．如图，在矩形 A BCD 中，A B ＝4，A D ＝3，矩形内部有一动点 P 满足 S 两点的距离之和 P A + PB 的最小值为．∆PAB= 1 S 3矩形ABCD ，则点 P 到 A 、B（第 14 题图） （ 第 16 题图） （第 17 题图） （第 18 题图）三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分）19．（6 分）计算：| -2 |- + ( 1)-1 +tan 452aa 2 -120.（6 分）先化简，后求值(1-÷ ，其中 a = a +1 a 2+ 2a +1+1．21．（8 分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了 50 名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表： （1）填空：在统计表中，这 5 个数的中位数是；（2）根据以上信息，补全扇形图（图 1）和条形图（图 2）；（3）该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团； （4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法 求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．4 23 22．（8 分）如图，平行四边形 A BCD 的对角线 A C 、BD 相交于点 O ，AE ＝CF ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若 BD ＝EF ，连接 DE 、BF ，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由．23.（9 分）某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B 型自行车，其中 B 型车单价是 A型车单价的 6 倍少 60 元．（1）求 A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过 5.86 万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进 B 型车多少辆？24．（9 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交 A C 于点 F ，点 E 在 A B 的延长线上，射线 EM 经过点 C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°． （1）求证：EM 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝∠E ，BC ＝ ，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．25．（10分）定义：若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=ax+b和反比例函数y=-c，则二x次函数y =ax2 +bx +c 为一次函数和反比例函数的“派生”函数．4（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y =-x + 3 和反比例函数y =是否存在“派生”函数，x若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t <n < 9m ，并且一次函数y = (6 +n)x + 2m + 2 与反比例函数y =2019存在“派生”函数y = (3m +t)x 2 + (10m -t)x - 2019 ，求m 的值；x（3）若同时存在两组实数对坐标(x1 ，y1) 和( x2，y2) 使一次函数y =ax + 2b(a ≠ 0) 和反比例函数26.（10 分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y =x -1与抛物线y =-x2 +bx +c 交于A 、B 两点，其中A(m, 0)、B(4, n) ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段A D上的一动点（不与A、D重合），分别以A P、DP为斜边，在直线A D 的同侧作等腰直角∆APM 和等腰直角∆DPN ，连接MN ，试确定∆MPN 面积最大时P 点的坐标；（3）如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与∆ABD 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2018年湖南省长沙市麓山国际实验学校实验班自主招生数学试卷-3.30
2018年长沙市麓山国际实验学校实验班自招卷1．下列命题错误的是（）A．若a＜1，则（a﹣1）B．若a﹣3，则a≥3C．依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形D．的算术平方根是9解析：A、若a＜1，则（a﹣1）（1﹣a），故此选项正确，不符合题意；B．若a﹣3，根据二次根式的性质得出，a﹣3≥0，则a≥3，故此选项正确，不符合题意；C．根据菱形对角线互相垂直得出，依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意；D．∵9，∴9的算术平方根是3，故此选项错误，符合题意；故选：D．2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2解析：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴＞，解得：a＜2且a≠1．故选：C．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论不正确的是（）A．△ABC是等腰三角形B．四边形EF AM是菱形C．S△BEF S△ACD D．DE平分∠CDF解析：连接AE，如右图所示，∵E为BC的中点，∴BE＝CE BC，又BC＝2AD，∴AD＝BE＝EC，又AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，又∵∠DCB＝90°，∴四边形AECD为矩形，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，故选项A不合题意；∵E为BC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF AC，又∵四边形ABED为平行四边形，∴AF∥ME，∴四边形AFEM为平行四边形，又∵AF AB AC＝EF，∴四边形AFEM为菱形，故选项B不合题意；过F作FN⊥BC于N点，可得FN∥AE，又∵F为AB的中点，∴N为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN AE，又∵AE＝DC，BE＝AD，∴S△BEF S△ACD，故选项C不合题意；DE不一定平分∠CDF，故选项D符合题意．故选：D．4．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x1，则有1，即2a+b＝0；③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．5．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（）A．B．C．D．解析：画树状图得：∵共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种情况，∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率．故选：B．6．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2013的值为（）A．﹣1005B．﹣1006C．﹣1007D．﹣2012解析：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，…，所以n是奇数时，a n；n是偶数时，a n；a20131006．故选：B．7．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）解析：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，P A﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，b，∴直线AB的解析式是y＝﹣x，当y＝0时，x，即P（，0），故选：D．8．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A．B．C．D．解析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x，∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD，∴AB＝AD＝BC，∴S1＝5，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，∴tan∠BAA1，∴A1B，∴A1C＝BC+A1B，∴S25＝5×（）2，∴，∴A2B1，∴A2C1＝B1C1+A2B1（）2，∴S35＝5×（）4，由此可得：S n＝5×（）2n﹣2，∴S2012＝5×（）2×2012﹣2＝5×（）4022．故选：D．9．设a2+2a﹣1＝0，b4﹣2b2﹣1＝0，且1﹣ab2≠0，则（）5＝﹣32．解析：∵a2+2a﹣1＝0，∴a≠0，在方程两边都除以a2，得：21＝0．∵b4﹣2b2﹣1＝0，且1﹣ab2≠0，∴和b2为一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不等实数根，∴b2＝2，•b2＝﹣1，∴b2•b2﹣3（b2）•b2﹣3＝2﹣1﹣3＝﹣2，∴（）5＝（﹣2）5＝﹣32．故答案为：﹣32．10．若关于x的一元一次不等式组＞＞无解，则a的取值范围是≥1．解析：＞①＞ ②，由①得，x＞a；由②得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故答案为：≥1．11．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．解析：，则1＝1．故答案为：．12．不论k为何值时，直线（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣5k+1＝0的图象恒过定点（1，1）解析：由（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣（5k﹣1）＝0，得（2x+3y）k+（x﹣2y）＝5k﹣1．不论k为何值，上式都成立．所以2x+3y＝5，x﹣2y＝﹣1，解得：x＝1，y＝1．即不论k为何值，一次函数（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣5k+1＝0的图象恒过（1，1）．故答案为：（1，1）13．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为8．解析：设正方形的边长为a，则2a2＝（2）2，解得a＝2，翻折变换的性质可知AD＝A′B′，A′H＝AH，B′G＝DG，阴影部分的周长＝A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）＝AD+AB+BC+CD＝2×4＝8．故答案为：8．14．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC ＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是①②③④．解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE ＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正确；在HD上截取HK＝AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等边三角形，∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，∠∠，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正确；∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD•DH．故④正确．故答案为：①②③④．15．长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n＝3时，a的值为12或15．解析：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时剪下正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20＝（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a＝12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a＝（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a＝15．∴当n＝3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．16．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．解析：∵正方形OABC边长为1，∴OB，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2012÷8＝251…4，∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．故答案为：（﹣21006，﹣21006）．17．今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A 种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：问这400间板房最多能安置多少灾民？解析：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；x＝120．经检验x＝120是分式方程的解．210﹣120＝90．故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务；（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数为W，则W＝12y+10（400﹣y）＝2y+4000，，解得：300≤y≤360，∵W＝2y+4000时随y的增大而增大，∴当y＝360时安置的人数最多．360×12+（400﹣360）×10＝4720．故最多能安置4720人．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC 于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD＝DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．解析：（1）BD＝DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝DE．∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠DCE＝∠ABC（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB＝45°，∴∠BOP＝90°；（3）解法一：设OP交AC于点G，如图，则∠AOG＝∠BOP＝90°，在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，∴，又∵，∴，∴，又∵∠AGO＝∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC＝∠AOG＝90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；解法二：作CM⊥AB于M，∵∠BOP＝90°，∴CM∥OP，∵OP AB，在Rt△AME中，∵∠BAC＝30°，∴CM AC，∴CM AB的，∴CM＝OP，∴四边形OPCM是矩形，∴∠CPO＝90°，∴CP是圆O的切线．19．如图1，已知直线y＝kx与抛物线y交于点A（3，6）．（1）求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？解析：方法一：（1）把点A（3，6）代入y＝kx得；∵6＝3k，∴k＝2，∴y＝2x．OA．（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时tan∠AOM＝2；②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，∴∠MQH＝∠GQN，又∵∠QHM＝∠QGN＝90°∴△QHM∽△QGN…，∴tan∠AOM＝2，当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得2．（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD＝∠BAE，∴AF＝OF，∴OC＝AC OA∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF，∴点F（，0），设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1＝6，x2＝3（舍去），∴点B（6，2），∴BK＝6﹣3＝3，AK＝6﹣2＝4，∴AB＝5；（求AB也可采用下面的方法）设直线AF为y＝kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k，b＝10，∴y x+10，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB＝5（其它方法求出AB的长酌情给分）在△ABE与△OED中∵∠BAE＝∠BED，∴∠ABE+∠AEB＝∠DEO+∠AEB，∴∠ABE＝∠DEO，∵∠BAE＝∠EOD，∴△ABE∽△OED．设OE＝a，则AE＝3a（0＜a＜3），由△ABE∽△OED得，∴，∴m a（3a）a2a（0＜a＜3），∴顶点为（，）如答图3，当m时，OE＝a，此时E点有1个；当0＜m＜时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．∴当m时，E点只有1个当0＜m＜时，E点有2个．方法二：（1）略．（2）过点Q分别作y轴，x轴垂线，垂足分别为G，H，∵QN⊥QM，∴∠NQH+∠HQM＝90°，∵QG⊥QH，∴∠NQH+∠GQN＝90°，∴∠HQM＝∠GQN，∵∠QGN＝∠QHM＝90°，∴△QGN∽△QHM，∴QM：QN＝2：1．（3）延长AB交x轴于F，过点F作FC⊥OA于点C．∵∠BAE＝∠AOD，∴OF＝AF，∵FC⊥OA，∴C为OA中点，∵O（0，0），A（3，6），∴C（，3），K OA＝2，∵K OA×K PC＝﹣1，∴K PC，∴l FC：y x，当y＝0时，x，即F（，0），∴l AF：y x+10，∴⇒x1＝3（舍），x2＝6，∴B（6，2），AB＝5，∵D（m，0），OD＝m，设AE＝a，OE＝3a，∠∠∠⇒∠OED＝∠ABE，∴△ABE∽△OED，∴，∴，∴a2a+5m＝0，∵E只有一个，∴△＝45﹣20m＝0，∴m，∵E只有两个，∴△＝45﹣20m＞0，即0＜m＜时，E有两个．。
麓山国际实验学校初三上入学考试数学试卷.doc
麓山国际实验学校2014—2015—1初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤x C ．3≥x D ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。
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麓山国际实验学校2018-2019-1初三开学作业检查
数学试卷
总分：120分
时量：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D. “a 是实数，0a ≥”是不可能事件
2. 在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ()3,5-
B. ()3,5-
C. ()3,5
D. ()3,5--
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
4. 抛物线()2
325y x =-+的顶点坐标是（ ） A. ()2,5-
B. ()2,5--
C. ()2,5
D. ()2,5-
5. 某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A. ()2
801100x += B. ()2
801100x -= C. ()8012100x +=
D. ()
2801100x +=
6. 从-5，10
3
-，6--1，0，2，π怕七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（ ） A.
27
B.
37
C.
47
D.
57
7. 关于抛物线221y x x =-+，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上
B. 与x 轴有两个重合的交点
C. 对称轴是直线1x =
D. 当1x >时，y 随x 的增大而减小
8. 如右图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆，若点
A ，D ，E 在同一条直线上，20AC
B ∠=︒，则AD
C ∠的度数
是（ ） A. 55︒ B. 60︒ C. 65︒
D. 70︒
9. 已知二次函数()211y x m x =-+-+，当当1x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A. 1m =-
B. 3m =
C. 1m ≥-
D. 3m ≤
10. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，以下结论：①0abc >；②24ac b <；③
20a b +>；④其顶点坐标为1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭；⑤当12x <时，y 随x 的增
大而减小；⑥0a b c ++>。
正确的结论有（ ） A. 3个 B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11. 将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为 ____ ____。
12. 抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解为 。
第12题图 第14题图 第19题图 第20题图
13. 若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -，()22,B y ，()35,C y 三点，则123,,y y y 的大小关系是________（用“>”连接）
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A B C '''∆由ABC ∆绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为________。
15. 根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）的一个解x 的取值范围是________。
16. 若二次函数24y x x k =--+的最大值是9，则k =________。
17. 关于x 的一元二次方程2230mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是_________。
18. 若从-1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是________。
19. 如图，在矩形ABCD 中，5,3AB AD ==，矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D '''，若点B 的对应点B '落在边CD 上，则B C '的长为_________。
20. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点,E F 分别在边,AD CD 上，若45EBF ∠=︒，则
EDF ∆的周长等于_________。
三、解答题（共8个大题，共52分）
21.（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母,,A B C ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率。
22.（6分）已知一个二次函数的图象经过()()()1,0,3,0,0,3A B C --三点，求此二次函数的解析式。
23.（7分）已知二次函数223y x x =-++。
（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）根据图象，直接写出：
①当函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围； ②当22x -<<时，函数值y 的取值范围。
24.（6分）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k k --++-=有实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）若此方程的两实数根12,x x 满足22
12
11x x +=，求k 的值。
25.（7分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每件销售价为多少元时，每天的销售利润为144元？
26.（6分）如图，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆的位置，使得CC AB '，则BAB '∠的度数是多少？
27.（7分）甲、乙两人分别站在相距6米的A ，B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）。
（1）求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式； （2）求羽毛球飞行的最高高度。
28.（7分）如图，已知ABC ∆中，AB AC =，把ABC ∆绕A 点沿顺时针方向旋转得到ADE ∆，连接BD ，CE 交于点F 。
（1）求证：AEC ∆≌ADB ∆；
（2）若2AB =，45BAC ∠=︒，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长。
四、综合题（8分）
29. 如图1，已知抛物线2y ax bx c =++经过()()()3,0,1,0,0,3A B C -三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H 。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求PBC ∆周长的最小值；
（3）如图2，若E 是线段AD 上的一个动点（E 与,A D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，四边形AODF 的面积为S 。
①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由。